1P Vår 2016

Prosentpoeng-økningen finner vi ved å ta differansen mellom de to prosentandelene direkte:

Økningen var på $\underline{\underline{\mathrm{0,9}\text{ prosentpoeng}}}$.

Den prosentvise økningen finner vi ved å se hvor mye 0,9 prosentpoeng utgjør av den opprinnelige verdien på 3,6 %. Vi deler differansen på den gamle verdien:

Stemmeandelen økte altså med $\underline{\underline{25\%}}$ i forhold til forrige valg.

Vi setter inn hver $x$-verdi i uttrykket $f(x)=-x^2+4x+5$ og regner ut $f(x)$:

Den utfylte tabellen blir da:

Vi plotter punktene fra tabellen i et koordinatsystem og tegner en jevn kurve gjennom dem. Grafen er en parabel som vender grenene nedover (fordi koeffisienten foran $x^2$ er negativ), med toppunkt i $(2,9)$.

Vi skal finne sannsynligheten for at alle tre er blå. Antall måter å velge $3$ blå av de $6$ blå ballongene på er

Sannsynligheten blir da

$\underline{\underline{P={\displaystyle \frac{1}{6}}}}$

«Minst én rosa» er det motsatte av «ingen rosa», altså det samme som «alle tre er blå», som vi fant i a). Vi bruker komplementsetningen:

$\underline{\underline{P={\displaystyle \frac{5}{6}}}}$

Vi skal finne sannsynligheten for nøyaktig $1$ rosa og $2$ blå. Antall måter å velge $1$ rosa av $4$ på, ganget med antall måter å velge $2$ blå av $6$ på:

Sannsynligheten blir

$\underline{\underline{P={\displaystyle \frac{1}{2}}}}$

Vi bruker to av punktene fra tabellen, for eksempel $(8,1000)$ og $(14,1300)$, til å finne stigningstallet $a$:

For å finne $b$ setter vi $a=50$ og punktet $(8,1000)$ inn i likningen $y=ax+b$ og løser for $b$:

Vi kontrollerer med det siste punktet $(24,1800)$: $y=50\cdot 24+600=1200+600=1800$ kroner, som stemmer med tabellen.

$\underline{\underline{a=50,b=600}}$

$a=50$ betyr at prisen øker med $50\mathrm{kr}$ for hvert ekstra bilde som legges til i fotoboken.

$b=600$ er en fast grunnpris (startkostnad) for fotoboken, altså det den koster å lage boken uansett hvor mange bilder den inneholder, før man legger til pris per bilde.

Vi leser av figuren at avdraget (den blå delen av søylene) er $10000\mathrm{kr}$ hvert eneste år, mens rentedelen (den røde delen) blir mindre og mindre. Da minker også det totale terminbeløpet (avdrag + renter) fra år til år.

Dette kjennetegner et serielån: her er avdraget likt hvert år, slik at restgjelden minker like mye hvert år, og dermed blir rentene (og dermed det totale terminbeløpet) stadig mindre.

Ved et annuitetslån ville i stedet det totale terminbeløpet vært likt hvert år, mens fordelingen mellom avdrag og renter hadde endret seg (avdraget øker, rentene minker).

Lånet betales ned med like store avdrag på $10000\mathrm{kr}$ over $10$ år, så det opprinnelige lånebeløpet er

Det første året er hele lånebeløpet på $100000\mathrm{kr}$ ubetalt, så rentene det første året beregnes av hele dette beløpet. Vi leser av figuren at den totale terminbetalingen det første året er $14000\mathrm{kr}$, og siden avdraget er $10000\mathrm{kr}$, er rentedelen

Rentesatsen $p$ finner vi ved å dele rentebeløpet på lånebeløpet det renegnes av:

Vi kan kontrollere svaret med andre året: restgjelden er da $100000-10000=90000\mathrm{kr}$, og rentene blir $90000\cdot \mathrm{0,04}=3600\mathrm{kr}$, som gir en total terminbetaling på $10000+3600=13600\mathrm{kr}$ — dette stemmer godt med det vi leser av figuren.

$\underline{\underline{p=4\%}}$

Vi taster inn funksjonen

i et graftegningsprogram for $0\le x\le 8$.

For å finne når antall registrerte elbiler passerer $75000$, tegner vi den horisontale linjen $y=75000$ i samme koordinatsystem og finner skjæringspunktet med grafen til $g$, som vist i figuren over.

Grafene skjærer hverandre i punktet $(\mathrm{6,0};75000)$.

Siden $x$ er antall år etter 2010, betyr $x\approx \mathrm{6,0}$ at antall registrerte elbiler passerer $75000$ i løpet av 2016.

$\underline{\underline{\text{Antall elbiler passerer }75000\text{ i løpet av 2016}}}$

Vi setter $x=4$ inn i funksjonsuttrykket:

Siden $x=4$ år etter 2010 svarer til år 2014, forteller verdien $g(4)=20149$ at det ifølge modellen var omtrent $\underline{\underline{20149}}$ registrerte elbiler i Norge i 2014.

Omsetningen øker med $\mathrm{3,5}\%$ per år, så vekstfaktoren per år er

Fra 2015 til 2025 går det 10 år, så omsetningen i 2025 blir

Dersom Marita klarer å øke omsetningen med $\mathrm{3,5}\%$ per år, vil omsetningen hennes i 2025 bli omtrent $\underline{\underline{1692719\mathrm{kr}}}$.

De tre prisendringene gir hver sin vekstfaktor:

Samlet vekstfaktor blir produktet av de tre:

Kaller vi prisen før endringene for $x$, gjelder likningen

Vi løser likningen for $x$:

Produktet kostet $\underline{\underline{625\mathrm{kr}}}$ før prisendringene.

Vi vet at det er 26 elever totalt, at 20 har valgt Sosialkunnskap (S), 16 har valgt Internasjonal engelsk (IE), og at 6 elever verken har valgt S eller IE.

Siden 6 elever ikke har valgt noen av fagene, må $26-6=20$ elever ha valgt minst ett av fagene. Antall elever som har valgt begge fagene finner vi ved

Da er antall som bare har valgt Sosialkunnskap $20-16=4$, og antall som bare har valgt Internasjonal engelsk $16-16=0$. Dette gir følgende krysstabell:

Vi kontrollerer at alle rad- og kolonnesummene stemmer med opplysningene i teksten: $16+4=20$, $0+6=6$, $16+0=16$, og totalt $16+4+0+6=26$.

Vi skal finne sannsynligheten for at en tilfeldig valgt elev har valgt Sosialkunnskap, men ikke Internasjonal engelsk. Fra tabellen ser vi at dette gjelder 4 av de 26 elevene:

Sannsynligheten for at en tilfeldig valgt elev har valgt Sosialkunnskap, men ikke Internasjonal engelsk, er omtrent $\underline{\underline{\mathrm{0,154}}}$, altså cirka $\mathrm{15,4}\%$.

Nå vet vi at eleven som er trukket ut, har valgt Internasjonal engelsk. Vi skal finne sannsynligheten for at denne eleven også har valgt Sosialkunnskap. Av tabellen ser vi at 16 elever har valgt Internasjonal engelsk, og at alle disse 16 også har valgt Sosialkunnskap (ingen elever har bare valgt Internasjonal engelsk):

Sannsynligheten for at eleven også har valgt Sosialkunnskap, er $\underline{\underline{1}}$ — altså er det sikkert, siden alle elevene som har valgt Internasjonal engelsk, også har valgt Sosialkunnskap.

Stian ble født i september 1996. Barnetrygd utbetales fra og med måneden etter fødselen, altså fra og med oktober 1996, og til og med måneden før han fyller 18 år, altså til og med august 2014.

Vi teller opp antall måneder:

• Oktober–desember 1996: $3$ måneder
• Januar 1997–desember 2013 (17 hele år): $17\cdot 12=204$ måneder
• Januar–august 2014: $8$ måneder

Satsen var $970\mathrm{kr}$ per måned i hele perioden, så total utbetaling ble

Foreldrene fikk totalt utbetalt $\underline{\underline{208550\mathrm{kr}}}$ i barnetrygd.

Dersom satsen hadde blitt regulert i takt med konsumprisindeksen, ville satsen i et gitt år vært satsen i 1996 multiplisert med forholdet mellom KPI det året og KPI i 1996:

For 2015 er $\text{KPI}=\mathrm{139,8}$ og ${\text{KPI}}_{1996}=\mathrm{95,3}$:

Dette stemmer med det som skulle vises: satsen for barnetrygd i 2015 skulle vært $1423\mathrm{kr}$ per barn per måned.

Vi lager et regneark med én rad per år fra 1996 til 2014 (siste året Stian mottar barnetrygd). Kolonnene er År, KPI, Antall måneder det året, Sats (regulert etter KPI) og Utbetalt det året. Antall måneder er $3$ i 1996 (okt–des), $12$ i årene 1997–2013, og $8$ i 2014 (jan–aug), som i a). Satsen regnes ut med samme formel som i b), med KPI for 1996 låst med absolutt referanse ($B$2).

Verdier i regnearket:

Formler i kolonne D og E:

• D2: =970*B2/$B$2
• D3: =970*B3/$B$2
• … (samme formel kopiert nedover til D20)
• E2: =D2*C2
• E3: =D3*C3
• … (samme formel kopiert nedover til E20)
• E21: =SUMMER(E2:E20)

Den absolutte referansen $B$2 sørger for at alle satsene regnes ut i forhold til KPI i 1996 (cellen låses når formelen kopieres nedover).

Dersom satsen for barnetrygd hadde blitt regulert etter konsumprisindeksen hvert år, ville Stians foreldre totalt fått utbetalt ca. $\underline{\underline{255346\mathrm{kr}}}$ — omtrent $46796\mathrm{kr}$ mer enn de faktisk fikk.

I de blå cellene setter vi inn formler som regner ut bruttolønn, skattetrekk og nettolønn ut fra timetall, timelønn og skatteprosentene som allerede står i regnearket.

Lønn for ordinært arbeid er antall ordinære timer multiplisert med timelønnen:

Lønn for overtidsarbeid er antall overtidstimer multiplisert med timelønnen og en faktor på $\mathrm{1,4}$, siden overtidstillegget er $40\%$:

Bruttolønnen er summen av ordinær lønn og overtidslønn:

Skattetrekket i kroner regner vi ut ved å multiplisere ordinær lønn med skatteprosenten av ordinær lønn, og overtidslønn med skatteprosenten av overtidslønn, og legge sammen:

Nettolønnen er bruttolønn minus skattetrekk:

Formlene i B-kolonnen (Sara) dras deretter til C- og D-kolonnen (Vilde og Peder), slik at cellereferansene automatisk flyttes til riktig kolonne. Regnearket med formler synlig ser slik ut:

Med tallene satt inn gir formlene disse verdiene:

Sara har funnet den gjennomsnittlige skatteprosenten ved å dividere det totale skattetrekket (i kroner) på bruttolønnen, og gange om til prosent:

Cellen formateres som prosent. Vi kontrollerer med Saras tall:

som stemmer med det Sara har regnet ut. Vi drar formelen fra B12 videre til C12 og D12, slik at vi også får den gjennomsnittlige skatteprosenten for Vilde og Peder. Fra tabellen i a) leser vi av skattetrekk og bruttolønn for de tre:

$\underline{\underline{\text{Vilde betalte}\approx \mathrm{20,9}\%\text{ i gjennomsnittlig skatt, og Peder}\approx \mathrm{20,6}\%}}$

$△ABC$ har rett vinkel i $B$. Siden $DE$ står vinkelrett på $AC$, har $△CED$ rett vinkel i $E$. De to trekantene har altså en rett vinkel hver: $\angle ABC=\angle CED=90°$.

I tillegg har de to trekantene en felles vinkel i $C$: siden $D$ ligger på linjestykket $BC$ og $E$ ligger på linjestykket $AC$, er $\angle ACB$ og $\angle DCE$ nøyaktig samme vinkel.

Når to trekanter har to par like vinkler, er de formlike (vinkelsummen gjør at også det tredje vinkelparet er likt). Dermed er $△ABC$ og $△CED$ formlike.

Siden trekantene er formlike med korrespondansen $A\leftrightarrow D$, $B\leftrightarrow E$, $C\leftrightarrow C$, er forholdet mellom samsvarende sider likt. Siden $C$ korresponderer med $C$ og $A$ korresponderer med $D$, svarer $AC$ til $CD$, og siden $B$ korresponderer med $E$, svarer $BC$ til $CE$. Forholdstallet (skaleringsfaktoren fra $△ABC$ til $△CED$) er

Dermed er

Lengden av $CE$ er $\underline{\underline{24}}$.

Vi bruker at forholdet mellom arealene til to formlike trekanter er kvadratet av forholdet mellom to samsvarende sider. Med samsvarende sider $AC=39$ og $CD=26$ (forholdet fra b)) blir arealforholdet

Vi kan kontrollere dette ved å regne ut arealene direkte. Med Pytagoras’ setning finner vi først $AB$:

og tilsvarende $DE=AB\cdot k=15\cdot \frac{2}{3}=10$. Da blir arealene

Dette viser at forholdet mellom arealet av $△ABC$ og arealet av $△CED$ er $\underline{\underline{{\displaystyle \frac{9}{4}}}}$.

Vi setter $r=\mathrm{5,1}\mathrm{cm}$ og $R=\mathrm{20,4}\mathrm{cm}$ inn i formelen for volumet av torusen:

Siden $1\mathrm{L}=1000{\mathrm{cm}}^3$, deler vi svaret på $1000$ for å gjøre om til liter:

Volumet av torusen er $\underline{\underline{V\approx \mathrm{10,5}\mathrm{L}}}$.

Nå er $R=\mathrm{10,2}\mathrm{cm}$ og $V=\mathrm{8,6}\mathrm{L}=8600{\mathrm{cm}}^3$. Vi setter tallene inn i volumformelen for å finne $r$, radien i røret:

Radien i røret er altså $r\approx \mathrm{6,54}\mathrm{cm}$.

Av figuren ser vi at $A$ er sentrum i hullet i midten av torusen, $C$ er sentrum i tverrsnittsirkelen til røret, og $B$ er punktet på rørets tverrsnittsirkel som ligger nærmest $A$ (mellom $A$ og $C$). Da er $AB$ radien i sirkelen som danner den innerste kanten av hullet i torusen, og

Vi setter inn tallene:

Omkretsen av sirkelen med radius $AB$ blir da

Omkretsen av sirkelen med radius $AB$ er $\underline{\underline{O\approx \mathrm{23,0}\mathrm{cm}}}$.