1P Høst 2016

For å skrive en brøk som prosent, gjør vi brøken om til et tall med nevner 100.

Vi vet at ${\displaystyle \frac{3}{4}}$ av elevene er jenter, og at 20 % av jentene spiller håndball. Ingen gutter spiller håndball, så andelen av hele klassen som spiller håndball, finner vi ved å regne ut 20 % av ${\displaystyle \frac{3}{4}}$.

Vi gjør om ${\displaystyle \frac{3}{4}}$ til prosent:

Deretter finner vi 20 % av 75 %:

Altså spiller $\underline{\underline{15\%}}$ av elevene i klassen håndball.

Kroneverdien forteller hvor mye én krone er verdt sammenlignet med et valgt basisår, og beregnes med formelen

Dette betyr at produktet av kroneverdien $K$ og konsumprisindeksen $\mathrm{KPI}$ alltid er det samme tallet, nemlig $100$:

Når to størrelser har et konstant produkt, er de per definisjon omvendt proporsjonale. Blir KPI dobbelt så stor, blir kroneverdien halvert, og omvendt. Dermed er kroneverdi og konsumprisindeks omvendt proporsjonale størrelser.

La ${\mathrm{KPI}}_0$ være konsumprisindeksen i utgangspunktet, og la $K_0={\displaystyle \frac{100}{{\mathrm{KPI}}_0}}$ være kroneverdien da.

Øker KPI med $20\%$ i løpet av perioden, blir den nye verdien

Den nye kroneverdien blir da

Kroneverdien blir altså omtrent $\mathrm{83,3}\%$ av den opprinnelige verdien, det vil si en nedgang på omtrent

Kroneverdien minker altså med ca. $\mathrm{16,7}\%$ når KPI øker med $20\%$ — ikke med $20\%$ slik påstanden sier. Grunnen er at kroneverdi og KPI er omvendt proporsjonale, og ikke lineært knyttet til hverandre, slik at en prosentvis økning i KPI ikke gir like stor prosentvis nedgang i kroneverdien.

Konklusjon: $\underline{\underline{\text{Påstanden er feil.}}}$

To størrelser er proporsjonale dersom forholdet mellom dem er konstant, altså at prisen delt på mengden alltid gir samme tall. Vi sjekker dette for hver rad i tabellen:

Forholdet mellom pris og mengde er $7$ kroner per kilo i alle fire tilfellene. Siden forholdet er konstant, er mengde og pris proporsjonale størrelser.

Siden forholdet mellom pris $P$ og mengde $m$ alltid er $7$ kr/kg, kan vi sette opp formelen

Vi ganger med $m$ på begge sider:

Svar: $\underline{\underline{P=7m}}$, der $P$ er prisen i kroner og $m$ er mengden i kilo.

Vi setter $x=0$ inn i uttrykket for $K(x)$:

$\underline{\underline{K(0)=20000\mathrm{kr}}}$

$K(0)$ er kostnadene når bedriften produserer $0$ enheter av varen, altså de faste kostnadene bedriften har uansett hvor mye som produseres.

Vi vet at det koster $30000$ kroner å produsere $50$ enheter, altså at $K(50)=30000$. Vi setter $x=50$ inn i uttrykket for $K(x)$:

Siden ${50}^2=2500$, får vi likningen

Vi trekker sammen de kjente leddene på venstre side, og løser likningen for $b$:

$\underline{\underline{b=150}}$

På bildet er rekkefølgen blå, rød, rød. Ettersom vi trekker uten tilbakelegging, endrer antall nisser i esken seg for hver trekning. Vi multipliserer sannsynlighetene for hver trekning:

Etter at vi har trukket den blå nissen, er det $4$ røde igjen av $7$ nisser totalt. Etter at vi også har trukket én rød, er det $3$ røde igjen av $6$ nisser totalt.

$\underline{\underline{P={\displaystyle \frac{1}{7}}}}$

Nå kan den ene blå nissen komme som nummer én, to eller tre i rekken. Det finnes altså $3$ ulike rekkefølger som gir «én blå og to røde»: BRR, RBR og RRB.

Hver av disse rekkefølgene inneholder trekning av $1$ blå og $2$ røde nisser, så sannsynligheten for hver enkelt rekkefølge er den samme, uavhengig av hvor den blå nissen kommer i rekken:

Siden hendelsene er disjunkte, adderer vi sannsynlighetene:

$\underline{\underline{P={\displaystyle \frac{3}{7}}}}$

Det er lettest å bruke komplementhendelsen: «minst én blå» er det motsatte av «ingen blå», altså «alle tre er røde».

Da blir sannsynligheten for minst én blå nisse:

$\underline{\underline{P={\displaystyle \frac{13}{14}}}}$

Et beger med slush koster $35$ kroner, og begeret kan bare brukes én gang. Da må du betale $35$ kroner for hvert beger du kjøper. Prisen for $x$ beger med slush er derfor

Koppen koster $90$ kroner første gangen. Deretter koster hver påfylling $15$ kroner. Kjøper du $x$ kopper med slush, har du betalt for koppen én gang og fylt den opp $(x-1)$ ganger. Prisen blir da

Grafisk er svaret skjæringspunktet mellom de to linjene $f$ og $g$. Vi finner det ved å løse likningen $f(x)=g(x)$:

Grafene krysser hverandre ved $x=\mathrm{3,75}$. Siden $x$ må være et helt antall slush, sjekker vi prisen for $x=3$ og $x=4$:

Ved $x=3$ er begeret billigst, men ved $x=4$ er koppen billigst. Det lønner seg altså å kjøpe koppen fra og med det $\underline{\underline{4.}}$ slushen.

Vi bruker graftegner til å tegne grafen til

For å finne når flest biler passerer, ser vi etter toppunktet til grafen. I graftegneren finner vi at grafen har et toppunkt for

Siden $x$ er antall minutter etter klokken 06.00, betyr $x\approx \mathrm{55,3}$ at klokken er ca. $06:55$.

Det er flest biler som passerer bomstasjonene kl. $\text{𝟎𝟔:𝟓𝟓}$, da passerer det ca. $\underline{\underline{83\text{ biler per minutt}}}$.

Vi tegner inn linja $y=70$ og finner skjæringspunktene mellom denne linja og grafen til $T$ i det aktuelle intervallet $0\le x\le 180$. Fra graftegneren leser vi av

Grafen ligger over linja $y=70$ mellom disse to x-verdiene (se figuren i a)). Det tredje skjæringspunktet grafen har med $y=70$ ligger ved $x\approx \mathrm{181,3}$, altså utenfor det aktuelle tidsrommet $0\le x\le 180$, og er derfor ikke relevant.

Vi regner om til klokkeslett: $x\approx \mathrm{27,1}$ minutter etter kl. 06.00 gir ca. kl. $06:27$, og $x\approx \mathrm{91,6}$ minutter etter kl. 06.00 gir ca. kl. $07:32$.

Det er mer enn 70 biler i minuttet som passerer bomstasjonene i tidsrommet fra $\underline{\underline{\text{ca. kl. 06:27 til ca. kl. 07:32}}}$.

Vi ser på de to trekantene $△ABC$ og $△CDE$.

Vi vet at $\angle ABC=\angle DEC=90°$, siden begge er gitt som rette vinkler.

I tillegg er $\angle ACB$ og $\angle DCE$ toppvinkler, fordi linjene $AD$ og $BE$ skjærer hverandre i punktet $C$. Toppvinkler er alltid like store, så $\angle ACB=\angle DCE$.

Siden to par vinkler i trekantene er like, må også det tredje vinkelparet være like store (vinkelsummen i en trekant er $180°$). Da har trekantene tre par like vinkler, og de er derfor formlike:

Siden trekantene er formlike, er forholdet mellom tilsvarende sider det samme. Hypotenusene $AC$ og $DC$ svarer til hverandre, så vi finner forholdstallet $k$:

Siden $△ABC\sim △DEC$, svarer $BC$ til $EC$, og $AB$ svarer til $DE$.

Vi finner først $DE$ med Pytagoras’ setning i den rettvinklede trekanten $CDE$ (rett vinkel i $E$, hypotenus $CD$):

Nå kan vi bruke forholdstallet $k=\mathrm{1,4}$ til å finne $BC$ og $AB$:

Vi kan kontrollere svaret med Pytagoras i $△ABC$: $A{B}^2+B{C}^2={63}^2+{\mathrm{39,2}}^2=3969+\mathrm{1536,64}=\mathrm{5505,64}={\mathrm{74,2}}^2=A{C}^2$. Svaret stemmer.

$\underline{\underline{BC=\mathrm{39,2}}}$ og $\underline{\underline{AB=63}}$

Når to trekanter er formlike med forholdstall $k$ mellom tilsvarende sider, er forholdet mellom arealene $k^2$:

$\underline{\underline{\text{Areal}(△ABC):\text{Areal}(△CDE)=\mathrm{1,96}:1(\text{eller }49:25)}}$

Kisten står på bakken, så vi trenger ikke male undersiden. Den utvendige overflaten som skal males, består av tre deler:

To sideflater (de lange, flate veggene), hver med lengde $95\mathrm{cm}$ og høyde $62\mathrm{cm}$:

To endeflater, hver satt sammen av et rektangel ($41\mathrm{cm}\times 62\mathrm{cm}$) og en halvsirkel med radius $\mathrm{20,5}\mathrm{cm}$:

Den krumme takflaten (halve sylindermantelen), med lengde $95\mathrm{cm}$:

Totalt utvendig areal som skal males:

Siden $1\mathrm{L}$ maling rekker til $10{\mathrm{m}}^2$, trenger William

$\underline{\underline{\approx \mathrm{0,24}\mathrm{L}\text{maling}}}$

I praksis må han kjøpe en boks som rommer minst dette, altså minst en kvart liter maling.

Materialet i kisten er $\mathrm{1,5}\mathrm{cm}$ tykt over alt — i bunnen, i sideveggene, i endeveggene og i den krumme takflaten. Det innvendige rommet er derfor «hele kisten krympet innover» med $\mathrm{1,5}\mathrm{cm}$ på alle kanter.

Innvendig lengde (materiale trekkes fra i begge ender):

Innvendig radius i taket (materiale trekkes fra på den krumme flaten):

Innvendig bredde i den rette delen (materiale trekkes fra på begge sideveggene):

Innvendig høyde på den rette delen (materiale trekkes bare fra i bunnen, siden toppen av den rette delen går rett over i den krumme takflaten):

Tverrsnittarealet innvendig (rektangel pluss halvsirkel) blir

Det innvendige volumet er tverrsnittarealet ganger innvendig lengde:

$\underline{\underline{V\approx \mathrm{263,7}\mathrm{L}}}$

Kisten rommer altså omtrent $264$ liter innvendig.

Vi setter opp et regneark med én rad per utgiftspost og en sumrad nederst. De fleste postene skrives rett inn som tall, men bensinutgiften må regnes ut: vi gjør om kjørelengden fra kilometer til mil (deler på 10), ganger med forbruket per mil, og ganger med literprisen.

Regnearket med formler:

Regnearket med utregnede verdier:

$\underline{\underline{\text{Budsjettert sum}=34535\mathrm{kr}}}$

Vi utvider regnearket med en kolonne C for de virkelige utgiftene. Årsavgift, parkering og bompenger ble som budsjettert, og hentes derfor med en cellereferanse til budsjettallet. Forsikring og vedlikehold ble høyere enn budsjettert, og bensinutgiften regnes ut på nytt med det virkelige kjørelengden og literprisen:

Regnearket med formler:

Regnearket med utregnede verdier:

$\underline{\underline{\text{Virkelig sum}=38101\mathrm{kr}}}$

Til slutt legger vi til to kolonner: avvik i kroner (faktisk minus budsjett) og avvik i prosent (avviket delt på budsjettallet, ganger 100).

Regnearket med formler:

Regnearket med utregnede verdier:

Utgiftene ble altså til sammen $3566$ kr høyere enn budsjettert, en økning på $\mathrm{10,33}\%$. Den største enkeltårsaken er vedlikeholdskostnadene, som ble $3450$ kr ($\mathrm{34,5}\%$) høyere enn ventet, mens bensinutgiften faktisk ble litt lavere enn budsjettert.

$\underline{\underline{\text{Samlet avvik}=3566\mathrm{kr}\approx \mathrm{10,33}\%\text{ over budsjett}}}$

Vi leser av diagrammet hvor mange kilogram grønnsaker en person i gjennomsnitt spiste per år i 1970 og i 2000.

I 1970 var forbruket av grønnsaker omtrent $40\mathrm{kg}$ per person, og i 2000 var det omtrent $60\mathrm{kg}$ per person.

Økningen i kilogram er

Den prosentvise økningen finner vi ved å dele økningen på verdien i 1970 og gange med $100\%$:

En person spiste altså omtrent $50\%$ mer grønnsaker i 2000 enn i 1970.

$\underline{\underline{\text{ca. }50\%}}$

At noe øker lineært, betyr at forbruket øker med omtrent samme antall kilogram for hvert år som går — altså med en konstant vekst per år.

Grafisk vises dette ved at kurven er en rett linje: en rett linje har konstant stigningstall, som betyr at $y$-verdien (antall kg frukt) endrer seg like mye for hver enhet $x$ øker med (hvert år).

Ser vi på diagrammet fra 1954 til 1974, følger fruktkurven (den rosa kurven) tilnærmet en rett linje uten krumning. Det er derfor forbruket av frukt kan sies å øke lineært i denne perioden.

Vi bruker $x$ som antall år etter 1954, slik oppgaven definerer. Vi leser av to punkter på den rette delen av fruktkurven.

I 1954 er $x=0$, og forbruket er avlest til omtrent $40\mathrm{kg}$. Dette gir konstantleddet

I 1974 er $x=1974-1954=20$, og forbruket er avlest til omtrent $75\mathrm{kg}$.

Stigningstallet $a$ er endringen i $f(x)$ delt på endringen i $x$:

Funksjonsuttrykket blir dermed

$\underline{\underline{a\approx \mathrm{1,75},b=40}}$

Dette betyr at forbruket av frukt økte med omtrent $\mathrm{1,75}\mathrm{kg}$ per person for hvert år i perioden 1954–1974, og at forbruket i utgangspunktet (1954) var omtrent $40\mathrm{kg}$ per person.

I venndiagrammet i oppgaveteksten er tre felt allerede fylt ut: $35$ (fotball og håndball, ikke basketball), $30$ (kun håndball) og $10$ (alle tre). Vi bruker at hver av sirklene skal summere seg til antallet oppgitt i tabellen, og at alle feltene til sammen skal bli $250$.

Vi setter opp likninger for alle tre aktivitetene og for totalen:

der $x_1,x_2,x_3$ er antall som kun spiller henholdsvis fotball, håndball og basketball, mens $x_5$ er fotball og basketball (ikke håndball), og $x_6$ er håndball og basketball (ikke fotball). Fra figuren vet vi $x_2=30$, og setter vi det inn får vi:

Setter vi $x_1=155-x_5$ inn i $x_1+x_3+x_5=160$, får vi $155+x_3=160$, altså $x_3=5$. Da er $x_5=15-5=10$, og $x_1=155-10=145$.

Det fullstendige venndiagrammet blir dermed:

Kontroll: $145+30+5+35+10+15+10=250$ ✓, og hver aktivitetstotal (fotball $200$, håndball $90$, basketball $40$) stemmer.

Sannsynligheten for at et tilfeldig valgt medlem deltar i alle tre aktivitetene er antallet i det midterste feltet delt på totalt antall medlemmer:

Svar: $\underline{\underline{P(\text{alle tre})=\mathrm{0,04}=4\%}}$

Vi skal finne sannsynligheten for at medlemmet også spiller fotball, gitt at det spiller håndball. Antall som spiller håndball er $90$. Av disse er det $35+10=45$ som også spiller fotball (feltet “fotball og håndball, ikke basketball” pluss “alle tre”).

Svar: $\underline{\underline{P(\text{fotball}|\text{håndball})=\mathrm{0,5}=50\%}}$