Bevis at ortogonale vektorer oppfyller Pytagoras R2 V26

En elev prøver å bevise påstanden ovenfor.

Forklar hvorfor dette ikke er et gyldig matematisk bevis for påstanden.

Bevis påstanden ved hjelp av vektorregning.

Fasit

Elevens bevis tester kun ett spesialtilfelle – et eksempel kan ikke bevise en generell påstand.

$|\vec{p} + \vec{q}|^2 = |\vec{p}|^2 + |\vec{q}|^2$ følger av at $\vec{p} \cdot \vec{q} = 0$ når $\vec{p} \perp \vec{q}$ .

Løsningsforslag

Elevens bevis sjekker påstanden kun for de to konkrete vektorene $\vec{p} = [4, 0, 0]$ og $\vec{q} = [0, 0, 3]$ . Et enkelt eksempel kan aldri bevise at en påstand gjelder for alle ortogonale vektorer. Et eksempel kan motbevise en generell påstand, men aldri bevise den.

For at beviset skal holde, må det vises at påstanden gjelder for vilkårlige ortogonale vektorer $\vec{p}$ og $\vec{q}$ .

Vi skal vise at for to ortogonale vektorer $\vec{p}$ og $\vec{q}$ så gjelder

|\vec p + \vec q|^2 = |\vec p|^2 + |\vec q|^2

Siden vektorene er ortogonale må skalarproduktet mellom være null:

\vec{p} \cdot \vec{q} = |\vec{p}| \cdot |\vec{q}| \cdot \cos 90 \degree = 0

For en vilkårlig vektor $\vec{a}$ så er $\vec{a}^{2}=|\vec{a}|^{2}$ fordi

\vec{a}^{2} = \vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}| \cdot |\vec{a}| \cdot \cos 0 \degree = |\vec{a}|^{2}

Dermed kan vi skrive:

\begin{aligned} |\vec{p} + \vec{q}|^{2} &= \left( \vec{p} + \vec{q} \right) \cdot \left( \vec{p} + \vec{q} \right) \\ &= \left( \vec{p} + \vec{q} \right) \cdot \left( \vec{p} + \vec{q} \right) \\ &= \vec{p} \cdot \vec{p} + \vec{p} \cdot \vec{q} + \vec{q} \cdot \vec{p} + \vec{q} \cdot \vec{q} \\ &= |\vec{p}|^2 + 0 + 0 + |\vec{q}|^2 \\ &= |\vec{p}|^2 + |\vec{q}|^2 \end{aligned}

Dermed er $|\vec{p} + \vec{q}|^2 = |\vec{p}|^2 + |\vec{q}|^2$ bevist for alle ortogonale vektorer $\vec{p}$ og $\vec{q}$ .

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 3 poeng

Forklaringen må inneholde at ett riktig eksempel ikke er nok for et bevis.

Beviset må kommuniseres godt for å få full uttelling.

Oppgavedata

Hentet fra: R2 V2026, del 1, oppgave 8
Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Vektorer, Bevis, Argumentasjon
Kompetansemål: Analysere og forstå matematiske bevis, forklare de bærende ideene i et matematisk bevis og utvikle egne bevis
Utforske og forstå regneregler for vektorer i rommet, og bruke vektorer til å beregne ulike størrelser i rommet

Bevis at ortogonale vektorer oppfyller Pytagoras R2 V26

Sync på tvers av enheter

Bevis at ortogonale vektorer oppfyller Pytagoras R2 V26

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave