Funksjonsdrøfting tredjegradsfunksjon med vendepunkt

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Vi har gitt funksjonen

f(x) = \frac{1}{3}x^3 - x^2 + 1 \qquad , \quad D_f = \mathbb{R}

Bestem eventuelle topp- eller bunnpunkter på grafen til $f$ .

Bestem eventuelle vendepunkter på grafen til $f$ .

Lag en skisse av grafen til $f$ .

Fasit

Toppunkt i $(0, 1)$ , bunnpunkt i $(2, -\frac{1}{3})$

Vendepunkt i $(1, \frac{1}{3})$

Se skisse i løsningsforslaget

LøsningsforslagKI-generert

Vi deriverer $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - x^2 + 1$ :

f'(x) = x^2 - 2x

Stasjonærpunkter der $f'(x) = 0$ :

x^2 - 2x = 0 \implies x(x-2) = 0

x = 0 \quad \text{eller} \quad x = 2

Vi setter opp fortegnslinje for $f'(x) = x(x-2)$ :

$x$	$\cdots$	$0$	$\cdots$	$2$	$\cdots$
$x$	$-$	$0$	$+$	$+$	$+$
$x-2$	$-$	$-$	$-$	$0$	$+$
$f'(x)$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f$	$\nearrow$		$\searrow$		$\nearrow$

$f'$ skifter fortegn fra $+$ til $-$ i $x=0$ : toppunkt. $f'$ skifter fortegn fra $-$ til $+$ i $x=2$ : bunnpunkt.

Funksjonsverdier:

f(0) = 0 - 0 + 1 = 1

f(2) = \frac{1}{3} \cdot 8 - 4 + 1 = \frac{8}{3} - 3 = -\frac{1}{3}

Toppunkt i $\underline{\underline{(0,\, 1)}}$ og bunnpunkt i $\underline{\underline{\left(2,\, -\dfrac{1}{3}\right)}}$ .

Vi deriverer $f'(x) = x^2 - 2x$ én gang til:

f''(x) = 2x - 2

Vendepunkt der $f''(x) = 0$ :

2x - 2 = 0 \implies x = 1

Vi sjekker at $f''$ skifter fortegn i $x=1$ : for $x<1$ er $f''(x)<0$ (konkav), for $x>1$ er $f''(x)>0$ (konveks). Det er et vendepunkt.

Funksjonsverdien:

f(1) = \frac{1}{3} \cdot 1 - 1 + 1 = \frac{1}{3}

Vendepunkt i $\underline{\underline{\left(1,\, \dfrac{1}{3}\right)}}$ .

Vi bruker nøkkelpunktene:

Grafen stiger mot toppunktet, har ett bøyepunkt (vendepunkt), faller til bunnpunktet og stiger deretter.

Oppgavedata

Sync på tvers av enheter