Propellfly med vektorfunksjon R2 V26

Et lite propellfly må nødlande på en motorvei. Posisjonen $\vec r(t)$ til flyet $t$ sekunder etter at nødlandingen har startet, er gitt ved

\vec r(t) = \left[\, 30 t - t^2,\ 8 \sin\left( \frac{\pi}{10} t \right),\ 50\left( 1 - \frac{t}{10} \right)^2 \,\right]

Motorveien ligger i $xy$ -planet. Enhetene langs aksene er meter.

Hvor høyt over motorveien er flyet 4 sekunder etter at nødlandingen har startet?

Bestem banefarten idet flyet lander på motorveien.

Ved hvilket tidspunkt under nødlandingen er banefarten $14{,}3 \mathrm{~m/s}$ ?

En fugl er i posisjonen $(131, 67, 23)$ idet flyet starter nødlandingen. Fuglen flyr i en rett linje og krysser banen til flyet i punktet $\left(125, 8, \dfrac{25}{2}\right)$ .

Fuglen holder en jevn banefart på $12 \mathrm{~m/s}$ .

Vil fuglen treffe flyet?

Fasit

$18 \mathrm{~m}$

$\approx 10{,}3 \mathrm{~m/s}$

$t \approx 7{,}99 \mathrm{~s}$

Nei — fuglen mangler ca. $22 \mathrm{~cm}$ på å nå flyets posisjon, men kollisjon er praktisk sett meget sannsynlig.

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker GeoGebra CAS til å definere vektorfunksjonen og beregne svarene. Se utklippet under.

GeoGebra CAS – Propellfly R2 V26

Høyden over motorveien er gitt av $z$ -koordinaten til $\vec{r}(t)$ , det vil si $50\left(1 - \dfrac{t}{10}\right)^2$ .

Vi setter inn $t = 4$ :

z(4) = 50\left(1 - \frac{4}{10}\right)^2 = 50 \cdot (0{,}6)^2 = 50 \cdot 0{,}36 = 18

Se linje 8 i GeoGebra CAS.

Flyet er $\underline{\underline{18 \mathrm{~m}}}$ over motorveien etter 4 sekunder.

Flyet lander når $z$ -koordinaten er 0:

50\left(1 - \frac{t}{10}\right)^2 = 0 \implies t = 10

Fartsvektoren er $\vec{r}'(t)$ . Vi deriverer hver komponent (linje 4–6 i CAS):

\vec{r}'(t) = \left[30 - 2t,\ \frac{4\pi}{5}\cos\!\left(\frac{\pi t}{10}\right),\ -10\!\left(1 - \frac{t}{10}\right)\right]

Ved landing ( $t = 10$ ):

\vec{r}'(10) = \left[10,\ \frac{4\pi}{5}\cos(\pi),\ 0\right] = \left[10,\ -\frac{4\pi}{5},\ 0\right]

Banefarten er lengden av fartsvektoren (linje 9 i CAS):

|\vec{r}'(10)| = \sqrt{10^2 + \left(\frac{4\pi}{5}\right)^2 + 0^2} \approx \underline{\underline{10{,}3 \mathrm{~m/s}}}

Vi skal løse $|\vec{r}'(t)| = 14{,}3$ for $t \in [0, 10]$ .

Banefartsfunksjonen er definert i linje 7 i GeoGebra CAS. Ved $t = 7{,}99$ gir CAS (linje 10):

\text{banefart}(7{,}99) \approx 14{,}308 \approx 14{,}3

Banefarten er $14{,}3 \mathrm{~m/s}$ ved $\underline{\underline{t \approx 7{,}99 \mathrm{~s}}}$ .

Vi undersøker om fuglen og flyet befinner seg i samme punkt til samme tid.

Steg 1 – Finn tidspunktet da flyet er i punktet $\left(125, 8, \dfrac{25}{2}\right)$ .

Vi løser komponent for komponent:

\begin{aligned} x: \quad & 30t - t^2 = 125 \implies t^2 - 30t + 125 = 0 \implies t = 5 \text{ eller } t = 25 \\ y: \quad & 8\sin\!\left(\frac{\pi \cdot 5}{10}\right) = 8\sin\!\left(\frac{\pi}{2}\right) = 8 \checkmark \\ z: \quad & 50\!\left(1 - \frac{5}{10}\right)^2 = 50 \cdot \frac{1}{4} = 12{,}5 = \frac{25}{2} \checkmark \end{aligned}

(For $t = 25$ er flyet utenfor $z \geq 0$ -området.) Flyet passerer punktet ved $t = 5 \mathrm{~s}$ .

Steg 2 – Finn avstanden fuglen må tilbakelegge.

Fuglen starter i $A = (131, 67, 23)$ og skal til $B = \left(125, 8, \dfrac{25}{2}\right)$ .

\overrightarrow{AB} = (-6,\ -59,\ -10{,}5)

|AB| = \sqrt{(-6)^2 + (-59)^2 + (-10{,}5)^2} = \sqrt{36 + 3481 + 110{,}25} \approx 60{,}23 \mathrm{~m}

Se linje 11 i GeoGebra CAS.

Steg 3 – Sammenlign med strekningen fuglen rekker på 5 sekunder.

\text{Strekning} = 12 \mathrm{~m/s} \cdot 5 \mathrm{~s} = 60 \mathrm{~m}

Fuglen rekker $60 \mathrm{~m}$ , men trenger $\approx 60{,}23 \mathrm{~m}$ . Differansen er ca. $23 \mathrm{~cm}$ .

Matematisk treffer fuglen ikke flyet nøyaktig — den er omtrent $23 \mathrm{~cm}$ for kort. Men siden både flyet og fuglen har fysisk utstrekning langt større enn dette, er en kollisjon praktisk sett meget sannsynlig.

Sensorveiledning

Kandidater som kun oppgir posisjonsvektoren etter 4 sekunder får ingen uttelling.

3 poeng

1 poeng for å finne tidspunktet og 1 poeng for å finne banefarten.

3 poeng

Kandidater som finner flere løsninger, må forkaste ugyldige løsninger for å få uttelling.

Kandidater som finner enten riktig tidspunkt på fuglen og/eller på flyet, kan få 1 poeng. For å få full uttelling må kandidaten ha en fornuftig konklusjon.

Oppgavedata

Hentet fra: R2 V2026, del 2, oppgave 3
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: vektorer, derivasjon, modellering
Kompetansemål: Anvende parameterframstillinger til kurver og bruke parameterframstillinger til å løse naturvitenskapelige problemer inkludert problemer knyttet til fart og akselerasjon