1T Vår 2012

Vi følger regnerekkefølgen — parentes, potens, deretter multiplikasjon og til slutt addisjon/subtraksjon:

Vi skriver om $9^{\frac{1}{2}}$ som $3$ og bruker potensregelen ${(a^m)}^n=a^{m\cdot n}$ og ${\displaystyle \frac{a^m}{a^n}}=a^{m-n}$:

Vi multipliserer tallene og potensene hver for seg, og justerer til standardform:

Fra den andre likningen løser vi for $y$: $y=3x-6$. Vi setter dette inn i den første likningen:

Vi setter $x=4$ inn i $y=3x-6$:

Løsningen er $\underline{\underline{x=4,y=6}}$.

Å løse likningen grafisk betyr å finne skjæringspunktet mellom grafene til $f(x)=2x-3$ og $g(x)=6-{\displaystyle \frac{1}{4}}x$. Skjæringspunktet er der de to uttrykkene er like, så vi løser likningen $f(x)=g(x)$:

Vi setter $x=4$ inn i $f(x)=2x-3$:

Grafene skjærer hverandre i punktet $\underline{\underline{(4,5)}}$.

Vi multipliserer begge sider med $-1$ og snur ulikhetstegnet:

Vi faktoriserer venstre side. Vi trenger to tall som gir sum $1$ og produkt $-12$: det er $4$ og $-3$.

Uttrykket er en oppoverbue parabel med nullpunkter i $x=-4$ og $x=3$, og er negativ eller null mellom nullpunktene. Løsningen er

Telleren kjenner vi igjen fra oppgave e). Vi faktoriserer teller og nevner:

Vi setter inn og forkorter felles faktor $(x-3)$:

Av $20$ elever spiller $1$ verken fotball eller håndball, så $19$ elever spiller minst én av idrettene. Vi bruker at

Vi velger en tilfeldig elev blant de $15$ som spiller fotball. Sannsynligheten for at eleven også spiller håndball, er

La $s$, $k$ og $m$ være alderen til henholdsvis Siri, Karen og Marit.

“Marit er tre ganger så gammel som Siri var for fire år siden”: $m=3(s-4)$

“Karen er halvparten så gammel som Marit”: $k={\displaystyle \frac{m}{2}}$

“Til sammen 26 år”: $s+k+m=26$

Vi setter de to første uttrykkene inn i den siste likningen:

Vi multipliserer alle ledd med $2$ for å bli kvitt brøken:

Da er $m=3(8-4)=3\cdot 4=12$ og $k={\displaystyle \frac{12}{2}}=6$.

Kontroll: $8+6+12=26$ ✓

Trekanten $ABC$ har rett vinkel i $A$ og $\angle B=45°$. Siden vinkelsummen i en trekant er $180°$, er

Siden $\angle B=\angle C$, er trekanten likebeint med $AC=AB=3$. Pytagoras’ setning gir

Cosinus til vinkel $B$ er forholdet mellom hosliggende katet og hypotenusen:

Grafen skjærer $y$-aksen der $x=0$:

Vi vil at $f(0)=2$, så

Et nullpunkt for $x=3$ betyr at $f(3)=0$:

Vi skriver $f$ på toppunktsform ved å fullføre kvadratet:

Bunnpunktet har $y$-verdi $a-1$. Vi vil at denne skal være $-5$:

Grafen har minst ett nullpunkt når diskriminanten er større enn eller lik null. Med $f(x)=x^2-2x+a$ er $b=-2$, $c=a$:

I trekant $ABD$ er det rett vinkel i $A$, så vi kan bruke Pytagoras’ setning med kateter $AB=24\mathrm{m}$ og $AD=18\mathrm{m}$:

$\underline{\underline{BD=30\mathrm{m}}}$

Vinkel $ABD$

I den rettvinklede trekanten $ABD$ er $AD$ motstående katet og $AB$ hosliggende katet til vinkel $ABD$. Vi bruker tangens:

Vinkel $BCD$

I trekant $BCD$ kjenner vi alle tre sidene: $BC=16\mathrm{m}$, $CD=24\mathrm{m}$ og $BD=30\mathrm{m}$. Vinkelen $BCD$ ligger motsatt siden $BD$, så vi bruker cosinussetningen:

$\underline{\underline{\angle ABD\approx \mathrm{36,9}°,\angle BCD\approx \mathrm{95,1}°}}$

Diagonalen $BD$ deler firkanten $ABCD$ i to trekanter, $ABD$ og $BCD$. Arealet av firkanten er summen av arealene til de to trekantene.

Trekant $ABD$ er rettvinklet, så arealet er halvparten av produktet av katetene:

Trekant $BCD$ har vi to sider og mellomliggende vinkel for, så vi bruker arealsetningen:

Totalt areal:

$\underline{\underline{\text{Areal}\approx 407{\mathrm{m}}^2}}$

Vinkelen $\angle ABC$ er summen av $\angle ABD$ og $\angle DBC$, fordi diagonalen $BD$ deler vinkelen i $B$ i disse to delene:

Vi kjenner $\angle ABD\approx \mathrm{36,9}°$ fra b). For å finne $\angle DBC$ i trekant $BCD$ bruker vi cosinussetningen, denne gangen med $CD$ som motstående side:

Da blir

Siden $\mathrm{89,7}°\ne 90°$, er $\angle ABC$ ikke en rett vinkel.

$\underline{\underline{\angle ABC\approx \mathrm{89,7}°\ne 90°}}$

Vi setter $x=0$ inn i funksjonsuttrykket for å finne fødselsvekten:

En gris veier altså $\mathrm{0,5}\mathrm{kg}$ ved fødselen. Grafen til $f$ for $x\in [0,25]$ er stigende hele veien, siden toppunktet til parabelen ligger ved $x=-{\displaystyle \frac{\mathrm{2,60}}{2\cdot (-\mathrm{0,05})}}=26$, altså utenfor det aktuelle intervallet.

$\underline{\underline{f(0)=\mathrm{0,5}\mathrm{kg}}}$

Vi løser likningen $f(x)=20$:

Vi ganger med $-20$ på begge sider for å få et enklere uttrykk:

Vi løser med abc-formelen:

Dette gir $x\approx \mathrm{9,1}$ eller $x\approx \mathrm{42,9}$. Bare den første løsningen ligger innenfor det aktuelle intervallet $[0,25]$, så vekten passerer $20\mathrm{kg}$ når grisen er om lag $\mathrm{9,1}$ måneder gammel.

Gjennomsnittlig vekstfart fram til da er endring i vekt delt på endring i alder:

$\underline{\underline{x\approx \mathrm{9,1}\text{ måneder},\text{gj.snittlig vekst}\approx \mathrm{2,1}\text{kg/måned}}}$

Vekstfarten på et gitt tidspunkt er den deriverte av $f$. Vi deriverer:

Vi setter inn $x=12$:

Når grisen er nøyaktig 12 måneder gammel, øker vekten med $\mathrm{1,4}\mathrm{kg}$ per måned.

$\underline{\underline{f^{\prime }(12)=\mathrm{1,4}\text{kg/måned}}}$

Grisen skal slaktes når veksten er mindre enn $\mathrm{0,5}\mathrm{kg}$ per måned, altså når $f^{\prime }(x)<\mathrm{0,5}$. Vi løser ulikheten:

Vi deler med $-\mathrm{0,10}$ på begge sider. Siden vi deler med et negativt tall, snur ulikhetstegnet:

Vekstfarten blir altså mindre enn $\mathrm{0,5}\mathrm{kg}$ per måned når grisen er eldre enn 21 måneder, så grisen slaktes ved 21 måneders alder.

$\underline{\underline{x=21\text{ måneder}}}$

Karen har 2 rosa sokker. Antall måter å velge begge de 2 rosa sokkene er:

Det er bare én måte å få to rosa sokker på.

Sannsynligheten er:

Vi kan også tenke på det slik: sannsynligheten for at den første sokken er rosa, er $\frac{2}{10}$. Gitt at den første var rosa, er sannsynligheten for at den andre også er rosa, $\frac{1}{9}$ (det er nå 1 rosa igjen av 9 sokker).

Sannsynligheten for at Karen tar to rosa sokker er ${\displaystyle \frac{1}{45}}$.

Karen har 2 rosa sokker og 8 sokker som ikke er rosa.

Antall måter å velge 1 rosa sokk av 2 rosa: $\left(\genfrac{}{}{0px}{}{2}{1}\right)=2$

Antall måter å velge 1 ikke-rosa sokk av 8: $\left(\genfrac{}{}{0px}{}{8}{1}\right)=8$

Antall gunstige utfall: $2\cdot 8=16$

Sannsynligheten er:

Vi kan også tenke trinnvis: enten tar hun rosa først og deretter en annen farge, eller omvendt.

Sannsynligheten for at Karen tar én rosa sokk og én sokk i en annen farge er ${\displaystyle \frac{16}{45}}$.

Det er 5 farger, og det finnes 2 sokker av hver farge. Antall måter å velge 2 sokker med samme farge av én bestemt farge er $\left(\genfrac{}{}{0px}{}{2}{2}\right)=1$.

Siden det er 5 farger, er det totale antallet gunstige utfall $5\cdot 1=5$.

Sannsynligheten er:

Vi kan også beregne dette trinnvis: sannsynligheten for at den andre sokken har samme farge som den første, er alltid $\frac{1}{9}$ (uansett hvilken farge den første sokken hadde, er det 1 sokk igjen av samme farge blant de resterende 9).

Sannsynligheten for at Karen tar to sokker med samme farge er ${\displaystyle \frac{1}{9}}$.

Sannsynligheten for at akkurat $k$ av de 50 spiser matpakke, er gitt ved

For $k=20$ setter vi opp uttrykket i GeoGebra CAS og regner ut:

Vi finner $P(X=20)\approx \mathrm{0,1146}$.

Svar: Sannsynligheten for at akkurat 20 av de 50 personene spiser matpakke til lunsj, er $\underline{\underline{P(X=20)\approx \mathrm{0,1146}}}$.

Vi skal finne sannsynligheten for at flere enn 15 personer spiser matpakke, altså $P(X>15)$. Dette er komplementet til at høyst 15 personer spiser matpakke:

Vi regner ut summen i GeoGebra CAS (se linje 2 i skjermbildet over):

Svar: Sannsynligheten for at flere enn 15 av de 50 personene spiser matpakke til lunsj, er $\underline{\underline{P(X>15)\approx \mathrm{0,9045}}}$.

Trekant $ABC$ har rett vinkel i $B$, med kateter $AB=10\mathrm{m}$ og $BC=x$. Etter Pytagoras’ setning er

Siden $C$ ligger på $BD$ med $BD=12\mathrm{m}$ og $BC=x$, er $CD=12-x$. Trekant $CDE$ har rett vinkel i $D$, med kateter $CD=12-x$ og $DE=12\mathrm{m}$. Etter Pytagoras’ setning er

Summen av de to avstandene blir dermed

Vi definerer $f(x)=\sqrt{x^2+100}+\sqrt{{(12-x)}^2+144}$ og finner minimumspunktet i GeoGebra.

GeoGebra CAS gir

og minimumsverdien $f\left({\displaystyle \frac{60}{11}}\right)=2\sqrt{157}$.

Grafen til $f$ bekrefter at dette er et minimumspunkt:

Dermed blir avstanden $AC+CE$ kortest når

og den korteste avstanden er da