1P Høst 2013 · Matematikkoppgaver

Oppgave 1-1Per har lest 150 sider som er 30 prosent av boka

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Per har lest 150 sider i en bok. Dette er 30 % av sidene i boka.

Hvor mange sider er det i boka?

Fasit

$500 sider$

LøsningsforslagKI-generert

Vi kaller det totale antallet sider i boka for $x$ . Per har lest 150 sider, og dette er 30 % av boka. Vi setter opp likningen

0,30 \cdot x = 150

For å finne $x$ deler vi begge sider av likningen på $0,30$ :

\begin{matrix} 0,30 \cdot x & = 150 \\ \frac{0,30 \cdot x}{0,30} & = \frac{150}{0,30} \\ x & = 500 \end{matrix}

Boka har altså $500 sider$ .

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 1
Temaer: Prosentregning
Egen side: Åpne oppgave 1-1 for seg selv

Oppgave 1-2Målestokk for kart der 2,0 cm er 10 km

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

På et kart er avstanden fra et punkt $A$ til et punkt $B$ $2,0 c m$ . I virkeligheten er avstanden i luftlinje mellom disse to punktene $10 k m$ .

Bestem målestokken til kartet.

Fasit

$1 : 500 000$

LøsningsforslagKI-generert

Målestokken forteller hvor mange ganger kortere avstanden på kartet er enn avstanden i virkeligheten. Først må vi gjøre om den virkelige avstanden fra kilometer til centimeter, slik at begge lengdene har samme enhet.

Vi vet at $1 km = 100 000 cm$ . Da blir

10 km = 10 \cdot 100 000 cm = 1 000 000 cm

Målestokken er forholdet mellom kartavstanden og den virkelige avstanden:

2,0 cm : 1 000 000 cm

Vi deler begge tallene i forholdet på $2,0$ for å få kartavstanden lik $1$ :

\frac{2,0}{2,0} : \frac{1 000 000}{2,0} = 1 : 500 000

Målestokken til kartet er $1 : 500 000$ .

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 1
Temaer: Målestokk, Måleenheter
Egen side: Åpne oppgave 1-2 for seg selv

Oppgave 1-3Areal av trapesformet område med sidene 6,0 m og 10,0 m

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Firkant med parallelle sider 6,0 m og 10,0 m, høyde 4,0 m og skrå side 5,0 m

Et område har form som vist på figuren ovenfor.

Bestem arealet av området.

Fasit

$A = 32 m^{2}$

LøsningsforslagKI-generert

Figuren viser et trapes med to parallelle sider på $6,0 m$ og $10,0 m$ , og høyden mellom de parallelle sidene er $4,0 m$ (den skrå siden på $5,0 m$ trenger vi ikke til arealberegningen).

Arealet av et trapes finner vi med formelen

A = \frac{a + b}{2} \cdot h

der $a$ og $b$ er de parallelle sidene og $h$ er høyden. Vi setter inn tallene:

A = \frac{6,0 + 10,0}{2} \cdot 4,0 = \frac{16,0}{2} \cdot 4,0 = 8,0 \cdot 4,0 = 32

Arealet av området er $A = 32 m^{2}$ .

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 2
Temaer: Areal og omkrets, Geometri
Egen side: Åpne oppgave 1-3 for seg selv

Oppgave 1-4Nominell lønn fra reallønn 500 000 kroner og KPI 130

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Et år hadde Ole en reallønn på 500 000 kroner. Konsumprisindeksen dette året var 130.

Bestem den nominelle lønna til Ole dette året.

Fasit

$650 000 kr$

LøsningsforslagKI-generert

Reallønna er det lønna er verdt når vi tar hensyn til prisstigningen, mens nominell lønn er det beløpet som faktisk står på lønnsslippen. Sammenhengen mellom dem er

Reallønn = Nominell lønn \cdot \frac{100}{KPI}

Vi løser for nominell lønn ved å snu formelen:

Nominell lønn = Reallønn \cdot \frac{KPI}{100}

Vi setter inn reallønn $= 500 000 kr$ og $KPI = 130$ :

Nominell lønn = 500 000 \cdot \frac{130}{100} = 500 000 \cdot 1,30 = 650 000

Den nominelle lønna til Ole var $650 000 kr$ .

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 2
Temaer: Prisindeks, Økonomi
Egen side: Åpne oppgave 1-4 for seg selv

Oppgave 1-5Avstand AB i rettvinklet trekant med kateter 5,0 m

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Rettvinklet trekant ABC med rett vinkel i C og kateter AC = BC = 5,0 m

Et område har form som vist på figuren ovenfor.

Avgjør ved regning om avstanden fra $A$ til $B$ er lengre enn $7,0 m$ .

Fasit

$A B = \sqrt{50} \approx 7,1 m$ , som er lengre enn $7,0 m$ .

LøsningsforslagKI-generert

Trekanten $A B C$ er rettvinklet med rett vinkel i $C$ , og kateter $A C = B C = 5,0 m$ . Avstanden $A B$ er hypotenusen i trekanten, og vi finner den med Pytagoras’ setning:

A B = \sqrt{A C^{2} + B C^{2}} = \sqrt{{5,0}^{2} + {5,0}^{2}} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50} \approx 7,1 m

Siden $7,1 m > 7,0 m$ , er avstanden fra $A$ til $B$ lengre enn $7,0 m$ .

Svar: $A B \approx 7,1 m$ , som er lengre enn $7,0 m$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Pytagoras, Rettvinklet trekant
Egen side: Åpne oppgave 1-5 for seg selv

Oppgave 1-6Omgjøring av 15 m³ til liter og 4,2 h til minutter

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Skriv av, gjør beregninger, og sett inn tallene som mangler i hver av linjene:

15 m^{3} = L

4,2 h = 4 h og m i n

Fasit

$15 m^{3} = 15 000 L$

$4,2 h = 4 h$ og $12 \min$

LøsningsforslagKI-generert

Omgjøring av kubikkmeter til liter

Vi bruker at $1 m^{3} = 1000 L$ :

15 m^{3} = 15 \cdot 1000 L = 15 000 L

Omgjøring av timer til minutter

Vi deler $4,2 h$ opp i en heltallsdel og en desimaldel:

4,2 h = 4 h + 0,2 h

Siden $1 h = 60 \min$ , gjør vi om $0,2 h$ til minutter:

0,2 h = 0,2 \cdot 60 \min = 12 \min

Dermed er $4,2 h = 4 h$ og $12 \min$ .

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 2
Temaer: Måleenheter
Egen side: Åpne oppgave 1-6 for seg selv

Oppgave 1-7Maksimal puls 211 minus 0,64 ganger alder

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Sammenhengen mellom maksimal puls $M$ (antall slag/min) og alder $A$ (antall år) er gitt ved formelen

M = 211 - 0,64 \cdot A

Hva er maksimal puls til en person som er 20 år, ifølge formelen ovenfor?

Svein har en maksimal puls på 179 slag/min.

Hvor gammel er Svein ifølge formelen ovenfor?

Fasit

$M = 198,2 slag/min$

$A = 50 år$

LøsningsforslagKI-generert

Vi setter inn $A = 20$ i formelen:

M = 211 - 0,64 \cdot 20 = 211 - 12,8 = 198,2

En person som er 20 år, har ifølge formelen en maksimal puls på $198,2$ slag/min.

Svein har maksimal puls $M = 179$ . Vi setter dette inn i formelen og løser likningen for $A$ :

\begin{matrix} 179 & = 211 - 0,64 \cdot A \\ 179 - 211 & = 211 - 0,64 \cdot A - 211 \\ - 32 & = - 0,64 \cdot A \\ \frac{- 32}{- 0,64} & = \frac{- 0,64 \cdot A}{- 0,64} \\ 50 & = A \end{matrix}

Svein er $50$ år ifølge formelen.

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 3
Temaer: Formler, Likninger
Egen side: Åpne oppgave 1-7 for seg selv

Oppgave 1-8Sivs blå og svarte bukser i krysstabell

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Siv har fire blå og seks svarte bukser i skapet. Én av de blå og tre av de svarte buksene passer ikke lenger.

Tegn av tabellen nedenfor, og fyll inn tall i de hvite rutene.

	Blå bukser	Svarte bukser	Sum
Bukser som passer
Bukser som ikke passer
Sum

Siv tar tilfeldig én bukse fra skapet.

Bestem sannsynligheten for at buksen passer.

Siv har tatt en bukse som passer.

Bestem sannsynligheten for at denne buksen er blå.

Fasit

Se tabell i løsningsforslaget.

$P (passer) = 0,6$

$P (blå | passer) = 0,5$

LøsningsforslagKI-generert

Siv har $4$ blå bukser og $6$ svarte bukser, til sammen $10$ bukser.

Én av de blå buksene passer ikke, så $4 - 1 = 3$ blå bukser passer, og $1$ blå bukse passer ikke.

Tre av de svarte buksene passer ikke, så $6 - 3 = 3$ svarte bukser passer, og $3$ svarte bukser passer ikke.

	Blå bukser	Svarte bukser	Sum
Bukser som passer	3	3	6
Bukser som ikke passer	1	3	4
Sum	4	6	10

Av alle de $10$ buksene er det $6$ som passer. Sannsynligheten for at Siv trekker en bukse som passer, er da

P (passer) = \frac{6}{10} = 0,6

Svar: $P (passer) = 0,6$

Dette er en betinget sannsynlighet: vi vet at buksen Siv tar, passer, og vi ser bare på raden «Bukser som passer» i tabellen. Der er det $6$ bukser totalt, og $3$ av dem er blå:

P (blå | passer) = \frac{3}{6} = 0,5

Svar: $P (blå | passer) = 0,5$

Oppgavedata

Delt med: 1T, 1P
Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 4
Temaer: Sannsynlighet, Krysstabell, Betinget sannsynlighet
Egen side: Åpne oppgave 1-8 for seg selv

Oppgave 1-9Pris for skål med sjokolade som rett linje

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Rett linje som viser pris for skålen med sjokolade (kroner) mot antall hektogram sjokolade

Terje kjøper en skål og fyller den med sjokolade. Den rette linjen i koordinatsystemet ovenfor viser sammenhengen mellom antall hektogram sjokolade Terje kjøper, og hvor mye han må betale for skålen med sjokolade.

Hvor mye koster selve skålen? Hvor mye koster 1 hg sjokolade?

Bestem likningen for den rette linjen.

Fasit

Skålen koster $150 kr$ , og $1 hg$ sjokolade koster $7,5 kr$ .

$y = 7,5 x + 150$

LøsningsforslagKI-generert

Skålens pris tilsvarer prisen når $x = 0$ hg sjokolade er kjøpt, altså der linjen skjærer $y$ -aksen. Av grafen leser vi av at linjen skjærer $y$ -aksen i $y = 150$ . Selve skålen koster derfor $150 kr$ .

Prisen per hektogram sjokolade er stigningstallet til linjen. Vi leser av to punkter på linjen, for eksempel $(0, 150)$ og $(20, 300)$ , og finner stigningstallet:

a = \frac{300 - 150}{20 - 0} = \frac{150}{20} = 7,5

Dermed koster $1 hg$ sjokolade $7,5 kr$ .

En rett linje har likningen $y = a x + b$ , der $a$ er stigningstallet og $b$ er konstantleddet (skjæringspunktet med $y$ -aksen). Fra a) har vi $a = 7,5$ og $b = 150$ . Likningen for linjen blir dermed

y = 7,5 x + 150

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 3
Temaer: Lineære funksjoner, Graftolkning, Stigningstall
Egen side: Åpne oppgave 1-9 for seg selv

Oppgave 1-10Er vekt og pris for tre kjøttdeigpakker proporsjonale

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Tre pakker kjøttdeig: 400 g til 24 kroner, 500 g til 30 kroner og 600 g til 36 kroner

Ovenfor ser du hvor mye tre ulike pakker kjøttdeig koster i en butikk.

Er vekt og pris proporsjonale størrelser her?

Fasit

Ja, vekt og pris er proporsjonale.

LøsningsforslagKI-generert

To størrelser er proporsjonale hvis forholdet mellom dem er det samme uansett hvilket verdipar vi ser på. Her betyr det at forholdet $\frac{pris}{vekt}$ må være likt for alle de tre pakkene.

Vi regner ut forholdet mellom pris og vekt for hver av de tre pakkene:

\begin{matrix} 400 g, 24 kr & : \frac{24}{400} = 0,06 k r / g \\ 500 g, 30 kr & : \frac{30}{500} = 0,06 k r / g \\ 600 g, 36 kr & : \frac{36}{600} = 0,06 k r / g \end{matrix}

Alle de tre pakkene koster $0,06 kr$ per gram, altså er forholdet mellom pris og vekt konstant for alle pakkene.

Siden forholdet mellom pris og vekt er det samme for alle pakkene, er vekt og pris proporsjonale størrelser.

$Ja, vekt og pris er proporsjonale størrelser (0,06 kr/g for alle pakkene).$

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 1
Poeng: 2
Temaer: Proporsjonalitet
Egen side: Åpne oppgave 1-10 for seg selv

Oppgave 1-11Overslag over diameter til ball målt langs overflaten

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Ball med målebånd lagt langs overflaten fra A øverst til B nederst

Maria lurer på hvor stor diameter en ball har. Hun måler langs ballens overflate og finner at det er ca. $100 c m$ fra $A$ til $B$ . Se bildet ovenfor.

Gjør overslag, og bestem omtrent hvor stor diameter ballen har.

Fasit

$d \approx 67 cm$

LøsningsforslagKI-generert

Målebåndet går langs overflaten fra toppen ( $A$ ) til bunnen ( $B$ ) av ballen, altså en halv omkrets av ballen. Det betyr at

halve omkretsen \approx 100 cm

Da er hele omkretsen dobbelt så stor:

O \approx 2 \cdot 100 cm = 200 cm

Omkretsen av en sirkel henger sammen med diameteren gjennom formelen $O = π \cdot d$ , altså er $d = \frac{O}{π}$ . Siden vi skal gjøre et overslag, runder vi $π$ til $3$ :

d \approx \frac{200}{3} cm \approx 67 cm

Diameteren til ballen er altså omtrent $67 cm$ .

$d \approx 67 cm$

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Sirkel, Areal og omkrets
Egen side: Åpne oppgave 1-11 for seg selv

Oppgave 2-1KPI 2008–2012 og kjøpekraft for familien Johnsen

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

År	2008	2009	2010	2011	2012
KPI	$123,1$	$125,7$	$128,8$	$130,4$	$131,4$

Tabellen ovenfor viser konsumprisindeksen (KPI) hvert år fra 2008 til 2012.

Kalkulator

Hvor mange prosent har konsumprisindeksen økt med i denne perioden?

I 2010 kjøpte familien Johnsen matvarer for 8000 kroner per måned. Vi antar at prisen på disse matvarene har fulgt utviklingen i konsumprisindeksen.

Kalkulator

Hvor mye betalte familien per måned for tilsvarende matvarer i 2012?

I 2008 var inntekten til familien Johnsen 45 000 kroner per måned. I 2012 var inntekten økt til 49 000 kroner per måned.

Kalkulator

Gjør beregninger og avgjør om familien hadde større kjøpekraft (bedre råd) i 2012 enn i 2008.

Fasit

$\approx 6,7 %$

$\approx 8 161 kr$

$Familien hadde større kjøpekraft i 2012$

LøsningsforslagKI-generert

Vi finner hvor mye KPI har økt fra 2008 til 2012, og regner det om til prosent. KPI var $123,1$ i 2008 og $131,4$ i 2012, altså en økning på $131,4 - 123,1 = 8,3$ .

Prosentvis økning = \frac{131,4 - 123,1}{123,1} \cdot 100 % \approx 6,7 %

KPI økte med omtrent $6,7 %$ fra 2008 til 2012.

Vi antar at prisen på matvarene følger KPI. I 2010 var KPI $128,8$ og prisen $8000$ kroner. I 2012 var KPI $131,4$ . Den nye prisen finner vi ved å multiplisere med forholdet mellom KPI-verdiene:

8000 \cdot \frac{131,4}{128,8} \approx 8161 kr

Familien betalte omtrent $8 161 kr$ per måned for tilsvarende matvarer i 2012.

For å avgjøre om kjøpekraften har økt, sammenligner vi hvor mye inntekten har økt med hvor mye prisene (KPI) har økt i samme periode, 2008–2012.

Inntektens vekstfaktor:

\frac{49 000}{45 000} \approx 1,089

Inntekten økte altså med omtrent $8,9 %$ .

KPI-ens vekstfaktor (samme periode som i a)):

\frac{131,4}{123,1} \approx 1,067

Prisene økte altså med omtrent $6,7 %$ .

Siden inntekten økte mer ( $8,9 %$ ) enn prisene ( $6,7 %$ ), fikk familien mer igjen for pengene sine i 2012 enn i 2008.

Vi kan også sjekke dette ved å regne om inntekten i 2012 til 2008-kroner:

49 000 \cdot \frac{123,1}{131,4} \approx 45 905 kr

Dette er mer enn den faktiske inntekten på $45 000 kr$ i 2008, så familien hadde reelt sett mer å rutte med i 2012.

Familien Johnsen hadde $større kjøpekraft i 2012 enn i 2008$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Prisindeks, Prosentregning, Økonomi
Egen side: Åpne oppgave 2-1 for seg selv

Oppgave 2-2To tilfeldige syklister uten lys i mørket

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En undersøkelse har vist at 20 % av alle syklistene i en by sykler uten lys i mørket. Vi velger tilfeldig to syklister fra denne byen.

Kalkulator

Bestem sannsynligheten for at begge sykler uten lys i mørket.

Kalkulator

Bestem sannsynligheten for at nøyaktig én av dem sykler uten lys i mørket.

Fasit

$P = 0,04 = 4 %$

$P = 0,32 = 32 %$

LøsningsforslagKI-generert

Sannsynligheten for at en tilfeldig syklist sykler uten lys, er $p = 20 % = 0,20$ . De to syklistene velges uavhengig av hverandre, så vi kan multiplisere sannsynlighetene:

P (begge uten lys) = 0,20 \cdot 0,20 = 0,04

Sannsynligheten for at begge sykler uten lys, er $0,04 = 4 %$ .

«Nøyaktig én av dem sykler uten lys» kan skje på to måter: enten sykler den første uten lys og den andre med lys, eller omvendt. Sannsynligheten for hver av disse to hendelsene er $0,20 \cdot 0,80$ , og siden hendelsene utelukker hverandre, legger vi sammen:

P (nøyaktig én uten lys) = 2 \cdot 0,20 \cdot 0,80 = 0,32

Sannsynligheten for at nøyaktig én av dem sykler uten lys, er $0,32 = 32 %$ .

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 4
Temaer: Sannsynlighet
Egen side: Åpne oppgave 2-2 for seg selv

Oppgave 2-3Bil til 250 000 kroner som synker 15 prosent per år

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Øystein har kjøpt bil. Bilen kostet 250 000 kroner. Vi regner med at verdien har sunket, og at den vil fortsette å synke, med 15 % per år.

Kalkulator

Hvor mye vil bilen være verd om fem år?

Kalkulator

Hvor mye var bilen verd for fem år siden?

Fasit

$\approx 110 926 kr$

$\approx 563 437 kr$

LøsningsforslagKI-generert

Verdien synker med $15 %$ per år, så vekstfaktoren per år er

1 - 0,15 = 0,85

Etter $5$ år har verdien blitt multiplisert med $0,85$ fem ganger:

250 000 \cdot {0,85}^{5} \approx 110 926 kr

Om fem år vil bilen være verd omtrent $110 926 kr$ .

For å finne verdien for fem år siden, går vi motsatt vei i tid. Siden verdien i dag ( $250 000$ kr) er verdien for fem år siden multiplisert med ${0,85}^{5}$ , finner vi verdien for fem år siden ved å dele i stedet for å gange:

\frac{250 000}{{0,85}^{5}} \approx 563 437 kr

For fem år siden var bilen verd omtrent $563 437 kr$ .

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 4
Temaer: Vekstfaktor, Prosentregning
Egen side: Åpne oppgave 2-3 for seg selv

Oppgave 2-4Vinkel, høyde og areal i regulær sekskant med side 3,0 cm

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Regulær sekskant ABCDEF delt i seks likesidede trekanter, med høyden h i trekanten over AB

En regulær sekskant er satt sammen av seks likesidede trekanter. Sidene i trekantene er $3,0 c m$ . Se figuren ovenfor.

Kalkulator

Bestem $∠ A B C$ .

Kalkulator

Bestem høyden $h$ i trekantene ved regning.

Kalkulator

Bestem arealet av sekskanten ved regning.

Fasit

$∠ A B C = 120 °$

$h \approx 2,6 cm$

$A \approx 23,4 {cm}^{2}$

LøsningsforslagKI-generert

Sekskanten er satt sammen av seks likesidede trekanter som alle møtes i sentrum. I en likesidet trekant er alle vinklene $60 °$ . I hvert hjørne på sekskanten, for eksempel i $B$ , møtes to av disse trekantene, og vinkelen $∠ A B C$ består derfor av to slike $60 °$ -vinkler:

∠ A B C = 2 \cdot 60 ° = 120 °

Vinkelen $∠ A B C$ er $120 °$ .

Vi ser på en av de likesidede trekantene, med sidelengde $3,0 cm$ . Høyden $h$ står vinkelrett på grunnlinjen $A B$ og deler trekanten i to like rettvinklede trekanter. Halve grunnlinjen er da $1,5 cm$ , og hypotenusen er sidelengden $3,0 cm$ . Med Pytagoras’ setning får vi:

h^{2} + {1,5}^{2} = {3,0}^{2}

h^{2} = {3,0}^{2} - {1,5}^{2} = 9 - 2,25 = 6,75

h = \sqrt{6,75} \approx 2,6 cm

Høyden i trekantene er omtrent $2,6 cm$ .

Sekskanten består av seks like store likesidede trekanter. Arealet av én trekant finner vi med grunnlinje $3,0 cm$ og høyde $h \approx 2,598 cm$ (vi bruker den ikke avrundede verdien fra b) i utregningen):

A_{△} = \frac{1}{2} \cdot 3,0 \cdot 2,598 \approx 3,90 {cm}^{2}

Arealet av hele sekskanten er da seks ganger dette:

A = 6 \cdot A_{△} \approx 6 \cdot 3,90 \approx 23,4 {cm}^{2}

Arealet av sekskanten er omtrent $23,4 {cm}^{2}$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Geometri, Pytagoras, Areal og omkrets
Egen side: Åpne oppgave 2-4 for seg selv

Oppgave 2-5Fiskebestand fra år 2000 med bunnpunkt og linjen y = 200

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ gitt ved

f (x) = 3 x^{3} - 48 x^{2} + 162 x + 300

viser hvor mange tonn fisk $f (x)$ det var i en fiskebestand $x$ år etter år 2000.

Kalkulator

Tegn grafen til $f$ for $0 \leq x \leq 10$ .

Krever PC

Når var fiskebestanden minst? Hvor mange tonn fisk var det i fiskebestanden da?

Krever PC

Bestem skjæringspunktet mellom grafen til $f$ og linjen med likning $y = 200$ . Hva forteller koordinatene til dette punktet om fiskebestanden?

Kalkulator

Hvor stor var den gjennomsnittlige endringen i fiskebestanden per år i perioden 1. januar 2003 – 1. januar 2007?

Fasit

Se graf i løsningsforslaget.

Bunnpunkt $(8,57, 51,25)$ — $minst omtrent 8,6 år etter 2000 (i 2008), da \approx 51 tonn$

Skjæringspunkt $(5,91, 200)$

$- 81 tonn / år$

LøsningsforslagKI-generert

Funksjonen er gitt ved

f (x) = 3 x^{3} - 48 x^{2} + 162 x + 300

Vi tegner grafen til $f$ for $0 \leq x \leq 10$ i GeoGebra.

Graf til f, bunnpunkt og linjen y = 200

Vi finner bunnpunktet til grafen (kommandoen Extremum(f, 6, 10) i GeoGebra), siden grafen synker fra $x \approx 2,1$ og fram til bunnpunktet, og deretter stiger igjen. GeoGebra gir bunnpunktet

(x, y) \approx (8,57, 51,25)

Siden $x = 0$ tilsvarer år 2000, betyr dette at fiskebestanden var på sitt minste omtrent $8,6$ år etter år 2000, altså i løpet av $2008$ . Da var det omtrent $51 tonn$ fisk i bestanden.

$Fiskebestanden var minst i 2008, med ca. 51 tonn$

Vi finner skjæringspunktet mellom grafen til $f$ og linjen $y = 200$ (kommandoen Intersect(f, y=200, 4, 7) i GeoGebra, siden grafen bare krysser linjen én gang i intervallet $0 \leq x \leq 10$ ). GeoGebra gir skjæringspunktet

(x, y) \approx (5,91, 200)

Dette betyr at fiskebestanden passerte $200 tonn$ omtrent $5,9$ år etter år 2000, altså mot slutten av $2005$ — mens bestanden var på vei nedover.

$(x, y) \approx (5,91, 200)$

Vi skal finne den gjennomsnittlige endringen fra 1. januar 2003 ( $x = 3$ ) til 1. januar 2007 ( $x = 7$ ). Dette er stigningstallet til sekanten gjennom punktene $(3, f (3))$ og $(7, f (7))$ :

\begin{matrix} f (3) & = 3 \cdot 3^{3} - 48 \cdot 3^{2} + 162 \cdot 3 + 300 = 435 \\ f (7) & = 3 \cdot 7^{3} - 48 \cdot 7^{2} + 162 \cdot 7 + 300 = 111 \end{matrix}

Gjennomsnittlig endring per år blir da

\frac{f (7) - f (3)}{7 - 3} = \frac{111 - 435}{4} = \frac{- 324}{4} = - 81

$- 81 tonn / år$

I gjennomsnitt minket altså fiskebestanden med $81 tonn$ per år i perioden 2003–2007.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 8
Temaer: Modellering, Funksjoner, Graftolkning, Gjennomsnittlig vekstfart
Egen side: Åpne oppgave 2-5 for seg selv

Oppgave 2-6Rørlegger Jonny med pensjonstrekk og trekktabell 7100

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Jonny er rørlegger. Han har en timelønn på 215 kroner.

Jonny betaler 2 % av bruttolønna til en pensjonskasse. I tillegg betaler han hver måned 250 kroner i fagforeningskontingent.

En måned arbeidet Jonny 150 timer.

Kalkulator

Hvor mye betalte Jonny til pensjonskassen denne måneden?

Jonny har tabelltrekk. Se nedenfor.

Trekktabell 7100 for 2013, månedslønn

Grunnlag	Trekk	Grunnlag	Trekk	Grunnlag	Trekk	Grunnlag	Trekk	Grunnlag	Trekk
30 100	9 294	30 600	9 500	31 100	9 707	31 600	9 914	32 100	10 120
30 200	9 335	30 700	9 542	31 200	9 748	31 700	9 955	32 200	10 162
30 300	9 376	30 800	9 583	31 300	9 790	31 800	9 996	32 300	10 203
30 400	9 418	30 900	9 624	31 400	9 831	31 900	10 038	32 400	10 244
30 500	9 459	31 000	9 666	31 500	9 872	32 000	10 079	32 500	10 286

Kalkulator

Hvor mye betalte han i skatt denne måneden?

Fasit

$645 kr$

$9 790 kr$

LøsningsforslagKI-generert

Bruttolønna til Jonny denne måneden finner vi ved å gange timelønna med antall timer han jobbet:

150 \cdot 215 = 32 250 kr

Pensjonstrekket er $2 %$ av bruttolønna:

0,02 \cdot 32 250 = 645 kr

Jonny betalte $645 kr$ til pensjonskassen denne måneden.

Skattetrekket beregnes ut fra et trekkgrunnlag, som er bruttolønna minus pensjonstrekket og fagforeningskontingenten:

32 250 - 645 - 250 = 31 355 kr

Trekkgrunnlaget på $31 355 kr$ finnes ikke direkte i tabellen, så vi bruker raden med det nærmeste grunnlaget som ikke overstiger $31 355 kr$ , altså $31 300 kr$ . Denne raden gir et trekk på $9 790 kr$ .

Jonny betalte $9 790 kr$ i skatt denne måneden.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Økonomi, Prosentregning
Egen side: Åpne oppgave 2-6 for seg selv

Oppgave 2-7Volum og lakkering av kuleismodell med kjegle og halvkule

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Modell av kuleis: kjegle med en halvkule i enden, radius 0,60 m og total lengde 3,2 m

Tore har laget en stor modell av en kuleis. Modellen har tilnærmet form som en kjegle med en halvkule i enden. Toppen av kjeglen har radius $0,60 m$ , og modellen er $3,2 m$ lang. Se skissen ovenfor.

Kalkulator

Regn ut volumet av modellen.

Modellen skal lakkeres. En boks lakk er nok til $2,2 m^{2}$ .

Kalkulator

Hvor mange bokser vil gå med for å lakkere modellen?

Fasit

$V \approx 1,43 m^{3}$

$4 bokser$

LøsningsforslagKI-generert

Modellen består av en kjegle og en halvkule med radius $r = 0,60 m$ . Halvkulen strekker seg $0,60 m$ (radiusen) ut fra toppen av kjeglen, så høyden til kjeglen er

h = 3,2 - 0,60 = 2,6 m

Volumet av kjegledelen:

V_{kjegle} = \frac{1}{3} \cdot π \cdot r^{2} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot π \cdot {0,60}^{2} \cdot 2,6 \approx 0,980 m^{3}

Volumet av halvkuledelen:

V_{halvkule} = \frac{2}{3} \cdot π \cdot r^{3} = \frac{2}{3} \cdot π \cdot {0,60}^{3} \approx 0,452 m^{3}

Totalt volum:

V = V_{kjegle} + V_{halvkule} \approx 0,980 + 0,452 \approx 1,43 m^{3}

Volumet av modellen er $V \approx 1,43 m^{3}$ .

For å finne overflaten som skal lakkeres, trenger vi sideflaten til kjeglen og overflaten til halvkulen (ikke bunnflaten til kjeglen, siden halvkulen sitter der, og heller ikke halvkulens flate side, siden den ligger inntil kjeglen).

Sidelinja $s$ i kjeglen finner vi med Pytagoras’ setning:

s = \sqrt{r^{2} + h^{2}} = \sqrt{{0,60}^{2} + {2,6}^{2}} = \sqrt{7,12} \approx 2,668 m

Sideflaten (mantelflaten) til kjeglen:

M = π \cdot r \cdot s = π \cdot 0,60 \cdot 2,668 \approx 5,03 m^{2}

Overflaten til halvkulen:

O_{halvkule} = 2 π r^{2} = 2 π \cdot {0,60}^{2} \approx 2,26 m^{2}

Totalt areal som skal lakkeres:

O = M + O_{halvkule} \approx 5,03 + 2,26 \approx 7,29 m^{2}

Antall bokser lakk:

\frac{7,29}{2,2} \approx 3,31

Siden $3$ bokser ikke er nok, må Tore kjøpe $4 bokser$ lakk.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Volum, Romgeometri, Kule, Pytagoras
Egen side: Åpne oppgave 2-7 for seg selv

Del 1uten hjelpemidler · 2 timer · 11 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 1-1·Per har lest 150 sider som er 30 prosent av boka

Oppgave 1-2·Målestokk for kart der 2,0 cm er 10 km

Oppgave 1-3·Areal av trapesformet område med sidene 6,0 m og 10,0 m

Oppgave 1-4·Nominell lønn fra reallønn 500 000 kroner og KPI 130

Oppgave 1-5·Avstand AB i rettvinklet trekant med kateter 5,0 m

Oppgave 1-6·Omgjøring av 15 m³ til liter og 4,2 h til minutter

Oppgave 1-7·Maksimal puls 211 minus 0,64 ganger alder

Oppgave 1-8·Sivs blå og svarte bukser i krysstabell

Oppgave 1-9·Pris for skål med sjokolade som rett linje

Oppgave 1-10·Er vekt og pris for tre kjøttdeigpakker proporsjonale

Oppgave 1-11·Overslag over diameter til ball målt langs overflaten

Del 2alle hjelpemidler · 3 timer · 7 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 2-1·KPI 2008–2012 og kjøpekraft for familien Johnsen

Oppgave 2-2·To tilfeldige syklister uten lys i mørket

Oppgave 2-3·Bil til 250 000 kroner som synker 15 prosent per år

Oppgave 2-4·Vinkel, høyde og areal i regulær sekskant med side 3,0 cm

Oppgave 2-5·Fiskebestand fra år 2000 med bunnpunkt og linjen y = 200

Oppgave 2-6·Rørlegger Jonny med pensjonstrekk og trekktabell 7100

Oppgave 2-7·Volum og lakkering av kuleismodell med kjegle og halvkule

Temaer

Oppgave 1-1Per har lest 150 sider som er 30 prosent av boka

Oppgave 1-2Målestokk for kart der 2,0 cm er 10 km

Oppgave 1-3Areal av trapesformet område med sidene 6,0 m og 10,0 m

Oppgave 1-4Nominell lønn fra reallønn 500 000 kroner og KPI 130

Oppgave 1-5Avstand AB i rettvinklet trekant med kateter 5,0 m

Oppgave 1-6Omgjøring av 15 m³ til liter og 4,2 h til minutter

Oppgave 1-7Maksimal puls 211 minus 0,64 ganger alder

Oppgave 1-8Sivs blå og svarte bukser i krysstabell

Oppgave 1-9Pris for skål med sjokolade som rett linje

Oppgave 1-10Er vekt og pris for tre kjøttdeigpakker proporsjonale

Oppgave 1-11Overslag over diameter til ball målt langs overflaten

Oppgave 2-1KPI 2008–2012 og kjøpekraft for familien Johnsen

Oppgave 2-2To tilfeldige syklister uten lys i mørket

Oppgave 2-3Bil til 250 000 kroner som synker 15 prosent per år

Oppgave 2-4Vinkel, høyde og areal i regulær sekskant med side 3,0 cm

Oppgave 2-5Fiskebestand fra år 2000 med bunnpunkt og linjen y = 200

Oppgave 2-6Rørlegger Jonny med pensjonstrekk og trekktabell 7100

Oppgave 2-7Volum og lakkering av kuleismodell med kjegle og halvkule