Bestemt og ubestemt integral R2 V26

Bestem integralene

$\displaystyle \int_0^2 \left( e^{2x} + x \right) dx$

$\displaystyle \int \frac{\sin(\ln x)}{x}\, dx$

Fasit

$\underline{\underline{\dfrac{1}{2}(e^4 + 3)}}$

$\underline{\underline{-\cos(\ln x) + C}}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker at $\int e^{ax} \, \mathrm{d}x = \dfrac{1}{a} e^{ax} + C$ og $\int x \, \mathrm{d}x = \dfrac{1}{2}x^2 + C$ :

\int_0^2 \left( e^{2x} + x \right) \mathrm{d}x = \left[ \frac{1}{2}e^{2x} + \frac{1}{2}x^2 \right]_0^2

= \left( \frac{1}{2}e^{4} + \frac{1}{2} \cdot 4 \right) - \left( \frac{1}{2}e^{0} + 0 \right)

= \frac{1}{2}e^{4} + 2 - \frac{1}{2}

= \frac{1}{2}e^{4} + \frac{3}{2} = \mathbf{\underline{\underline{\dfrac{1}{2}(e^4+3)}}}

Vi bruker substitusjon. La $u = \ln x$ , da er $\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} = \dfrac{1}{x}$ , altså $\mathrm{d}u = \dfrac{1}{x}\,\mathrm{d}x$ .

\int \frac{\sin(\ln x)}{x} \, \mathrm{d}x = \int \sin(u) \, \mathrm{d}u

= -\cos(u) + C

Vi substituerer tilbake $u = \ln x$ :

= \mathbf{\underline{\underline{-\cos(\ln x) + C}}}

Sensorveiledning

Kandidaten kan få 1 poeng for å integrere riktig og 1 poeng for å finne riktig verdi.

4 poeng

Riktig strategi, men feil i utregningen kan gi 1 poeng. Kandidaten kan få full uttelling selv om $C$ utelates i svaret, men det tas med i helhetsvurderingen.

Oppgavedata

Hentet fra: R2 V2026, del 1, oppgave 1
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: integrasjon, bestemt integral, substitusjon
Kompetansemål: Gjøre rede for analysens fundamentalteorem og gjøre rede for konsekvenser av teoremet