1P Høst 2012

Når prisen per elev er omvendt proporsjonal med antall elever, betyr det at produktet av antall elever og pris per elev er konstant. Vi bruker den kjente verdien for $5$ elever til å finne denne konstanten:

For $10$ elever finner vi prisen per elev ved å dele konstanten på antall elever:

For den siste kolonnen vet vi at prisen per elev er $100\mathrm{kr}$. Da finner vi antall elever ved å dele konstanten på prisen:

Den utfylte tabellen blir:

Totalprisen for å leie hytten er det samme som produktet av antall elever og pris per elev, altså konstanten vi fant i a):

Det koster $\underline{\underline{3000\mathrm{kr}}}$ å leie hytten.

Det er $25$ elever i klassen. Vi vet at

• $12$ elever har valgt internasjonal engelsk (IE)
• $14$ elever har valgt sosialkunnskap (S)
• $4$ elever har valgt verken IE eller S

Siden $4$ elever ikke har valgt noen av fagene, er det

elever som har valgt minst ett av fagene.

Legger vi sammen elevene som har valgt IE og elevene som har valgt S, får vi $12+14=26$. Dette telte elevene som har valgt begge fagene to ganger, så antallet elever som har valgt begge fagene er

Da kan vi fylle ut resten av krysstabellen ved å trekke fra:

• IE, ikke S: $12-5=7$
• S, ikke IE: $14-5=9$

Vi skal finne sannsynligheten for at en tilfeldig valgt elev fra hele klassen har valgt både internasjonal engelsk og sosialkunnskap. Av krysstabellen ser vi at $5$ av de $25$ elevene har valgt begge fagene:

Sannsynligheten er $\underline{\underline{20\%}}$.

Nå velger vi tilfeldig en elev blant de som har valgt sosialkunnskap, altså blant $14$ elever (raden/kolonnen «Sosialkunnskap» i tabellen). Av disse har $5$ også valgt internasjonal engelsk:

Sannsynligheten for at eleven også har valgt internasjonal engelsk, er $\underline{\underline{\approx 36\%}}$.

Trekanten er likebeint med $AC=BC=\mathrm{6,0}\mathrm{cm}$. I en likebeint trekant er vinklene som ligger motsatt de to like lange sidene, like store. Vinkelen motsatt $BC$ er $\angle A$, og vinkelen motsatt $AC$ er $\angle B$, så

Vinkelsummen i en trekant er $180°$, så

Dette stemmer med påstanden, så påstanden er riktig.

Siden trekanten er likebeint med $AC=BC$, vil høyden fra $C$ ned på $AB$ treffe midtpunktet av $AB$ og dele $AB$ i to like store deler:

Denne halve grunnlinjen, høyden $h$ og siden $AC=\mathrm{6,0}\mathrm{cm}$ danner en rettvinklet trekant, med $AC$ som hypotenus. Ved Pytagoras’ setning:

Arealet av trekanten blir da

Siden $\mathrm{17,9}{\mathrm{cm}}^2<20{\mathrm{cm}}^2$, er påstanden riktig.

Vi kontrollerer først at punktene faktisk ligger på en rett linje ved å regne ut endringen i pris delt på endringen i mengde mellom hvert par punkter (stigningstallet):

Siden stigningstallet er det samme ($6$) begge steder, ligger punktene på en rett linje. På et rutepapir setter vi $x$-aksen (hektogram smågodt) vannrett og $y$-aksen (pris i kroner) loddrett. Vi setter av punktene $(3,48)$, $(5,60)$ og $(10,90)$, og tegner en rett linje gjennom dem, forlenget til den skjærer $y$-aksen.

Stigningstallet til linjen er prisen per hektogram smågodt. Fra to av punktene på linjen, for eksempel $(3,48)$ og $(5,60)$, finner vi stigningstallet:

Linjen har da likningen $y=6x+b$. Vi setter inn punktet $(3,48)$ for å finne konstantleddet $b$:

Konstantleddet $b=30$ er prisen når $x=0$, altså prisen for det tomme påskeegget. Stigningstallet $a=6$ er prisen per hektogram smågodt.

Leses dette av grafen fra a), finner man det samme: linjen skjærer $y$-aksen i $y=30$, og stiger $6$ kroner for hver ny hektogram langs $x$-aksen.

Prisen for det tomme egget er $\underline{\underline{30\mathrm{kr}}}$, og prisen per hektogram smågodt er $\underline{\underline{6\mathrm{k}\mathrm{r}/\mathrm{h}\mathrm{g}}}$.

Linjens likning er $y=6x+30$. Vi setter $y=81$ og løser for $x$:

Det samme kan leses av grafen fra a) ved å finne $x$-verdien der linjen har $y$-verdi $81$.

Et påskeegg som koster $81$ kroner, inneholder derfor $\underline{\underline{\mathrm{8,5}\mathrm{hg}}}$ smågodt.

Totalt areal (lyseblått + mørkeblått)

Figuren kan deles i to rektangler: hovedkroppen på $\mathrm{14,0}\mathrm{m}\times \mathrm{7,0}\mathrm{m}$ og utspringet på $\mathrm{4,0}\mathrm{m}\times \mathrm{1,0}\mathrm{m}$:

Lyseblått areal (gulvet innenfor grunnmuren)

Grunnmuren er $\mathrm{0,25}\mathrm{m}$ bred og går langs hele ytterkanten. Innsiden av grunnmuren gir da et gulv som også kan deles i to rektangler:

• Hovedkroppen mister $\mathrm{0,25}\mathrm{m}$ på hver side i bredden, og $\mathrm{0,25}\mathrm{m}$ nederst og øverst i høyden (der det er vegg langs hele bredden, altså utenfor utspringet):

• I selve utspringet er det ikke vegg der det møter hovedrommet (nederst), bare på de to sidene og øverst. Innvendig bredde blir $\mathrm{4,0}-2\cdot \mathrm{0,25}=\mathrm{3,5}\mathrm{m}$, og siden det ikke er vegg nederst, får gulvet her full høyde $\mathrm{1,0}\mathrm{m}$ opp til innsiden av toppveggen:

Lyseblått areal blir dermed

Mørkeblått areal (grunnmuren)

Det lyseblå arealet er $\mathrm{91,25}{\mathrm{m}}^2$, og det mørkeblå arealet er $\mathrm{10,75}{\mathrm{m}}^2$.

Betonglaget i gulvet er $10\mathrm{cm}=\mathrm{0,10}\mathrm{m}$ tykt, og dekker det lyseblå arealet:

Grunnmuren er $40\mathrm{cm}=\mathrm{0,40}\mathrm{m}$ høy, og dekker det mørkeblå arealet:

Til sammen trenger Svein

betong.

Indeksen var $\mathrm{68,5}$ i 1989 og $\mathrm{177,2}$ i 2010. Den prosentvise økningen finner vi ved

Verdien på en enebolig har altså økt med omtrent $159\%$ fra 1989 til 2010.

År 2000 er referanseåret, med indeks $\mathrm{100,0}$. Familien Hansen kjøpte boligen i 2000 for $1700000\mathrm{kr}$. Dersom prisen fulgte indeksen fram til 2006, der indeksen var $\mathrm{139,7}$, får vi prisen ved å skalere med forholdet mellom indeksene:

En tilsvarende bolig ville kostet omtrent $2374900\mathrm{kr}$ i 2006.

For å se hva $1700000\mathrm{kr}$ fra 2000 tilsvarer i 2010-kroner, skalerer vi på samme måte med indeksen for 2010 ($\mathrm{177,2}$):

Dette beløpet er det kjøpesummen “er verdt” i 2010 dersom prisen bare har fulgt den generelle prisstigningen på nye eneboliger — altså ingen reell verdiøkning, bare prisvekst i markedet.

Familien solgte boligen for $3400000\mathrm{kr}$. Den reelle gevinsten (utover det den generelle prisstigningen skulle tilsi) blir dermed

Dette stemmer godt med farens påstand: sønnen regnet bare differansen mellom kjøpesum og salgssum ($3400000-1700000=1700000\mathrm{kr}$), uten å ta hensyn til at prisene på eneboliger generelt hadde steget mye i samme periode. Faren justerte i stedet kjøpesummen for prisstigningen og fant at familien reelt sett bare hadde tjent $\approx 387600\mathrm{kr}\approx 400000\mathrm{kr}$ mer enn den generelle prisveksten skulle tilsi.

Vi bruker produktsetningen. Sannsynligheten for at eleven valgte pølser er $P(\text{pølser})={\displaystyle \frac{1}{4}}$, og sannsynligheten for at en elev som valgte pølser ikke ønsket salat, er

Sannsynligheten for at eleven valgte pølser og ikke ønsket salat, blir da

Svaret er $\underline{\underline{P=\mathrm{0,2}}}$.

En elev ønsker salat enten ved å velge pizza og salat, eller ved å velge pølser og salat. Vi legger sammen sannsynlighetene for disse to greinene:

Vi setter inn $P(\text{pizza})={\displaystyle \frac{3}{4}}$, $P(\text{salat}|\text{pizza})={\displaystyle \frac{1}{2}}$, $P(\text{pølser})={\displaystyle \frac{1}{4}}$ og $P(\text{salat}|\text{pølser})={\displaystyle \frac{1}{5}}$:

Vi setter brøkene på felles nevner $40$:

Av $200$ elever ønsker da

salat.

Svaret er $\underline{\underline{85\text{ elever}}}$, og sannsynligheten er $\underline{\underline{P=\mathrm{0,425}}}$.

Vi tegner grafen til

for $x\ge 0$ i GeoGebra.

Skjæringspunktet med $y$-aksen er der $x=0$:

Grafen skjærer $y$-aksen i $(0,\mathrm{2,20})$.

Skjæringspunktet med $x$-aksen (nullpunktet for $x\ge 0$) finner vi i GeoGebra med Root(f). Grafen viser punktet $B$ på $x$-aksen. Vi leser av

Toppunktet finner vi med Extremum(f, 0, 90). Grafen viser punktet $C$:

Skjæringspunktet med $y$-aksen, $(0,\mathrm{2,20})$, forteller at Frank slipper spydet i en høyde på $\mathrm{2,20}\mathrm{m}$ over bakken (utkasthøyden).

Skjæringspunktet med $x$-aksen, $(\mathrm{87,51},0)$, forteller at spydet treffer bakken $\mathrm{87,51}\mathrm{m}$ fra der Frank står. Dette er kastlengden.

Toppunktet, $(\mathrm{42,5},\mathrm{20,26})$, forteller at spydet når sin største høyde, $\mathrm{20,26}\mathrm{m}$ over bakken, når det har beveget seg $\mathrm{42,5}\mathrm{m}$ bortover fra Frank.

Vi oppsummerer: utkasthøyde $\underline{\underline{\mathrm{2,20}\mathrm{m}}}$, kastlengde $\underline{\underline{\mathrm{87,51}\mathrm{m}}}$, og største høyde $\underline{\underline{\mathrm{20,26}\mathrm{m}}}$ ved $\mathrm{42,5}\mathrm{m}$ fra Frank.

Tverrsnittet av kjeglen er en likebeint trekant. Høyden $h$ i kjeglen, radiusen $r$ og sidekanten $l$ danner en rettvinklet trekant, der sidekanten er hypotenusen. Diameteren i toppen er $\mathrm{9,0}\mathrm{cm}$, så radiusen er

Sidekanten er $l=\mathrm{6,0}\mathrm{cm}$. Vi bruker Pytagoras’ setning:

Svaret er $\underline{\underline{h\approx \mathrm{4,0}\mathrm{cm}}}$.

Volumet av en kjegle er $V={\displaystyle \frac{1}{3}}\pi r^{2}h$. Vi setter inn $r=\mathrm{4,5}\mathrm{cm}$ og $h\approx \mathrm{3,97}\mathrm{cm}$ fra a):

Siden $1\mathrm{cl}=10{\mathrm{cm}}^3$, blir volumet

Svaret er $\underline{\underline{V\approx \mathrm{8,4}\mathrm{cl}}}$. Det er altså plass til om lag $\mathrm{8,4}$ centiliter drikke i glasset.

Vi finner først når Per kommer fram. Han kjører $300\mathrm{km}$ med fart $60\mathrm{k}\mathrm{m}/\mathrm{h}$:

Per starter kl. $10.00$, og kommer derfor fram kl. $10.00+5.00=15.00$.

Så finner vi når Kari kommer fram. Bussturen er på $100\mathrm{km}$ med fart $50\mathrm{k}\mathrm{m}/\mathrm{h}$:

Kari starter med buss kl. $10.30$, og kommer til togstasjonen kl. $10.30+2.00=12.30$. Hun venter $15\text{min}$, så toget går kl. $12.45$. Resten av strekningen er $300-100=200\mathrm{km}$ med fart $100\mathrm{k}\mathrm{m}/\mathrm{h}$:

Kari kommer da fram kl. $12.45+2.00=14.45$.

Per kommer fram kl. $15.00$, mens Kari kommer fram kl. $14.45$ — altså $15\text{min}$ tidligere. Vi har dermed vist at Kari når først fram.

Kari går på toget kl. $12.45$, det vil si $2\text{t}45\text{min}=\mathrm{2,75}\text{t}$ etter at Per startet kl. $10.00$. Per har da kjørt

Per har altså kjørt $\underline{\underline{165\mathrm{km}}}$ når Kari går på toget.

For å finne når toget tar igjen bilen, lar vi $t$ være antall timer etter kl. $10.00$. Posisjonen til Per sin bil er

Toget starter kl. $12.45$ (det vil si $t=\mathrm{2,75}$) fra posisjonen $100\mathrm{km}$, med fart $100\mathrm{k}\mathrm{m}/\mathrm{h}$:

Toget tar igjen bilen når de to posisjonene er like. Vi setter de to uttrykkene lik hverandre og løser likningen:

$t=\mathrm{4,375}\text{t}=4\text{t}\mathrm{22,5}\text{min}$ etter kl. $10.00$, altså ca. kl. $14.23$. (Da har Per kjørt $60\cdot \mathrm{4,375}=\mathrm{262,5}\mathrm{km}$, som er mindre enn de $300\mathrm{km}$ turen hans er, så svaret stemmer.)

Toget tar igjen bilen til Per $\underline{\underline{\text{ca. kl. }14.23}}$.

Kari kommer fram kl. $14.45$, det vil si $4\text{t}45\text{min}=\mathrm{4,75}\text{t}$ etter at Per startet kl. $10.00$. Skal Per komme fram samtidig med Kari, må han kjøre de $300\mathrm{km}$ på $\mathrm{4,75}\text{t}$. Vi setter opp likningen $v\cdot \mathrm{4,75}=300$ og løser for $v$:

Per må holde en gjennomsnittsfart på $\underline{\underline{v\approx \mathrm{63,2}\mathrm{k}\mathrm{m}/\mathrm{h}}}$ for å komme fram samtidig med Kari.