S2 Eksempeloppgave 2022 · Matematikkoppgaver

Oppgave 1-1aBestemt integral

Regn ut integralet

\int_{0}^{1} (4 x^{2} + 3) d x

Fasit

$\frac{13}{3}$

Løsningsforslag

\int_{0}^{1} 4 x^{2} + 3 d x = {[\frac{4}{3} x^{3} + 3 x]}_{0}^{1} = \frac{4}{3} + 3 \cdot 1 - 0 = \frac{4}{3} + \frac{9}{3} = \frac{13}{3}

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Temaer: Integrasjon
Kompetansemål: Forstå definisjonen av det bestemte integralet og anvende integralet til å analysere funksjoner
Egen side: Åpne oppgave 1-1a for seg selv

Oppgave 1-1bUbestemt integral

Regn ut integralet

\int 4 x \sqrt{x^{2} + 2} d x

Fasit

$\frac{4}{3} \cdot \sqrt{x^{2} + 2} \cdot (x^{2} + 2) + C = \frac{4}{3} {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} + C$

Løsningsforslag

\begin{matrix} \int 4 x \sqrt{x^{2} + 2} d x, u = x^{2} + 2 ⟹ \frac{d u}{d x} = 2 x ⟺ d u = 2 x d x \\ \int 2 \sqrt{u} d u = 2 \int u^{\frac{1}{2}} d u = 2 \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C = \frac{4}{3} {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} + C^{'} = \frac{4}{3} (x^{2} + 2) \sqrt{x^{2} + 2} + C^{'} \end{matrix}

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Temaer: Integrasjon, Substitusjon
Kompetansemål: Forstå definisjonen av det bestemte integralet og anvende integralet til å analysere funksjoner
Egen side: Åpne oppgave 1-1b for seg selv

Oppgave 1-2Aritmetisk mur

Forklar hva det vil si at en rekke $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}$ er aritmetisk.

En murer skal lage en mur slik figuren viser. Bruk teorien om rekker til å bestemme hvor mange murstein mureren trenger, når han vet at det er totalt 20 rader med murstein.

Trekantet mur

Fasit

–

210

LøsningsforslagKI-generert

En rekke $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}$ er aritmetisk dersom differansen mellom to etterfølgende ledd er konstant, det vil si at

a_{k + 1} - a_{k} = d for alle k

der $d$ kalles den konstante differansen. Ledd nummer $n$ kan da skrives som

a_{n} = a_{1} + (n - 1) \cdot d

Summen av de $n$ første leddene er

S_{n} = \frac{a_{1} + a_{n}}{2} \cdot n

Fra figuren ser vi at øverste rad har 1 murstein, neste rad har 2, og slik fortsetter det slik at rad nummer $k$ har $k$ murstein. Med 20 rader får vi rekken

1 + 2 + 3 + \dots + 20

Dette er en aritmetisk rekke med $a_{1} = 1$ , $d = 1$ og $n = 20$ .

Siste ledd:

a_{20} = 1 + (20 - 1) \cdot 1 = 20

Summen:

S_{20} = \frac{a_{1} + a_{20}}{2} \cdot n = \frac{1 + 20}{2} \cdot 20 = \frac{21}{2} \cdot 20 = 210 murstein

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 1
Temaer: Rekker
Kompetansemål: Utforske egenskaper ved ulike rekker og gjøre rede for praktiske anvendelser av egenskaper ved rekker
Egen side: Åpne oppgave 1-2 for seg selv

Oppgave 1-3Summen av ukjent uendelig geometrisk rekke

Summen av en uendelig geometrisk rekke konvergerer mot 6.

Summen av tre første leddene er $\frac{38}{9}$ .

Bestem summen av de fire første leddene.

Fasit

$\frac{130}{27}$

Løsningsforslag

1-3

Om oppgaveteksten

Denne oppgaven finnes i to ulike varianter (sannsynligvis på grunn av en skrivefeil i løsningsforslag eller oppgavesettet. Den ene varianten sier at summen av de tre første leddene er 38/9, mens den andre varianten sier at summen av de seks første leddene er 38/9. Løsningsmetoden min vil fungere uansett hvilken variant man tenker seg, men det er nok lurt å heller formel for sum av geometrisk rekke ( $s_{n} = a_{1} \frac{k^{n} - 1}{k - 1}$ ) enn min framgangsmåte dersom man får oppgitt summen av et høyt antall ledd. Min metode er enkel når du bare trenger å tenke på 3 ledd, men skal du ta hensyn til 100 så må du regne mye!

Oppgavetekst

Summen av en uendelig geometrisk rekke konvergerer mot 6.

Sum av tre første ledd er 38/9

Hva er sum av de fire første?

Løsningsforslag

Jeg kaller første ledd i rekka for $x$ . Vet da at de tre første leddene må være:

x + x k + x k^{2} = \frac{38}{9}

Som kan faktoriseres til

x (1 + k + k^{2}) = \frac{38}{9}

Summen for uendelig geometrisk rekke gir:

\frac{x}{1 - k} = 6

Løser den likningen for $x$ og setter inn i uttrykket for sum av 3 første ledd

x = 6 (1 - k)

6 (1 - k) (1 + k + k^{2}) = \frac{38}{9}

(1 - k) (1 + k + k^{2}) = \frac{38}{9 \cdot 6} = \frac{38}{54} = \frac{19}{27}

1 + k + k^{2} - k - k^{2} - k^{3} = \frac{19}{27}

1 - k^{3} = \frac{19}{27}

k^{3} = 1 - \frac{19}{27} = \frac{8}{27} \Rightarrow k = \frac{2}{3}

Vi har nå funnet $k$ og kan enkelt finne $x$ :

x = 6 (1 - k) = 6 (1 - \frac{2}{3}) = 6 \frac{1}{3} = 2

Ledd 4 må være:

x k^{3} = 2 \cdot \frac{8}{27} = \frac{16}{27}

Summen av de fire første leddene blir da summen av de tre første pluss dette fjerde leddet

\frac{38}{9} + \frac{16}{27} = \frac{114}{27} + \frac{16}{27} = \frac{130}{27}

Summen av fire første ledd er

\frac{130}{27}

Alternativ løsning

Fra formel for sum av uendelig geometrisk rekke vet vi at

\frac{a_{1}}{1 - k} = 6

Samtidig kan sum av de tre første leddene uttrykkes som

\frac{38}{9} = a_{1} \cdot \frac{k^{3} - 1}{k - 1}

Vi har altså to likninger og to ukjente, $a_{1}$ og $k$ .

Vi kan løse den første likningen for $a_{1}$ og sette inn i den andre likningen

a_{1} = 6 (1 - k)

\frac{38}{9} = 6 (1 - k) \cdot \frac{k^{3} - 1}{k - 1} = 6 \cdot \frac{(k^{3} - 1) (1 - k)}{k - 1}

Siden $(1 - k) = (- 1) \cdot (k - 1)$ så bytter jeg ut denne faktoren i telleren for å kunne forkorte brøken på høyre side. Samtidig deler jeg på 6 på begge sider.

\frac{38}{54} = \frac{(k^{3} - 1) (- 1) (k - 1)}{(k - 1)} = (k^{3} - 1) (- 1) = 1 - k^{3}

Vi kan nå løse likningen

\begin{matrix} \frac{38}{54} & = 1 - k^{3} \\ k^{3} & = 1 - \frac{38}{54} = \frac{16}{54} = \frac{8}{27} \\ k & = \sqrt[3]{\frac{8}{27}} = \frac{2}{3} \end{matrix}

Når vi endelig har $k$ så kan vi finne $a_{1}$ med

a_{1} = 6 (1 - k) = 6 (1 - \frac{2}{3}) = 6 \cdot \frac{1}{3} = 2

Og til slutt kan vi finne summen av de fire første leddene med sumformelen

s_{4} = a_{1} \cdot \frac{k^{4} - 1}{k - 1} = 2 \cdot \frac{{(\frac{2}{3})}^{4} - 1}{(\frac{2}{3}) - 1} = 2 \cdot \frac{\frac{16}{81} - 1}{\frac{2}{3} - 1} = 2 \cdot \frac{- \frac{65}{81}}{- \frac{1}{3}} = 2 \cdot \frac{\frac{65}{81}}{\frac{27}{81}} = \frac{130}{27}

Summen av de fire første leddene er

\frac{130}{27}

Oppgavedata

Vanskegrad: 3
Temaer: Rekker
Kompetansemål: Utforske egenskaper ved ulike rekker og gjøre rede for praktiske anvendelser av egenskaper ved rekker
Egen side: Åpne oppgave 1-3 for seg selv

Oppgave 1-4Forventningsverdi og varians fra diskret sannsynlighetsfordeling

En sannsynlighetsfordeling er gitt ved tabellen nedenfor.

$x$	0	1	2	3
$P (X = x)$	$0,2$	$k$	$2 k$	$5 k$

Forklar hvorfor $k$ må være 0,1. Bestem forventningsverdien $E (X)$ .

Bestem variansen $Var (X)$

Fasit

$E (X) = 2$

$V a r (X) = 1,4$

Løsningsforslag

Summen av sannsynlighetene for alle utfallene skal være 1. Vi har dermed at

\begin{matrix} 0,2 + k + 2 k + 5 k & = 1 \\ 8 k & = 0,8 \\ k & = 0,1 \end{matrix}

Forventningsverdien er gitt ved

\sum x \cdot P (X = x) = 0 + 1 \cdot 0,1 + 2 \cdot 0,2 + 3 \cdot 0,5 = 2,0

$k$ må være lik 0,1 og forventningsverdien $E (X) = 2$ .

Variansen til $X$ er gitt ved

V a r (X) = \sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - μ)}^{2} \cdot P (X = x)

Dette er enklest å regne ut ved å bruke sannsynlighetsfordelingen:

$x$	0	1	2	3
$P (X = x)$	$0,2$	$0,1$	$0,2$	$0,5$
${(x_{i} - μ)}^{2}$	${(0 - 2)}^{2} = 4$	${(1 - 2)}^{2} = 1$	${(2 - 2)}^{2} = 0$	${(3 - 2)}^{2} = 1$
${(x_{i} - μ)}^{2} \cdot P (X = x)$	$4 \cdot 0,2 = 0,8$	$1 \cdot 0,1 = 0,1$	$0$	$1 \cdot 0,5 = 0,5$

Summen av kvadratavvikene er 1,4.

Variansen $Var (X) = 1,4$ .

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Temaer: Sannsynlighet, Forventningsverdi, Varians og standardavvik, Diskrete sannsynlighetsfordelinger
Kompetansemål: Forstå begrepene forventningsverdi, varians og standardavvik, og bruke disse størrelsene til å tolke stokastiske variabler
Egen side: Åpne oppgave 1-4 for seg selv

Oppgave 1-5Bestem forventningsverdi og standardavvik fra prosenter

I en gruppe elever er høyden tilnærmet normalfordelt med forventningsverdi $μ$ og standardavvik $σ$ .

Normalfordelingskurve med markeringer ved 173 og 183

I denne fordelingen er 15,9 prosent av elevene lavere enn 173 cm og 15,9 prosent av elevene er høyere enn 183 cm.

Bestem $μ$ og $σ$ .

Hvor stor andel av elevene er høyere enn 180 cm?

Fasit

$μ = 178 cm$ , $σ = 5 cm$

Ca. $34,5 %$

LøsningsforslagKI-generert

Vi skal finne $μ$ og $σ$ når vi vet at $15,9 %$ av elevene er lavere enn 173 cm, og $15,9 %$ er høyere enn 183 cm.

Fra normalfordelingstabellen gjenkjenner vi at $15,9 % \approx 0,1587 = Φ (- 1)$ , altså er $P (Z \leq - 1) \approx 0,159$ .

Vi standardiserer grenseverdiene:

\frac{173 - μ}{σ} = - 1 \Rightarrow μ - σ = 173

Av symmetri er $P (X > 183) = 0,159 = P (Z > 1)$ , som gir:

\frac{183 - μ}{σ} = 1 \Rightarrow μ + σ = 183

Vi legger de to likningene sammen:

2 μ = 173 + 183 = 356 \Rightarrow μ = 178

Vi trekker den første likningen fra den andre:

2 σ = 183 - 173 = 10 \Rightarrow σ = 5

$μ = 178 cm$ og $σ = 5 cm$

Vi standardiserer $X = 180$ :

z = \frac{180 - 178}{5} = \frac{2}{5} = 0,4

Fra normalfordelingstabellen leser vi av:

Φ (0,4) \approx 0,6554

Dermed:

P (X > 180) = 1 - Φ (0,4) = 1 - 0,6554 = 0,3446

Ca. $34,5 %$ av elevene er høyere enn 180 cm.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Normalfordeling, Varians og standardavvik, Sannsynlighet
Kompetansemål: Argumentere for sentralgrensesetningen og utforske og tolke praktiske situasjoner ved hjelp av normalfordelingen
Forstå begrepene forventningsverdi, varians og standardavvik, og bruke disse størrelsene til å tolke stokastiske variabler
Egen side: Åpne oppgave 1-5 for seg selv

Oppgave 1-6Argumenter for hvorfor sette grensekostnad lik grenseinntekt

Forklar hvorfor vi kan sette grensekostnad lik grenseinntekt når vi skal finne det største overskuddet.

Fasit

$O^{'} (x) = I^{'} (x) - K^{'} (x)$ $0 = I^{'} (x) - K^{'} (x) ⟺ I^{'} (x) = K^{'} (x)$

LøsningsforslagKI-generert

La $I (x)$ være inntektsfunksjonen og $K (x)$ være kostnadsfunksjonen, der $x$ er produsert mengde. Overskuddet er da:

O (x) = I (x) - K (x)

For å finne maksimalt overskudd deriverer vi $O (x)$ og setter den deriverte lik null:

O^{'} (x) = I^{'} (x) - K^{'} (x)

O^{'} (x) = 0 ⟹ I^{'} (x) - K^{'} (x) = 0 ⟹ I^{'} (x) = K^{'} (x)

Det vil si: et maksimum for overskuddet krever at grenseinntekten er lik grensekostnaden.

Intuitiv forklaring:

Hvis $I^{'} (x) > K^{'} (x)$ : den siste produserte enheten gir mer i inntekt enn den koster å produsere. Da lønner det seg å produsere én enhet til — overskuddet øker.
Hvis $I^{'} (x) < K^{'} (x)$ : den siste produserte enheten koster mer enn den innbringer. Da ville det vært bedre å produsere én enhet mindre — overskuddet øker ved å redusere produksjonen.
Først når $I^{'} (x) = K^{'} (x)$ er det ikke mulig å øke overskuddet ved å endre produksjonsmengden.

Merk: $O^{'} (x) = 0$ er en nødvendig betingelse, men ikke tilstrekkelig for maksimum. Vi må i tillegg kontrollere at det faktisk er et maksimum og ikke et minimum eller vendepunkt — for eksempel ved å sjekke at $O^{''} (x) < 0$ , eller ved en fortegnsdrøfting av $O^{'} (x)$ .

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Temaer: Grenseinntekt og grensekostnad, Økonomi, Argumentasjon
Kompetansemål: Finne grensekostnader og grenseinntekter i økonomiske modeller, og gjøre rede for betydningen av disse størrelsene
Egen side: Åpne oppgave 1-6 for seg selv

Oppgave 1-7Ukjent programkode

En elev har skrevet følgende kode

from math import sqrt            # importerer kvadratrotfunksjon
a = 0
b = 2
n = 10000

def f(x):
	return x**2 + 2

I = 0
h = (b - a)/n

for i in range(n):
	I = I + f(a + i*h)*h

print(round(I,3))

Forklar hva eleven ønsker å regne ut.

Hva blir det eksakte svaret på oppgaven eleven ønsker å løse?

Fasit

Eleven ønsker å beregne en tilnærmingsverdi for dette integralet $\int_{0}^{2} (x^{2} + 2) d x$

$\frac{20}{3}$

LøsningsforslagKI-generert

Programmet beregner en tilnærmingsverdi for integralet $\int_{0}^{2} (x^{2} + 2) d x$ ved hjelp av rektangelmetoden (venstre Riemann-sum).

Variablene a = 0 og b = 2 angir integrasjonsgrensene, og n = 10000 er antall rektangler. Funksjonen f(x) = x² + 2 er integranden.

Bredden på hvert rektangel er

h = \frac{b - a}{n} = \frac{2 - 0}{10000} = 0,0002

Summen beregnes i løkken ved å legge til arealet av hvert rektangel:

I \approx \sum_{i = 0}^{n - 1} f (a + i \cdot h) \cdot h

Det vil si at høyden på rektangel $i$ er funksjonsverdien i venstre kant av intervallet, $f (a + i \cdot h)$ , og arealet er $f (a + i \cdot h) \cdot h$ .

Eleven ønsker å beregne $\int_{0}^{2} (x^{2} + 2) d x$ ved rektangelmetoden (venstre Riemann-sum) med $n = 10 000$ rektangler.

Vi beregner integralet eksakt ved å finne en antiderivert av $f (x) = x^{2} + 2$ :

\int_{0}^{2} (x^{2} + 2) d x = {[\frac{x^{3}}{3} + 2 x]}_{0}^{2}

= (\frac{2^{3}}{3} + 2 \cdot 2) - (\frac{0^{3}}{3} + 2 \cdot 0)

= \frac{8}{3} + 4 = \frac{8}{3} + \frac{12}{3} = \frac{𝟐𝟎}{𝟑}

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Programmering, Utforskning, Funksjoner, Integrasjon
Kompetansemål: Utforske rekursive sammenhenger ved å bruke programmering og presentere egne framgangsmåter
Egen side: Åpne oppgave 1-7 for seg selv

Oppgave 2-1Logistisk modell for oljefondet

Tabellen nedenfor viser markedsverdien til Statens pensjonsfond utland, «Oljefondet», for noen år.

År	2000	2004	2008	2012	2016	2020	2021
Markedsverdi (milliarder kroner)	386	1016	2275	3816	7510	10914	12340

Krever PC

Lag en logistisk funksjon $g$ som gir oss en god modell for markedsverdien $x$ år etter 2000.

For hånd

Vil markedsverdien noen gang bli mer enn $20 000$ milliarder kroner ifølge modellen $g$ ?

Kalkulator + svaret på tidligere oppgave

I hvilket år vokste markedsverdien raskest ifølge modellen $g$ ?

En politiker mener en logistisk modell ikke er realistisk, siden det er rimelig å anta at verdien av fondet ikke vil stagnere i framtiden.

Kalkulator + svaret på tidligere oppgave

Foreslå en annen modell $h$ som du mener kan være rimelig å bruke for verdien av fondet, dersom antagelsen til politikeren legges til grunn.

Kalkulator + svaret på tidligere oppgave

Hvor mye raskere vil verdien av fondet øke per år i 2023 ifølge modellen $h$ sammenliknet med modellen $g$ ?

Fasit

$g (x) = \frac{20267}{1 + 42,35 \cdot e^{- 0,1978 x}}$

Ja, ifølge modellen vil verdien overstige $20 000$ milliarder kroner (rundt år 2041), men den nærmer seg asymptoten $K \approx 20 267$ og vil aldri overstige den.

Markedsverdien vokste raskest rundt år 2019 (ved $x \approx 18,9$ ).

$h (x) = 859,59 \cdot e^{0,1276 x}$ (eksponentiell modell)

$h^{'} (23) - g^{'} (23) \approx 𝟏𝟐𝟎𝟖$ milliarder kroner per år (h vokser ca. 1208 mrd. kr/år raskere enn g i 2023)

LøsningsforslagKI-generert

Logistisk og eksponentiell modell for oljefondet

Vi bruker de oppgitte dataene med $x$ = antall år etter 2000:

$x$	0	4	8	12	16	20	21
$y$	386	1016	2275	3816	7510	10914	12340

Vi tilpasser en logistisk modell på formen

g (x) = \frac{K}{1 + B \cdot e^{- r x}}

Regresjon (se GeoGebra) gir parametrene $K \approx 20267$ , $B \approx 42,35$ og $r \approx 0,1978$ , slik at

g (x) = \frac{20267}{1 + 42,35 \cdot e^{- 0,1978 x}}

Den blå kurven i figuren viser at modellen passer godt til datapunktene (røde).

Den logistiske funksjonen har horisontal asymptote $y = K \approx 20 267$ . Funksjonen nærmer seg denne asymptoten nedenfra, det vil si $g (x) < K$ for alle endelige $x$ .

Vi løser $g (x) = 20 000$ i CAS (se linje 3):

\frac{20267}{1 + 42,35 \cdot e^{- 0,1978 x}} = 20000 ⟹ x \approx 40,76

Det vil si rundt år $2000 + 41 \approx 𝟐𝟎𝟒𝟏$ .

Ifølge modellen vil markedsverdien overstige 20 000 milliarder kroner (omtrent i år 2041). Verdien vil derimot aldri overstige asymptoten $K \approx 20 267$ milliarder kroner.

CAS-beregninger for oppgave 1

Markedsverdien vokser raskest i vendepunktet til $g$ , der $g^{'} (x)$ er maksimal. For en logistisk funksjon ligger vendepunktet ved

x = \frac{\ln B}{r} = \frac{\ln (42,35)}{0,1978} \approx 18,94

CAS bekrefter vendepunktet (linje 4): $(18,94, 10133,5)$ .

2000 + 18,94 \approx 𝟐𝟎𝟏𝟗

Ifølge modellen $g$ vokste markedsverdien raskest rundt år 2019. Dette kan også leses av fra grafen der den blå kurven har størst stigningstall.

En politiker mener at verdien av fondet ikke vil stagnere. Da passer ikke en logistisk modell (som har en øvre grense). En eksponentiell modell forutsetter at prosentvis vekst per år er konstant, noe som er rimelig dersom fondet fortsetter å vokse uten tak.

Vi tilpasser modellen $h (x) = A \cdot e^{k x}$ til dataene og får

h (x) = 859,59 \cdot e^{0,1276 x}

Den oransje kurven i figuren viser at den eksponentielle modellen passer godt til dataene i perioden vi har observasjoner, men vil vokse ubegrenset fremover — i tråd med politikerens antagelse.

Vi beregner de deriverte i $x = 23$ (år 2023) ved hjelp av CAS (se linje 5 og 6):

g^{'} (23) \approx 856,4 milliarder kr/år

h^{'} (23) \approx 2064,0 milliarder kr/år

Differansen (linje 7):

h^{'} (23) - g^{'} (23) \approx 2064,0 - 856,4 \approx 1207,6 \approx 1208 milliarder kr/år

Ifølge modellen $h$ vil markedsverdien øke ca. 1208 milliarder kroner raskere per år i 2023 enn ifølge modellen $g$ . Eller sagt annerledes: $h$ vokser omtrent 2,4 ganger raskere enn $g$ dette året.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Temaer: Logistisk funksjon, Modellering, Regresjon, Økonomi
Kompetansemål: Modellere og analysere eksponentiell og logistisk vekst i reelle datasett
Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon og integrasjon
Egen side: Åpne oppgave 2-1 for seg selv

Oppgave 2-2Levetiden til lyspærer

Levetiden $T$ i timer til en tilfeldig lyspære av en bestemt type er en stokastisk variabel. Det viser seg at

P (T \leq t) = \int_{- \infty}^{t} f (x) d x

der tetthetsfunksjonen $f$ er gitt ved

f (t) = {\begin{matrix} k \cdot e^{- 0,005 t}, & t > 0 \\ 0, & t \leq 0 \end{matrix}

For hånd

Vis at $k = 0,005$ .

Kalkulator

Hva er sannsynligheten for at lyspærens levetid er mer enn 400 timer?

Forventningsverdien $μ$ til en kontinuerlig stokastisk variabel med tetthetsfunksjonen $f$ er gitt ved

μ = \int_{- \infty}^{\infty} x \cdot f (x) d x

Oppsett for hånd

Bestem forventningsverdien til $T$ .

Fasit

Løs likningen $\int_{0}^{\infty} k \cdot e^{- 0,005 t} d t = 1$

$\frac{1}{e^{2}}$

200

Løsningsforslag

Siden $f (t) = 0$ når $t \leq 0$ så vil

\int_{- \infty}^{0} f (t) d t = 0

Vi trenger derfor kun å bry oss tilfellet hvor $t > 0$ .

Vi vet at et krav til sannsynlighetsfordelinger er at summen av alle sannsynlighetene skal bli 1. For kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger har vi altså

\int_{- \infty}^{\infty} f (x) d x = 1

I vårt tilfelle ønsker vi altså å bestemme $k$ slik at den tilfredsstiller likningen

\int_{0}^{\infty} k \cdot e^{- 0,005 t} d t = 1

Vi kan løse denne i GeoGebra eller vi kan integrere for hånd:

\begin{matrix} {[\frac{k}{- 0.005} \cdot e^{- 0.005 t}]}_{0}^{\infty} & = 1 \\ (\frac{k}{- 0.005} \cdot 0) - (\frac{k}{- 0.005} \cdot 1) & = 1 \\ \frac{- k}{- 0.005} & = 1 \\ k & = 0.005 \end{matrix}

Jeg har vist at $k = 0,005$

Jeg kan bruke integralet av tetthetsfunksjonen til å beregne sannsynligheten. Sannsynligheten for at lyspæras levetid er mellom 0 og 400 timer er gitt ved

\int_{0}^{400} 0,005 \cdot e^{- 0,005 t} d t = 1 - \frac{1}{e^{2}}

Siden summen av sannsynlighetene for alle utfallene er 1 så kan vi finne sannsynligheten for at lyspæra varer mellom 400 og uendelig timer ved å ta

1 - (1 - \frac{1}{e^{2}}) = \frac{1}{e^{2}}

Sannsynligheten for at lyspæras levetid er mer enn 400 timer er $\frac{1}{e^{2}} \approx 0,135$ .

Jeg bruker uttrykket for forventningsverdi som står i oppgaveteksten og beregner ved hjelp av GeoGebra:

μ_{T} = \int_{0}^{\infty} t \cdot 0,005 \cdot e^{- 0,005 t} d t = 200

Forventningsverdien for $T$ er $μ_{T} = 200$ timer.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Temaer: Kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger, Forventningsverdi, Sannsynlighet, Integrasjon, Bevis
Kompetansemål: Forstå definisjonen av det bestemte integralet og anvende integralet til å analysere funksjoner
Forstå begrepene forventningsverdi, varians og standardavvik, og bruke disse størrelsene til å tolke stokastiske variabler
Egen side: Åpne oppgave 2-2 for seg selv

Oppgave 2-3Hypotesetest med terninger

Kalkulator

Sigrid har to terninger som hun syntes mistenkelig ofte gir seksere. Hun testet derfor de to terningene ved å kaste dem 100 ganger og telle opp antall ganger begge terningene gav seksere.

Det viste seg begge terningene gav seksere sju ganger.

Bruk det du har lært om hypotesetesting og sannsynlighet til å avgjøre om Sigrid kan ha grunn til mistanken. Synliggjør de forutsetningene du mener er nødvendige for utregningene dine.

Fasit

På 5 % signifikansnivå: $p -verdi \approx 2,17 % < 5 %$ — vi forkaster $H_{0}$ . Sigrid har grunn til mistanken.

På 1 % signifikansnivå: $p -verdi \approx 2,17 % > 1 %$ — vi beholder $H_{0}$ . Ikke nok bevis.

LøsningsforslagKI-generert

Forutsetninger

Vi legger til grunn to forutsetninger:

Hvert kast er uavhengig av de andre (det ene kastet påvirker ikke det neste).
Sannsynligheten for at begge terningene viser sekser i ett kast er $p_{0} = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{36}$ dersom terningene er rettferdige og uavhengige.

Hypoteser

H_{0} : p = \frac{1}{36} (terningene er rettferdige)

H_{1} : p > \frac{1}{36} (terningene gir doble seksere for ofte)

Dette er en ensidig test (vi tester kun om terningene gir for mange doble seksere).

Testobservator

La $X$ være antall kast der begge terningene viser sekser. Under $H_{0}$ er $X$ binomisk fordelt med $n = 100$ og $p = \frac{1}{36}$ .

Sigrid observerte $X = 7$ .

Beregning av p-verdi

P-verdien er sannsynligheten for å få minst like ekstremt resultat som observert, gitt at $H_{0}$ er sann:

p -verdi = P (X \geq 7) = \sum_{k = 7}^{100} (\binom{100}{k}) {(\frac{1}{36})}^{k} {(\frac{35}{36})}^{100 - k}

Vi beregner dette i GeoGebra CAS:

GeoGebra CAS – p-verdi for hypotesetest

Se P_verdi i linje 4: $P (X \geq 7) \approx 0,02174 \approx 2,17 %$ .

Konklusjon

På 5 % signifikansnivå:

p -verdi \approx 2,17 % < 5 %

P-verdien er lavere enn signifikansnivået, så vi forkaster $H_{0}$ . Resultatet er statistisk signifikant. Sigrid har grunn til å mistenke at terningene gir doble seksere for ofte.

På 1 % signifikansnivå:

p -verdi \approx 2,17 % > 1 %

P-verdien er høyere enn signifikansnivået, så vi beholder $H_{0}$ . Vi har ikke tilstrekkelig statistisk bevis. På 1 %-nivå er ikke resultatet signifikant.

Alternativ løsning med kalkulator (eksamen 2027)

Kalkulatoren har ingen binomisk fordeling, men formelen står i formelheftet. Med komplementregelen blir det bare sju ledd å summere:

P (X \geq 7) = 1 - P (X \leq 6) = 1 - \sum_{k = 0}^{6} (\binom{100}{k}) {(\frac{1}{36})}^{k} {(\frac{35}{36})}^{100 - k}

$k$	0	1	2	3	4	5	6
$P (X = k)$	0,0598	0,1708	0,2416	0,2255	0,1562	0,0857	0,0388

Summen er $P (X \leq 6) \approx 0,9783$ , og dermed

P (X \geq 7) \approx 1 - 0,9783 = 0,0217 = 2,17 %

Det er samme p-verdi som CAS gav, og konklusjonen blir den samme.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Temaer: Hypotesetest, Binomisk fordeling, Sannsynlighet
Kompetansemål: Simulere utfall i, utforske og tolke ulike statistiske fordelinger, og gi eksempler på reelle anvendelser av disse fordelingene
Gjennomføre hypotesetesting i reelle datasett og tolke resultatet
Egen side: Åpne oppgave 2-3 for seg selv

Oppgave 2-4Rente på avbetalingstilbud

Oppsett for hånd

Bjarne skal kjøpe et hjemmekinoanlegg. Anlegget koster $20 000$ kroner. Han velger å kjøpe det på avbetaling. Han må da betale $729$ kroner per måned i $36$ måneder. Første innbetaling er én måned etter kjøpsdatoen.

Bestem renten per måned for dette avbetalingstilbudet. Hva er årsrenten?

Fasit

Månedlig rente: $r \approx 1,549 %$

Effektiv årsrente: $\approx 20,26 %$

LøsningsforslagKI-generert

Et annuitetslån med terminbeløp $T$ , rente $r$ per termin og $n$ terminer har nåverdi

P V = T \cdot \frac{1 - {(1 + r)}^{- n}}{r}

Her er nåverdien lik kjøpsprisen $20 000 kr$ , terminbeløpet $T = 729 kr$ og antall terminer $n = 36$ måneder. Vi setter opp likningen og løser for den ukjente månedsrenten $r$ :

20 000 = 729 \cdot \frac{1 - {(1 + r)}^{- 36}}{r}

Vi løser likningen numerisk i CAS (se linje 1 i GeoGebra-utklippet):

GeoGebra CAS – rente på avbetalingstilbud

Fra linje 1 finner vi $r \approx 0,01549$ (den negative løsningen forkastes siden renten ikke kan være negativ).

Månedlig rente: $𝐫 \approx 𝟎,𝟎𝟏𝟓𝟒𝟗 \approx$ $1,549 %$ per måned.

Den effektive årsrenten beregnes ved å kompoundere månedsrenten over 12 måneder (se linje 2):

r_{år} = {(1 + r)}^{12} - 1 = {(1,01549)}^{12} - 1 \approx 0,2026

Effektiv årsrente: $\approx 20,26 %$

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Annuitetslån, Lån, Økonomi
Kompetansemål: Utforske egenskaper ved ulike rekker og gjøre rede for praktiske anvendelser av egenskaper ved rekker
Egen side: Åpne oppgave 2-4 for seg selv

Oppgave 2-5Hanois tårn

Spillet «Hanois tårn» består av tre pinner og en mengde disker med ulik radius som skal tres på pinnene.

Når spillet starter, skal alle diskene være plassert på samme pinne. Ingen av diskene skal ha en større disk liggende oppå seg.

Målet er å flytte alle diskene over på én av de to ledige pinnene. Det er bare lov å flytte én disk av gangen. Diskene som ikke flyttes, må ligge på en pinne. Det er aldri lov å plassere en større disk oppå en mindre disk.

Det minste antallet forflytninger du må gjøre for å flytte $n$ disker kaller vi $F (n)$ .

For hånd

Bestem $F (3)$ .

Hanois tårn: tre disker skal flyttes fra venstre til høyre pinne

Det er en rekursiv sammenheng mellom $F (n)$ og $F (n - 1)$ .

For hånd

Bestem den rekursive sammenhengen. Bruk denne til å bestemme $F (10)$ .

Hanois tårn med ti disker på venstre pinne

Det finnes også en eksplisitt formel for $F$ .

For hånd

Undersøk og finn denne formelen.

Fasit

$F (3) = 7$

$F (n) = 2 \cdot F (n - 1) + 1$ , $F (10) = 1023$

$F (n) = 2^{n} - 1$

LøsningsforslagKI-generert

Vi skal flytte 3 disker fra venstre pinne til høyre pinne. Kall pinnene A (venstre), B (midtre) og C (høyre), og diskene 1 (minst), 2 (mellom) og 3 (størst).

Strategien er: flytt de to øverste diskene til midtpinnen, flytt den største til høyre, og flytt de to øverste tilbake.

Disk 1: A → C
Disk 2: A → B
Disk 1: C → B
Disk 3: A → C
Disk 1: B → A
Disk 2: B → C
Disk 1: A → C

Det er altså $3 + 1 + 3 = 7$ trekk, og vi kan ikke gjøre det på færre.

𝐅 (𝟑) = 𝟕

For å flytte $n$ disker fra pinne A til pinne C bruker vi denne strategien:

Flytt de øverste $n - 1$ diskene fra A til B. Det krever $F (n - 1)$ trekk.
Flytt den største disken fra A til C. Det er $1$ trekk.
Flytt de $n - 1$ diskene fra B til C. Det krever igjen $F (n - 1)$ trekk.

Den rekursive sammenhengen er:

F (n) = F (n - 1) + 1 + F (n - 1) = 2 \cdot F (n - 1) + 1

med startverdien $F (1) = 1$ .

Vi bygger opp tabellen:

$n$	$F (n) = 2 \cdot F (n - 1) + 1$
1	$1$
2	$2 \cdot 1 + 1 = 3$
3	$2 \cdot 3 + 1 = 7$
4	$2 \cdot 7 + 1 = 15$
5	$2 \cdot 15 + 1 = 31$
6	$2 \cdot 31 + 1 = 63$
7	$2 \cdot 63 + 1 = 127$
8	$2 \cdot 127 + 1 = 255$
9	$2 \cdot 255 + 1 = 511$
10	$2 \cdot 511 + 1 = 1023$

𝐅 (𝟏𝟎) = 𝟏𝟎𝟐𝟑

Fra tabellen i b) ser vi at verdiene er $1, 3, 7, 15, 31, \dots$ Vi legger merke til at disse er $2^{1} - 1, 2^{2} - 1, 2^{3} - 1, 2^{4} - 1, 2^{5} - 1, \dots$

Vi gjetter at den eksplisitte formelen er:

F (n) = 2^{n} - 1

Verifisering: Vi setter inn i rekursjonen og sjekker at formelen stemmer:

2 \cdot F (n - 1) + 1 = 2 \cdot (2^{n - 1} - 1) + 1 = 2^{n} - 2 + 1 = 2^{n} - 1 = F (n) ✓

Formelen er altså konsistent med rekursjonen. Kombinert med startverdien $F (1) = 2^{1} - 1 = 1$ gir dette:

𝐅 (𝐧) = 𝟐^{𝐧} - 𝟏

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Temaer: Rekursiv sammenheng, Utforskning, Mønstre
Kompetansemål: Utforske rekursive sammenhenger ved å bruke programmering og presentere egne framgangsmåter
Egen side: Åpne oppgave 2-5 for seg selv

Oppgave 2-6Simuler sannsynlighet for høyde over 175 cm

Oppsett for hånd

På en skole er det 323 jenter og 301 gutter. La $X$ være høyden til en tilfeldig valgt jente og $Y$ være høyden til en tilfeldig valgt gutt. Vi antar at $X$ og $Y$ er normalfordelte med $μ_{X} = 168 cm$ , $μ_{Y} = 180 cm$ , $σ_{X} = 6 cm$ og $σ_{Y} = 8 cm$ .

Lag et program som du kan bruke til å simulere sannsynligheten for at en tilfeldig valgt elev er høyere enn 175 cm. Bestem denne sannsynligheten.

Programmeringshjelp

Denne hjelpen ble ikke gitt i oppgaveteksten! For å trekke ut en tilfeldig normalfordelt elev så må du bruke et ekstern bibliotek som numpy eller random. Med import random kan du bruke følgende kode lagre høyden til én tilfeldig jenteelev som X: 👇
X = random.gauss(168, 6)

Fasit

Omtrent 41,6 %

Løsningsforslag

import numpy as np
import random

n_x = 323
n_y = 301
mu_x = 168
mu_y = 180
s_x = 6
s_y = 8
grense = 175
antall_simuleringer = 10000

antall_gunstige = 0

# trekk antall_simuleringer elever
for i in range(antall_simuleringer):
    # Vi trekker en tilfeldig elev, men vi må finne ut om
    # eleven er gutt eller jente.
    # Det er 301 gutter. Hvis vi trekker et tilfeldig tall mellom
    # 1 og 301+323=624 så kan vi si at dersom tallet er mindre enn
    # eller lik 301, så er det en gutt.
    if (random.randint(1, n_x + n_y) <= n_y):
        # Her har vi altså trukket en gutt og vi trekker en tilfeldig gutt
        # fra en normalfordeling
        hoyde = np.random.normal(mu_y, s_y)
    else:
        # ellers har vi trukket ei jente
        hoyde = np.random.normal(mu_x, s_x)

    if (hoyde > grense):
        antall_gunstige += 1

print(f"Sannsynligheten for å trekke en tilfeldig eleve over 175 cm er "
      f"estimert til {(antall_gunstige / antall_simuleringer) * 100:.1f} "
      f"med {antall_simuleringer} simuleringer")

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Temaer: Programmering, Simulering, Sannsynlighet, Normalfordeling
Kompetansemål: Argumentere for sentralgrensesetningen og utforske og tolke praktiske situasjoner ved hjelp av normalfordelingen
Simulere utfall i, utforske og tolke ulike statistiske fordelinger, og gi eksempler på reelle anvendelser av disse fordelingene
Utforske rekursive sammenhenger ved å bruke programmering og presentere egne framgangsmåter
Egen side: Åpne oppgave 2-6 for seg selv

Del 1uten hjelpemidler · 2 timer · 8 oppgaver

Oppgave 1-1a·Bestemt integral

Oppgave 1-1b·Ubestemt integral

Oppgave 1-2·Aritmetisk mur

Oppgave 1-3·Summen av ukjent uendelig geometrisk rekke

1-3

Om oppgaveteksten

Oppgavetekst

Løsningsforslag

Alternativ løsning

Oppgave 1-4·Forventningsverdi og varians fra diskret sannsynlighetsfordeling

Oppgave 1-5·Bestem forventningsverdi og standardavvik fra prosenter

Oppgave 1-6·Argumenter for hvorfor sette grensekostnad lik grenseinntekt

Oppgave 1-7·Ukjent programkode

Del 2alle hjelpemidler · 3 timer · 6 oppgaver

Oppgave 2-1·Logistisk modell for oljefondet

Oppgave 2-2·Levetiden til lyspærer

Oppgave 2-3·Hypotesetest med terninger

Forutsetninger

Hypoteser

Testobservator

Beregning av p-verdi

Konklusjon

Oppgave 2-4·Rente på avbetalingstilbud

Oppgave 2-5·Hanois tårn

Oppgave 2-6·Simuler sannsynlighet for høyde over 175 cm

Temaer

Oppgave 1-1aBestemt integral

Oppgave 1-1bUbestemt integral

Oppgave 1-2Aritmetisk mur

Oppgave 1-3Summen av ukjent uendelig geometrisk rekke

Oppgave 1-4Forventningsverdi og varians fra diskret sannsynlighetsfordeling

Oppgave 1-5Bestem forventningsverdi og standardavvik fra prosenter

Oppgave 1-6Argumenter for hvorfor sette grensekostnad lik grenseinntekt

Oppgave 1-7Ukjent programkode

Oppgave 2-1Logistisk modell for oljefondet

Oppgave 2-2Levetiden til lyspærer

Oppgave 2-3Hypotesetest med terninger

Oppgave 2-4Rente på avbetalingstilbud

Oppgave 2-5Hanois tårn

Oppgave 2-6Simuler sannsynlighet for høyde over 175 cm