10. trinn Vår 2019

Nicolai skal lage vafler til dobbelt så mange personer som oppskriften er beregnet for, siden $8:4=2$. Da trenger han dobbelt så mye melk:

Vi gjør om til liter. Siden $1\mathrm{dL}=\mathrm{0,1}\mathrm{L}$, blir

Nicolai trenger $\underline{\underline{\mathrm{1,2}\mathrm{L}}}$ melk til 8 personer.

Vi regner om fem timer til minutter:

Deler vi den totale tiden på antall episoder, finner vi gjennomsnittlig lengde per episode:

I gjennomsnitt varer en episode i $\underline{\underline{50\min }}$.

Vi gjør om brøken til desimaltall og legger sammen:

Svaret er $\underline{\underline{1}}$.

Vi regner ut telleren først. Inni parentesen har vi $2^3=8$:

Nevneren er $\sqrt{100}=10$. Da blir

Svaret er $\underline{\underline{10}}$.

20 % av eplene er grønne. Vi finner 20 % av 60 ved å gange:

Det ligger $\underline{\underline{12\text{ epler}}}$ i kassen som er grønne.

Vi finner først hvor mange epler som er røde. ${\displaystyle \frac{7}{12}}$ av eplene er røde:

Grønne og røde epler til sammen:

De resterende eplene er gule:

Andelen gule epler av totalen på 60 epler blir da

Andelen gule epler er $\underline{\underline{{\displaystyle \frac{13}{60}}}}$.

Lykkehjulet har 8 like store felt, og 2 av dem er røde. Sannsynligheten for at hjulet stopper på et rødt felt er da

Svar: $\underline{\underline{P(\text{rødt})={\displaystyle \frac{1}{4}}}}$

Sannsynligheten for gult i ett kast er

Siden hjulet snurres to ganger på rad, og resultatet av det ene kastet ikke påvirker det andre, bruker vi produktsetningen. Vi ganger sannsynlighetene sammen:

Svar: $\underline{\underline{P(\text{gult, gult})={\displaystyle \frac{4}{64}}={\displaystyle \frac{1}{16}}}}$

Diagrammet viser at $67\%$ av elevene svarer «Ja, jeg er med nå». Vi skal finne hvilken brøk dette tilsvarer omtrent.

Vi sjekker alternativene ved å gjøre dem om til prosent:

Av alternativene er ${\displaystyle \frac{2}{3}}\approx \mathrm{66,7}\%$ nærmest $67\%$.

Svar: $\underline{\underline{{\displaystyle \frac{2}{3}}}}$

De elevene som har vært med tidligere, men ikke er med nå, utgjør $21\%$ av de $40000$ elevene. Vi regner ut $21\%$ av $40000$:

Svar: $\underline{\underline{8400\text{ elever}}}$ har vært med i en fritidsorganisasjon tidligere, men er ikke med nå.

Volumet av en kube (terning) med sidekant $x$ finner vi ved å multiplisere lengde, bredde og høyde. Alle tre er like lange, $x$, så volumet blir

Svar: $\underline{\underline{x^3}}$

Kvadratet har side $(a-3)$, så arealet er ${(a-3)}^2$. Vi ganger ut med andre kvadratsetning, ${(p-q)}^2=p^2-2pq+q^2$, med $p=a$ og $q=3$:

Svar: $\underline{\underline{a^2-6a+9}}$

Fra oppgave b) vet vi at $a^2-6a+9={(a-3)}^2$. Vi setter dette inn i telleren og forkorter med $(a-3)$:

Svar: $\underline{\underline{a-3}}$

Gloria får 80 kroner bare for å møte opp, og i tillegg 50 kroner per time hun passer barna, $x$. Denne lørdagen fikk hun 180 kroner til sammen. Det gir likningen

Vi løser likningen steg for steg:

Gloria passet barna i 2 timer denne lørdagen.

Svar: $\underline{\underline{2\text{ timer}}}$

Gloria får et fast beløp på 80 kroner, uansett hvor lenge hun passer barna. I tillegg får hun 50 kroner for hver time, $x$. Det totale beløpet $y$ blir dermed

Svar: $\underline{\underline{y=50x+80}}$

Vi kan lese svaret rett av grafen ved $x=6$, eller regne det ut med funksjonen fra oppgave b):

Gloria får 380 kroner til sammen når hun passer barna i 6 timer.

Svar: $\underline{\underline{380\mathrm{kr}}}$

$\underline{\underline{x=5}}$

Først ganger vi ut parentesen på venstre side:

Likningen blir da

$\underline{\underline{x=2}}$

Vi setter tabellen med de fem landene inn i et regneark og lager et stolpediagram med land langs den vannrette aksen og areal langs den loddrette aksen.

Variasjonsbredden er forskjellen mellom det største og det minste tallet i datamaterialet. Det største arealet er Russland med $17098240\mathrm{k}{\mathrm{m}}^2$, og det minste er Brasil med $8515770\mathrm{k}{\mathrm{m}}^2$.

Variasjonsbredden for arealene til de fem landene er $\underline{\underline{8582470\mathrm{k}{\mathrm{m}}^2}}$.

Vi skal finne hvor mange prosent større arealet av Russland er enn arealet av Brasil. Først finner vi hvor mye større Russland er enn Brasil i $\mathrm{k}{\mathrm{m}}^2$:

Deretter deler vi denne forskjellen på arealet av Brasil, siden det er Brasil vi sammenligner med, og ganger med $100\%$:

Arealet av Russland er omtrent $\underline{\underline{101\%}}$ større enn arealet av Brasil.

Vi leser av grafen hvor langt Maren hadde reist da flyturen var over, altså der grafen slutter (etter i underkant av 13 timer). Der viser grafen omtrent $6200\mathrm{km}$ på den loddrette aksen.

Hele flyturen fra Oslo til New York var altså $\underline{\underline{\text{ca. }6200\mathrm{km}}}$.

Den vannrette (flate) delen av grafen viser tiden Maren sto stille, altså tiden hun var i København. Grafen er vannrett fra $t=1$ time til $t=6$ timer, altså i

Maren var i København i $\underline{\underline{5\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{r}}}$.

Først finner vi klokka i Oslo når Maren landet. Hun startet klokka 06.00 og reiste i 12 timer og 55 minutter:

Deretter bruker vi kartet til å finne tidsforskjellen mellom Oslo og New York. Oslo ligger i tidssone $+1$, og New York ligger i tidssone $-5$. Forskjellen mellom sonene er

New York ligger altså 6 timer bak Oslo. Da trekker vi 6 timer fra klokkeslettet i Oslo:

Det var altså klokka $\underline{\underline{12.55}}$ i New York da Maren landet.

Kari og Trude er over 16 år og betaler voksenpris, £27 hver. Tomas er 14 år og betaler barnepris, £22. Til sammen i pund:

Vi vet at $1\text{ £}\approx 11$ kr, så vi ganger med 11 for å finne prisen i norske kroner:

De tre må til sammen betale $\underline{\underline{836\mathrm{k}\mathrm{r}}}$.

Gjennomsnittsfarten finner vi ved å dele strekningen på tiden. Vognen går $377\mathrm{m}$ på $30$ minutter, altså $\mathrm{0,5}$ timer. Vi gjør om meter til kilometer:

Så regner vi ut farten:

Gjennomsnittsfarten til vognen er $\underline{\underline{\mathrm{0,754}\mathrm{k}\mathrm{m}/\mathrm{h}}}$, altså under $1\mathrm{k}\mathrm{m}/\mathrm{h}$ — pariserhjulet går svært sakte rundt.

Forholdet mellom lengde og høyde på flagget er $5:3$. Lengden er $\mathrm{7,5}\mathrm{m}$, og det tilsvarer $5$ deler. Én del er da

Høyden er $3$ slike deler:

Bredden på de røde stripene er ${\displaystyle \frac{1}{5}}$ av høyden:

Bredden på de røde stripene er $\underline{\underline{\mathrm{0,9}\mathrm{m}}}$.

Vi fyller ut regnearket. Feriedager står i celle B3 $=7$.

Utgiftsposter. Flyreisen er ikke en “per dag”-utgift, så beløpet skrives rett inn i D6. De andre utgiftspostene har en gjennomsnittlig utgift per dag i kolonne C, og vi finner utgiften for hele turen ved å gange gjennomsnittet med antall feriedager. Fordi vi kopierer samme formel nedover fra rad 7 til rad 11, må referansen til feriedagene låses med $-tegn ($B$3), slik at den ikke flytter seg når formelen kopieres.

• I D6 skriver vi $\mathrm{7000,00}$ (gitt beløp).
• I D7 skriver vi =C7*$B$3 (kollektivtransport: $100\cdot 7$).
• I D8 skriver vi =C8*$B$3 (hotell: $800\cdot 7$).
• I D9 skriver vi =C9*$B$3 (mat: $300\cdot 7$).
• I D10 skriver vi =C10*$B$3 (shopping: $400\cdot 7$).
• I D11 skriver vi =C11*$B$3 (severdigheter: $100\cdot 7$).
• I D12 skriver vi =SUM(D6:D11) for å summere alle utgiftene.

Inntektsposter. Sommerjobben gir inntekt lik timer ganger timelønn, mens pengegaven er et fast beløp.

• I D15 skriver vi =B15*C15 (sommerjobb: $120\cdot \mathrm{115,00}$).
• I D16 skriver vi $\mathrm{3000,00}$ (gitt beløp).
• I D17 skriver vi =SUM(D15:D16) for å summere inntektene.

Det utfylte budsjettet blir da:

Therese trenger like mye i inntekter som hun har i utgifter, altså $18900\mathrm{kr}$. Så langt har hun $16800\mathrm{kr}$. Ekstra timer i sommerjobben gir $115$ kr timen. La $x$ være antall ekstra timer Therese må jobbe. Da må inntektene bli minst like store som utgiftene:

Therese kan bare jobbe hele timer, og $18$ ekstra timer er ikke nok ($16800+18\cdot 115=18870\mathrm{kr}$, som er mindre enn $18900\mathrm{kr}$). Med $19$ ekstra timer får hun $16800+19\cdot 115=18985\mathrm{kr}$, som er nok. Therese må derfor jobbe

flere for å ha råd til ferieturen.

Inntektsfunksjonen er $I(x)=60x$. Dette er på formen $I(x)=a\cdot x$, der $a$ er prisen bedriften får for hver T-skjorte som selges. Prisen for én T-skjorte er derfor

$\underline{\underline{60\mathrm{kr}}}$.

b og c

Vi tegner grafen til $I(x)=60x$ og grafen til $K(x)=\mathrm{0,02}{x}^2+31x+5000$ i samme koordinatsystem, for $0\le x\le 2000$, ved hjelp av digital graftegner (GeoGebra).

$I$ er en rett linje gjennom origo (blå), og $K$ er en parabel (rød) som starter i $5000$ kr når $x=0$ (bedriften har kostnader selv om den ikke lager noen skjorter).

Av grafen leser vi av at linja $I$ og parabelen $K$ skjærer hverandre i to punkter:

Mellom disse to skjæringspunktene ligger grafen til $I$ over grafen til $K$ — det vil si at inntektene er høyere enn kostnadene når $x$ er mellom $200$ og $1250$.

Bedriften må altså lage og selge flere enn $200$, men færre enn $1250$, T-skjorter en dag for at inntektene skal være høyere enn kostnadene:

$\underline{\underline{201\le x\le 1249\text{ T-skjorter (heltallige verdier mellom 200 og 1250)}}}$