10. trinn Vår 2020

Vi må først finne hvor mange deciliter 3 liter er. Det er $10\mathrm{dL}$ i $1\mathrm{liter}$, så

$30\mathrm{dL}$ er altså $6$ ganger så mye som $5\mathrm{dL}$, siden

Da koster $3$ liter brus $6$ ganger så mye som $5\mathrm{dL}$:

$3$ liter brus koster $\underline{\underline{126\mathrm{kr}}}$.

Gjennomsnittsfarten finner vi ved å dele strekningen på tiden. Vi gjør først om til $\mathrm{km}$ og $\mathrm{timer}$, siden farten skal oppgis i $\mathrm{k}\mathrm{m}/\mathrm{h}$.

Gjennomsnittsfarten til Ingrid er $\underline{\underline{20\mathrm{k}\mathrm{m}/\mathrm{h}}}$.

Vi skriver om brøken ${\displaystyle \frac{1}{4}}$ til desimaltall. Siden $1:4=\mathrm{0,25}$, får vi

$\underline{\underline{\mathrm{0,5}}}$

Vi regner ut i riktig rekkefølge: først parentesen, deretter potensen, og til slutt kvadratroten.

Først regner vi ut $3^3$:

Så legger vi til $3$ inni parentesen:

Deretter kvadrerer vi:

Kvadratroten av $81$ er $9$, siden $9\cdot 9=81$. Til slutt deler vi:

$\underline{\underline{100}}$

Vi skal finne ${\displaystyle \frac{2}{5}}$ av $300$ elever. Det gjør vi ved å dele $300$ på $5$ og deretter gange med $2$:

$\underline{\underline{120\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{r}}}$ spiller fotball.

Vi skal finne $30\%$ av $300$ elever. Vi regner om prosenten til desimaltall og ganger med $300$:

$\underline{\underline{90\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{r}}}$ spiller håndball.

Grunnen til at prosentandelene til sammen blir mer enn $100\%$, er at flere elever driver med mer enn én idrett samtidig. For eksempel kan en elev både spille fotball og håndball. Da blir denne eleven telt med i begge gruppene, og hun eller han bidrar til prosentandelen to ganger.

Siden idrettene ikke er gjensidig utelukkende — en elev kan drive med flere idretter samtidig — er det ikke noe i veien for at andelene til sammen overstiger $100\%$. Det ville bare vært umulig dersom hver elev bare kunne velge én idrett.

En terning har 6 mulige utfall: 1, 2, 3, 4, 5 og 6 øyne. To av disse er gunstige (5 eller 6 øyne). Sannsynligheten finner vi ved gunstige utfall delt på mulige utfall:

Svar: $\underline{\underline{P={\displaystyle \frac{2}{6}}}}$

Når Thomas kaster to terninger, er det $6\cdot 6=36$ mulige utfall til sammen. Vi lister opp hvilke kombinasjoner som gir sum 10:

Det er 3 gunstige utfall av 36 mulige:

Svar: $\underline{\underline{P={\displaystyle \frac{3}{36}}}}$

Svar: $\underline{\underline{x=3}}$

Vi ganger begge sider av likningen med fellesnevneren $20$ (minste felles multiplum av $5$ og $4$), slik at brøkene forsvinner:

Nå løser vi likningen videre steg for steg:

Vi kontrollerer svaret ved å sette $x=8$ inn i den opprinnelige likningen: ${\displaystyle \frac{8+7}{5}}-{\displaystyle \frac{8}{4}}=3-2=1$, og $x-7=8-7=1$. Det stemmer.

Svar: $\underline{\underline{x=8}}$

Av sektordiagrammet ser vi at Instagram fikk $40\%$ av stemmene. Vi skriver om prosenten til en brøk med nevner $100$, og forkorter så mye som mulig:

Svar: $\underline{\underline{{\displaystyle \frac{2}{5}}}}$

YouTube fikk $34\%$ av stemmene. Vi finner antall elever ved å regne ut $34\%$ av $2500$. Vi gjør om prosenten til desimaltall og multipliserer:

Det var altså 850 elever som svarte at YouTube var favoritten deres.

Svar: $\underline{\underline{850\text{ elever}}}$

Vi multipliserer $a$ inn i parentesen:

Svaret er $\underline{\underline{3a}}$.

Telleren $x^2-9$ kan faktoriseres med konjugatsetningen $x^2-9=(x-3)(x+3)$, siden $9=3^2$:

Vi setter dette inn i brøken og forkorter med $(x+3)$:

Svaret er $\underline{\underline{x-3}}$.

Vekten ved fødselen er der grafen skjærer andreaksen, altså ved $x=0$ måneder. Vi leser av at grafen da ligger på $4$.

Barnet veide altså $\underline{\underline{4\mathrm{kg}}}$ ved fødselen.

Vi leser av to punkter på den rette linja, for eksempel når $x=0$ og $x=4$. Da er vekten henholdsvis $4\mathrm{kg}$ og $6\mathrm{kg}$.

Økningen i vekt fra $x=0$ til $x=4$ er:

Denne økningen er fordelt over $4$ måneder, så økningen per måned er:

Vekten øker altså med $\underline{\underline{\mathrm{0,5}\mathrm{kg}}}$ per måned.

Grafen er en rett linje, så funksjonsuttrykket har formen $f(x)=ax+b$, der $a$ er stigningstallet (økningen per måned) og $b$ er konstantleddet (startverdien).

Fra a) og b) vet vi at $b=4$ og $a=\mathrm{0,5}$. Funksjonsuttrykket blir da:

Her er $x$ antall måneder etter fødselen, og $f(x)$ er vekten i kilogram.

Vi teller fyrstikkene i de tre figurene vi har fått oppgitt:

• Figur 1 er én trekant: $3$ fyrstikker.
• Figur 2 er to trekanter som deler én fyrstikk: $3+2=5$ fyrstikker.
• Figur 3 er tre trekanter, der hver ny trekant deler én fyrstikk med den forrige: $5+2=7$ fyrstikker.

Mønsteret er at hver ny trekant legger til $2$ nye fyrstikker (den tredje siden i trekanten er allerede der fra trekanten før). Vi fortsetter mønsteret fram til figur 6:

Benedikte trenger altså $\underline{\underline{13}}$ fyrstikker for å lage figur 6.

I figur 1 er det $3$ fyrstikker. For hver nye figur legger vi til $2$ fyrstikker. Det betyr at figur $n$ har $2$ fyrstikker mer enn figur $(n-1)$, altså en fast økning på $2$ per figur, akkurat som i tabellen i a).

Vi setter opp et uttrykk på formen $2n+b$, der $b$ er en konstant. Vi finner $b$ ved å sette inn $n=1$: figur 1 skal gi $3$ fyrstikker.

Uttrykket blir da $2n+1$. Vi kontrollerer mot figur 3: $2\cdot 3+1=7$ fyrstikker, som stemmer med tellingen i a).

Antall fyrstikker i figur $n$ er altså $\underline{\underline{2n+1}}$.

Vi lager stolpediagrammet i et regneark:

1. Skriv navnene på byene i kolonne A (A2:A6) og innbyggertallene i kolonne B (B2:B6), med overskrifter i A1 og B1.
2. Merk cellene A1:B6.
3. Velg «Sett inn» → «Diagram» → «Stolpediagram» (søylediagram).

Regnearket lager da et diagram som dette:

Variasjonsbredden er forskjellen mellom det høyeste og det laveste innbyggertallet i tabellen.

Det høyeste innbyggertallet er Moskva med $12049000$, og det laveste er Barcelona med $5277000$.

Variasjonsbredden for innbyggertallet er $\underline{\underline{6772000}}$.

Vi skal finne hvor mange prosent større innbyggertallet i Moskva er enn innbyggertallet i Madrid. Da finner vi først differansen mellom de to byene, og deler den på innbyggertallet i Madrid (byen vi sammenligner med).

Deretter regner vi ut hvor stor andel denne differansen er av innbyggertallet i Madrid, ved hjelp av kalkulator:

Innbyggertallet i Moskva er omtrent $\underline{\underline{\mathrm{93,7}\%}}$ større enn innbyggertallet i Madrid.

Fay og Fiona er over 16 år, så de må kjøpe voksenbillett til £27. Nazdar (15 år) og Alessandro (14 år) er under 16 år, så de kjøper barnebillett til £22.

Vi regner ut prisen i pund først:

Så gjør vi om til norske kroner ved å multiplisere med kursen £1 $\approx 13$ NOK:

De fire må til sammen betale $\underline{\underline{1274\mathrm{kr}}}$.

Pariserhjulet går to runder i timen, og farten er 750 meter per time. Farten forteller hvor langt et punkt på kanten av hjulet beveger seg på én time, altså strekningen for to runder rundt hjulet (to omkretser):

Vi løser for omkretsen $O$:

Én omkrets er altså $375\mathrm{m}$. Omkretsen til en sirkel er $O=\pi \cdot d$, så vi løser for diameteren $d$:

Diameteren til pariserhjulet er $\underline{\underline{d\approx 119\mathrm{m}}}$.

De røde stripene er $\frac{1}{5}$ av høyden til flagget, og stripene er 0,9 meter brede. Vi løser likningen for høyden $h$:

Høyden til flagget er $\mathrm{4,5}\mathrm{m}$. Forholdet mellom lengde og høyde er $5:3$, så lengden $l$ finner vi ved

Lengden til flagget er $\mathrm{7,5}\mathrm{m}$. Arealet av flagget (et rektangel) er lengde ganger høyde:

Arealet av flagget er $\underline{\underline{A=\mathrm{33,75}{\mathrm{m}}^2}}$.

Grafen viser at avstanden fra roklubben øker helt til den flater ut på 4 km, etter 30 minutter. Det flate stykket er pausen på øya. Deretter synker avstanden fra 4 km tilbake til 0 km når de padler hjem igjen.

Turen ut til øya er altså 4 km, og turen tilbake er også 4 km:

De padlet $\underline{\underline{8\mathrm{km}}}$ denne dagen.

På grafen ser vi at begge er tilbake ved roklubben (avstand 0 km) når $t=100$ minutter. Hele turen tok altså 100 minutter, det vil si 1 time og 40 minutter.

De kom tilbake klokken 14.40. Vi regner 1 time og 40 minutter tilbake i tid:

Klokken var $\underline{\underline{13.00}}$ da de startet fra roklubben.

Etter pausen (fra $t=60$ minutter) padler begge de fire kilometerne tilbake til roklubben, og begge er framme igjen ved $t=100$ minutter. Det betyr at både Eva og Peter bruker 40 minutter på de 4 kilometerne hjem.

Vi regner om 40 minutter til timer: ${\displaystyle \frac{40}{60}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$ time.

Gjennomsnittsfarten finner vi med fart $=$ strekning delt på tid:

Selv om grafene ser forskjellige ut underveis, er gjennomsnittsfarten etter pausen lik. Eva padler for eksempel fort fra 60 til 70 minutter (1 km på 10 min $=6\mathrm{k}\mathrm{m}/\mathrm{h}$), saktere fra 70 til 90 minutter (1 km på 20 min $=3\mathrm{k}\mathrm{m}/\mathrm{h}$), og spurter til slutt fra 90 til 100 minutter (2 km på 10 min $=12\mathrm{k}\mathrm{m}/\mathrm{h}$). Peter padler derimot jevnt avtagende: fort fra 60 til 80 minutter (3 km på 20 min $=9\mathrm{k}\mathrm{m}/\mathrm{h}$), og saktere fra 80 til 100 minutter (1 km på 20 min $=3\mathrm{k}\mathrm{m}/\mathrm{h}$).

Det jeg finner ut, er at selv om farten varierer forskjellig underveis for de to, bruker begge nøyaktig like lang tid (40 minutter) på nøyaktig like langt (4 km) etter pausen. Derfor blir gjennomsnittsfarten deres helt lik: $\underline{\underline{6\mathrm{k}\mathrm{m}/\mathrm{h}}}$.

Miryam kjøper 2,5 kg poteter i løs vekt (10 kr per kg), tre blomkåler (12,50 kr per stykk) og to brett egg (40 kr per brett). Vi regner ut hver vare for seg:

Så legger vi sammen:

Miryam må betale $\underline{\underline{\mathrm{142,50}\mathrm{kr}}}$ til sammen.

Mikael kjøper tre brett med egg og et ukjent antall blomkåler. Vi lar $x$ være antall blomkåler han kjøper. Tre brett egg koster

Hver blomkål koster 12,50 kr, så prisen for blomkålene er $\mathrm{12,5}x$ kroner. Til sammen betalte Mikael 195 kroner, så vi får likningen

Vi løser likningen for $x$:

Mikael kjøpte $\underline{\underline{6\text{ blomkål}}}$.

Kvadratet med den innskrevne sirkelen kan konstrueres med passer og linjal slik:

1. Tegn linjestykket $AB$ med lengde $\mathrm{10,0}\mathrm{cm}$.

2. Konstruer en normal (en linje som står $90°$ på $AB$) i punktet $A$, og en normal i punktet $B$.

3. Sett passerspissen i $A$ og slå en bue med radius $\mathrm{10,0}\mathrm{cm}$ som skjærer normalen fra $A$. Skjæringspunktet kaller vi $D$.

4. Sett passerspissen i $B$ og slå en bue med radius $\mathrm{10,0}\mathrm{cm}$ som skjærer normalen fra $B$. Skjæringspunktet kaller vi $C$.

5. Tegn linjestykket $DC$. Nå er kvadratet $ABCD$ ferdig.

6. Tegn diagonalene $AC$ og $BD$. Skjæringspunktet mellom diagonalene kaller vi $S$ — dette er sentrum i kvadratet og dermed også sentrum i den innskrevne sirkelen.

7. Konstruer midtnormalen på $AB$ (halver $AB$ med passer) for å finne punktet $P$, som er midtpunktet på $AB$. Da står $SP$ normalt på $AB$.

8. Sett passerspissen i $S$ med radius lik $SP$ (halve sidelengden, $\mathrm{5,0}\mathrm{cm}$), og tegn sirkelen. Denne sirkelen tangerer alle fire sidene i kvadratet.

Figuren kan også lages i GeoGebra: tegn kvadratet med kvadrat-verktøyet, tegn diagonalene med linje-verktøyet, finn skjæringspunktet $S$, og tegn sirkelen med verktøyet «sirkel med sentrum og radius», med radius lik halve sidelengden.

Kvadratet $ABCD$ har sidelengde $AB=\mathrm{10,0}\mathrm{cm}$. Arealet av et kvadrat finner vi ved å gange sidelengden med seg selv:

$\underline{\underline{A_{\text{kvadrat}}=100{\mathrm{cm}}^2}}$

Det fargede området er det som er igjen av kvadratet når vi tar bort sirkelen. Sirkelen tangerer alle sidene i kvadratet, så radiusen til sirkelen er halvparten av sidelengden i kvadratet: