1P Vår 2015

Prosent betyr «per hundre», altså ganger vi desimaltallet med $100$ for å skrive det som prosent:

Svar: $\underline{\underline{\mathrm{45,1}\%}}$

Vi gjør om brøken til et desimaltall ved å dele telleren på nevneren, og ganger deretter med $100$:

Svar: $\underline{\underline{20\%}}$

I trekant $ABC$ kjenner vi to av vinklene: $A=\mathrm{48,5}°$ og $C=\mathrm{92,9}°$. Siden vinkelsummen i en trekant alltid er $180°$, finner vi vinkel $B$:

I trekant $DEF$ kjenner vi $F=\mathrm{92,9}°$ og $E=\mathrm{38,6}°$. Da blir vinkel $D$:

Vi ser at trekantene har de samme tre vinklene: $A=D=\mathrm{48,5}°$, $B=E=\mathrm{38,6}°$ og $C=F=\mathrm{92,9}°$. Når to trekanter har parvis like vinkler, er de formlike.

Trekantene $ABC$ og $DEF$ er formlike.

Fordi trekantene er formlike, er forholdet mellom samsvarende sider det samme. Samsvarende sider ligger overfor like vinkler:

• $BC$ ligger overfor $A$, og $EF$ ligger overfor $D$ (begge $\mathrm{48,5}°$) — altså samsvarer $BC$ med $EF$.
• $AB$ ligger overfor $C$, og $DE$ ligger overfor $F$ (begge $\mathrm{92,9}°$) — altså samsvarer $AB$ med $DE$.

Forholdstallet mellom de kjente samsvarende sidene $AB$ og $DE$ er:

Det samme forholdstallet gjelder mellom $BC$ og $EF$:

Svar: $\underline{\underline{BC=6}}$

Vi setter hver $x$-verdi inn i uttrykket $f(x)=x^2+2x-3$ og regner ut $f(x)$.

For $x=-4$:

For $x=-3$:

For $x=-2$:

For $x=-1$:

For $x=1$:

For $x=2$:

Verdien for $x=0$ er allerede oppgitt i tabellen. Den utfylte verditabellen blir da:

$\underline{\underline{f(-4)=5,f(-3)=0,f(-2)=-3,f(-1)=-4,f(0)=-3,f(1)=0,f(2)=5}}$

Vi plotter de sju punktparene $(x,f(x))$ fra verditabellen i et koordinatsystem og tegner en jevn kurve gjennom dem. Grafen er en parabel som vender grenene oppover, med bunnpunkt mellom $x=-1$ og $x=0$.

Grafen er tegnet ovenfor.

Vi tar to flasker uten tilbakelegging blant de ni flaskene: $2$ «Surf», $3$ «Jump» og $4$ «Catch». Vi tenker oss at flaskene tas én etter én.

Skal vi ikke få noen «Jump»-smoothie, må både den første og den andre flasken komme fra de $6$ andre flaskene (de $2$ «Surf» og $4$ «Catch»).

Sannsynligheten for at den første flasken ikke er «Jump», er ${\displaystyle \frac{6}{9}}$, siden $6$ av de $9$ flaskene ikke er «Jump».

Gitt at den første flasken ikke var «Jump», er det igjen $8$ flasker i kjøleskapet, hvorav $5$ ikke er «Jump». Sannsynligheten for at også den andre flasken ikke er «Jump», blir da ${\displaystyle \frac{5}{8}}$.

Siden begge hendelsene må inntreffe, multipliserer vi sannsynlighetene langs grenen i valgtreet:

$\underline{\underline{P(\text{ikke Jump})={\displaystyle \frac{5}{12}}\approx \mathrm{0,417}}}$

Vi skal finne sannsynligheten for at de to flaskene er én «Surf» og én «Catch». Dette kan skje på to måter: enten «Surf» først og «Catch» sist, eller «Catch» først og «Surf» sist.

Surf først, så Catch: Sannsynligheten for «Surf» først er ${\displaystyle \frac{2}{9}}$. Da er det $8$ flasker igjen, hvorav $4$ er «Catch», så sannsynligheten for «Catch» som nummer to er ${\displaystyle \frac{4}{8}}$.

Catch først, så Surf: Sannsynligheten for «Catch» først er ${\displaystyle \frac{4}{9}}$. Da er det $8$ flasker igjen, hvorav $2$ er «Surf», så sannsynligheten for «Surf» som nummer to er ${\displaystyle \frac{2}{8}}$.

Siden de to rekkefølgene utelukker hverandre, legger vi sannsynlighetene sammen:

$\underline{\underline{P(\text{Surf og Catch})={\displaystyle \frac{2}{9}}\approx \mathrm{0,222}}}$

Vi setter inn $v_0=0$, $t=8$ og $a=10$ i formelen $s=v_0\cdot t+\frac{1}{2}\cdot a\cdot t^2$:

$\underline{\underline{s=320}}$

Vi setter inn $v_0=20$, $t=4$ og $s=144$ i formelen, og løser likningen for $a$. Først regner vi ut de kjente tallene:

Nå trekker vi $80$ fra begge sider for å få leddet med $a$ alene:

Til slutt deler vi begge sider med $8$:

$\underline{\underline{a=8}}$

Vi leser av grafene. Startprisen (prisen ved $x=0$ km) er konstantleddet i funksjonsuttrykket, og stigningstallet finner vi ved å se hvor mye prisen øker per kilometer.

Bilfirma A (rød graf):

Grafen skjærer $y$-aksen i $200$, altså er startprisen $200\mathrm{kr}$. Fra $x=0$ til $x=40$ km øker prisen fra $200\mathrm{kr}$ til $600\mathrm{kr}$, altså med $400\mathrm{kr}$ på $40$ km:

Funksjonsuttrykket for bilfirma A blir da

Bilfirma B (blå graf):

Grafen skjærer $y$-aksen i $800$, altså er startprisen $800\mathrm{kr}$. Fra $x=0$ til $x=40$ km øker prisen fra $800\mathrm{kr}$ til $1000\mathrm{kr}$, altså med $200\mathrm{kr}$ på $40$ km:

Funksjonsuttrykket for bilfirma B blir da

$\underline{\underline{A(x)=200+10x\text{og}B(x)=800+5x}}$

Grafen viser at bilfirma A har en lavere startpris ($200\mathrm{kr}$) enn bilfirma B ($800\mathrm{kr}$), men at prisen hos A øker raskere med antall kjørte kilometer (stigningstall $10$ mot $5$).

De to grafene skjærer hverandre ved $x=120$ km, der begge firmaene koster $1400\mathrm{kr}$. For turer kortere enn $120$ km er bilfirma A billigst, mens for turer lengre enn $120$ km er bilfirma B billigst.

$\underline{\underline{\text{For kjøring under }120\mathrm{km}\text{ lønner A seg, over }120\mathrm{km}\text{ lønner B seg.}}}$

To størrelser er proporsjonale dersom forholdet mellom dem er konstant, det vil si at grafen er en rett linje gjennom origo (koordinatsystemets nullpunkt).

Her har begge grafene et konstantledd som ikke er null ($200$ for A og $800$ for B), altså en fast startpris som betales uansett hvor mange kilometer Anders kjører. Grafene går derfor ikke gjennom origo.

$\underline{\underline{\text{Nei, prisen og antall kilometer er ikke proporsjonale størrelser, siden det er en fast startpris.}}}$

Vi kaller de opprinnelige overføringene til FN-organisasjonene for $X$ millioner kroner. I oppslaget står det at kuttet på $906$ millioner kroner er «over $20$ prosent» av $X$. Det betyr at

Vi deler begge sider med $\mathrm{0,20}$ for å finne $X$:

Overføringene før kuttet var altså mindre enn $4530$ millioner kroner, det vil si under $\mathrm{4,53}$ milliarder kroner.

$\underline{\underline{X<4530\text{ millioner kroner}(\mathrm{4,53}\text{ milliarder kroner})}}$

Støtten til UNICEF gikk ned fra $1000$ millioner kroner (1 milliard) til $520$ millioner kroner. Nedgangen i kroner er

Den prosentvise nedgangen finner vi ved å dele nedgangen på den opprinnelige verdien:

Regjeringen ville altså redusere støtten til UNICEF med $48\%$.

$\underline{\underline{48\%}}$

Vi vet at:

• $437$ elever totalt
• $164$ elever drikker melk hver dag
• $316$ elever drikker juice hver dag
• $67$ elever drikker verken melk eller juice hver dag

Antall elever som drikker minst én av delene er

Kaller vi antallet elever som drikker begge deler for $b$, kan vi bruke at «bare melk» + «bare juice» + «begge deler» skal bli $370$:

Da drikker $164-110=54$ elever bare melk, og $316-110=206$ elever drikker bare juice. Dette gir følgende krysstabell:

Antall elever som ikke drikker melk hver dag er

Sannsynligheten for at en tilfeldig valgt elev ikke drikker melk hver dag blir da

$\underline{\underline{P(\text{ikke melk})\approx 62\%}}$

Her skal vi finne den betingede sannsynligheten for at en elev drikker juice, gitt at eleven drikker melk. Av de $164$ elevene som drikker melk hver dag, drikker $110$ også juice hver dag (fra krysstabellen i a):

$\underline{\underline{P(\text{juice}|\text{melk})\approx 67\%}}$

Grunnflaten av boksen består av et rektangel med lengde $\mathrm{8,2}\mathrm{cm}$ og bredde $\mathrm{6,6}\mathrm{cm}$, pluss en halvsirkel i hver ende. De to halvsirklene har til sammen samme areal som én hel sirkel med radius

Arealet av rektangelet er

Arealet av sirkelen (de to halvsirklene til sammen) er

Grunnflaten $G$ blir da

Boksen er et prisme med høyde $h=\mathrm{2,1}\mathrm{cm}$, så volumet er

Boksen rommer altså omtrent $\mathrm{185,5}{\mathrm{cm}}^3$.

$\underline{\underline{V\approx \mathrm{185,5}{\mathrm{cm}}^3}}$

Overflaten består av topp- og bunnflate (to grunnflater) pluss sideflaten (mantelflaten).

Omkretsen av grunnflaten består av de to rette sidene av rektangelet ($\mathrm{8,2}\mathrm{cm}$ hver) pluss omkretsen av hele sirkelen (de to halvsirkelbuene til sammen):

Sideflaten (mantelflaten) er omkretsen ganger høyden:

Total overflate er to grunnflater pluss sideflaten:

$\underline{\underline{O\approx \mathrm{254,6}{\mathrm{cm}}^2}}$

Vi taster inn funksjonsuttrykket

i et graftegningsprogram. Grafen, sammen med hjelpelinjer til b), c) og d), er vist under.

Av grafen leser vi av at $f$ har et toppunkt for $x\approx \mathrm{66,2}$ og et bunnpunkt for $x\approx \mathrm{236,4}$ i det aktuelle intervallet. Vannstanden er da

Forskjellen mellom høyeste og laveste vannstand blir dermed

Forskjellen mellom høyeste og laveste vannstand i perioden er $\underline{\underline{\approx 3207\mathrm{mm}\approx \mathrm{3,21}\mathrm{m}}}$.

Vi legger inn linja $y=3000$ og finner skjæringspunktene med grafen til $f$. Grafen viser at linja krysser $f$ to steder, for $x\approx \mathrm{20,1}$ og $x\approx \mathrm{122,8}$.

Løsningene er $\underline{\underline{x\approx \mathrm{20,1}}}$ og $\underline{\underline{x\approx \mathrm{122,8}}}$. Vannstanden i bassenget er altså $3000\mathrm{mm}$ etter omtrent $20$ dager, mens vannstanden stiger, og igjen etter omtrent $123$ dager, mens vannstanden nå synker.

Stigningstallet for den rette linjen (sekanten) gjennom punktene $(90,f(90))$ og $(210,f(210))$ er den gjennomsnittlige vekstfarten til $f$ i intervallet $[90,210]$:

Fra graftegneren leser vi av $f(90)\approx \mathrm{3658,7}$ og $f(210)\approx \mathrm{830,3}$, som gir

Stigningstallet er $\underline{\underline{a\approx -\mathrm{23,6}\mathrm{m}\mathrm{m}/\mathrm{d}\mathrm{a}\mathrm{g}}}$. Dette forteller at vannstanden i bassenget i gjennomsnitt sank med om lag $\mathrm{23,6}\mathrm{mm}$ per dag i perioden fra dag $90$ til dag $210$.

Blandingsforholdet er $3:10$. Det betyr at blandingen består av $3+10=13$ like store deler til sammen, der $3$ deler er rengjøringsmiddel og $10$ deler er vann.

Vi skal lage $\mathrm{6,5}\mathrm{dL}$ ferdig blanding, så vi finner først hvor mye én del er:

Da blir mengden rengjøringsmiddel og vann:

Du trenger altså $\underline{\underline{\mathrm{1,5}\mathrm{dL}\text{ rengjøringsmiddel og }\mathrm{5,0}\mathrm{dL}\text{ vann}}}$.

Oda har $\mathrm{6,6}\mathrm{L}$ blanding i forholdet $3:8$, altså $3+8=11$ deler til sammen. Én del i denne blandingen er:

Da inneholder bøtta:

Mengden rengjøringsmiddel skal ikke endres — Oda kan bare tilsette mer vann. For at forholdet skal bli $3:10$, må $\mathrm{1,8}\mathrm{L}$ rengjøringsmiddel tilsvare $3$ deler, slik at vannmengden skal tilsvare $10$ deler. Vi finner hvor mye vann det tilsvarer:

Mengden vann Oda må tilsette, er differansen mellom ny og gammel vannmengde:

Oda må altså tilsette $\underline{\underline{\mathrm{1,2}\mathrm{L}\text{ vann}}}$ i bøtta for å få riktig blandingsforhold.

Reallønnen forteller hva lønnen er verdt målt i priser fra basisåret (1998, der konsumprisindeksen er $100$). Reallønnen finner vi ved å skalere den nominelle lønnen med forholdet mellom konsumprisindeksen i basisåret og konsumprisindeksen i registreringsåret:

I regnearket ligger årstall i kolonne A, konsumprisindeks i kolonne B, nominell lønn i kolonne C, reallønn i kolonne D og prosentvis endring i reallønn i kolonne E. Basisåret 1998 står i rad 2, så $B2=100$ brukes som fast referanse (med $-tegn slik at referansen ikke flytter seg når formelen kopieres nedover).

Formel for reallønn (kolonne D), skrevet inn i D2 og kopiert ned til D6:

D2: =C2*$B$2/B2
D3: =C3*$B$2/B3
D4: =C4*$B$2/B4
D5: =C5*$B$2/B5
D6: =C6*$B$2/B6

Formel for prosentvis endring i reallønn siden forrige registrering (kolonne E), skrevet inn i E3 og kopiert ned til E6 (rad 2 har ingen forrige registrering, så E2 er tom):

E3: =(D3-D2)/D2*100
E4: =(D4-D3)/D3*100
E5: =(D5-D4)/D4*100
E6: =(D6-D5)/D5*100

Når formlene fylles inn, gir regnearket denne resultattabellen:

Reallønnen til Jostein har altså økt hvert år han har registrert, men veksten var størst mellom 2006 og 2010 og avtok igjen fram mot 2014.

Konsumprisindeksen øker med $\mathrm{2,5}\%$ per år fra 2014 til 2024, altså i $10$ år. Vekstfaktoren per år er $\mathrm{1,025}$, og indeksen etter $10$ år blir

Reallønnen i 2014 er (fra tabellen i a) $387217\mathrm{kr}$. Reallønnen i 2024 skal være $10\%$ høyere:

Vi bruker så sammenhengen mellom nominell lønn og reallønn, denne gangen løst for nominell lønn, med 2024 som registreringsår og fortsatt 1998 (KPI $=100$) som basisår:

For at Jostein skal ha $10\%$ høyere reallønn i 2024 enn i 2014, må den nominelle (avtalte) lønnen hans altså øke helt opp til om lag $746400\mathrm{kr}$ i året — en betydelig større økning i kroner enn i 2014, fordi prisveksten i mellomtiden gjør at flere av kronene «spises opp» av høyere priser.

$\underline{\underline{\text{Nominell lønn}\approx 746400\mathrm{kr}}}$