10. trinn Vår 2010 · Matematikkoppgaver

Oppgave 1-1Regn ut 334 + 465, 854 − 328, 4,3 · 7 og 264 delt på 4

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Regn ut:

$334 + 465 =$

$854 - 328 =$

$4,3 \cdot 7 =$

$264 : 4 =$

Fasit

$799$

$526$

$30,1$

$66$

LøsningsforslagKI-generert

Vi legger sammen $334$ og $465$ ved å addere hundretall, tital og enere for seg:

334 + 465 = 799

Svar: $334 + 465 = 799$

Vi trekker $328$ fra $854$ :

854 - 328 = 526

Svar: $854 - 328 = 526$

Vi multipliserer $4,3$ med $7$ . Først regner vi $43 \cdot 7 = 301$ , og siden $4,3$ har én desimal, flytter vi kommaet én plass til venstre i svaret:

4,3 \cdot 7 = 30,1

Svar: $4,3 \cdot 7 = 30,1$

Vi deler $264$ på $4$ :

264 : 4 = 66

Svar: $264 : 4 = 66$

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 2
Temaer: Tallregning
Egen side: Åpne oppgave 1-1 for seg selv

Oppgave 1-2Gjør om 2,5 timer, 4,7 mil, 2,3 liter og 6250 gram

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Gjør om:

$2,5$ t = min

$4,7$ mil = km

$2,3$ L (liter) = dL (desiliter)

$6250$ g = kg

Fasit

$150 \min$

$47 km$

$23 dL$

$6,25 kg$

LøsningsforslagKI-generert

Én time er $60$ minutter. Vi ganger $2,5$ med $60$ :

2,5 \cdot 60 = 150

Svar: $2,5 t = 150 \min$

Én mil er $10$ km. Vi ganger $4,7$ med $10$ , altså flytter kommaet én plass til høyre:

4,7 \cdot 10 = 47

Svar: $4,7 m i l = 47 km$

Én liter er $10$ desiliter. Vi ganger $2,3$ med $10$ :

2,3 \cdot 10 = 23

Svar: $2,3 L = 23 dL$

Én kilogram er $1000$ gram. Vi deler $6250$ på $1000$ , altså flytter kommaet tre plasser til venstre:

6250 : 1000 = 6,25

Svar: $6250 g = 6,25 kg$

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 2
Temaer: Måleenheter
Egen side: Åpne oppgave 1-2 for seg selv

Oppgave 1-3Regnerekkefølge med 3 i andre og minus 2 i tredje

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Regn ut:

$3^{2} + 2 (5 - 4) =$

$- 1^{2} \cdot 3 {(- 2)}^{3} =$

Fasit

$11$

$24$

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker regnerekkefølgen: parentes først, deretter potens, og til slutt addisjon.

\begin{matrix} 3^{2} + 2 (5 - 4) & = 3^{2} + 2 \cdot 1 \\ = 9 + 2 \\ = 11 \end{matrix}

Svar: $3^{2} + 2 (5 - 4) = 11$

Vi bruker regnerekkefølgen: potens før multiplikasjon. Legg merke til at $- 1^{2}$ betyr $- (1^{2})$ , altså blir svaret negativt, mens ${(- 2)}^{3}$ har parentes rundt minustegnet, så vi opphøyer $- 2$ i tredje.

\begin{matrix} - 1^{2} \cdot 3 {(- 2)}^{3} & = - 1 \cdot 3 \cdot (- 8) \\ = - 3 \cdot (- 8) \\ = 24 \end{matrix}

Svar: $- 1^{2} \cdot 3 {(- 2)}^{3} = 24$

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 1
Temaer: Tallregning, Potenser
Egen side: Åpne oppgave 1-3 for seg selv

Oppgave 1-4Brøkregning med trettendeler, sjettedeler og nideler

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Regn ut:

$\frac{8}{13} + \frac{4}{13} =$

$\frac{5}{6} - \frac{2}{3} =$

$\frac{7}{9} \cdot \frac{1}{2} =$

$6 : \frac{3}{10} =$

Fasit

$\frac{12}{13}$

$\frac{1}{6}$

$\frac{7}{18}$

$20$

LøsningsforslagKI-generert

Brøkene har allerede samme nevner, så vi legger sammen tellerne:

\frac{8}{13} + \frac{4}{13} = \frac{12}{13}

Svar: $\frac{8}{13} + \frac{4}{13} = \frac{12}{13}$

Vi finner felles nevner. Minste felles nevner for $6$ og $3$ er $6$ , så vi utvider $\frac{2}{3}$ med $2$ :

\begin{matrix} \frac{5}{6} - \frac{2}{3} & = \frac{5}{6} - \frac{4}{6} \\ = \frac{1}{6} \end{matrix}

Svar: $\frac{5}{6} - \frac{2}{3} = \frac{1}{6}$

Vi multipliserer brøker ved å gange teller med teller og nevner med nevner:

\frac{7}{9} \cdot \frac{1}{2} = \frac{7 \cdot 1}{9 \cdot 2} = \frac{7}{18}

Svar: $\frac{7}{9} \cdot \frac{1}{2} = \frac{7}{18}$

Vi deler et helt tall på en brøk ved å gange med den snudde brøken:

\begin{matrix} 6 : \frac{3}{10} & = 6 \cdot \frac{10}{3} \\ = \frac{60}{3} \\ = 20 \end{matrix}

Svar: $6 : \frac{3}{10} = 20$

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Brøk, Tallregning
Egen side: Åpne oppgave 1-4 for seg selv

Oppgave 1-5Løs ligningen 4x + 7 = 47 og en ligning med brøk

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Løs ligningene:

4 x + 7 = 47

\frac{x}{2} = \frac{x}{3} + 1

Fasit

$x = 10$

$x = 6$

LøsningsforslagKI-generert

Vi trekker $7$ fra begge sider av likhetstegnet, og deler deretter begge sider på $4$ :

\begin{matrix} 4 x + 7 & = 47 \\ 4 x + 7 - 7 & = 47 - 7 \\ 4 x & = 40 \\ \frac{4 x}{4} & = \frac{40}{4} \\ x & = 10 \end{matrix}

Svar: $x = 10$

Den ukjente står i to brøker, med nevnerne $2$ og $3$ . Vi ganger begge sider med $6$ (minste felles nevner for $2$ og $3$ ) for å bli kvitt brøkene:

\begin{matrix} \frac{x}{2} & = \frac{x}{3} + 1 \\ 6 \cdot \frac{x}{2} & = 6 \cdot (\frac{x}{3} + 1) \\ 3 x & = 2 x + 6 \end{matrix}

Deretter trekker vi $2 x$ fra begge sider:

\begin{matrix} 3 x - 2 x & = 2 x + 6 - 2 x \\ x & = 6 \end{matrix}

Svar: $x = 6$

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 1.5
Temaer: Likninger, Algebra
Egen side: Åpne oppgave 1-5 for seg selv

Oppgave 1-6Overslag over prisen på en iPod til 348 euro

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Teresa var i Tyskland. Der kjøpte hun en iPod som kostet $348$ € (euro).

Kursen på $1$ € var $8,732$ .

Omtrent hva kostet iPod-en i norske kroner?

Fasit

$ca. 3000 kr$

LøsningsforslagKI-generert

Vi skal gjøre et overslag, så vi runder av tallene før vi regner.

Prisen $348$ € runder vi av til $350$ €.

Kursen $8,732$ runder vi av til $9$ kroner per euro.

350 \cdot 9 = 3150

$3150$ kroner ligger nærmest $3000$ kroner av alternativene.

$iPod-en kostet omtrent 3000 k r o n e r .$

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 0.5
Temaer: Valuta, Tallregning
Egen side: Åpne oppgave 1-6 for seg selv

Oppgave 1-7Symmetriakser i en likesidet trekant

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Tegn inn symmetriaksene på den likesidede trekanten nedenfor.

Likesidet trekant

Fasit

Se figur i løsningsforslaget – tre symmetriakser, én fra hvert hjørne til midtpunktet på motstående side.

LøsningsforslagKI-generert

En likesidet trekant har tre symmetriakser. Hver symmetriakse går fra ett hjørne og ned til midtpunktet på siden rett overfor hjørnet.

Deler vi trekanten langs en slik akse, blir de to halvdelene helt like – den ene halvdelen er speilbildet av den andre.

Symmetriaksene i den likesidede trekanten

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 0.5
Temaer: Geometri
Egen side: Åpne oppgave 1-7 for seg selv

Oppgave 1-8Overflaten av en sylinder med radius 5 cm og høyde 10 cm

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En sylinder har radius $r = 5 c m$ og høyde $h = 10 c m$ .

En sylinder brettet ut til to sirkler og et rektangel

Regn ut overflaten av sylinderen. Bruk $π \approx 3$ .

Fasit

$O = 450 {cm}^{2}$

LøsningsforslagKI-generert

Figuren viser at overflaten av sylinderen består av to sirkler (topp og bunn) og ett rektangel (den bøyde sideflaten brettet ut).

Steg 1: Arealet av de to sirklene

Arealet av én sirkel er $A = π \cdot r^{2}$ . Vi bruker $π \approx 3$ og $r = 5 cm$ .

A = 3 \cdot 5^{2} = 3 \cdot 25 = 75 {cm}^{2}

To sirkler gir da

2 \cdot 75 = 150 {cm}^{2}

Steg 2: Arealet av sideflaten (rektangelet)

Rektangelet er like langt som omkretsen av sirkelen, og like høyt som sylinderen. Omkretsen er $O = 2 \cdot π \cdot r$ .

O = 2 \cdot 3 \cdot 5 = 30 cm

Arealet av rektangelet blir da lengde ganger høyde:

30 \cdot 10 = 300 {cm}^{2}

Steg 3: Legger sammen

150 + 300 = 450 {cm}^{2}

$Overflaten av sylinderen er 450 {cm}^{2} .$

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Sylinder, Areal og omkrets, Romgeometri
Egen side: Åpne oppgave 1-8 for seg selv

Oppgave 1-9Løs ligningssettet x + y = 3 og 2x + 3y = 8

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

\begin{matrix} I & x + y & = 3 \\ II & 2 x + 3 y & = 8 \end{matrix}

Løs ligningsettet ovenfor ved regning.

Fasit

$x = 1, y = 2$

LøsningsforslagKI-generert

Vi løser likningssettet med innsettingsmetoden. Vi tar for oss likning I og løser den med hensyn på $y$ :

\begin{matrix} x + y & = 3 \\ x + y - x & = 3 - x \\ y & = 3 - x \end{matrix}

Vi setter dette uttrykket for $y$ inn i likning II:

\begin{matrix} 2 x + 3 y & = 8 \\ 2 x + 3 (3 - x) & = 8 \\ 2 x + 9 - 3 x & = 8 \\ - x + 9 & = 8 \\ - x + 9 - 9 & = 8 - 9 \\ - x & = - 1 \\ \frac{- x}{- 1} & = \frac{- 1}{- 1} \\ x & = 1 \end{matrix}

Til slutt setter vi $x = 1$ inn i uttrykket $y = 3 - x$ :

\begin{matrix} y & = 3 - x \\ y & = 3 - 1 \\ y & = 2 \end{matrix}

Kontroll: Vi setter $x = 1$ og $y = 2$ inn i likning II: $2 \cdot 1 + 3 \cdot 2 = 2 + 6 = 8$ . Stemmer.

$x = 1 og y = 2$

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 1.5
Temaer: Likningssystem, Algebra
Egen side: Åpne oppgave 1-9 for seg selv

Oppgave 1-10Målestokken på et norgeskart med Oslo og Bergen

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Avstanden fra Oslo til Bergen er ca. $300 k m$ i luftlinje.

Kart over Sør-Norge med Bergen og Oslo markert

Bruk kartet ovenfor. Hva er målestokken for dette kartet?

Fasit

$1 : 15 000 000$

LøsningsforslagKI-generert

Vi måler med linjal avstanden mellom Oslo og Bergen på kartet. Det gir omtrent

2 cm

I virkeligheten er avstanden $300 km$ . Vi gjør om til centimeter, siden begge avstandene må ha samme enhet:

300 km = 300 \cdot 100 000 cm = 30 000 000 cm

Målestokken forteller hvor mange ganger større den virkelige avstanden er enn avstanden på kartet:

30 000 000 : 2 = 15 000 000

$Målestokken er 1 : 15 000 000.$

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 0.5
Temaer: Målestokk, Måleenheter
Egen side: Åpne oppgave 1-10 for seg selv

Oppgave 1-11Konstruksjon av trekant ABC og parallellogrammet ABCD

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Konstruer en trekant $A B C$ der $A B$ er $7 c m$ , $∠ A = 45 °$ og $∠ B = 60 °$ .

Trekanten $A B C$ er en del av parallellogrammet $A B C D$ . Konstruer parallellogrammet. Ta med hjelpefigur og konstruksjonsforklaring.

Fasit

Trekanten er entydig bestemt av $A B = 7 cm$ , $∠ A = 45 °$ og $∠ B = 60 °$ . Se konstruksjonen i løsningsforslaget.

$D$ finnes ved å sette passerbredden lik $B C$ fra $A$ og lik $A B$ fra $C$ – skjæringspunktet mellom buene er $D$ . Se konstruksjonen i løsningsforslaget.

LøsningsforslagKI-generert

Vi skal konstruere en trekant der $A B = 7 cm$ , $∠ A = 45 °$ og $∠ B = 60 °$ .

Tegn linjestykket $A B = 7 cm$ med linjal.
Konstruer $∠ A = 45 °$ :
- Konstruer først en normal (en $90 °$ -vinkel) på $A B$ i punktet $A$ : sett passerspissen i $A$ og tegn en bue som skjærer $A B$ i to punkter. Sett så passerspissen i hvert av disse to punktene (med samme, litt større passerbredde) og tegn to nye buer som skjærer hverandre. Linjen fra $A$ gjennom skjæringspunktet står normalt på $A B$ .
- Halver denne $90 °$ -vinkelen med en vinkelhalveringslinje (sett passerspissen i $A$ , tegn en bue som skjærer begge vinkelbeina, sett så passerspissen i de to skjæringspunktene og tegn to buer som skjærer hverandre – linjen fra $A$ gjennom dette skjæringspunktet er halveringslinja). Da har vi en $45 °$ -vinkel fra $A B$ .
Konstruer $∠ B = 60 °$ :
- Sett passerspissen i $B$ og tegn en bue med vilkårlig radius som skjærer $A B$ i et punkt $P$ .
- Behold samme passerbredde, sett passerspissen i $P$ og tegn en ny bue som skjærer den første buen i et punkt $Q$ . Da er vinkelen mellom $B A$ og $B Q$ nøyaktig $60 °$ (fordi trekant $B P Q$ blir likesidet).
Der de to vinkelbeina fra $A$ og $B$ skjærer hverandre, får vi punktet $C$ .

Siden vinkelsummen i en trekant er $180 °$ , blir $∠ C = 180 ° - 45 ° - 60 ° = 75 °$ .

Trekanten $A B C$ er halvparten av parallellogrammet $A B C D$ – diagonalen $A C$ deler parallellogrammet i to kongruente trekanter, $A B C$ og $A C D$ . Det betyr at $A D = B C$ og $D C = A B$ , og at $A D$ er parallell med $B C$ , mens $D C$ er parallell med $A B$ .

Hjelpefigur: Skisser trekanten $A B C$ og tenk deg punktet $D$ på motsatt side av diagonalen $A C$ i forhold til $B$ , slik at $A B C D$ danner et parallellogram når vi går rundt hjørnene i rekkefølge.

Konstruksjonsforklaring:

Mål opp lengden $B C$ med passeren. Sett passerspissen i $A$ og tegn en bue på motsatt side av $A C$ i forhold til $B$ .
Mål opp lengden $A B$ med passeren. Sett passerspissen i $C$ og tegn en bue som skjærer buen fra steg 1.
Skjæringspunktet mellom de to buene er punktet $D$ .
Trekk linjestykkene $A D$ og $C D$ med linjal. Da er parallellogrammet $A B C D$ ferdig konstruert.

Kontroll: Fordi $A D = B C$ og $C D = A B$ (samme passerbredder som i trekanten), og $D$ ligger slik at $A D$ blir parallell med $B C$ og $C D$ parallell med $A B$ , oppfyller firkanten definisjonen på et parallellogram.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 3
Poeng: 3
Temaer: Konstruksjon, Geometri
Egen side: Åpne oppgave 1-11 for seg selv

Oppgave 1-12Finn funksjonsuttrykket til den tegnede rette linja

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Rett linje tegnet i et koordinatsystem

Hva er funksjonsuttrykket til grafen ovenfor?

Fasit

$y = 2 x - 1$

LøsningsforslagKI-generert

Et rett linje-uttrykk skrives på formen $y = a x + b$ , der $b$ er konstantleddet (der grafen skjærer $y$ -aksen) og $a$ er stigningstallet.

Konstantleddet: Grafen skjærer $y$ -aksen i punktet $(0, - 1)$ . Det gir $b = - 1$ .

Stigningstallet: Vi leser av to punkter på grafen, for eksempel $(0, - 1)$ og $(1, 1)$ . Da er

a = \frac{Δ y}{Δ x} = \frac{1 - (- 1)}{1 - 0} = \frac{2}{1} = 2

Funksjonsuttrykket blir dermed $y = 2 x - 1$ .

Vi sjekker mot alternativene: $y = x - 1$ har feil stigningstall (skulle vært brattere), $y = 2 x + \frac{1}{2}$ har feil (positivt) konstantledd, og $y = - x + 2$ har negativt stigningstall og skulle da falt mot høyre – ikke stige, slik grafen gjør. Alternativet $y = 2 x - 1$ passer med både konstantledd og stigningstall.

Svar: $y = 2 x - 1$

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 0.5
Temaer: Lineære funksjoner, Graftolkning, Stigningstall
Egen side: Åpne oppgave 1-12 for seg selv

Oppgave 1-13Ti prosent rabatt på en mobiltelefon til 2990 kroner

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

I en butikk koster en mobiltelefon $2990$ kroner.

Hvis du kjøper den på Internett, får du 10 % rabatt.

Hvor mange kroner får du i rabatt?
Svar: kroner

Fasit

$299 kr$

LøsningsforslagKI-generert

Mobiltelefonen koster $2990$ kroner, og rabatten er $10 %$ av denne prisen.

Vi regner om $10 %$ til desimaltall: $10 % = \frac{10}{100} = 0,10$ .

0,10 \cdot 2990 kr = 299 kr

Du får altså $299$ kroner i rabatt når du kjøper mobiltelefonen på Internett.

Svar: $299 kr$

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 0.5
Temaer: Prosentregning, Økonomi
Egen side: Åpne oppgave 1-13 for seg selv

Oppgave 1-14Sannsynlighet for svart lomme i et amerikansk ruletthjul

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Rulett er et sjansespill. Et amerikansk ruletthjul har $18$ røde lommer, $19$ svarte lommer og $1$ grønn lomme.

Hjulet snurres rundt. En kule trilles rundt i motsatt retning og stopper i én av lommene.

Utfallsrommet har utfall.

Hva er sannsynligheten for at kula stopper i en svart lomme?
Svar: (brøk) = % (prosent)

Fasit

$38 utfall$

$P (svart) = \frac{19}{38} = \frac{1}{2} = 50 %$

LøsningsforslagKI-generert

Utfallsrommet består av alle lommene kula kan stoppe i. Vi legger sammen antall røde, svarte og grønne lommer:

18 + 19 + 1 = 38

Utfallsrommet har altså $38$ utfall.

Sannsynligheten for en hendelse regner vi ut som

P (hendelse) = \frac{antall gunstige utfall}{antall mulige utfall}

Det er $19$ svarte lommer av totalt $38$ lommer, så

P (svart) = \frac{19}{38} = \frac{1}{2} = 0,5 = 50 %

Det er altså like stor sjanse for at kula stopper på svart som for at den ikke gjør det – sannsynligheten er $50 %$ .

Svar: a) $38 utfall$ b) $\frac{19}{38} = \frac{1}{2} = 50 %$

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 1.5
Temaer: Sannsynlighet, Prosentregning
Egen side: Åpne oppgave 1-14 for seg selv

Oppgave 1-15Forsvinningspunkter for en eske på en horisontlinje

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Nedenfor ser du et bilde av en eske og en horisontlinje. Esken har to forsvinningspunkter på horisontlinja.

En eske tegnet i perspektiv under en horisontlinje

Vis hvordan du finner de to forsvinningspunktene.

Fasit

Forsvinningspunktene finner vi ved å forlenge de kantene på esken som egentlig er parallelle, helt til de møtes på horisontlinja – ett punkt til høyre og ett til venstre for esken.

LøsningsforslagKI-generert

Esken er tegnet i topunktsperspektiv. Det vil si at vi ser to sideflater av esken skrått forfra, én mot venstre og én mot høyre. På hver av disse to flatene er kantene som i virkeligheten er parallelle (og vannrette), tegnet slik at de skrår litt oppover eller nedover på bildet – dette er nettopp det som skaper perspektivvirkningen.

Slik finner vi forsvinningspunktene:

Se på høyre sideflate av esken. Den har to kanter (øverste og nederste kant på denne flaten) som i virkeligheten er parallelle. Forleng begge disse kantene med linjal til de møtes i ett punkt på horisontlinja. Dette møtepunktet er det høyre forsvinningspunktet.
Se på venstre sideflate av esken. Forleng de to kantene som er parallelle på denne flaten (øverste og nederste kant), til de møtes i ett punkt på horisontlinja på venstre side. Dette møtepunktet er det venstre forsvinningspunktet.

Begge forsvinningspunktene skal ligge nøyaktig på horisontlinja, ett godt stykke til høyre for esken og ett godt stykke til venstre for esken, siden linjene i bildet skrår ganske lite.

Svar: De to forsvinningspunktene ligger der de forlengede kantparene fra henholdsvis høyre og venstre sideflate skjærer horisontlinja.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 1
Temaer: Perspektivtegning, Geometri
Egen side: Åpne oppgave 1-15 for seg selv

Oppgave 1-16Volumet av en eske med lengde 20 cm og bredde 15 cm

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En eske har lengde $20 c m$ , bredde $15 c m$ og høyde $10 c m$ .

Hva er volumet av esken?
Svar: $c m^{3}$

Fasit

Volumet er $3000 c m^{3}$ .

LøsningsforslagKI-generert

Esken er et rett prisme (en boks). Volumet av en boks finner vi ved å multiplisere lengde, bredde og høyde:

V = l \cdot b \cdot h

Vi setter inn tallene fra oppgaven:

V = 20 cm \cdot 15 cm \cdot 10 cm = 3000 c m^{3}

Volumet av esken er $3000 c m^{3}$ .

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 0.5
Temaer: Volum, Romgeometri
Egen side: Åpne oppgave 1-16 for seg selv

Oppgave 1-17Typetall, median og gjennomsnitt for antall mobiltelefoner

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

$10$ personer ble spurt om hvor mange mobiltelefoner de hadde hatt i løpet av de tre siste årene. De svarte slik:

1 1 2 3 5 3 1 1 2 1

Typetallet er

Medianen er

Gjennomsnittet er

Fasit

$Typetallet = 1$

$Medianen = 1,5$

$Gjennomsnittet = 2$

LøsningsforslagKI-generert

Vi starter med å sortere tallene fra minst til størst, slik at det blir lettere å finne typetall og median:

1 1 1 1 1 2 2 3 3 5

Typetallet er den verdien som forekommer flest ganger. Tallet $1$ forekommer $5$ ganger, som er flest. Typetallet er $1$ .

Medianen er den midterste verdien når tallene er sortert. Siden det er $10$ tall (et partall), finner vi medianen ved å ta gjennomsnittet av de to midterste tallene, altså tall nummer $5$ og $6$ :

1 1 1 1 1 2 2 3 3 5

Median = \frac{1 + 2}{2} = 1,5

Medianen er $1,5$ .

Gjennomsnittet finner vi ved å summere alle tallene og dele på hvor mange de er:

Gjennomsnitt = \frac{1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 3 + 1 + 1 + 2 + 1}{10} = \frac{20}{10} = 2

Gjennomsnittet er $2$ .

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 1.5
Temaer: Sentralmål, Statistikk
Egen side: Åpne oppgave 1-17 for seg selv

Oppgave 1-18Areal og hypotenus i en rettvinklet trekant med 8 m og 6 m

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Nedenfor ser du en skisse av en rettvinklet trekant.

Rettvinklet trekant med katetene 8 m og 6 m og hypotenusen x

Arealet av trekanten er $m^{2}$

Regn ut lengden av $x$ ved hjelp av Pytagoras-setningen.

Fasit

$A = 24 m^{2}$

$x = 10 m$

LøsningsforslagKI-generert

Trekanten er rettvinklet, og de to katetene er $8 m$ og $6 m$ . Arealet av en rettvinklet trekant finner vi ved å bruke katetene som grunnlinje og høyde:

A = \frac{grunnlinje \cdot høyde}{2} = \frac{8 m \cdot 6 m}{2} = \frac{48 m^{2}}{2} = 24 m^{2}

Arealet av trekanten er $24 m^{2}$ .

Siden trekanten er rettvinklet, kan vi bruke Pytagoras’ setning til å finne hypotenusen $x$ . Pytagoras’ setning sier at summen av kvadratene til katetene er lik kvadratet av hypotenusen:

x^{2} = 8^{2} + 6^{2}

Vi regner ut høyresiden:

x^{2} = 64 + 36 = 100

Så tar vi kvadratroten på begge sider for å finne $x$ :

\begin{matrix} \sqrt{x^{2}} & = \sqrt{100} \\ x & = 10 \end{matrix}

Lengden av $x$ er $10 m$ .

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 1.5
Temaer: Pytagoras, Rettvinklet trekant, Areal og omkrets
Egen side: Åpne oppgave 1-18 for seg selv

Oppgave 1-19Tiden radiosignaler bruker fra månen til jorda

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Avstanden fra månen til jorda er $3,84 \cdot 10^{8}$ meter.

Radiosignaler fra en astronaut på månen går med lysets hastighet, det vil si 300 000 000 m/s.

Omtrent hvor mange sekunder bruker radiosignalene fra månen til jorda?

Fasit

$ca. 1 s$

LøsningsforslagKI-generert

Tiden radiosignalene bruker finner vi ved å dele avstanden på farten (fart $= \frac{strekning}{tid}$ , så tid $= \frac{strekning}{fart}$ ):

t = \frac{s}{v} = \frac{3,84 \cdot 10^{8} m}{3,0 \cdot 10^{8} m / s}

Vi regner ut som et overslag: $3,84$ delt på $3,0$ er litt mer enn $1$ , og potensene av $10$ er like og går mot hverandre:

t \approx \frac{3,84}{3,0} \approx 1,28 s

Dette er nærmest $1 s$ , så vi krysser av for ca. $1 s$ .

Svar: $ca. 1 s$

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 0.5
Temaer: Standardform, Sammensatte måleenheter, Fart
Egen side: Åpne oppgave 1-19 for seg selv

Oppgave 1-20Ventetid på bussen fra klokka 07.38 til 09.19

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Sondre tar en buss til skolen. Bussen går klokka 07.38 hver morgen. En dag kommer han $5$ minutter for sent til denne bussen. Neste buss går ikke før klokka 09.19.

Hvor lenge må Sondre vente på neste buss?
Svar: t min

Fasit

Sondre må vente $1 time og 36 m i n u t t e r$ .

LøsningsforslagKI-generert

Bussen som Sondre skulle rukket, går klokka $07.38$ . Siden han kommer $5$ minutter for sent, er han framme på holdeplassen klokka

07.38 + 5 m i n = 07.43

Neste buss går klokka $09.19$ . Vi finner ventetiden ved å telle oss fram fra $07.43$ til $09.19$ .

Fra $07.43$ til $08.43$ går det $1$ time.

Fra $08.43$ til $09.19$ går det $36$ minutter.

Ventetiden blir dermed

1 t i m e + 36 m i n u t t e r = 1 time og 36 m i n u t t e r

Sondre må altså vente $1 time og 36 m i n u t t e r$ på neste buss.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 1
Temaer: Tidsregning, Tekstoppgave
Egen side: Åpne oppgave 1-20 for seg selv

Oppgave 1-21Faktorisering av 6a + 3b og andre kvadratsetning

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Faktoriser uttrykkene:

$6 a + 3 b =$

$a^{2} + 2 a b + b^{2} =$

Fasit

$3 (2 a + b)$

${(a + b)}^{2}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi skal faktorisere $6 a + 3 b$ . Da ser vi etter en felles faktor i de to leddene.

Leddet $6 a$ kan skrives som $3 \cdot 2 a$ , og leddet $3 b$ kan skrives som $3 \cdot b$ . Begge leddene har altså faktoren $3$ felles. Vi setter $3$ utenfor en parentes:

6 a + 3 b = 3 \cdot 2 a + 3 \cdot b = 3 (2 a + b)

Svaret er $3 (2 a + b)$ .

Vi skal faktorisere $a^{2} + 2 a b + b^{2}$ . Dette uttrykket kjenner vi igjen som en kvadratsetning brukt baklengs:

{(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}

Uttrykket vårt har nøyaktig samme oppbygning: et kvadratledd $a^{2}$ , et dobbelt produktledd $2 a b$ , og et kvadratledd $b^{2}$ . Da kan vi skrive det som et kvadrat av en sum:

a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}

Svaret er ${(a + b)}^{2}$ .

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 1
Temaer: Faktorisering, Algebra, Kvadratsetninger
Egen side: Åpne oppgave 1-21 for seg selv

Oppgave 1-22Hvor mange ganger større blir kulevolumet når radien fordobles

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Volumet av en kule med radius $r$ er gitt ved

V = \frac{4 π r^{3}}{3}

Hvor mange ganger større blir volumet av en kule når radien fordobles fra $r$ til $2 r$ ? Vis med formelregning.

Fasit

Volumet blir $8$ ganger så stort.

LøsningsforslagKI-generert

Volumformelen for kula er

V = \frac{4 π r^{3}}{3}

Vi setter inn den nye radien $2 r$ i stedet for $r$ , og kaller det nye volumet $V_{2}$ :

V_{2} = \frac{4 π {(2 r)}^{3}}{3}

Vi regner ut ${(2 r)}^{3}$ først:

{(2 r)}^{3} = 2 r \cdot 2 r \cdot 2 r = 8 r^{3}

Vi setter dette inn i uttrykket for $V_{2}$ :

V_{2} = \frac{4 π \cdot 8 r^{3}}{3} = 8 \cdot \frac{4 π r^{3}}{3}

Vi kjenner igjen $\frac{4 π r^{3}}{3}$ som det opprinnelige volumet $V$ . Da får vi

V_{2} = 8 \cdot V

Når radien fordobles, blir volumet av kula $8$ ganger så stort som før.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 1
Temaer: Kule, Volum, Formler, Argumentasjon
Egen side: Åpne oppgave 1-22 for seg selv

Oppgave 2-1Mobiltelefon med ekstrautstyr for mellom 1300 og 1600 kroner

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Maria skal kjøpe ny mobiltelefon med ekstrautstyr. Se bilder og priser nedenfor.

Mobiltelefon 899 kroner, minnekort 249 kroner, handsfree 399 kroner, mobilveske 249 kroner og headset 598 kroner

For hånd

Maria skal bruke mellom $1300$ og $1600$ kroner på mobiltelefonen og ekstrautstyr. Gi to eksempler på hva hun kan kjøpe.

Kalkulator

Maria får tilbud om å kjøpe mobiltelefonen, minnekort, handsfree og mobilveske for $1600$ kroner. Hvor mange prosent rabatt får hun da?

Terese vil kjøpe én mobiltelefon, én mobilveske og ett minnekort. Hun velger mellom det du ser på bildene nedenfor.

To mobiltelefoner, tre mobilvesker og to minnekort

For hånd

Hvor mange ulike kombinasjoner av én mobiltelefon, én mobilveske og ett minnekort kan Terese velge mellom?

I butikken er det en kurv med $15$ mobilvesker. To av mobilveskene har en feil som ikke er synlig i pakningen. Først kjøper Maria en mobilveske fra kurven. Like etterpå kjøper Terese en annen mobilveske fra kurven.

Kalkulator

Hva er sannsynligheten for at begge to kjøper en mobilveske med feil?

Fasit

F.eks. mobiltelefon + minnekort + mobilveske ( $1397 kr$ ), eller mobiltelefon + headset ( $1497 kr$ )

$\approx 10,9 %$

$12 kombinasjoner$

$\frac{1}{105} \approx 0,95 %$

LøsningsforslagKI-generert

Mobiltelefonen koster $899$ kroner, og den må alltid være med. Vi prøver ulike kombinasjoner av ekstrautstyr og sjekker om totalprisen havner mellom $1300$ og $1600$ kroner.

Ett eksempel: mobiltelefon + minnekort + mobilveske:

899 + 249 + 249 = 1397 kr

Dette er mellom $1300$ og $1600$ kroner, så dette er et gyldig eksempel.

Et annet eksempel: mobiltelefon + headset:

899 + 598 = 1497 kr

Dette er også mellom $1300$ og $1600$ kroner, så dette er også et gyldig eksempel.

$F.eks. mobiltelefon + minnekort + mobilveske = 1397 kr, eller mobiltelefon + headset = 1497 kr$

Først finner vi hva mobiltelefonen, minnekortet, handsfree og mobilvesken koster til vanlig pris, altså uten rabatt:

899 + 249 + 399 + 249 = 1796 kr

Rabatten i kroner er differansen mellom vanlig pris og tilbudsprisen:

1796 - 1600 = 196 kr

For å finne rabatten i prosent, deler vi rabatten i kroner på den vanlige prisen og ganger med $100 %$ :

\frac{196}{1796} \cdot 100 % \approx 10,9 %

Maria får altså en rabatt på omtrent $10,9 %$ .

$\approx 10,9 %$

Terese skal velge én mobiltelefon, én mobilveske og ett minnekort. På bildet ser vi at det er $2$ mobiltelefoner, $3$ mobilvesker og $2$ minnekort å velge mellom.

For hver av de $2$ mobiltelefonene kan hun velge mellom $3$ mobilvesker, og for hver av disse kombinasjonene kan hun velge mellom $2$ minnekort. Antall kombinasjoner finner vi ved å multiplisere antall valg i hvert steg (multiplikasjonsprinsippet):

2 \cdot 3 \cdot 2 = 12

Terese kan altså velge mellom $12$ ulike kombinasjoner.

$12 kombinasjoner$

Det er $15$ mobilvesker i kurven, og $2$ av dem har en feil.

Når Maria trekker den første vesken, er sannsynligheten for at hun får en veske med feil:

P (Maria får feil) = \frac{2}{15}

Dersom Maria har trukket en veske med feil, er det nå $14$ vesker igjen i kurven, og bare $1$ av dem har feil. Sannsynligheten for at Terese også trekker en veske med feil er da:

P (Terese får feil | Maria fikk feil) = \frac{1}{14}

Siden Terese trekker rett etter Maria (uten tilbakelegging), bruker vi produktsetningen for å finne sannsynligheten for at begge to får en veske med feil:

P (begge feil) = \frac{2}{15} \cdot \frac{1}{14} = \frac{2}{210} = \frac{1}{105} \approx 0,0095 = 0,95 %

$\frac{1}{105} \approx 0,95 %$

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Økonomi, Prosentregning, Kombinatorikk, Sannsynlighet
Egen side: Åpne oppgave 2-1 for seg selv

Oppgave 2-2Diagonal og areal på en mobilskjerm målt i tommer

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Mobiltelefon der diagonalen d er markert på skjermen

Med størrelsen på en mobilskjerm mener vi lengden av diagonalen på skjermen, målt i tommer. Se diagonalen $d$ på bildet ovenfor.

For hånd

Mobiltelefonen ovenfor er avbildet i målestokk 1:2. Mål diagonalen $d$ på bildet og regn ut den virkelige lengden av diagonalen på skjermen. Oppgi lengden i centimeter med én desimal.

Kalkulator

Gjør om den virkelige lengden av diagonalen fra centimeter til tommer. 1 tomme = $2,54 c m$ .

En annen mobiltelefon har en kvadratisk skjerm. Diagonalen på denne skjermen er $2,5$ tommer.

Kalkulator

Finn arealet av skjermen. Oppgi svaret i $c m^{2}$ .

Fasit

$d \approx 8,0 cm$

$d \approx 3,1 tommer$

$Areal \approx 20,2 {cm}^{2}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi måler diagonalen $d$ på bildet med linjal, og finner

d_{bilde} \approx 4,0 cm

Bildet er tegnet i målestokk $1 : 2$ . Det betyr at den virkelige diagonalen er dobbelt så lang som diagonalen vi måler på bildet:

d = 2 \cdot 4,0 = 8,0 cm

$d \approx 8,0 cm$

Vi vet at $1$ tomme $= 2,54 cm$ . For å gjøre om $8,0 cm$ til tommer, deler vi på $2,54$ :

d = \frac{8,0}{2,54} \approx 3,1 tommer

$d \approx 3,1 tommer$

Diagonalen på den kvadratiske skjermen er $2,5$ tommer. Vi gjør først om til centimeter:

d = 2,5 \cdot 2,54 = 6,35 cm

I et kvadrat med side $s$ deler diagonalen kvadratet i to rettvinklede trekanter, der begge katetene er $s$ og hypotenusen er $d$ . Da gir Pytagoras’ setning:

\begin{matrix} s^{2} + s^{2} & = d^{2} \\ 2 s^{2} & = d^{2} \\ \frac{2 s^{2}}{2} & = \frac{d^{2}}{2} \\ s^{2} & = \frac{d^{2}}{2} \end{matrix}

Arealet av et kvadrat er nettopp $s^{2}$ , så vi kan sette inn direkte:

Areal = s^{2} = \frac{d^{2}}{2} = \frac{{6,35}^{2}}{2} = \frac{40,32}{2} \approx 20,2 {cm}^{2}

$Areal \approx 20,2 {cm}^{2}$

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Målestokk, Måleenheter, Areal og omkrets, Pytagoras
Egen side: Åpne oppgave 2-2 for seg selv

Oppgave 2-3Mobilabonnementene Snakkis, Talkis og Pratis

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

PRISOVERSIKT FOR MOBILABONNEMENT

PRISER *	Snakkis	Talkis	Pratis
Pris per måned (kroner)	49	139	229
Pris per ringeminutt (kroner)	0,99	0,29	0 **

* Vi ser bort fra oppstartspris på samtalene i denne oppgaven.

** Gjelder inntil 500 ringeminutter i måneden.

Nikolai har ett av de tre abonnementene ovenfor. Han betaler $49$ kroner per måned og $0,99$ kroner per ringeminutt.

For hånd

Hvilket abonnementet har Nikolai?

Kalkulator

$x$ er antall ringeminutter per måned, og $y$ er samlet kostnad per måned målt i kroner.

Forklar at funksjonsuttrykket for samlet kostnad per måned til Snakkis-abonnementet er $y = 0,99 x + 49$

Sett opp funksjonsuttrykket for samlet kostnad per måned til Talkis-abonnementet.

For hånd

Tegn grafene til de to funksjonsuttrykkene i oppgave b) i samme koordinatsystem.

Kalkulator

Hvor mange ringeminutter må Nikolai ha hver måned for at det skal lønne seg å bytte abonnement fra Snakkis til Talkis?

Alexandra har et Pratis-abonnement. Det betyr at jo mer Alexandra ringer, jo lavere blir samlet kostnad per ringeminutt.

Kalkulator

Skriv av tabellen nedenfor og fyll inn det som mangler.

Antall ringeminutter per måned	10	50	150	250	350	500
Samlet kostnad per ringeminutt	22,90					0,46

Kalkulator

Hvor mange ringeminutter må Alexandra ha i løpet av en måned for at samlet kostnad per ringeminutt skal bli $0,79$ kroner?

Fasit

$Snakkis$

2) $y = 0,29 x + 139$

Se graf i løsningsforslaget

$x = 129 m i n u t t e r$

$4,58 kr$ , $1,53 kr$ , $0,92 kr$ , $0,65 kr$ (per minutt)

$x \approx 290 m i n u t t e r$

LøsningsforslagKI-generert

Nikolai betaler $49$ kroner per måned og $0,99$ kroner per ringeminutt. Vi sammenligner med tabellen: dette er akkurat de samme tallene som står for Snakkis.

Nikolai har $Snakkis-abonnementet$ .

1) Kostnaden for Snakkis-abonnementet består av to deler:

En fast pris på $49$ kroner per måned, uansett hvor mye Nikolai ringer.
En pris på $0,99$ kroner for hvert ringeminutt. Ringer han $x$ minutter, blir denne delen av kostnaden $0,99 \cdot x$ kroner.

Samlet kostnad $y$ blir summen av fast pris og minuttpris:

y = 0,99 x + 49

2) For Talkis-abonnementet er den faste prisen $139$ kroner per måned, og prisen per ringeminutt er $0,29$ kroner. På samme måte som for Snakkis blir funksjonsuttrykket

y = 0,29 x + 139

Vi tegner de to funksjonene $f (x) = 0,99 x + 49$ (Snakkis) og $g (x) = 0,29 x + 139$ (Talkis) i samme koordinatsystem, med $x$ = antall ringeminutter og $y$ = kostnad i kroner.

Grafene til Snakkis og Talkis, med skjæringspunktet markert

Vi finner ut når det lønner seg å bytte til Talkis ved å finne skjæringspunktet mellom de to grafene, altså løse likningen $f (x) = g (x)$ :

\begin{matrix} 0,99 x + 49 & = 0,29 x + 139 \\ 0,99 x + 49 - 0,29 x & = 0,29 x + 139 - 0,29 x \\ 0,70 x + 49 & = 139 \\ 0,70 x + 49 - 49 & = 139 - 49 \\ 0,70 x & = 90 \\ \frac{0,70 x}{0,70} & = \frac{90}{0,70} \\ x & \approx 128,6 \end{matrix}

Dette stemmer med skjæringspunktet på grafen. Ved omtrent $128,6$ minutter koster de to abonnementene det samme. Ringer Nikolai mer enn dette, er Talkis billigst. Siden ringeminutter telles i hele minutter, må Nikolai ringe minst $129$ minutter i måneden for at det skal lønne seg å bytte fra Snakkis til Talkis.

Nikolai må ringe minst $129 m i n u t t e r$ per måned for at det skal lønne seg å bytte til Talkis.

Kostnad per ringeminutt finner vi ved å dele den samlede kostnaden, $229$ kroner, på antall ringeminutter:

\frac{229}{50} \approx 4,58 kr \frac{229}{150} \approx 1,53 kr \frac{229}{250} \approx 0,92 kr \frac{229}{350} \approx 0,65 kr

Den utfylte tabellen blir:

Antall ringeminutter per måned	10	50	150	250	350	500
Samlet kostnad per ringeminutt	22,90	4,58	1,53	0,92	0,65	0,46

Vi ser at jo flere minutter Alexandra ringer, jo lavere blir kostnaden per ringeminutt.

Vi skal finne antall ringeminutter $x$ slik at kostnaden per minutt, $\frac{229}{x}$ , blir $0,79$ kroner:

\begin{matrix} \frac{229}{x} & = 0,79 \\ \frac{229}{x} \cdot x & = 0,79 \cdot x \\ 229 & = 0,79 x \\ \frac{229}{0,79} & = \frac{0,79 x}{0,79} \\ x & \approx 289,9 \end{matrix}

Siden ringeminutter er et helt tall, må Alexandra ringe omtrent $290$ minutter i måneden for at kostnaden per ringeminutt skal bli $0,79$ kroner.

Alexandra må ringe omtrent $290 m i n u t t e r$ i løpet av en måned.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 9
Temaer: Lineære funksjoner, Modellering, Økonomi, Graftegning, Omvendt proporsjonalitet
Egen side: Åpne oppgave 2-3 for seg selv

Oppgave 2-4Regneark med ringeminutter for June, Christoffer og Hanna

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Oppgave a), b) og c) skal løses ved hjelp av regneark. Vis hvilke formler du har brukt.

Vi bruker prisene i denne oversikten:

PRISER	Snakkis	Talkis	Pratis
Pris per måned (kroner)	49	139	229
Pris per ringeminutt (kroner)	0,99	0,29	0

Hver av de tre vennene June, Christoffer og Hanna har et mobilabonnement. Christoffer har disse ringeminuttene fra januar til juni:

Måned	Januar	Februar	Mars	April	Mai	Juni
Ringeminutter	254,5	220,9	208,3	204,7	205,4	223,2

Krever PC

Lag et passende diagram over Christoffers ringeminutter fra januar til juni.

Krever PC

Hvor mange ringeminutter har Christoffer i gjennomsnitt per måned fra januar til juni?

June har i gjennomsnitt $281,2$ ringeminutter per måned, mens Hanna har i gjennomsnitt $124,5$ ringeminutter per måned. Se tabellen nedenfor. Kolonnene Snakkis, Talkis og Pratis viser samlet kostnad i kroner.

Navn	Ringeminutter i gjennomsnitt per måned	Pratis
Christoffer		229,00
June	281,2	229,00
Hanna	124,5	229,00

Krever PC

Lag tabellen ovenfor i et regneark. Sett inn svaret fra oppgave b) i tabellen. Bruk prisoversikten ovenfor og regn ut hva abonnementene Snakkis og Talkis vil koste for hver av de tre vennene. Vis hvilke formler du har brukt i regnearket.

For hånd

I dag har Christoffer abonnementet Talkis, June har abonnementet Snakkis, og Hanna har abonnementet Pratis. Kan noen av vennene spare penger på å skifte abonnement?

Fasit

Søylediagram, se løsningsforslag.

$219,5 ringeminutter$

Se tabell i løsningsforslag.

June kan spare $106,84 kr$ ved å bytte til Talkis. Hanna kan spare $56,74 kr$ ved å bytte til Snakkis. Christoffer har allerede det billigste abonnementet.

LøsningsforslagKI-generert

Vi setter ringeminuttene for Christoffer inn i et regneark, med månedene i kolonne A og ringeminuttene i kolonne B:

	A	B
1	Måned	Ringeminutter
2	Januar	254,5
3	Februar	220,9
4	Mars	208,3
5	April	204,7
6	Mai	205,4
7	Juni	223,2

Ringeminuttene varierer fra måned til måned, men det er ingen tydelig tidstrend — derfor passer et søylediagram best, med månedene langs den vannrette aksen og antall ringeminutter langs den loddrette. Vi markerer cellene A1:B7 og velger «Sett inn søylediagram».

Søylediagram over Christoffers ringeminutter fra januar til juni

Gjennomsnittet finner vi ved å summere ringeminuttene for de seks månedene og dele på antall måneder. I regnearket skriver vi dette i celle B8:

=GJENNOMSNITT(B2:B7)

Gjennomsnitt = \frac{254,5 + 220,9 + 208,3 + 204,7 + 205,4 + 223,2}{6} = \frac{1317,0}{6} = 219,5

Christoffer har i gjennomsnitt $219,5$ ringeminutter per måned fra januar til juni.

Vi bygger tabellen i regnearket. Prisoversikten legges øverst, slik at vi kan referere til den med absolutte celleadresser ($):

	A	B	C	D
1	PRISER	Snakkis	Talkis	Pratis
2	Pris per måned (kroner)	49	139	229
3	Pris per ringeminutt (kroner)	0,99	0,29	0

Under legger vi tabellen med navn, gjennomsnittlig ringeminutter og kostnad for hvert abonnement:

	A	B	C	D	E
5	Navn	Ringeminutter i gjennomsnitt per måned	Snakkis	Talkis	Pratis
6	Christoffer	219,5	266,31	202,66	229,00
7	June	281,2	327,39	220,55	229,00
8	Hanna	124,5	172,26	175,11	229,00

Kostnaden for hvert abonnement er månedsprisen pluss pris per ringeminutt multiplisert med antall ringeminutter. For Christoffer (rad 6) skriver vi:

I C6 (Snakkis): =$B$2+$B$3*B6
I D6 (Talkis): =$C$2+$C$3*B6
I E6 (Pratis): =$D$2+$D$3*B6

Dollartegnene låser referansen til prisoversikten, slik at vi kan dra formlene ned til rad 7 og 8 uten å skrive dem på nytt — da regnes kostnadene automatisk ut for June og Hanna også.

Vi setter inn $219,5$ fra oppgave b) i celle B6. Kontrollregning for Christoffer på Snakkis:

49 + 0,99 \cdot 219,5 = 49 + 217,31 = 266,31

I dag har Christoffer Talkis, June har Snakkis, og Hanna har Pratis. Vi sammenlikner med tabellen fra c) for å se hvem som kan spare penger.

Christoffer betaler i dag $202,66 kr$ (Talkis). Det er lavere enn både Snakkis ( $266,31 kr$ ) og Pratis ( $229,00 kr$ ), så Christoffer har allerede det billigste abonnementet for seg.

June betaler i dag $327,39 kr$ (Snakkis). Talkis koster bare $220,55 kr$ for henne, som er billigst. Hun kan spare

327,39 - 220,55 = 106,84 kr

per måned ved å bytte fra Snakkis til Talkis.

Hanna betaler i dag $229,00 kr$ (Pratis). Snakkis koster bare $172,26 kr$ for henne, som er billigst. Hun kan spare

229,00 - 172,26 = 56,74 kr

per måned ved å bytte fra Pratis til Snakkis.

Konklusjon: June og Hanna kan begge spare penger på å bytte abonnement, mens Christoffer allerede har det billigste alternativet for seg.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Regneark, Diagram, Sentralmål, Økonomi
Egen side: Åpne oppgave 2-4 for seg selv

Oppgave 2-5Teano og det gylne snitt i iPod-er og kredittkort

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Teano (500-tallet f.Kr.) var gift med den berømte Pytagoras.

Teano er en av de første kvinnelige matematikerne vi vet om. Hun tilhørte den pytagoreiske skolen i Hellas og skrev om «det gylne snitt».

Det gylne snitt er et forholdstall som vi finner i naturen, kunsten, arkitekturen og i teknologi og design. Dette forholdstallet er tilnærmet lik $1,618$ .

I et gyllent rektangel er

\frac{lengde}{bredde} \approx 1,618

Kalkulator

Ta mål og avgjør hvilken av iPod-ene nedenfor som har en form som likner mest på et gyllent rektangel.

iPod nano, iPod classic og iPod touch

Kalkulator

Et kredittkort er et tilnærmet gyllent rektangel. Den korteste siden på kredittkortet er $5,4 c m$ . Regn ut den lengste siden på kredittkortet.

Fasit

$iPod classic ligner mest på et gyllent rektangel$

$\approx 8,7 cm$

LøsningsforslagKI-generert

Vi måler lengden og bredden på hver av de tre iPod-ene på bildet med linjal, og regner ut forholdet lengde delt på bredde for hver av dem.

iPod nano: lengde $\approx 3,5 cm$ , bredde $\approx 2,5 cm$

\frac{lengde}{bredde} = \frac{3,5}{2,5} = 1,40

iPod classic: lengde $\approx 5,2 cm$ , bredde $\approx 3,0 cm$

\frac{lengde}{bredde} = \frac{5,2}{3,0} \approx 1,73

iPod touch: lengde $\approx 5,6 cm$ , bredde $\approx 3,0 cm$

\frac{lengde}{bredde} = \frac{5,6}{3,0} \approx 1,87

Det gylne snitt er $1,618$ . Vi sammenlikner de tre forholdstallene med dette:

iPod nano: $| 1,40 - 1,618 | \approx 0,22$
iPod classic: $| 1,73 - 1,618 | \approx 0,11$
iPod touch: $| 1,87 - 1,618 | \approx 0,25$

iPod classic har forholdstallet som ligger nærmest $1,618$ , og har derfor formen som likner mest på et gyllent rektangel.

$iPod classic ligner mest på et gyllent rektangel$

Kredittkortet er et tilnærmet gyllent rektangel, så vi bruker sammenhengen

\frac{lengde}{bredde} \approx 1,618

Den korteste siden (bredden) er $5,4 cm$ . Vi ganger bredden med $1,618$ for å finne lengden:

lengde = 5,4 \cdot 1,618 \approx 8,7 cm

$\approx 8,7 cm$

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Forholdsregning, Geometri, Måleenheter
Egen side: Åpne oppgave 2-5 for seg selv

Oppgave 2-6Fibonacci-kvadrater og Fibonacci-spiralen rundt punktet P

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Nedenfor ser du hvordan vi kan sette sammen kvadrater $K_{1}, K_{2}, K_{3}, K_{4}, K_{5}$ og $K_{6}$ i flere trinn rundt punktet $P$ .

Kvadratene K1 til K6 satt sammen i seks trinn rundt punktet P

$s_{1}$ er lengden av siden i kvadratet $K_{1}$ , $s_{2}$ er lengden av siden i kvadratet $K_{2}$ og så videre.

Du ser at $s_{1} = 1$ , $s_{2} = 1$ , $s_{3} = 2$ , $s_{4} = 3$ , $s_{5} = 5$ og $s_{6} = 8$ .

Tallene ovenfor er en del av den såkalte Fibonacci-tallfølgen $1, 1, 2, 3, 5, 8, \dots$

For hånd

Hva er de to neste tallene i Fibonacci-tallfølgen?

For hånd

Bruk rutenettet nederst i oppgaven og tegn kvadrat $K_{7}$ og kvadrat $K_{8}$ .

Dersom vi tegner kvartsirkler inne i kvadratene med start i punktet $P$ , får vi en såkalt Fibonacci-spiral som vi kan oppdage i naturen. Se figuren nedenfor.

Fibonacci-spiralen tegnet som kvartsirkler inne i kvadratene

For hånd

Bruk rutenettet nederst i oppgaven og tegn Fibonacci-spiralen ferdig til og med kvadrat $K_{8}$ . Bruk passer.

Hver gang vi legger til et nytt kvadrat, danner kvadratene til sammen et rektangel. Jo flere kvadrater vi tar med, jo nærmere kommer vi til et gyllent rektangel.

Kalkulator

Hvor mange kvadrater må vi minst ta med for at lengde delt på bredde i rektanglet skal bli $1,618$ når vi runder av til tre desimaler?

Rutenett til oppgave b) og c):

Rutenett med kvadratene K1 til K6 tegnet inn

Fasit

$13 og 21$

$K_{7}$ (side $13$ ) til høyre for hele figuren, $K_{8}$ (side $21$ ) under hele figuren

Kvartsirkler med radius $13$ i $K_{7}$ og radius $21$ i $K_{8}$

$9 kvadrater$

LøsningsforslagKI-generert

Fibonacci-tallfølgen lages ved at hvert tall er summen av de to foregående tallene. De to siste tallene i følgen er $5$ og $8$ . Da blir de to neste tallene

5 + 8 = 13 og 8 + 13 = 21

$De to neste tallene er 13 og 21$ .

Vi ser på figuren over trinn 1 til 6. For hvert trinn dannes det et rektangel som består av alle kvadratene som er tegnet så langt:

Trinn	Kvadrater med i figuren	Bredde	Høyde
4	$K_{1}, K_{2}, K_{3}, K_{4}$	$3$	$5$
5	$K_{1}, \dots, K_{5}$	$8$	$5$
6	$K_{1}, \dots, K_{6}$	$8$	$13$

Legg merke til at hvert nytt kvadrat alltid har samme sidelengde som den lengste siden i rektanglet det legges til. Etter $K_{6}$ er rektanglet $8$ ruter bredt og $13$ ruter høyt.

$K_{7}$ har side $13$ , og den lengste siden i rektanglet er nå høyden ( $13$ ). Vi tegner derfor $K_{7}$ som et kvadrat med side $13$ ruter til høyre for hele den nåværende figuren, slik at den nye siden i $K_{7}$ dekker hele høyden på $13$ ruter.

Etter dette er rektanglet $8 + 13 = 21$ ruter bredt og fortsatt $13$ ruter høyt. Den lengste siden er nå bredden ( $21$ ). $K_{8}$ har side $21$ , og vi tegner den derfor som et kvadrat med side $21$ ruter under hele den nåværende figuren, slik at den nye siden i $K_{8}$ dekker hele bredden på $21$ ruter.

Fibonacci-spiralen er satt sammen av kvartsirkler, én i hvert kvadrat. Hver kvartsirkel har senter i det hjørnet av kvadratet som ligger nærmest punktet $P$ (samme hjørne som møter de kvadratene som allerede er tegnet), og radiusen er lik sidelengden i kvadratet. Buen starter der forrige kvartsirkel sluttet, og går til det motsatte hjørnet av kvadratet.

I $K_{7}$ : sett passerspissen i hjørnet der $K_{7}$ møter $K_{6}$ . Slå en kvartsirkel med radius $13$ ruter, fra der buen i $K_{6}$ sluttet til det motsatte hjørnet av $K_{7}$ .
I $K_{8}$ : sett passerspissen i hjørnet der $K_{8}$ møter $K_{7}$ . Slå en kvartsirkel med radius $21$ ruter, fra der buen i $K_{7}$ sluttet til det motsatte hjørnet av $K_{8}$ .

Rektanglet som dannes når vi har tatt med kvadratene $K_{1}$ til $K_{n}$ , har sidene $s_{n}$ og $s_{n + 1}$ . Forholdet lengde delt på bredde er da $\frac{s_{n + 1}}{s_{n}}$ . Vi regner ut dette forholdet for stadig flere kvadrater, med tre desimaler:

Kvadrater med	Rektangel (bredde $\times$ høyde)	$\frac{s_{n + 1}}{s_{n}}$
$K_{1}$ – $K_{6}$	$8 \times 13$	$13 / 8 = 1,625$
$K_{1}$ – $K_{7}$	$13 \times 21$	$21 / 13 \approx 1,615$
$K_{1}$ – $K_{8}$	$21 \times 34$	$34 / 21 \approx 1,619$
$K_{1}$ – $K_{9}$	$34 \times 55$	$55 / 34 \approx 1,618$

Ved $K_{9}$ blir forholdet for første gang $1,618$ når vi runder av til tre desimaler.

$Vi må minst ta med 9 kvadrater (K_{1} til K_{9})$ .

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 7
Temaer: Tallfølger, Mønstre, Figurtall, Forholdsregning, Geometri
Egen side: Åpne oppgave 2-6 for seg selv

Oppgave 2-7Konstruksjon av et gyllent rektangel med sider på 7 cm

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Det gylne snitt deler et linjestykke slik at

\frac{A}{B} = \frac{A + B}{A} = \frac{\sqrt{5} + 1}{2} \approx 1,618

Fra et linjestykke som er delt på den måten, kan vi lage et gyllent rektangel.

Figur 1 viser et linjestykke delt i delene A og B etter det gylne snitt. Figur 2 viser et gyllent rektangel laget fra det samme linjestykket

For hånd

Du skal nå konstruere et gyllent rektangel slik de greske matematikerne gjorde det. Bruk framgangsmåten og hjelpefiguren nedenfor.

Framgangsmåte:

Konstruer et kvadrat $A B C D$ med sider på $7 c m$ .
Konstruer midtpunktet $E$ på linjestykket $A B$ .
Forleng linjestykkene $A B$ og $D C$ .
Sett passerspissen i $E$ . Slå en bue fra $C$ . Buen treffer forlengelsen av $A B$ i $F$ .
Konstruer normalen fra $F$ til $G$ .
Rektangelet $A F G D$ er nå et gyllent rektangel.

Hjelpefigur med kvadratet ABCD, midtpunktet E, buen fra C til F og rektangelet AFGD

For hånd

Vi skal se på en figur med samme form som i oppgave a) og med samme navn på punktene. Men her i oppgave b) skal lengden av sidene i kvadratet $A B C D$ være $2$ .

Vi har altså at:

$A B C D$ er et kvadrat der $A B = 2$
$A F G D$ er et rektangel
$E$ er midtpunktet på $A B$
$C E = E F$

Vis ved regning at $\frac{A F}{A D} = \frac{\sqrt{5} + 1}{2}$

Fasit

Konstruksjonen gir $\frac{A F}{A D} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1,618$

$\frac{A F}{A D} = \frac{\sqrt{5} + 1}{2}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi konstruerer figuren steg for steg, slik framgangsmåten sier:

Konstruer kvadratet $A B C D$ med sider på $7 cm$ (med passer og linjal: tegn $A B = 7 cm$ , reis normaler i $A$ og $B$ , og avsett $7 cm$ langs normalene for å få $D$ og $C$ ).
Finn midtpunktet $E$ på $A B$ ved å konstruere midtnormalen på $A B$ — den skjærer $A B$ i $E$ . Da er $A E = E B = 3,5 cm$ .
Forleng $A B$ og $D C$ .
Sett passerspissen i $E$ og slå en bue fra $C$ . Buen treffer forlengelsen av $A B$ i $F$ . Siden buen har senter i $E$ , er $E F = E C$ .
Konstruer normalen fra $F$ til $G$ . Da er $A F G D$ et rektangel.

Vi skal vise at dette rektangelet virkelig er gyllent, altså at $\frac{A F}{A D} \approx 1,618$ .

Vi setter et koordinatsystem med $A = (0,0)$ , $B = (7,0)$ , $C = (7,7)$ og $D = (0,7)$ . Da er $E = (3,5, 0)$ .

Trekanten $E C B$ er rettvinklet i $B$ , med kateter $E B = 3,5 cm$ og $B C = 7 cm$ . Med Pytagoras’ setning finner vi lengden av hypotenusen $E C$ :

E C = \sqrt{E B^{2} + B C^{2}} = \sqrt{{3,5}^{2} + 7^{2}} = \sqrt{12,25 + 49} = \sqrt{61,25} \approx 7,826 cm

Siden buen fra $C$ har senter i $E$ og treffer $F$ , er $E F = E C \approx 7,826 cm$ . Da blir

A F = A E + E F \approx 3,5 + 7,826 = 11,326 cm

Siden $A F G D$ er et rektangel, er $A D = B C = 7 cm$ . Forholdet mellom lengden og bredden i rektangelet blir dermed

\frac{A F}{A D} \approx \frac{11,326}{7} \approx 1,618

Dette er nettopp det gylne snitt. $Konstruksjonen gir derfor et gyllent rektangel$ , fordi $\frac{A F}{A D} \approx 1,618$ , akkurat som i formelen $\frac{A + B}{A} = \frac{\sqrt{5} + 1}{2} \approx 1,618$ øverst i oppgaven.

Nå er $A B = 2$ , så $A E = E B = 1$ og $B C = 2$ . Vi bruker Pytagoras’ setning i den rettvinklede trekanten $E C B$ til å finne $E C$ :

E C = \sqrt{E B^{2} + B C^{2}} = \sqrt{1^{2} + 2^{2}} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}

Siden $C E = E F$ (oppgitt), er $E F = \sqrt{5}$ . Da blir

A F = A E + E F = 1 + \sqrt{5}

Siden $A F G D$ er et rektangel med $A D = B C = 2$ , blir forholdet mellom lengden og bredden

\frac{A F}{A D} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = \frac{\sqrt{5} + 1}{2}

$Dermed er \frac{A F}{A D} = \frac{\sqrt{5} + 1}{2} vist$ , som er det vi skulle vise.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 4
Temaer: Konstruksjon, Geometri, Bevis, Argumentasjon, Pytagoras
Egen side: Åpne oppgave 2-7 for seg selv

Del 1uten hjelpemidler · 2 timer · 22 oppgaver · 27 poeng

Oppgave 1-1·Regn ut 334 + 465, 854 − 328, 4,3 · 7 og 264 delt på 4

Oppgave 1-2·Gjør om 2,5 timer, 4,7 mil, 2,3 liter og 6250 gram

Oppgave 1-3·Regnerekkefølge med 3 i andre og minus 2 i tredje

Oppgave 1-4·Brøkregning med trettendeler, sjettedeler og nideler

Oppgave 1-5·Løs ligningen 4x + 7 = 47 og en ligning med brøk

Oppgave 1-6·Overslag over prisen på en iPod til 348 euro

Oppgave 1-7·Symmetriakser i en likesidet trekant

Oppgave 1-8·Overflaten av en sylinder med radius 5 cm og høyde 10 cm

Oppgave 1-9·Løs ligningssettet x + y = 3 og 2x + 3y = 8

Oppgave 1-10·Målestokken på et norgeskart med Oslo og Bergen

Oppgave 1-11·Konstruksjon av trekant ABC og parallellogrammet ABCD

Oppgave 1-12·Finn funksjonsuttrykket til den tegnede rette linja

Oppgave 1-13·Ti prosent rabatt på en mobiltelefon til 2990 kroner

Oppgave 1-14·Sannsynlighet for svart lomme i et amerikansk ruletthjul

Oppgave 1-15·Forsvinningspunkter for en eske på en horisontlinje

Oppgave 1-16·Volumet av en eske med lengde 20 cm og bredde 15 cm

Oppgave 1-17·Typetall, median og gjennomsnitt for antall mobiltelefoner

Oppgave 1-18·Areal og hypotenus i en rettvinklet trekant med 8 m og 6 m

Oppgave 1-19·Tiden radiosignaler bruker fra månen til jorda

Oppgave 1-20·Ventetid på bussen fra klokka 07.38 til 09.19

Oppgave 1-21·Faktorisering av 6a + 3b og andre kvadratsetning

Oppgave 1-22·Hvor mange ganger større blir kulevolumet når radien fordobles

Del 2alle hjelpemidler · 3 timer · 7 oppgaver · 40 poeng

Oppgave 2-1·Mobiltelefon med ekstrautstyr for mellom 1300 og 1600 kroner

Oppgave 2-2·Diagonal og areal på en mobilskjerm målt i tommer

Oppgave 2-3·Mobilabonnementene Snakkis, Talkis og Pratis

Oppgave 2-4·Regneark med ringeminutter for June, Christoffer og Hanna

Oppgave 2-5·Teano og det gylne snitt i iPod-er og kredittkort

Oppgave 2-6·Fibonacci-kvadrater og Fibonacci-spiralen rundt punktet P

Oppgave 2-7·Konstruksjon av et gyllent rektangel med sider på 7 cm

Temaer

Oppgave 1-1Regn ut 334 + 465, 854 − 328, 4,3 · 7 og 264 delt på 4

Oppgave 1-2Gjør om 2,5 timer, 4,7 mil, 2,3 liter og 6250 gram

Oppgave 1-3Regnerekkefølge med 3 i andre og minus 2 i tredje

Oppgave 1-4Brøkregning med trettendeler, sjettedeler og nideler

Oppgave 1-5Løs ligningen 4x + 7 = 47 og en ligning med brøk

Oppgave 1-6Overslag over prisen på en iPod til 348 euro

Oppgave 1-7Symmetriakser i en likesidet trekant

Oppgave 1-8Overflaten av en sylinder med radius 5 cm og høyde 10 cm

Oppgave 1-9Løs ligningssettet x + y = 3 og 2x + 3y = 8

Oppgave 1-10Målestokken på et norgeskart med Oslo og Bergen

Oppgave 1-11Konstruksjon av trekant ABC og parallellogrammet ABCD

Oppgave 1-12Finn funksjonsuttrykket til den tegnede rette linja

Oppgave 1-13Ti prosent rabatt på en mobiltelefon til 2990 kroner

Oppgave 1-14Sannsynlighet for svart lomme i et amerikansk ruletthjul

Oppgave 1-15Forsvinningspunkter for en eske på en horisontlinje

Oppgave 1-16Volumet av en eske med lengde 20 cm og bredde 15 cm

Oppgave 1-17Typetall, median og gjennomsnitt for antall mobiltelefoner

Oppgave 1-18Areal og hypotenus i en rettvinklet trekant med 8 m og 6 m

Oppgave 1-19Tiden radiosignaler bruker fra månen til jorda

Oppgave 1-20Ventetid på bussen fra klokka 07.38 til 09.19

Oppgave 1-21Faktorisering av 6a + 3b og andre kvadratsetning

Oppgave 1-22Hvor mange ganger større blir kulevolumet når radien fordobles

Oppgave 2-1Mobiltelefon med ekstrautstyr for mellom 1300 og 1600 kroner

Oppgave 2-2Diagonal og areal på en mobilskjerm målt i tommer

Oppgave 2-3Mobilabonnementene Snakkis, Talkis og Pratis

Oppgave 2-4Regneark med ringeminutter for June, Christoffer og Hanna

Oppgave 2-5Teano og det gylne snitt i iPod-er og kredittkort

Oppgave 2-6Fibonacci-kvadrater og Fibonacci-spiralen rundt punktet P

Oppgave 2-7Konstruksjon av et gyllent rektangel med sider på 7 cm