Volumet av et omdreiningslegeme dannet ved å dreie grafen til $f$ fra $x = a$ til $x = b$ rundt $x$-aksen er gitt ved

$$V = \pi \int_{a}^{b} \left[ f(x) \right]^2 \, \mathrm{d}x$$

Vi setter inn $f(x) = 2x - 1$, $a = 1$ og $b = 3$:

$$V = \pi \int_{1}^{3} (2x - 1)^2 \, \mathrm{d}x$$

Vi ekspanderer kvadratet:

$$(2x-1)^2 = 4x^2 - 4x + 1$$

Dermed blir integralet:

$$\begin{aligned} V &= \pi \int_{1}^{3} \left(4x^2 - 4x + 1\right) \mathrm{d}x \\[6pt] &= \pi \left[ \frac{4x^3}{3} - 2x^2 + x \right]_{1}^{3} \end{aligned}$$

Vi beregner antiderivativet i grensene:

$$\begin{aligned} \left[ \frac{4x^3}{3} - 2x^2 + x \right]_{1}^{3} &= \left(\frac{4 \cdot 27}{3} - 2 \cdot 9 + 3\right) - \left(\frac{4}{3} - 2 + 1\right) \\[6pt] &= \left(36 - 18 + 3\right) - \left(\frac{4}{3} - 1\right) \\[6pt] &= 21 - \frac{1}{3} \\[6pt] &= \frac{63}{3} - \frac{1}{3} \\[6pt] &= \frac{62}{3} \end{aligned}$$

Dermed er

$$\mathbf{V = \pi \cdot \frac{62}{3} = \underline{\underline{\frac{62\pi}{3}}}}$$