Forstå definisjonen av det bestemte integralet og anvende integralet til å analysere funksjoner
Oppgave 1-1b:Ubestemt integral
Regn ut integralet
∫4xx2+2dxOppgavedata
Kategori
1
Vanskegrad
2
Temaer
Integrasjon, Substitusjon
Kompetansemål
Forstå definisjonen av det bestemte integralet og anvende integralet til å analysere funksjoner
Oppgave 1-2:Aritmetisk mur
a)
Forklar hva det vil si at en rekke a1+a2+⋯+an er aritmetisk.
b)
En murer skal lage en mur slik figuren viser. Bruk teorien om rekker til å bestemme hvor mange murstein mureren trenger, når han vet at det er totalt 20 rader med murstein.
Fasit
a)
–
b)
210
LøsningsforslagKI-generert
a)
En rekke a1+a2+⋯+an er aritmetisk dersom differansen mellom to etterfølgende ledd er konstant, det vil si at
ak+1−ak=dfor alle k
der d kalles den konstante differansen. Ledd nummer n kan da skrives som
an=a1+(n−1)⋅d
Summen av de n første leddene er
Sn=2a1+an⋅nb)
Fra figuren ser vi at øverste rad har 1 murstein, neste rad har 2, og slik fortsetter det slik at rad nummer k har k murstein. Med 20 rader får vi rekken
1+2+3+⋯+20
Dette er en aritmetisk rekke med a1=1, d=1 og n=20.
Utforske egenskaper ved ulike rekker og gjøre rede for praktiske anvendelser av egenskaper ved rekker
Oppgave 1-3:Summen av ukjent uendelig geometrisk rekke
Summen av en uendelig geometrisk rekke konvergerer mot 6.
Summen av tre første leddene er 938 .
Bestem summen av de fire første leddene.
Løsningsforslag
1-3
Om oppgaveteksten
Denne oppgaven finnes i to ulike varianter (sannsynligvis på grunn av en skrivefeil i løsningsforslag eller oppgavesettet. Den ene varianten sier at summen av de tre første leddene er 38/9, mens den andre varianten sier at summen av de seks første leddene er 38/9. Løsningsmetoden min vil fungere uansett hvilken variant man tenker seg, men det er nok lurt å heller formel for sum av geometrisk rekke (sn=a1k−1kn−1) enn min framgangsmåte dersom man får oppgitt summen av et høyt antall ledd. Min metode er enkel når du bare trenger å tenke på 3 ledd, men skal du ta hensyn til 100 så må du regne mye!
Oppgavetekst
Summen av en uendelig geometrisk rekke konvergerer mot 6.
Sum av tre første ledd er 38/9
Hva er sum av de fire første?
Løsningsforslag
Jeg kaller første ledd i rekka for x. Vet da at de tre første leddene må være:
x+xk+xk2=938
Som kan faktoriseres til
x(1+k+k2)=938
Summen for uendelig geometrisk rekke gir:
1−kx=6
Løser den likningen for x og setter inn i uttrykket for sum av 3 første ledd
Det vil si: et maksimum for overskuddet krever at grenseinntekten er lik grensekostnaden.
Intuitiv forklaring:
Hvis I′(x)>K′(x): den siste produserte enheten gir mer i inntekt enn den koster å produsere. Da lønner det seg å produsere én enhet til — overskuddet øker.
Hvis I′(x)<K′(x): den siste produserte enheten koster mer enn den innbringer. Da ville det vært bedre å produsere én enhet mindre — overskuddet øker ved å redusere produksjonen.
Først når I′(x)=K′(x) er det ikke mulig å øke overskuddet ved å endre produksjonsmengden.
Merk:O′(x)=0 er en nødvendig betingelse, men ikke tilstrekkelig for maksimum. Vi må i tillegg kontrollere at det faktisk er et maksimum og ikke et minimum eller vendepunkt — for eksempel ved å sjekke at O′′(x)<0, eller ved en fortegnsdrøfting av O′(x).
Oppgavedata
Kategori
3
Vanskegrad
2
Temaer
Grenseinntekt og grensekostnad, Økonomi, Argumentasjon
Kompetansemål
Finne grensekostnader og grenseinntekter i økonomiske modeller, og gjøre rede for betydningen av disse størrelsene
Oppgave 1-7:Ukjent programkode
En elev har skrevet følgende kode
from math import sqrt # importerer kvadratrotfunksjona = 0b = 2n = 10000def f(x): return x**2 + 2I = 0h = (b - a)/nfor i in range(n): I = I + f(a + i*h)*hprint(round(I,3))
a)
Forklar hva eleven ønsker å regne ut.
b)
Hva blir det eksakte svaret på oppgaven eleven ønsker å løse?
Fasit
a)
Eleven ønsker å beregne en tilnærmingsverdi for dette integralet ∫02(x2+2)dx
b)
320
LøsningsforslagKI-generert
a)
Programmet beregner en tilnærmingsverdi for integralet ∫02(x2+2)dx ved hjelp av rektangelmetoden (venstre Riemann-sum).
Variablene a = 0 og b = 2 angir integrasjonsgrensene, og n = 10000 er antall rektangler. Funksjonen f(x) = x² + 2 er integranden.
Bredden på hvert rektangel er
h=nb−a=100002−0=0,0002
Summen beregnes i løkken ved å legge til arealet av hvert rektangel:
I≈i=0∑n−1f(a+i⋅h)⋅h
Det vil si at høyden på rektangel i er funksjonsverdien i venstre kant av intervallet, f(a+i⋅h), og arealet er f(a+i⋅h)⋅h.
Eleven ønsker å beregne ∫02(x2+2)dx ved rektangelmetoden (venstre Riemann-sum) med n=10000 rektangler.
b)
Vi beregner integralet eksakt ved å finne en antiderivert av f(x)=x2+2:
Utforske rekursive sammenhenger ved å bruke programmering og presentere egne framgangsmåter
Del 2
— med hjelpemidler · 3 timer · 6 oppgaver
Oppgave 2-1:Logistisk modell for oljefondet
Tabellen nedenfor viser markedsverdien til Statens pensjonsfond utland, «Oljefondet», for noen år.
År
2000
2004
2008
2012
2016
2020
2021
Markedsverdi (milliarder kroner)
386
1016
2275
3816
7510
10914
12340
a)
Lag en logistisk funksjon g som gir oss en god modell for markedsverdien x år etter 2000.
b)
Vil markedsverdien noen gang bli mer enn 20000 milliarder kroner ifølge modellen g?
c)
I hvilket år vokste markedsverdien raskest ifølge modellen g?
En politiker mener en logistisk modell ikke er realistisk, siden det er rimelig å anta at verdien av fondet ikke vil stagnere i framtiden.
d)
Foreslå en annen modell h som du mener kan være rimelig å bruke for verdien av fondet, dersom antagelsen til politikeren legges til grunn.
e)
Hvor mye raskere vil verdien av fondet øke per år i 2023 ifølge modellen h sammenliknet med modellen g?
Fasit
a)
g(x)=1+42,35⋅e−0,1978x20267
b)
Ja, ifølge modellen vil verdien overstige 20000 milliarder kroner (rundt år 2041), men den nærmer seg asymptoten K≈20267 og vil aldri overstige den.
c)
Markedsverdien vokste raskest rundt år 2019 (ved x≈18,9).
d)
h(x)=859,59⋅e0,1276x (eksponentiell modell)
e)
h′(23)−g′(23)≈1208milliarder kroner per år (h vokser ca. 1208 mrd. kr/år raskere enn g i 2023)
LøsningsforslagKI-generert
a)
Vi bruker de oppgitte dataene med x = antall år etter 2000:
x
0
4
8
12
16
20
21
y
386
1016
2275
3816
7510
10914
12340
Vi tilpasser en logistisk modell på formen
g(x)=1+B⋅e−rxK
Regresjon (se GeoGebra) gir parametrene K≈20267, B≈42,35 og r≈0,1978, slik at
g(x)=1+42,35⋅e−0,1978x20267
Den blå kurven i figuren viser at modellen passer godt til datapunktene (røde).
b)
Den logistiske funksjonen har horisontal asymptote y=K≈20267. Funksjonen nærmer seg denne asymptoten nedenfra, det vil si g(x)<K for alle endelige x.
Vi løser g(x)=20000 i CAS (se linje 3):
1+42,35⋅e−0,1978x20267=20000⟹x≈40,76
Det vil si rundt år 2000+41≈2041.
Ifølge modellen vil markedsverdien overstige 20 000 milliarder kroner (omtrent i år 2041). Verdien vil derimot aldri overstige asymptoten K≈20267 milliarder kroner.
c)
Markedsverdien vokser raskest i vendepunktet til g, der g′(x) er maksimal. For en logistisk funksjon ligger vendepunktet ved
x=rlnB=0,1978ln(42,35)≈18,94
CAS bekrefter vendepunktet (linje 4): (18,94,10133,5).
2000+18,94≈2019
Ifølge modellen g vokste markedsverdien raskest rundt år 2019. Dette kan også leses av fra grafen der den blå kurven har størst stigningstall.
d)
En politiker mener at verdien av fondet ikke vil stagnere. Da passer ikke en logistisk modell (som har en øvre grense). En eksponentiell modell forutsetter at prosentvis vekst per år er konstant, noe som er rimelig dersom fondet fortsetter å vokse uten tak.
Vi tilpasser modellen h(x)=A⋅ekx til dataene og får
h(x)=859,59⋅e0,1276x
Den oransje kurven i figuren viser at den eksponentielle modellen passer godt til dataene i perioden vi har observasjoner, men vil vokse ubegrenset fremover — i tråd med politikerens antagelse.
e)
Vi beregner de deriverte i x=23 (år 2023) ved hjelp av CAS (se linje 5 og 6):
Ifølge modellen h vil markedsverdien øke ca. 1208 milliarder kroner raskere per år i 2023 enn ifølge modellen g. Eller sagt annerledes: h vokser omtrent 2,4 ganger raskere enn g dette året.
Modellere og analysere eksponentiell og logistisk vekst i reelle datasett
Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon og integrasjon
Oppgave 2-2:Levetiden til lyspærer
Levetiden T i timer til en tilfeldig lyspære av en bestemt type er en stokastisk variabel. Det viser seg at
P(T≤t)=∫−∞tf(x)dx
der tetthetsfunksjonen f er gitt ved
f(t)={k⋅e−0,005t,0,t>0t≤0a)
Vis at k=0,005.
b)
Hva er sannsynligheten for at lyspærens levetid er mer enn 400 timer?
Forventningsverdien μ til en kontinuerlig stokastisk variabel med tetthetsfunksjonen f er gitt ved
μ=∫−∞∞x⋅f(x)dxc)
Bestem forventningsverdien til T.
Fasit
a)
Løs likningen ∫0∞k⋅e−0,005tdt=1
b)
e21
c)
200
Løsningsforslag
a)
Siden f(t)=0 når t≤0 så vil
∫−∞0f(t)dt=0
Vi trenger derfor kun å bry oss tilfellet hvor t>0.
Vi vet at et krav til sannsynlighetsfordelinger er at summen av alle sannsynlighetene skal bli 1. For kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger har vi altså
∫−∞∞f(x)dx=1
I vårt tilfelle ønsker vi altså å bestemme k slik at den tilfredsstiller likningen
∫0∞k⋅e−0,005tdt=1
Vi kan løse denne i GeoGebra eller vi kan integrere for hånd:
Jeg kan bruke integralet av tetthetsfunksjonen til å beregne sannsynligheten. Sannsynligheten for at lyspæras levetid er mellom 0 og 400 timer er gitt ved
∫04000,005⋅e−0,005tdt=1−e21
Siden summen av sannsynlighetene for alle utfallene er 1 så kan vi finne sannsynligheten for at lyspæra varer mellom 400 og uendelig timer ved å ta
1−(1−e21)=e21
Sannsynligheten for at lyspæras levetid er mer enn 400 timer er e21≈0,135.
c)
Jeg bruker uttrykket for forventningsverdi som står i oppgaveteksten og beregner ved hjelp av GeoGebra:
Forstå definisjonen av det bestemte integralet og anvende integralet til å analysere funksjoner
Forstå begrepene forventningsverdi, varians og standardavvik, og bruke disse størrelsene til å tolke stokastiske variabler
Oppgave 2-3:Hypotesetest med terninger
Sigrid har to terninger som hun syntes mistenkelig ofte gir seksere. Hun testet derfor de to terningene ved å kaste dem 100 ganger og telle opp antall ganger begge terningene gav seksere.
Det viste seg begge terningene gav seksere sju ganger.
Bruk det du har lært om hypotesetesting og sannsynlighet til å avgjøre om Sigrid kan ha grunn til mistanken. Synliggjør de forutsetningene du mener er nødvendige for utregningene dine.
Fasit
På 5 % signifikansnivå: p-verdi≈2,17%<5% — vi forkaster H0. Sigrid har grunn til mistanken.
På 1 % signifikansnivå: p-verdi≈2,17%>1% — vi beholder H0. Ikke nok bevis.
LøsningsforslagKI-generert
Forutsetninger
Vi legger til grunn to forutsetninger:
Hvert kast er uavhengig av de andre (det ene kastet påvirker ikke det neste).
Sannsynligheten for at begge terningene viser sekser i ett kast er p0=61⋅61=361 dersom terningene er rettferdige og uavhengige.
Hypoteser
H0:p=361(terningene er rettferdige)H1:p>361(terningene gir doble seksere for ofte)
Dette er en ensidig test (vi tester kun om terningene gir for mange doble seksere).
Testobservator
La X være antall kast der begge terningene viser sekser. Under H0 er X binomisk fordelt med n=100 og p=361.
Sigrid observerte X=7.
Beregning av p-verdi
P-verdien er sannsynligheten for å få minst like ekstremt resultat som observert, gitt at H0 er sann:
p-verdi=P(X≥7)=k=7∑100(k100)(361)k(3635)100−k
Vi beregner dette i GeoGebra CAS:
Se P_verdi i linje 4: P(X≥7)≈0,02174≈2,17%.
Konklusjon
På 5 % signifikansnivå:
p-verdi≈2,17%<5%
P-verdien er lavere enn signifikansnivået, så vi forkaster H0. Resultatet er statistisk signifikant. Sigrid har grunn til å mistenke at terningene gir doble seksere for ofte.
På 1 % signifikansnivå:
p-verdi≈2,17%>1%
P-verdien er høyere enn signifikansnivået, så vi beholder H0. Vi har ikke tilstrekkelig statistisk bevis. På 1 %-nivå er ikke resultatet signifikant.
Oppgavedata
Kategori
3
Vanskegrad
3
Temaer
Hypotesetest, Binomisk fordeling, Sannsynlighet
Kompetansemål
Simulere utfall i, utforske og tolke ulike statistiske fordelinger, og gi eksempler på reelle anvendelser av disse fordelingene
Gjennomføre hypotesetesting i reelle datasett og tolke resultatet
Oppgave 2-4:Rente på avbetalingstilbud
Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.
Bjarne skal kjøpe et hjemmekinoanlegg. Anlegget koster 20000 kroner. Han velger å kjøpe det på avbetaling. Han må da betale 729 kroner per måned i 36 måneder. Første innbetaling er én måned etter kjøpsdatoen.
Bestem renten per måned for dette avbetalingstilbudet. Hva er årsrenten?
Fasit
Månedlig rente: r≈1,549%
Effektiv årsrente: ≈20,26%
LøsningsforslagKI-generert
Et annuitetslån med terminbeløp T, rente r per termin og n terminer har nåverdi
PV=T⋅r1−(1+r)−n
Her er nåverdien lik kjøpsprisen 20000kr, terminbeløpet T=729kr og antall terminer n=36 måneder. Vi setter opp likningen og løser for den ukjente månedsrenten r:
20000=729⋅r1−(1+r)−36
Vi løser likningen numerisk i CAS (se linje 1 i GeoGebra-utklippet):
Fra linje 1 finner vi r≈0,01549 (den negative løsningen forkastes siden renten ikke kan være negativ).
Månedlig rente:r≈0,01549≈1,549% per måned.
Den effektive årsrenten beregnes ved å kompoundere månedsrenten over 12 måneder (se linje 2):
ra˚r=(1+r)12−1=(1,01549)12−1≈0,2026
Effektiv årsrente:≈20,26%
Oppgavedata
Kategori
2
Vanskegrad
2
Temaer
Annuitetslån, Lån, Økonomi
Kompetansemål
Utforske egenskaper ved ulike rekker og gjøre rede for praktiske anvendelser av egenskaper ved rekker
Oppgave 2-5:Hanois tårn
Spillet «Hanois tårn» består av tre pinner og en mengde disker med ulik radius som skal tres på pinnene.
Når spillet starter, skal alle diskene være plassert på samme pinne. Ingen av diskene skal ha en større disk liggende oppå seg.
Målet er å flytte alle diskene over på én av de to ledige pinnene. Det er bare lov å flytte én disk av gangen. Diskene som ikke flyttes, må ligge på en pinne. Det er aldri lov å plassere en større disk oppå en mindre disk.
Det minste antallet forflytninger du må gjøre for å flytte n disker kaller vi F(n).
a)
Bestem F(3).
Det er en rekursiv sammenheng mellom F(n) og F(n−1).
b)
Bestem den rekursive sammenhengen. Bruk denne til å bestemme F(10).
Det finnes også en eksplisitt formel for F.
c)
Undersøk og finn denne formelen.
Fasit
a)
F(3)=7
b)
F(n)=2⋅F(n−1)+1, F(10)=1023
c)
F(n)=2n−1
LøsningsforslagKI-generert
a)
Vi skal flytte 3 disker fra venstre pinne til høyre pinne. Kall pinnene A (venstre), B (midtre) og C (høyre), og diskene 1 (minst), 2 (mellom) og 3 (størst).
Strategien er: flytt de to øverste diskene til midtpinnen, flytt den største til høyre, og flytt de to øverste tilbake.
Disk 1: A → C
Disk 2: A → B
Disk 1: C → B
Disk 3: A → C
Disk 1: B → A
Disk 2: B → C
Disk 1: A → C
Det er altså 3+1+3=7 trekk, og vi kan ikke gjøre det på færre.
F(3)=7b)
For å flytte n disker fra pinne A til pinne C bruker vi denne strategien:
Flytt de øverste n−1 diskene fra A til B. Det krever F(n−1) trekk.
Flytt den største disken fra A til C. Det er 1 trekk.
Flytt de n−1 diskene fra B til C. Det krever igjen F(n−1) trekk.
Den rekursive sammenhengen er:
F(n)=F(n−1)+1+F(n−1)=2⋅F(n−1)+1
med startverdien F(1)=1.
Vi bygger opp tabellen:
n
F(n)=2⋅F(n−1)+1
1
1
2
2⋅1+1=3
3
2⋅3+1=7
4
2⋅7+1=15
5
2⋅15+1=31
6
2⋅31+1=63
7
2⋅63+1=127
8
2⋅127+1=255
9
2⋅255+1=511
10
2⋅511+1=1023
F(10)=1023c)
Fra tabellen i b) ser vi at verdiene er 1,3,7,15,31,… Vi legger merke til at disse er 21−1,22−1,23−1,24−1,25−1,…
Vi gjetter at den eksplisitte formelen er:
F(n)=2n−1
Verifisering: Vi setter inn i rekursjonen og sjekker at formelen stemmer:
2⋅F(n−1)+1=2⋅(2n−1−1)+1=2n−2+1=2n−1=F(n)✓
Formelen er altså konsistent med rekursjonen. Kombinert med startverdien F(1)=21−1=1 gir dette:
Utforske rekursive sammenhenger ved å bruke programmering og presentere egne framgangsmåter
Oppgave 2-6:Simuler sannsynlighet for høyde over 175 cm
På en skole er det 323 jenter og 301 gutter. La X være høyden til en tilfeldig valgt jente og Y være høyden til en tilfeldig valgt gutt. Vi antar at X og Y er normalfordelte med μX=168cm, μY=180cm, σX=6cm og σY=8cm.
Lag et program som du kan bruke til å simulere sannsynligheten for at en tilfeldig valgt elev er høyere enn 175 cm. Bestem denne sannsynligheten.
Programmeringshjelp
Denne hjelpen ble ikke gitt i oppgaveteksten!
For å trekke ut en tilfeldig normalfordelt elev så må du bruke et ekstern bibliotek som numpy eller random. Med import random kan du bruke følgende kode lagre høyden til én tilfeldig jenteelev som X: 👇 X = random.gauss(168, 6)
Fasit
Omtrent 41,6 %
Løsningsforslag
import numpy as npimport randomn_x = 323n_y = 301mu_x = 168mu_y = 180s_x = 6s_y = 8grense = 175antall_simuleringer = 10000antall_gunstige = 0# trekk antall_simuleringer eleverfor i in range(antall_simuleringer): # Vi trekker en tilfeldig elev, men vi må finne ut om # eleven er gutt eller jente. # Det er 301 gutter. Hvis vi trekker et tilfeldig tall mellom # 1 og 301+323=624 så kan vi si at dersom tallet er mindre enn # eller lik 301, så er det en gutt. if (random.randint(1, n_x + n_y) <= n_y): # Her har vi altså trukket en gutt og vi trekker en tilfeldig gutt # fra en normalfordeling hoyde = np.random.normal(mu_y, s_y) else: # ellers har vi trukket ei jente hoyde = np.random.normal(mu_x, s_x) if (hoyde > grense): antall_gunstige += 1print(f"Sannsynligheten for å trekke en tilfeldig eleve over 175 cm er " f"estimert til {(antall_gunstige / antall_simuleringer) * 100:.1f} " f"med {antall_simuleringer} simuleringer")
