10. trinn Eksempeloppgave 2021

Vi bruker sammenhengen mellom strekning, fart og tid:

Tunnelen er $s=4\mathrm{km}$ lang, og bilen kjører med farten $v=80\mathrm{k}\mathrm{m}/\mathrm{h}$. Vi setter inn tallene:

Tiden er oppgitt i timer, og vi vil ha svaret i minutter. Vi vet at $1\mathrm{h}=60\min$, så vi ganger med $60$:

Bilen bruker altså $\underline{\underline{3\min }}$ gjennom tunnelen.

Vi teller trekanter og firkanter i de tre figurene vi har fått:

Figur nr.	Firkanter	Trekanter
$1$	$1$	$4$
$2$	$2$	$6$
$3$	$3$	$8$

Firkanter. Firkantene ligger på rad i midten av figuren. I figur $1$ er det $1$ firkant, i figur $2$ er det $2$ firkanter, og i figur $3$ er det $3$ firkanter. Antall firkanter er altså like stort som figurnummeret:

Vi sjekker mot figur $2$ og figur $3$: $\text{Firkanter}(2)=2$ og $\text{Firkanter}(3)=3$, som stemmer med tellingen i tabellen.

Trekanter. Trekantene ligger på fire steder: én rad med $n$ trekanter øverst, én rad med $n$ trekanter nederst, og én trekant helt til venstre og én helt til høyre. Det gir

Vi sjekker: $\text{Trekanter}(2)=2\cdot 2+2=6$ og $\text{Trekanter}(3)=2\cdot 3+2=8$, som stemmer med tellingen i tabellen.

Figur nr. 10. Vi setter $n=10$ inn i de to uttrykkene:

Figur nr. $10$ har altså $\underline{\underline{22}}$ trekanter og $\underline{\underline{10}}$ firkanter.

Vi ganger sammen tallene på hver side av likhetstegnet:

For å finne $x$ deler vi begge sider med $36$:

Altså er $\underline{\underline{x=18}}$.

Vi setter hvert tallpar inn i uttrykket ${(a+b)}^2$ og sjekker om vi får $16$.

$a=2$ og $b=2$:

Dette stemmer med $16$.

$a=4$ og $b=4$:

Dette er ikke $16$.

$a=8$ og $b=4$:

Dette er ikke $16$.

$a=8$ og $b=8$:

Dette er ikke $16$.

Det er bare tallparet $a=2$ og $b=2$ som gjør at ${(a+b)}^2=16$ stemmer.

$\underline{\underline{a=2\text{ og }b=2}}$

En rett linje har et funksjonsuttrykk på formen $y=ax+b$, der $a$ er stigningstallet og $b$ er verdien der grafen skjærer $y$-aksen. Vi går gjennom alternativene.

$y=x^2+2$ har et $x^2$-ledd. Grafen til dette uttrykket er en parabel, ikke en rett linje. Dette alternativet passer derfor ikke, uansett hva grafen skjærer $y$-aksen i.

$y=2x+1$ er en rett linje, siden den er på formen $y=ax+b$. Den skjærer $y$-aksen i $1$ (sett $x=0$: $y=2\cdot 0+1=1$). Trines graf skal skjære $y$-aksen i $2$, så dette alternativet passer ikke.

$y={\displaystyle \frac{2}{x}}$ har $x$ i nevneren. Grafen til dette uttrykket er en kurve (en hyperbel), ikke en rett linje. Dette alternativet passer derfor ikke.

$y=x+2$ er en rett linje, siden den er på formen $y=ax+b$ med $a=1$. Vi setter $x=0$ for å finne hvor grafen skjærer $y$-aksen:

Grafen skjærer $y$-aksen i $2$, akkurat slik Trine beskriver. Dette alternativet stemmer med begge kravene: det er en rett linje, og den skjærer $y$-aksen i $2$.

$\underline{\underline{y=x+2}}$

Først finner vi hvor mye penger det er til sammen. Arne har $120$ kroner, og hver av de fem søsknene har $30$ kroner:

Til sammen er det $270$ kroner.

Pengene skal fordeles likt på Arne og de fem søsknene, altså på $6$ personer. Vi deler totalen på $6$ for å finne hvor mye hver person skal ha:

Alle skal altså ha $45$ kroner.

Arne har $120$ kroner fra før og skal sitte igjen med $45$ kroner. Vi finner hvor mye han må gi bort totalt:

Arne må gi bort $75$ kroner til sammen. Dette skal fordeles likt på de $5$ søsknene:

Kontroll: Hvert søsken hadde $30$ kroner og får $15$ kroner til, altså $30+15=45$ kroner. Det stemmer med at alle skal ha $45$ kroner hver.

Arne må gi $15$ kroner til hver av søsknene sine.

$\underline{\underline{15\mathrm{kr}}}$

Olav stryker $2$-tallet i leddet $+2$ i telleren og $2$-tallet i nevneren, og sitter igjen med $6x^2$. Det er ikke lov, fordi $2$ ikke er en faktor i hele telleren — $2$ er bare med i ett av de to leddene.

Vi tester med et tall for å vise at Olav får feil svar

Vi setter $x=1$ og regner ut begge sider.

Den opprinnelige brøken:

Olavs svar $6x^2$ for $x=1$:

Siden $4\ne 6$, ser vi at Olavs forenkling gir feil svar. Framgangsmåten hans er derfor ikke gyldig.

Hvorfor det går galt

Man kan bare forkorte en brøk ved å dele hele telleren og hele nevneren på samme tall — altså en faktor som multipliseres med alt i telleren. I uttrykket $6x^2+2$ er $2$ bare addert til $6x^2$, ikke multiplisert med hele telleren. Da er det ikke lov å stryke $2$-tallene mot hverandre.

Riktig forenkling

For å forkorte riktig må vi først faktorisere telleren, altså skrive $6x^2+2$ som et produkt der $2$ er en felles faktor i begge leddene:

Nå er $2$ en faktor i hele telleren, og vi kan forkorte med $2$ i telleren og nevneren:

Kontroll med $x=1$: $3\cdot 1^2+1=3+1=4$, som stemmer med verdien vi fant ovenfor. Riktig forenkling av ${\displaystyle \frac{6x^2+2}{2}}$ er altså $\underline{\underline{3x^2+1}}$.

Vi skal lage figurer der antall ruter i figur $n$ er gitt av formelen $F_n=n^2+1$. Vi regner først ut hvor mange ruter hver av de tre første figurene skal ha:

Et enkelt mønster som passer, er en kvadratisk blokk på $n\times n$ ruter med én ekstra rute på toppen:

• Figur $1$: en $1\times 1$-blokk ($1$ rute) pluss $1$ ekstra rute $=2$ ruter.
• Figur $2$: en $2\times 2$-blokk ($4$ ruter) pluss $1$ ekstra rute $=5$ ruter.
• Figur $3$: en $3\times 3$-blokk ($9$ ruter) pluss $1$ ekstra rute $=10$ ruter.

Dette stemmer med tallene vi regnet ut over, så mønsteret passer til formelen $F_n=n^2+1$.

Andre figurer er også riktige. Det viktige er ikke hvordan rutene er plassert, men at figur $n$ har akkurat $n^2+1$ ruter. Man kunne for eksempel like gjerne lagt den ekstra ruta ved siden av blokka i stedet for på toppen, eller brukt et helt annet mønster — så lenge antallet ruter i hver figur stemmer med formelen, er svaret riktig.

Vi skal sammenligne ${\displaystyle \frac{2}{3}}$ og ${\displaystyle \frac{5}{7}}$ ved å utvide brøkene slik at de får lik teller i stedet for lik nevner.

Finn en felles teller

Tellerne i brøkene er $2$ og $5$. Vi trenger et tall som både $2$ og $5$ går opp i. Det minste slike tallet er $10$, siden $2\cdot 5=10$ og $5\cdot 2=10$.

Utvid begge brøkene til teller $10$

Vi utvider ${\displaystyle \frac{2}{3}}$ med $5$ (både teller og nevner ganges med $5$):

Vi utvider ${\displaystyle \frac{5}{7}}$ med $2$ (både teller og nevner ganges med $2$):

Sammenlign brøkene

Nå har begge brøkene samme teller, $10$. Når to brøker har lik teller, er den brøken størst som har minst nevner — da er hver del delt opp i færre biter, så hver del blir større. Siden $14<15$, er

Det betyr at ${\displaystyle \frac{5}{7}}>{\displaystyle \frac{2}{3}}$, altså at $\underline{\underline{{\displaystyle \frac{2}{3}}<{\displaystyle \frac{5}{7}}}}$.

Likningen er $(4-a)(4+b)=8$. Venstre side er et produkt av to faktorer, $(4-a)$ og $(4+b)$, og produktet skal bli $8$. Vi kan derfor lete etter to tall som multiplisert gir $8$ — altså faktorpar av $8$:

For hvert faktorpar setter vi den ene faktoren lik $4-a$ og den andre lik $4+b$, og løser de to likningene.

Faktorpar $1\cdot 8$:

Kontroll: $(4-3)(4+4)=1\cdot 8=8$, stemmer.

Faktorpar $2\cdot 4$:

Kontroll: $(4-2)(4+0)=2\cdot 4=8$, stemmer.

Faktorpar $4\cdot 2$:

Kontroll: $(4-0)(4+(-2))=4\cdot 2=8$, stemmer.

Da har vi funnet tre tallpar som løser likningen: $(a,b)=(\mathrm{3,4})$, $(a,b)=(\mathrm{2,0})$ og $(a,b)=(0,-2)$.

Det finnes uendelig mange andre gyldige tallpar. Alt vi trenger, er at $(4-a)$ og $(4+b)$ til sammen er et faktorpar av $8$ — også negative faktorpar, for eksempel $(-1)\cdot (-8)=8$, gir gyldige løsninger (da blir $a=5$ og $b=-12$).

Hva algoritmen gjør:

Programmet leser først inn $h$ (den lengste siden i trekanten), deretter $k_1$ og $k_2$ (de to andre sidene). Så sjekker programmet om

Dette er akkurat Pytagoras’ setning: i en rettvinklet trekant er summen av kvadratene til katetene lik kvadratet av hypotenusen. Algoritmen bruker altså Pytagoras’ setning “baklengs” — den sjekker om påstanden stemmer for de tre sidene brukeren har skrevet inn, og bruker det til å avgjøre om trekanten er rettvinklet eller ikke:

• Hvis $k_1^2+k_2^2=h^2$ (svaret er ja), er trekanten rettvinklet, og programmet gir output a.
• Hvis $k_1^2+k_2^2\ne h^2$ (svaret er nei), er trekanten ikke rettvinklet, og programmet gir output b.

Output a kan for eksempel være teksten «Trekanten er rettvinklet», og output b «Trekanten er ikke rettvinklet».

Eksempel 1 — output a:

Vi setter $h=5$, $k_1=3$ og $k_2=4$.

Siden $25=25$, svarer programmet ja, og vi får output a: «Trekanten er rettvinklet».

Eksempel 2 — output b:

Vi setter $h=6$, $k_1=3$ og $k_2=4$ (samme katetlengder som over, men lengre hypotenus).

Siden $25\ne 36$, svarer programmet nei, og vi får output b: «Trekanten er ikke rettvinklet».

Funksjonen $y=\mathrm{10,27}x$ er en rett linje gjennom origo, slik grafen viser. Det betyr at $y$ er proporsjonal med $x$ — dobbelt så mange euro gir dobbelt så mange kroner.

Hva betyr $x$?

$x$ er den frie variabelen, altså tallet vi selv velger å sette inn. Her er $x$ antall euro Eirik vil veksle om til norske kroner.

Hva betyr $\mathrm{10,27}$?

$\mathrm{10,27}$ er stigningstallet til den rette linjen. Stigningstallet forteller hvor mye $y$ øker når $x$ øker med $1$. Her betyr det at $y$ øker med $\mathrm{10,27}$ kroner for hver euro vi legger til. Med andre ord: $\mathrm{10,27}$ er vekslingskursen — hvor mange norske kroner én euro er verdt.

Praktisk tolkning:

Vil Eirik veksle om for eksempel $50$ euro, setter han $x=50$ inn i uttrykket:

Han får da $\mathrm{513,5}\mathrm{kr}$ for de $50$ euroene.

Vi kaller antall små flasker for $x$ og antall store flasker for $y$.

Hver liten flaske gir 2 kr i pant, og hver store flaske gir 3 kr i pant.

Til sammen pantet Ali 51 flasker, så det gir likning 1:

Til sammen fikk han 109 kr, så det gir likning 2:

Vi løser likningssettet med innsettingsmetoden. Først løser vi den første likningen for $x$:

Så setter vi dette uttrykket for $x$ inn i den andre likningen, og løser for $y$:

Til slutt setter vi $y=7$ inn i uttrykket for $x$:

Kontroll: $2\cdot 44+3\cdot 7=88+21=109\mathrm{kr}$, og $44+7=51$ flasker. Det stemmer.

Ali pantet altså $\underline{\underline{44\text{ små flasker og }7\text{ store flasker}}}$.

Det første vi legger merke til, er at ingen av $y$-aksene starter på $0$.

I grafen til venstre går $y$-aksen bare fra $\mathrm{9,7}\%$ til $\mathrm{10,1}\%$. I grafen til høyre går $y$-aksen fra $3580000$ til $3740000$. Når skalaen er «klippet» slik, blir linjen svært bratt, og en liten endring ser ut som en stor og dramatisk økning. Dette kalles en misvisende framstilling, selv om tallene i seg selv er riktige.

Andel uføretrygdede (venstre graf)

Vi leser av grafen at andelen økte fra $\mathrm{9,7}\%$ i 2015 til $\mathrm{10,1}\%$ i 2018. Det er en økning på

Regner vi dette om til en prosentvis endring av selve andelen, får vi

En økning på $\mathrm{0,4}$ prosentpoeng, altså om lag $4\%$, ser dermed ut som en nesten loddrett stigende graf — fordi $y$-aksen bare dekker et lite intervall fra $\mathrm{9,7}$ til $\mathrm{10,1}$.

Antall sykemeldinger (høyre graf)

Her opplyser artikkelen selv at antall sykemeldinger økte med $\mathrm{4,6}\%$ fra 2015 til 2019, mens Norges befolkning i samme periode økte med $\mathrm{3,1}\%$. Siden folketallet vokser, vil vi forvente at antall sykemeldinger også øker noe, selv om andelen som blir sykemeldt ikke har endret seg. Når nesten hele økningen i sykemeldinger ($\mathrm{4,6}\%$) kan forklares av at det rett og slett er flere mennesker i Norge ($\mathrm{3,1}\%$ flere), er den reelle økningen i sykefraværet langt mindre enn det den bratte grafen gir inntrykk av.

Konklusjon

Begge grafene bruker en $y$-akse som ikke starter i $0$, og som dekker et svært smalt tallområde. Det får beskjedne endringer på noen få prosent til å se ut som kraftige, dramatiske økninger. En mer rettferdig framstilling ville latt $y$-aksen starte på $0$, eller i det minste vist prosentandelen/antallet i sammenheng med en rimelig skala — da ville grafene sett langt mindre dramatiske ut.

$\underline{\underline{\text{Grafene er misvisende fordi }y\text{-aksene ikke starter på }0.}}$

Dette er en utforskende oppgave. Det finnes ikke ett riktig svar — poenget er å stille gode spørsmål, undersøke med tall, og generalisere med algebra. Under vises ett mulig løp gjennom oppgaven. Velger eleven andre spørsmål eller andre eksempeltall, kan det gi like god eller bedre uttelling, så lenge framgangsmåten er systematisk og konklusjonen er begrunnet.

Spørsmål 1: Er summen av fem påfølgende heltall alltid delelig med 5?

Undersøkelse med eksempler.

Alle summene er delelige med 5. Det tyder på at påstanden stemmer, men noen eksempler beviser ikke at det gjelder for alle heltall. Derfor generaliserer vi med algebra.

Generalisering. La $n$ være det minste av de fem påfølgende heltallene. Da er tallene $n$, $n+1$, $n+2$, $n+3$ og $n+4$, og summen blir

Siden $S=5\cdot (n+2)$ og $n+2$ er et heltall, er $S$ alltid et multiplum av 5, uansett hvilket heltall $n$ vi starter med. Påstand 1 stemmer.

Spørsmål 2: Er summen av seks påfølgende heltall aldri delelig med 6?

Undersøkelse med eksempler.

Ingen av summene går opp i 6 — begge gir rest 3. Vi generaliserer for å se om det alltid er slik.

Generalisering. La $n$ være det minste av de seks tallene: $n,n+1,\dots ,n+5$.

Leddet $6(n+2)$ er alltid delelig med 6, men resten $+3$ blir liggende igjen uansett hva $n$ er. Summen $S$ gir derfor alltid rest 3 ved divisjon med 6, og er aldri delelig med 6. Påstand 2 stemmer.

Spørsmål 3: Er summen av sju påfølgende heltall noen ganger delelig med 7?

Undersøkelse med eksempler.

Her overrasker resultatet: alle eksemplene er delelige med 7, ikke bare noen. Det tyder på at det skjer oftere enn påstanden sier — kanskje alltid. Vi sjekker med algebra.

Generalisering. La $n$ være det minste av de sju tallene: $n,n+1,\dots ,n+6$.

Siden $S=7\cdot (n+3)$, er summen av sju påfølgende heltall alltid delelig med 7 — ikke bare noen ganger. Påstand 3 er derfor feil — den burde vært «summen av sju påfølgende heltall er alltid delelig med 7».

Spørsmål 4 (utvidelse): Hva avgjør om summen av $k$ påfølgende heltall er delelig med $k$?

Mønsteret i de tre foregående svarene er tydelig: 5 og 7 er oddetall og ga «alltid», mens 6 er et partall og ga «aldri». Vi undersøker om det er antallet tall som er oddetall eller partall som avgjør svaret.

Generalisering. La $n$ være det minste av $k$ påfølgende heltall: $n,n+1,\dots ,n+(k-1)$. Summen av alle leddene $n$-delene gir $k\cdot n$, og summen av «pluss-tallene» $0+1+2+\cdots +(k-1)$ blir ${\displaystyle \frac{k(k-1)}{2}}$ (Gauss’ sum). Dermed er

• Når $k$ er oddetall: da er $k-1$ et partall, så ${\displaystyle \frac{k-1}{2}}$ er et helt tall. Da kan vi skrive $S=k(n+{\displaystyle \frac{k-1}{2}})$, som er $k$ ganger et heltall — altså alltid delelig med $k$. Dette stemmer med $k=5$ og $k=7$ over.
• Når $k$ er partall: da er ${\displaystyle \frac{k(k-1)}{2}}={\displaystyle \frac{k}{2}}(k-1)$, og siden $k-1$ er et oddetall, gir dette leddet alltid rest ${\displaystyle \frac{k}{2}}$ ved divisjon med $k$. Summen $S$ er derfor aldri delelig med $k$. Dette stemmer med $k=6$ over.

Konklusjon: Summen av $k$ påfølgende heltall er delelig med $k$ hvis og bare hvis $k$ er et oddetall.

Kritisk vurdering. De tre elevpåstandene stemmer for de to første (5 og 7 tall), men den tredje påstanden — at det bare skjer «noen ganger» for sju tall — er feil: siden 7 er et oddetall, skjer det faktisk hver gang. Generaliseringen med $k$ viser at det ikke er tallet 5, 6 eller 7 i seg selv som avgjør delelighet, men om antallet påfølgende heltall er odde eller like.

Andre spørsmål eleven kunne stilt (like gyldige, gir samme type uttelling): «Er summen av $k$ påfølgende heltall alltid delelig med $2k$?», «Hva er sammenhengen mellom summen og gjennomsnittet av tallene?», eller «Stemmer mønsteret også for påfølgende partall/oddetall (f.eks. 2, 4, 6, …)?».

Dette er en utforskende oppgave. Vi velger fire spørsmål som bruker opplysningene i teksten, gjør noen begrunnede antakelser der opplysningene ikke er fullstendige, og setter opp et lite budsjett. Andre spørsmål og andre forutsetninger enn de vi velger her, gir også full uttelling, så lenge de er begrunnet og utregningene er riktige.

Vi stiller disse spørsmålene:

1. Hvor mye koster det totalt å ta førerkort for moped, når vi tar hensyn til at Anne trolig trenger flere kjøretimer enn de tre som er inkludert?
2. Hvor mye bruker Anne på forsikring og bensin i løpet av de to årene hun eier mopeden?
3. Hva er mopeden verdt når Anne selger den etter to år?
4. Hva blir Annes samlede netto kostnad — det vil si alle utgifter minus det hun får igjen ved salg?

Forutsetninger vi gjør

• Anne trenger 5 ekstra kjøretimer utover de 3 som er inkludert i grunnprisen (blå boks: «hun trenger trolig flere kjøretimer»).
• Verditapet det første året settes til midt i intervallet, $\mathrm{27,5}\%$ (grønn boks oppgir $25$–$30\%$).
• Anne kjører mopeden til skolen 5 dager i uka i 38 skoleuker i året, og til fotballtrening 2 ganger i uka i 30 uker i året. Strekningen er $2\mathrm{km}$ hver vei, altså $4\mathrm{km}$ tur-retur per gang (grå boks).

Regnearket

Vi setter opp budsjettet i et regneark. Tabellen viser cellene, formlene vi skriver inn, og verdien de gir:

Celle	Post	Formel	Verdi
B2	Pris per kjøretime	=(8800-6480)/3	$\approx 773\mathrm{kr}$
B3	5 ekstra kjøretimer	=5*B2	$\approx 3865\mathrm{kr}$
B4	Opplæring og kjøretimer i alt	=8800+B3	$\approx 12665\mathrm{kr}$
B5	Gebyrer (teori, utstedelse, faktura)	=660+310+65	$1035\mathrm{kr}$
B6	Førerkort i alt	=B4+B5	$\approx 13700\mathrm{kr}$
B7	Kjøp av moped	=16000	$16000\mathrm{kr}$
B8	Forsikring i 24 måneder	=125*24	$3000\mathrm{kr}$
B9	Kjørelengde per år (km)	=190*4+60*4	$1000\mathrm{km}$
B10	Kjørelengde i 2 år (mil)	=B9*2/10	$200\mathrm{mil}$
B11	Bensinforbruk (liter)	=B10/3	$\approx \mathrm{66,7}\mathrm{L}$
B12	Bensinkostnad	=B11*15	$\approx 1000\mathrm{kr}$
B13	Totale kostnader i 2 år	=B6+B7+B8+B12	$\approx 33700\mathrm{kr}$
B14	Verdi av moped etter 1 år ($-\mathrm{27,5}\%$)	=16000*(1-0,275)	$11600\mathrm{kr}$
B15	Verdi av moped etter 2 år ($-20\%$)	=B14*(1-0,2)	$9280\mathrm{kr}$
B16	Netto kostnad (kostnader − salgsverdi)	=B13-B15	$\approx 24420\mathrm{kr}$

Spørsmål 1: Hva koster førerkortet?

Den obligatoriske opplæringen og 3 kjøretimer koster $8800\mathrm{kr}$ til sammen. Legger vi sammen prisene på hver enkelt post i opplæringstabellen, får vi $1000+700+2040+700+2040=6480\mathrm{kr}$. Da må de 3 kjøretimene i tillegg koste

altså $2320:3\approx 773\mathrm{kr}$ per kjøretime (celle B2).

Siden Anne har liten erfaring, antar vi at hun trenger 5 ekstra kjøretimer. Det koster

(celle B3). Opplæring og kjøretimer i alt (celle B4) blir da

I tillegg kommer gebyrene for teoriprøve, utstedelse av førerkort og faktura (celle B5):

Førerkortet koster dermed i alt (celle B6)

Svar: Førerkortet koster ca. $\underline{\underline{13700\mathrm{kr}}}$.

Spørsmål 2: Hva koster forsikring og bensin i to år?

Forsikringen koster $125\mathrm{kr}$ per måned. Anne eier mopeden i 2 år, altså 24 måneder (celle B8):

For bensinen må vi først finne hvor langt Anne kjører. Vi antar hun kjører til skolen 5 dager i uka i 38 uker, og til fotballtrening 2 ganger i uka i 30 uker. Strekningen er $2\mathrm{km}$ hver vei, altså $4\mathrm{km}$ tur-retur:

(celle B9). I løpet av 2 år blir det $1000\cdot 2=2000\mathrm{km}$, altså $200\mathrm{mil}$ (celle B10). Mopeden bruker $\frac{1}{3}\mathrm{L}$ per mil, så bensinforbruket (celle B11) er

Med en bensinpris på $15\mathrm{kr}$ per liter blir bensinkostnaden (celle B12)

Forsikring og bensin til sammen:

Svar: Forsikring og bensin koster til sammen ca. $\underline{\underline{4000\mathrm{kr}}}$ i løpet av de to årene.

Spørsmål 3: Hva er mopeden verdt etter to år?

Mopeden koster $16000\mathrm{kr}$ ny. Verditapet det første året er $25$–$30\%$; vi bruker midtverdien $\mathrm{27,5}\%$. Da beholder mopeden $100\%-\mathrm{27,5}\%=\mathrm{72,5}\%$ av verdien, altså vekstfaktor $\mathrm{0,725}$. Verdien etter 1 år (celle B14) blir

Det andre året er verditapet $20\%$, så mopeden beholder $80\%$ av verdien. Verdien etter 2 år (celle B15) blir

Svar: Mopeden er verdt ca. $\underline{\underline{9280\mathrm{kr}}}$ når Anne selger den etter to år.

Spørsmål 4: Hva blir Annes netto kostnad?

Vi legger sammen alle utgiftene: førerkort, kjøp av moped, forsikring og bensin (celle B13):

Når Anne selger mopeden etter to år, får hun tilbake $9280\mathrm{kr}$. Netto kostnad (celle B16) blir da

Svar: Annes netto kostnad ved å ta førerkort og eie mopeden i to år er ca. $\underline{\underline{24420\mathrm{kr}}}$.

Kritisk vurdering

• Antall ekstra kjøretimer (5) og kjørelengden per uke er egne antakelser — vi har ikke eksakte tall for dette, bare at Anne «trolig trenger flere kjøretimer» og bor $2\mathrm{km}$ fra skole og fotballbane. Andre rimelige antakelser ville gitt et annet, men like gyldig, svar.
• Verditapet er oppgitt som et intervall ($25$–$30\%$) det første året. Vi valgte midtpunktet, men $25\%$ eller $30\%$ hadde vært like riktig å bruke, og ville gitt en litt annen salgsverdi.
• Budsjettet tar ikke med alle kostnader Anne trolig får: verneutstyr (hjelm, kjøredress), service og dekk, eventuelle bøter eller uhell, eller renter dersom hun må låne penger for å kjøpe mopeden.
• Bensinpris og forsikringspremie kan endre seg i løpet av de to årene — vi har regnet med at de er konstante.
• Modellen viser likevel at det er de faste kostnadene (førerkort og kjøp av moped) som dominerer, mens forsikring og bensin utgjør en mindre del av totalkostnaden over to år.