Forventningsverdi og varians fra diskret sannsynlighetsfordeling

Del 1 · oppgave 4
Mine oppgaver
Verktøy

Sync på tvers av enheter

Forventningsverdi og varians fra diskret sannsynlighetsfordeling

En sannsynlighetsfordeling er gitt ved tabellen nedenfor.

xx0123
P(X=x)P(X=x)0,20{,}2kk2k2k5k5k

Forklar hvorfor kk må være 0,1. Bestem forventningsverdien E(X)\text{E}(X).

Bestem variansen Var(X)\text{Var}(X)

Fasit

E(X)=2E(X)=2

Var(X)=1,4Var(X)=1{,}4

Løsningsforslag

Summen av sannsynlighetene for alle utfallene skal være 1. Vi har dermed at

0,2+k+2k+5k=18k=0,8k=0,1\begin{aligned} 0{,}2+k+2k+5k&=1\\ 8k&=0{,}8\\ k&=0{,}1 \end{aligned}

Forventningsverdien er gitt ved

∑x⋅P(X=x)=0+1⋅0,1+2⋅0,2+3⋅0,5=2,0\sum x \cdot P(X=x)=0+1\cdot 0{,}1 + 2\cdot 0{,}2 + 3 \cdot 0,5=2{,}0

kk må være lik 0,1 og forventningsverdien E(X)=2\text{E}(X)=2.

Variansen til XX er gitt ved

Var(X)=∑i=1n(xi−μ)2⋅P(X=x)Var(X)=\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-\mu)^{2} \cdot P(X=x)

Dette er enklest å regne ut ved å bruke sannsynlighetsfordelingen:

xx0123
P(X=x)P(X=x)0,20{,}20,10{,}10,20{,}20,50{,}5
(xi−μ)2(x_{i}-\mu)^{2}(0−2)2=4(0-2)^{2}=4(1−2)2=1(1-2)^{2}=1(2−2)2=0(2-2)^{2}=0(3−2)2=1(3-2)^{2}=1
(xi−μ)2⋅P(X=x)(x_{i}-\mu)^{2} \cdot P(X=x)4⋅0,2=0,84 \cdot 0{,}2 = 0{,}81⋅0,1=0,11 \cdot 0{,}1=0{,}1001⋅0,5=0,51 \cdot 0{,}5=0{,}5

Summen av kvadratavvikene er 1,4.

Variansen Var(X)=1,4‾‾\underline{\underline{\text{Var}(X)=1{,}4}}.

Oppgavedata
Hentet fra
S2 E2022, del 1, oppgave 4
Kategori
1
Vanskegrad
1
Temaer
sannsynlighet, forventningsverdi, varians, diskrete sannsynlighetsfordelinger
Kompetansemål
  • Forstå begrepene forventningsverdi, varians og standardavvik, og bruke disse størrelsene til å tolke stokastiske variabler