Levetiden til lyspærer

Levetiden $T$ i timer til en tilfeldig lyspære av en bestemt type er en stokastisk variabel. Det viser seg at

P(T\leq t)= \int_{-\infty}^{t} f(x) \, \mathrm{d}x

der tetthetsfunksjonen $f$ er gitt ved

f(t)=\begin{cases} k\cdot e^{-0{,}005t}\text{,} \quad & t>0 \\ 0\text{,} & t\leq 0 \end{cases}

Vis at $k=0{,}005$ .

Hva er sannsynligheten for at lyspærens levetid er mer enn 400 timer?

Forventningsverdien $\mu$ til en kontinuerlig stokastisk variabel med tetthetsfunksjonen $f$ er gitt ved

\mu=\int_{-\infty}^{\infty} x\cdot f(x) \, \mathrm{d}x

Bestem forventningsverdien til $T$ .

Fasit

Løs likningen $\int_{0}^{\infty} k\cdot e^{-0{,}005t} \, dt=1$

$\frac{1}{e^{2}}$

200

Løsningsforslag

Siden $f(t)=0$ når $t\leq 0$ så vil

\int_{- \infty}^{0} f(t) \, dt =0

Vi trenger derfor kun å bry oss tilfellet hvor $t>0$ .

Vi vet at et krav til sannsynlighetsfordelinger er at summen av alle sannsynlighetene skal bli 1. For kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger har vi altså

\int_{- \infty}^{\infty} f(x) \, dx =1

I vårt tilfelle ønsker vi altså å bestemme $k$ slik at den tilfredsstiller likningen

\int_{0}^{\infty} k \cdot e^{-0{,}005t} \, dt = 1

Vi kan løse denne i GeoGebra eller vi kan integrere for hånd:

\begin{aligned} \left[ \frac{k}{-0.005} \cdot e^{-0.005t} \right]_{0}^{\infty}&=1 \\ \left( \frac{k}{-0.005} \cdot 0 \right)-\left( \frac{k}{-0.005} \cdot 1 \right) &= 1\\ \frac{-k}{-0.005}&=1\\ k&=0.005 \end{aligned}

Jeg har vist at $k=0{,}005$

Jeg kan bruke integralet av tetthetsfunksjonen til å beregne sannsynligheten. Sannsynligheten for at lyspæras levetid er mellom 0 og 400 timer er gitt ved

\int_{0}^{400} 0{,}005 \cdot e^{-0{,}005t} \, dt = 1-\frac{1}{e^{2}}

Siden summen av sannsynlighetene for alle utfallene er 1 så kan vi finne sannsynligheten for at lyspæra varer mellom 400 og uendelig timer ved å ta

1-\left( 1-\frac{1}{e^{2}} \right)=\frac{1}{e^2}

Sannsynligheten for at lyspæras levetid er mer enn 400 timer er $\frac{1}{e^{2}} \approx 0{,}135$ .

Jeg bruker uttrykket for forventningsverdi som står i oppgaveteksten og beregner ved hjelp av GeoGebra:

\mu_{T} = \int_{0}^{\infty} t \cdot 0{,}005 \cdot e^{-0{,}005t} \, dt = 200

Forventningsverdien for $T$ er $\mu_{T}=200$ timer.

Oppgavedata

Hentet fra: S2 E2022, del 2, oppgave 2
Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Temaer: kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger, forventningsverdi, sannsynlighet, integrasjon, bevis
Kompetansemål: Forstå definisjonen av det bestemte integralet og anvende integralet til å analysere funksjoner
Forstå begrepene forventningsverdi, varians og standardavvik, og bruke disse størrelsene til å tolke stokastiske variabler