1P Vår 2012

Vi runder av prisene og finner et overslag.

Vann koster om lag $15\mathrm{kr}$ per flaske, så 6 flasker koster omtrent

Druer koster om lag $50\mathrm{kr}$ per kilogram, så $\mathrm{2,5}\mathrm{kg}$ druer koster omtrent

Til sammen må Hanna betale omtrent

Svar: Hanna må betale omtrent $\underline{\underline{215\mathrm{kr}}}$.

Trekant ABC. Vinkel $A=60°$ og vinkel $C=60°$. Siden vinkelsummen i en trekant er $180°$, blir vinkel $B$

Alle vinklene er $60°$, så trekant ABC er likesidet. Da er alle sidene like lange som $AB=3$, og omkretsen blir

Trekant DEF. Trekanten er rettvinklet i $D$, så $EF$ er hypotenusen. Med $DE=2$ og $EF=4$ gir Pytagoras’ setning

Omkretsen av DEF blir

Siden $\mathrm{9,46}>\mathrm{9,00}$, er det trekant DEF som har størst omkrets.

Prisforskjellen mellom dameklipp og herreklipp er

Prosentvis økning i forhold til herreklipp:

Svar: Dameklipp er $\underline{\underline{60\%}}$ dyrere enn herreklipp.

Bilens verdi avtar med $15\%$ per år, altså med samme prosent hvert år. Det betyr at verdien multipliseres med vekstfaktoren

for hvert år som går. Etter 10 år er verdien derfor

Dette er regnestykke 3. Regnestykke 1 trekker fra det samme kronebeløpet hvert år (lineær nedgang, ikke prosentvis), og regnestykke 2 bruker $\mathrm{0,15}$ som vekstfaktor, som ville betydd et verditap på $85\%$ hvert år — det er feil.

Svar: $\underline{\underline{\text{Regnestykke 3}}}$: $250000\cdot {\mathrm{0,85}}^{10}$.

Kroneverdien forteller hvor mye én krone fra basisåret er verdt i kroner det aktuelle året. Når kroneverdien er $\mathrm{0,8}$, må vi dele prisen fra basisåret på $\mathrm{0,8}$ for å finne den tilsvarende prisen i februar 2009:

Svar: Dette tilsvarte $\underline{\underline{125\mathrm{kr}}}$ i februar 2009.

Høyde og diameter er omvendt proporsjonale, så produktet $h\cdot d$ er konstant. Fra den første sylinderen får vi

For sylinderen som er $6\mathrm{cm}$ høy:

For sylinderen som er $12\mathrm{cm}$ høy:

Svar: Diameteren må være $\underline{\underline{40\mathrm{cm}}}$ for den $6\mathrm{cm}$ høye sylinderen, og $\underline{\underline{20\mathrm{cm}}}$ for den $12\mathrm{cm}$ høye sylinderen.

Sannsynligheten for en sekser med én terning:

Med to terninger er det 36 like sannsynlige utfall. “To like” gir seks gunstige utfall: (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6):

Svar: De to hendelsene er $\underline{\underline{\text{like sannsynlige}}}$ — begge har sannsynlighet $\frac{1}{6}$.

Sirkelens areal med $\pi \approx \mathrm{3,0}$ og radius $\mathrm{4,0}$:

Den hvite trekanten har diameteren, $\mathrm{8,0}\mathrm{cm}$, som grunnlinje, og høyden ned til $S$ er lik radien, $\mathrm{4,0}\mathrm{cm}$:

Arealet av det mørke området er sirkelarealet minus trekantarealet:

Svar: Det mørke området er omtrent $\underline{\underline{32{\mathrm{cm}}^2}}$.

1) Krysstabell. Vi vet at 20 elever er i klassen, at 1 elev spiller verken fotball eller håndball, at 15 spiller fotball og at 10 spiller håndball. Da spiller

elever minst én av idrettene. Antall elever som spiller begge idrettene finner vi ved

Da spiller $15-6=9$ elever bare fotball, og $10-6=4$ elever bare håndball. Dette gir krysstabellen:

2) Av de 15 elevene som spiller fotball, spiller 6 av dem i tillegg håndball. Sannsynligheten blir da

Svar: Sannsynligheten er $\underline{\underline{40\%}}$.

Merket på posen viser at $30\mathrm{g}$ potetskiver inneholder $150\text{kcal}$. Hele posen veier $150\mathrm{g}$, altså

ganger så mye. Energiinnholdet i hele posen blir da

Torbjørn får altså i seg $750$ kcal når han spiser hele posen.

Vi bruker formelen $E=(P+K)\cdot 4+F\cdot 9$ for $30\mathrm{g}$ potetskiver, med $E=150$, $P=2$ og $F=8$, og løser for $K$:

Det er altså omtrent $\mathrm{17,5}$ gram karbohydrater i $30$ gram potetskiver.

Når vi tegner et rom i ettpunktsperspektiv, går vi fram slik:

1. Tegn en horisontlinje — det er linjen i øyehøyde til den som ser inn i rommet.
2. Sett av ett forsvinningspunkt $F$ på horisontlinjen. Alle linjer som går rett inn i rommet (bort fra betrakteren), skal tegnes slik at de peker mot $F$.
3. Tegn en ytre rektangel-ramme — den viser åpningen inn til rommet slik betrakteren ser den.
4. Tegn en mindre rektangel lenger inne i bildet — dette blir bakveggen.
5. Trekk rette linjer fra alle de fire hjørnene i den ytre rammen inn til forsvinningspunktet $F$. Disse linjene blir kantene til gulvet, taket, venstre vegg og høyre vegg.

Vinduet på høyre vegg og matten på gulvet skal også følge perspektivet: loddrette kanter forblir loddrette, mens kanter som ligger langs veggen eller gulvet innover i rommet, tegnes som linjer mot forsvinningspunktet $F$ (eller parallelt med de andre linjene som allerede peker mot $F$).

Svar: Se skisse — rommet er tegnet med horisontlinje, forsvinningspunkt, og alle linjer som går innover i rommet, peker mot forsvinningspunktet. Vinduet på høyre vegg og matten på gulvet er tegnet med kantene rettet mot samme forsvinningspunkt.

Vi tegner grafen til $f(x)=-\mathrm{0,05}{x}^2+\mathrm{2,60}x+\mathrm{0,50}$ for $0\le x\le 25$ i GeoGebra.

For å finne vekten ved fødselen setter vi inn $x=0$:

En gris veier $\underline{\underline{\mathrm{0,50}\mathrm{kg}}}$ ved fødselen.

Vi leser av grafen der kurven krysser linjen $y=20$. Det grønne punktet viser at dette skjer ved $x\approx \mathrm{9,09}$.

Vi kan også løse likningen $f(x)=20$ algebraisk:

GeoGebra gir løsningen $x\approx \mathrm{9,09}\text{ måneder}$.

Grisen er cirka $\underline{\underline{\mathrm{9,09}\text{ måneder}}}$ gammel når vekten passerer $20\mathrm{kg}$.

For å finne gjennomsnittlig vektøkning per måned frem til da regner vi ut:

Den gjennomsnittlige vektøkningen er $\underline{\underline{\approx \mathrm{2,15}\mathrm{kg}}}$ per måned frem til grisen veier $20\mathrm{kg}$.

Karen har 2 rosa sokker. Antall måter å velge begge de 2 rosa sokkene er:

Det er bare én måte å få to rosa sokker på.

Sannsynligheten er:

Vi kan også tenke på det slik: sannsynligheten for at den første sokken er rosa, er $\frac{2}{10}$. Gitt at den første var rosa, er sannsynligheten for at den andre også er rosa, $\frac{1}{9}$ (det er nå 1 rosa igjen av 9 sokker).

Sannsynligheten for at Karen tar to rosa sokker er ${\displaystyle \frac{1}{45}}$.

Karen har 2 rosa sokker og 8 sokker som ikke er rosa.

Antall måter å velge 1 rosa sokk av 2 rosa: $\left(\genfrac{}{}{0px}{}{2}{1}\right)=2$

Antall måter å velge 1 ikke-rosa sokk av 8: $\left(\genfrac{}{}{0px}{}{8}{1}\right)=8$

Antall gunstige utfall: $2\cdot 8=16$

Sannsynligheten er:

Vi kan også tenke trinnvis: enten tar hun rosa først og deretter en annen farge, eller omvendt.

Sannsynligheten for at Karen tar én rosa sokk og én sokk i en annen farge er ${\displaystyle \frac{16}{45}}$.

Det er 5 farger, og det finnes 2 sokker av hver farge. Antall måter å velge 2 sokker med samme farge av én bestemt farge er $\left(\genfrac{}{}{0px}{}{2}{2}\right)=1$.

Siden det er 5 farger, er det totale antallet gunstige utfall $5\cdot 1=5$.

Sannsynligheten er:

Vi kan også beregne dette trinnvis: sannsynligheten for at den andre sokken har samme farge som den første, er alltid $\frac{1}{9}$ (uansett hvilken farge den første sokken hadde, er det 1 sokk igjen av samme farge blant de resterende 9).

Sannsynligheten for at Karen tar to sokker med samme farge er ${\displaystyle \frac{1}{9}}$.

Vi vet at grafen til $y=ax+b$ går gjennom punktene $(10,2300)$ og $(16,3200)$.

Vi setter opp to likninger ved å sette inn punktene:

Vi trekker likning (1) fra likning (2) for å finne $a$:

Vi setter $a=150$ inn i likning (1) for å finne $b$:

Den lineære modellen er $\underline{\underline{y=150x+800}}$.

$a=150$ er stigningstallet. Det betyr at prisen øker med $\underline{\underline{150\mathrm{kr}}}$ for hvert tonn sand som legges til billasset.

$b=800$ er konstantleddet. Det betyr at grunnprisen for å få kjørt billasset er $\underline{\underline{800\mathrm{kr}}}$, uavhengig av hvor mye sand som er på lasset. Dette kan for eksempel være betaling for selve kjøreturen (frakt/oppmøte).

Når Kåre dusjer i åtte minutter, dusjer han i

Med det gamle dusjhodet bruker han $10\mathrm{L}$ på $35\mathrm{s}$. Vannforbruket per dag blir dermed

Med sparedusjen bruker han $10\mathrm{L}$ på $65\mathrm{s}$, så vannforbruket per dag blir

Dette stemmer med det vi skulle vise.

Energien som trengs for å varme opp $137\mathrm{L}$ vann per dag, er

Kostnaden per dag blir da

Kostnaden per år ($365$ dager) blir

Det kostet altså Kåre omtrent $1927\mathrm{kr}$ i året å dusje med det gamle dusjhodet.

Med sparedusjen bruker han $74\mathrm{L}$ vann per dag. Energien som trengs, blir

Kostnaden per dag blir da

Kåre sparer altså

Sparedusjen kostet $400\mathrm{kr}$. Antall dager før investeringen er tjent inn, er

Dette tilsvarer omtrent $164/30\approx \mathrm{5,5}$ måneder, altså litt over et halvt år.

Badekaret har form som et rett firkantet prisme. Vannvolumet er

Siden $1\mathrm{L}=1000{\mathrm{cm}}^3$, blir volumet

Energien som trengs for å varme opp dette vannet, er

Kostnaden blir da

Det kostet altså Kåre omtrent $\mathrm{8,09}\mathrm{kr}$ å fylle badekaret med normalt varmt dusjvann.

Vi leser av diagrammet når kurvene passerer indeksverdien $200$, siden dette er dobbelt så stor verdi som i begynnelsen av $1992$ (der alle kurvene starter på indeks $100$).

Av diagrammet ser vi at

• kurven for blokkleiligheter passerer $200$ omtrent i $1998$, altså etter ca. $6$ år,
• kurven for småhus passerer $200$ omtrent i $2000$, altså etter ca. $8$ år,
• kurven for eneboliger passerer $200$ omtrent i $2002$, altså etter ca. $10$ år.

Avlesningen fra grafen kan variere noe, men rekkefølgen mellom boligtypene er tydelig: blokkleiligheter dobler seg raskest, deretter småhus, og til slutt eneboliger.

Verdien av eneboligen i begynnelsen av $1992$ var $\mathrm{1,35}$ millioner kroner, og indeksen var da $100$. Av diagrammet leser vi av at indeksen for eneboliger i begynnelsen av $2004$ er omtrent $220$.

Siden vi antar at verdien av boligen har fulgt boligprisindeksen, finner vi verdien i $2004$ ved å bruke forholdet mellom indeksene:

Av diagrammet leser vi av at indeksen for eneboliger i begynnelsen av $1998$ var omtrent $147$ (med $1992$ som basisår).

Skal vi i stedet bruke $1998$ som basisår, må indeksen for $1998$ settes til $100$. Da må vi regne om indeksen for $1992$ til den nye skalaen. Siden indeksen for $1992$ (som er $100$ på gammel skala) tilsvarer en verdi som er $147/100$ av verdien i $1998$, blir den nye indeksen

Med $1998$ som basisår ville altså indeksen for eneboliger i begynnelsen av $1992$ vært omtrent $68$.

Vi leser av diagrammet indeksverdiene i $2002$ (ti år etter $1992$):

• eneboliger: indeks $\approx 202$
• blokkleiligheter: indeks $\approx 304$

Økningen i indeks fra $1992$ til $2002$ (der startverdien var $100$ for begge) blir

Siden $204\approx 2\cdot 102$, stemmer det omtrent at verdien av en blokkleilighet steg med dobbelt så mye som verdien av en enebolig de ti første årene etter $1992$. Påstanden er altså tilnærmet riktig, selv om avlesningen fra grafen gir noe usikkerhet i de eksakte tallene.

Hver sideflate i pyramiden er en likebeint trekant med to like sider på $17\mathrm{cm}$ og grunnlinje $10\mathrm{cm}$. Høyden i denne trekanten deler grunnlinjen på midten, slik at vi får en rettvinklet trekant med hypotenus $17\mathrm{cm}$ og en katet på ${\displaystyle \frac{10}{2}}=5\mathrm{cm}$. Fra Pytagoras’ setning:

$\underline{\underline{\text{Høyden i sidetrekantene er ca. }16\mathrm{cm},\text{ som skulle vises.}}}$

Overflaten består av den kvadratiske grunnflaten pluss de fire sidetrekantene. Grunnflaten har areal:

Hver sidetrekant har areal ${\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot g\cdot h$ med grunnlinje $g=10\mathrm{cm}$ og høyde $h\approx \mathrm{16,25}\mathrm{cm}$:

Overflaten blir da:

$\underline{\underline{O\approx 425{\mathrm{cm}}^2}}$

For å finne høyden $H$ til selve pyramiden ser vi på den rettvinklede trekanten som apex, midtpunktet av grunnflaten og midtpunktet av en grunnkant danner. Hypotenusen i denne trekanten er sidehøyden fra a), $h\approx \mathrm{16,25}\mathrm{cm}$, og den ene kateten er avstanden fra grunnflatens midtpunkt til midtpunktet av en kant, som er $5\mathrm{cm}$ (halve sidekanten). Med Pytagoras’ setning:

$\underline{\underline{\text{Pyramidekortet er ca. }15\mathrm{cm}\text{ høyt, som skulle vises.}}}$

Rammen legger seg $10\mathrm{cm}$ over grunnflaten. Tverrsnittet av pyramiden i denne høyden er et kvadrat som er formlikt med grunnflaten, fordi pyramiden smalner jevnt inn mot toppunktet.

Vi ser på den vertikale trekanten gjennom toppunktet og grunnflatens midtpunkt. Fra toppunktet og ned til grunnflaten er avstanden hele høyden $H\approx \mathrm{15,5}\mathrm{cm}$, og halve grunnkanten er $5\mathrm{cm}$. I høyden $10\mathrm{cm}$ over grunnflaten er avstanden ned til toppunktet $H-10\approx \mathrm{5,5}\mathrm{cm}$. Siden trekantene er formlike, er forholdet mellom halve sidelengden $x$ i tverrsnittet og halve grunnkanten $5\mathrm{cm}$ det samme som forholdet mellom avstandene til toppunktet:

Sidelengden i hullet blir da det dobbelte:

$\underline{\underline{\text{Hullet i rammen må ha en sidelengde på ca. }\mathrm{3,5}\mathrm{cm}\text{ (areal ca. }\mathrm{12,5}{\mathrm{cm}}^2\text{).}}}$