10. trinn Vår 2009

a)

Vi legger sammen $287$ og $97$. Vi kan tenke at $97$ er nesten $100$:

$$287+97=287+100-3=387-3=384$$

$\underline{\underline{287+97=384}}$

b)

Vi trekker $138$ fra $467$. Vi kan tenke at $138$ er nesten $140$:

$$467-138=467-140+2=327+2=329$$

$\underline{\underline{467-138=329}}$

c)

Vi ganger $34$ med $9$. Vi kan tenke at $9$ er nesten $10$:

$$34\cdot 9=34\cdot 10-34=340-34=306$$

$\underline{\underline{34\cdot 9=306}}$

d)

Vi deler $460$ på $4$. Vi deler opp $460$ i $400$ og $60$:

$$460:4=(400:4)+(60:4)=100+15=115$$

$\underline{\underline{460:4=115}}$

a)

Vi vet at $1$ time er $60$ minutter. Vi legger til de $17$ minuttene:

$$1\mathrm{t}17\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}=60\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}+17\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}=77\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}$$

$\underline{\underline{1\mathrm{t}17\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}=77\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}}$

b)

Vi vet at $1\mathrm{km}=1000\mathrm{m}$. For å gjøre om fra meter til kilometer deler vi på $1000$:

$$25000\mathrm{m}:1000=25\mathrm{km}$$

$\underline{\underline{25000\mathrm{m}=25\mathrm{km}}}$

c)

Vi vet at $1\mathrm{l}=10\mathrm{dl}$. For å gjøre om fra desiliter til liter deler vi på $10$:

$$46\mathrm{dl}:10=\mathrm{4,6}\mathrm{l}$$

$\underline{\underline{46\mathrm{dl}=\mathrm{4,6}\mathrm{l}}}$

d)

Vi vet at $1\mathrm{kg}=1000\mathrm{g}$. For å gjøre om fra kilogram til gram ganger vi med $1000$:

$$\mathrm{4,25}\mathrm{kg}\cdot 1000=4250\mathrm{g}$$

$\underline{\underline{\mathrm{4,25}\mathrm{kg}=4250\mathrm{g}}}$

a)

For å finne gjennomsnittet (middelverdien) legger vi sammen alle svarene, og deler på hvor mange som svarte.

Vi legger sammen alle tallene:

$$1+2+2+3+4+0+2+13+2+1=30$$

Det var $10$ personer som svarte, så vi deler summen på $10$:

$$30:10=3$$

$\underline{\underline{\text{Gjennomsnittet er }3\text{ filmer}}}$

b)

Typetallet er den verdien som forekommer flest ganger. Vi teller hvor mange ganger hvert tall er nevnt:

• $0$ forekommer $1$ gang
• $1$ forekommer $2$ ganger
• $2$ forekommer $4$ ganger
• $3$ forekommer $1$ gang
• $4$ forekommer $1$ gang
• $13$ forekommer $1$ gang

Tallet $2$ forekommer flest ganger, med $4$ av $10$ svar.

$\underline{\underline{\text{Typetallet er }2}}$

Vi regner ut hvert av uttrykkene for å finne hvilket som er lik $4$.

$-2^2$: Her er det bare $2$ som skal opphøyes i andre, og minustegnet kommer i tillegg. Da får vi

$2(2-2)$: Vi regner ut parentesen først:

${(-2)}^2$: Her er hele $-2$ satt i parentes, så minustegnet blir også opphøyd i andre. Da blir svaret positivt:

$2^3$: Vi ganger $2$ med seg selv tre ganger:

Uttrykket ${(-2)}^2$ er det eneste som er lik $4$.

$\underline{\underline{{(-2)}^2=4}}$

a)

Vi trekker sammen like ledd. Leddene med $a$ samler vi for seg, og leddene med $b$ samler vi for seg:

$$\begin{array}{cc}7b+8a+2a-b& =8a+2a+7b-b\\ & =10a+6b\end{array}$$

$\underline{\underline{7b+8a+2a-b=10a+6b}}$

b)

Vi bruker kvadratsetningene til å gange ut hver av parentesene:

$${(a-b)}^2=a^2-2ab+b^2$$

$${(a+b)}^2=a^2+2ab+b^2$$

Så legger vi sammen de to uttrykkene:

$$\begin{array}{cc}{(a-b)}^2+{(a+b)}^2& =(a^2-2ab+b^2)+(a^2+2ab+b^2)\\ & =a^2+a^2-2ab+2ab+b^2+b^2\\ & =2a^2+2b^2\end{array}$$

Leddene med $-2ab$ og $+2ab$ kansellerer hverandre.

$\underline{\underline{{(a-b)}^2+{(a+b)}^2=2a^2+2b^2}}$

Vi har den ukjente $x$ på begge sider av likhetstegnet. Da flytter vi alle $x$-ledd til én side og alle tallene til den andre siden, ett steg om gangen.

Vi trekker fra $6x$ på begge sider, slik at det bare er $x$-ledd igjen på høyre side:

Så legger vi til $13$ på begge sider for å få $x$-leddet alene:

Til slutt deler vi begge sider på $3$:

$\underline{\underline{x=5}}$

Massetettheten forteller hvor mye masse det er per volumenhet. Vi finner den ved å dele massen på volumet:

Vi setter inn massen $\mathrm{500,01}\mathrm{g}$ og volumet $\mathrm{25,88}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^3$:

Dette svarer til alternativet $\mathrm{19,32}$. Dette stemmer godt med massetettheten til rent gull, som er om lag $\mathrm{19,3}\mathrm{g}/\mathrm{c}{\mathrm{m}}^3$ — akkurat det Arkimedes kunne bruke til å sjekke om kronen var laget av rent gull.

$\underline{\underline{\mathrm{19,32}\mathrm{g}/\mathrm{c}{\mathrm{m}}^3}}$

a)

En terning (kube) har alle tre kantene like lange. Volumet finner vi ved å multiplisere lengde, bredde og høyde med hverandre. Siden alle kantene er $5\mathrm{cm}$, blir det:

$$V=5\mathrm{cm}\cdot 5\mathrm{cm}\cdot 5\mathrm{cm}=125\mathrm{c}{\mathrm{m}}^3$$

$\underline{\underline{V=125\mathrm{c}{\mathrm{m}}^3}}$

b)

Overflaten av en terning består av $6$ like kvadratiske sider. Hver side har areal $5\mathrm{cm}\cdot 5\mathrm{cm}=25\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2$. Vi finner overflaten ved å multiplisere arealet til én side med $6$:

$$O=6\cdot 25\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2=150\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2$$

$\underline{\underline{O=150\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2}}$

En symmetrilinje er en linje som deler figuren i to deler som er hverandres speilbilde. Vi ser på figuren som er satt sammen av en sirkel, et kvadrat i midten og fire like felt mellom kvadratet og sirkelen.

Kvadratet ligger med sidene vannrett og loddrett, midt i sirkelen. Selve sirkelen er symmetrisk om enhver linje gjennom sentrum, men kvadratet og de fire feltene er bare symmetriske om de linjene som også er symmetrilinjer for kvadratet. Et kvadrat har $4$ symmetrilinjer:

• den vannrette midtlinjen, gjennom midtpunktene på venstre og høyre side av kvadratet
• den loddrette midtlinjen, gjennom midtpunktene på topp og bunn av kvadratet
• de to diagonalene, gjennom motstående hjørner i kvadratet

Når vi speiler hele figuren om hver av disse $4$ linjene, bytter de fire like feltene mellom kvadratet og sirkelen plass med hverandre, og kvadratet og sirkelen faller på seg selv. Figuren har derfor $4$ symmetrilinjer i alt: én vannrett, én loddrett og to diagonale, alle gjennom sentrum av sirkelen.

$\underline{\underline{4\text{ symmetrilinjer}}}$

Vi leser tallene av rutetabellen. Avgangstidene er delt inn i grupper som gjentar seg hver time (for eksempel avganger fra Asker med minuttall $18$, $38$ og $58$), og samme minuttgruppe henger sammen på tvers av stasjonene i tabellen.

a) Første avgang fra Asker kl. 04:38.

Vi leser raden «Første avgang» for Asker. Der står det $0418$, altså kl. 04:18 — ikke 04:38. Påstanden er usann.

b) 49 minutter fra Asker til Oslo Lufthavn.

Vi følger en avgang gjennom hele tabellen, for eksempel gruppen der Asker har minuttall $38$. Da er Asker kl. xx:38 og Oslo Lufthavn kl. (xx+1):27. Fra xx:38 til xx:59 er det $21$ minutter, og videre fra xx:59 til (xx+1):27 er det $27$ minutter til. Til sammen:

(Enklere: fra :38 til :27 neste time er det $60-38+27=49$ minutter.) Samme reisetid finner vi i de andre minuttgruppene også, for eksempel Asker kl. xx:58 til Oslo Lufthavn (xx+1):47, som også gir $60-58+47=49$ minutter. Påstanden er sann.

c) Toget starter i Asker kl. 04:58 — er det på Skøyen kl. 05:19?

Vi følger minuttgruppen der Asker har minuttall $58$: Asker $58$, Sandvika $04$, Lysaker $11$, Skøyen $15$, Nationaltheatret $19$. Toget er altså på Skøyen kl. 05:15, mens kl. 05:19 er tidspunktet toget er på Nationaltheatret. Påstanden er usann.

d) For å være på Oslo Lufthavn kl. 05:47, må du ta toget senest kl. 05:11 fra Lysaker.

Vi finner minuttgruppen der Oslo Lufthavn har minuttall $47$. Det er samme gruppe som i c): Lysaker $11$, …, Oslo Lufthavn $47$. Toget som går fra Lysaker kl. 05:11, er altså nettopp det toget som kommer til Oslo Lufthavn kl. 05:47.

Neste vanlige avgang fra Lysaker etter dette er i minuttgruppen med minuttall $31$ (kl. 05:31), som gir Oslo Lufthavn kl. 06:07 — det er for sent. Toget kl. 05:11 fra Lysaker er derfor det seneste toget som rekker Oslo Lufthavn til kl. 05:47. Påstanden er sann.

Vi kaster to terninger, én svart og én hvit. Hver terning har $6$ mulige utfall: $1,2,3,4,5$ eller $6$ øyne.

For hvert av de $6$ utfallene på den svarte terningen kan den hvite terningen vise $6$ ulike utfall. Da blir det totale antallet mulige utfall

Svar: $\underline{\underline{36}}$

Vi teller antall sifre etter komma i tallet $\mathrm{0,000}00000000000000000000000091$.

Det er $30$ nuller etter kommaet, og deretter kommer sifrene $9$ og $1$. Det betyr at tallet er lik $91$ delt på $10$ opphøyd i $32$, altså

På standardform skal det bare stå ett siffer (som ikke er $0$) foran kommaet. Vi skriver derfor $91$ som $\mathrm{9,1}\cdot {10}^1$:

Svar: $\underline{\underline{\mathrm{9,1}\cdot {10}^{-31}}}$

Vi konstruerer trekanten steg for steg med passer og linjal.

Steg 1: Tegn linjestykket $AB$. Bruk linjal og tegn et linjestykke som er $\mathrm{5,0}$ cm langt. Kall endepunktene $A$ og $B$.

Steg 2: Konstruer $\angle B=90°$. Vi skal lage en vinkel på $90°$ i punktet $B$, altså en normal (rett linje som står vinkelrett) på $AB$ gjennom $B$:

1. Sett passerspissen i $B$ og tegn en sirkelbue med en passe radius som skjærer linja $AB$ i to punkter — ett på hver side av $B$. Kall dem $P$ og $Q$.
2. Sett passerspissen i $P$, hold samme (eller større) radius, og tegn en bue over linja.
3. Sett passerspissen i $Q$ med samme radius, og tegn en ny bue som skjærer buen fra forrige steg. Kall skjæringspunktet $R$.
4. Trekk en rett linje fra $B$ gjennom $R$. Denne linja står vinkelrett på $AB$, altså er $\angle ABR=90°$.

Steg 3: Konstruer $\angle A=30°$. En vinkel på $30°$ er halvparten av en vinkel på $60°$, så vi konstruerer først $60°$ og halverer den:

1. Sett passerspissen i $A$ med en passe radius, og tegn en bue som skjærer linja $AB$. Kall skjæringspunktet $S$.
2. Behold samme radius. Sett passerspissen i $S$ og tegn en ny bue som skjærer den første buen. Kall skjæringspunktet $T$. (Dette gir en vinkel på nøyaktig $60°$, fordi trekant $AST$ blir likesidet når alle buene har samme radius.)
3. Trekk en hjelpelinje fra $A$ gjennom $T$. Da er $\angle SAT=60°$.
4. For å halvere denne vinkelen: sett passerspissen i $S$ og tegn en bue mellom de to vinkelbeina. Gjør det samme med passerspissen i $T$ (samme radius), slik at buene skjærer hverandre i et punkt $U$.
5. Trekk en linje fra $A$ gjennom $U$. Da er $\angle SAU=30°$, altså halvparten av $60°$.

Steg 4: Finn punktet $C$. Forleng linja fra $A$ gjennom $U$ (vinkelbeinet på $30°$) og linja fra $B$ gjennom $R$ (vinkelbeinet på $90°$) til de skjærer hverandre. Skjæringspunktet er $C$.

Trekanten $ABC$ er nå ferdig konstruert, med $AB=\mathrm{5,0}$ cm, $\angle A=30°$ og $\angle B=90°$.

Vi løser ulikheten på samme måte som en likning, men vi må huske at ulikhetstegnet beholder retningen når vi legger til, trekker fra eller ganger/deler med et positivt tall.

Først ganger vi ut parentesen:

Deretter legger vi $2$ til på begge sider for å få $x$-leddet alene:

Til slutt deler vi begge sider på $2$:

Løsningen er alle $x$ som er større enn $\mathrm{2,5}$.

Svar: $\underline{\underline{x>\mathrm{2,5}}}$

Et funksjonsuttrykk for en rett linje har formen $y=ax+b$, der $b$ er verdien der linja skjærer andreaksen ($y$-aksen), og $a$ er stigningstallet.

Finner $b$: På grafen ser vi at linja skjærer andreaksen i $y=1$. Da er $b=1$.

Finner $a$: Linja synker fra venstre mot høyre, så stigningstallet må være negativt. Vi leser av to punkter på linja, for eksempel $(0,1)$ og $(1,-1)$. Stigningstallet er da

Funksjonsuttrykket blir dermed

Svar: $\underline{\underline{y=-2x+1}}$

a)

Folketallet øker med et fast antall mennesker hvert år, nemlig $150$. Det betyr at sammenhengen er lineær: for hvert år ($x$) som går, legger vi til det samme tallet.

• Folketallet i dag ($x=0$): $8000$ mennesker. Dette er startverdien i funksjonsuttrykket.
• Økningen per år: $150$ mennesker. Dette er stigningstallet, og vi multipliserer det med antall år $x$.

Da blir funksjonsuttrykket

$$y=150x+8000$$

Riktig svar er $\underline{\underline{y=150x+8000}}$.

b)

Her er den totale kostnaden på turen fast, $9000$ kroner, mens antallet elever ($x$) som skal dele på kostnaden kan variere. Jo flere elever som er med, jo mindre må hver enkelt betale. Dette er en omvendt proporsjonal sammenheng — vi deler det faste tallet $9000$ på antall elever $x$:

$$y=\frac{9000}{x}$$

Vi kan sjekke at dette gir mening: er det $x=30$ elever med på turen, blir utgiften per elev ${\displaystyle \frac{9000}{30}}=300$ kroner. Er det bare $x=10$ elever med, blir utgiften per elev ${\displaystyle \frac{9000}{10}}=900$ kroner — altså høyere, som er rimelig når færre skal dele regningen.

Riktig svar er $\underline{\underline{y={\displaystyle \frac{9000}{x}}}}$.

Først finner vi hvor stor andel av rektanglet som er blå.

Rektanglet består av $8$ like store ruter, og $3$ av dem er blå. Andelen som er blå, er derfor

Trekanten er delt opp i $16$ like små trekanter. Vi skal skravere den samme andelen, ${\displaystyle \frac{3}{8}}$, av trekanten. Da må vi finne ut hvor mange av de $16$ småtrekantene som utgjør ${\displaystyle \frac{3}{8}}$:

Vi må altså skravere $6$ av de $16$ småtrekantene.

Et enkelt og oversiktlig valg er å skravere de $6$ småtrekantene som peker nedover i figuren — det er nettopp $6$ slike trekanter i figuren, mens de resterende $10$ peker oppover:

Siden ${\displaystyle \frac{6}{16}}={\displaystyle \frac{3}{8}}$, er dette like stor andel som den blå andelen av rektanglet.

Enhver skravering av $6$ av de $16$ småtrekantene er riktig, ikke bare den som er vist over — det som teller, er at nøyaktig $6$ av de $16$ trekantene er skravert.

Hver T-skjorte koster $100$ kroner.

Uten tilbud ville $3$ T-skjorter kostet

Med tilbudet “Kjøp 3, betal for 2” betaler vi bare for $2$ T-skjorter:

Avslaget i kroner er differansen mellom det vi skulle betalt og det vi faktisk betaler:

For å finne avslaget i prosent, ser vi på hvor stor andel avslaget ($100$ kr) er av den opprinnelige prisen ($300$ kr), og gjør om til prosent ved å gange med $100$:

Du får $\underline{\underline{\mathrm{33,3}\%}}$ avslag ved å benytte deg av tilbudet.

Kampen varer i $2\cdot 45$ minutter, altså

Kari spiller den første ${\displaystyle \frac{1}{3}}$ av kampen, og da spiller Hanne resten av kampen, altså de resterende

av kampen.

Vi finner hvor mange minutter dette er ved å regne ut ${\displaystyle \frac{2}{3}}$ av $90$ minutter:

Hanne får spille i $\underline{\underline{60\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{u}\mathrm{t}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{r}}}$.

Vi kaller prisen på en fotball for $f$ og prisen på en shorts for $s$. Ut fra opplysningene i oppgaven kan vi sette opp to likninger:

Vi løser likningssystemet med innsettingsmetoden. Først isolerer vi $f$ i den første likningen:

Så setter vi dette uttrykket for $f$ inn i den andre likningen:

En shorts koster altså $200$ kr. Vi setter dette inn i uttrykket for $f$:

En fotball koster altså $300$ kr.

Begrunnelse (kontroll): Vi setter tallene inn i begge de opprinnelige likningene og sjekker at de stemmer.

Begge likningene stemmer, så svaret er riktig: en fotball koster $\underline{\underline{300\mathrm{kr}}}$, og en shorts koster $\underline{\underline{200\mathrm{kr}}}$.

For å finne målestokken må vi sammenlikne en lengde på tegningen med den tilsvarende lengden i virkeligheten.

Vi bruker en linjal og måler høyden på tegningen, fra bakken og opp til toppen av det høyeste taket (mønet). Pipa skal ikke tas med, siden oppgaven sier at den ikke er regnet med i de $6$ meterne. Med linjal på tegningen i oppgaveheftet finner vi at denne høyden er omtrent

I virkeligheten er denne høyden $6$ meter $=600$ cm. Målestokken er forholdet mellom lengden på tegningen og den virkelige lengden:

Målestokken er altså omtrent $\underline{\underline{1:120}}$. Det betyr at $1$ cm på tegningen tilsvarer $120$ cm $=\mathrm{1,2}$ m i virkeligheten.

(Merk: Den målte høyden avhenger av nøyaktig hvor man plasserer linjalen, så svaret er omtrentlig. Et svar mellom ca. $1:100$ og $1:130$ bør godkjennes, avhengig av målingen.)

Farten til de tre båtene er oppgitt i tre forskjellige enheter. For å kunne sammenlikne dem må vi først gjøre om alle farter til samme enhet, km/t.

Båt A: 65 knop

Vi bruker at $1$ knop $=\mathrm{1,852}$ km/t:

Båt B: 100 km/t

Denne farten er allerede oppgitt i km/t:

Båt C: 30 m/s

Vi bruker at $1$ m/s $=\mathrm{3,6}$ km/t:

Nå kan vi sammenlikne fartene direkte, siden de alle er i km/t:

Båt A har høyest fart av de tre, og går derfor raskest.

$\underline{\underline{\text{Båt A går raskest, med en fart på ca. }\mathrm{120,4}\mathrm{k}\mathrm{m}/\mathrm{t}}}$

a)

Stortingssalen har $188$ plasser til sammen, og $169$ av dem tilhører representantene. De resterende plassene tilhører Regjeringen. Vi trekker fra:

$$188-169=19$$

Regjeringen har $\underline{\underline{19\text{plasser}}}$.

b)

For å endre Grunnloven må minst $\frac{2}{3}$ av de $169$ representantene være til stede. Vi regner ut hvor mange det er:

$$\frac{2}{3}\cdot 169=\frac{338}{3}=\mathrm{112,67}$$

Det må være minst $2/3$ til stede, og vi kan ikke ha en brøkdel av en person. $112$ representanter er for få (siden $112<\mathrm{112,67}$), så vi må runde opp til nærmeste hele person.

Det må minst $\underline{\underline{113}}$ representanter være til stede for å endre Grunnloven.

c)

Vi leser av tabellen hvilke plassnummer representantene fra Sogn og Fjordane har, og finner disse plassene på kartet:

Plass	Representant	Seksjon
120	Reidar Sandal	A
121	Erling Sande	B
122	Åge Starheim	B
123	Ingrid Heggø	C
124	Gunvald Ludvigsen	C

Representantene fra Sogn og Fjordane sitter i seksjonene $\underline{\underline{\text{A, B og C}}}$.

d)

Vi skal plassere $4$ representanter på $4$ plasser. Vi tenker oss at vi fyller plassene én etter én:

• På den første plassen kan vi velge mellom alle $4$ representantene.
• På den andre plassen er det $3$ representanter igjen å velge mellom.
• På den tredje plassen er det $2$ representanter igjen å velge mellom.
• På den fjerde og siste plassen er det bare $1$ representant igjen.

Antall ulike måter finner vi ved å multiplisere sammen antall valg på hvert trinn:

$$4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=24$$

De fire representantene kan plasseres på $\underline{\underline{24}}$ ulike måter.

e)

De $169$ representantene sitter på plassene $1$ til $169$. Vi leser av kartet at seksjon L består av plassene $66$, $97$, $98$, $147$ og $148$ — altså $5$ plasser. (Plass $170$ nederst i seksjonen er en av plassene til Regjeringen, så den teller ikke med.)

Sannsynligheten for at en tilfeldig valgt representant sitter i seksjon L er antall gunstige utfall (plasser i seksjon L) delt på antall mulige utfall (alle representantplassene):

$$P(\text{seksjon L})=\frac{5}{169}$$

Som desimaltall og prosent:

$$\frac{5}{169}\approx \mathrm{0,030}=\mathrm{3,0}\%$$

Sannsynligheten er $\underline{\underline{{\displaystyle \frac{5}{169}}\approx \mathrm{0,030}\approx \mathrm{3,0}\%}}$.

Vi leser av antall stortingsplasser for hvert parti i sektordiagrammet:

Parti	Antall stortingsplasser
AP	61
SV	15
SP	11
V	10
KRF	11
H	23
FRP	38

For å lage stolpediagrammet i regneark setter vi opp dataene som over, med partinavnene i celle A2:A8 og antall stortingsplasser i B2:B8 (med overskriftene «Parti» i A1 og «Antall stortingsplasser» i B1). Deretter markerer vi celleområdet A1:B8 og velger «Sett inn diagram» → stolpediagram (søylediagram).

Stolpediagrammet viser tydelig at Arbeiderpartiet (AP) fikk klart flest plasser med 61, fulgt av Fremskrittspartiet (FRP) med 38. Venstre (V) fikk færrest plasser med 10.

$\underline{\underline{\text{Se stolpediagrammet ovenfor}}}$

Vi setter opp regnearket på samme måte som for Finnmark, men nå med de åtte partiene og stemmetallene fra Hedmark. Kolonne A er partinavn, kolonne B er antall stemmer, og kolonnene C–G er delingstallene 1,4, 3, 5, 7 og 9. Partiene står i rad 2–9.

I celle C2 skriver vi =INT(B2/1,4) og kopierer formelen nedover til C9. INT() runder ned til nærmeste heltall, akkurat som tallene i eksempeltabellen for Finnmark (for eksempel er $303/\mathrm{1,4}=\mathrm{216,43}$, som blir til $216$).

Tilsvarende skriver vi i D2 =INT(B2/3), i E2 =INT(B2/5), i F2 =INT(B2/7) og i G2 =INT(B2/9), og kopierer alle fire formlene nedover til rad 9.

Regnearket gir da denne tabellen:

Parti	Antall stemmer	Deling på 1,4	Deling på 3	Deling på 5	Deling på 7	Deling på 9
Sosialistisk Venstreparti (SV)	9 650	6 892	3 216	1 930	1 378	1 072
Arbeiderpartiet (AP)	50 484	36 060	16 828	10 096	7 212	5 609
Senterpartiet (SP)	11 304	8 074	3 768	2 260	1 614	1 256
Kristelig Folkeparti (KRF)	3 519	2 513	1 173	703	502	391
Venstre (V)	3 965	2 832	1 321	793	566	440
Høyre (H)	8 845	6 317	2 948	1 769	1 263	982
Fremskrittspartiet (FRP)	18 717	13 369	6 239	3 743	2 673	2 079
Andre partier	3 521	2 515	1 173	704	503	391

Hedmark hadde 7 stortingsplasser, så vi skal finne de 7 største tallene i hele tallområdet C2:G9 (ikke bare i én kolonne). Det kan vi gjøre ved å sortere tallene i regnearket, eller bruke betinget formatering som markerer de 7 høyeste verdiene i området.

Sortert fra størst til minst blir de sju høyeste verdiene:

Disse tallene er markert med fet skrift i tabellen ovenfor, og tilhører:

Verdi	Parti	Delt på
36 060	AP	1,4
16 828	AP	3
13 369	FRP	1,4
10 096	AP	5
8 074	SP	1,4
7 212	AP	7
6 892	SV	1,4

Vi teller opp hvor mange ganger hvert parti er markert. Det gir stortingsplassene:

Parti	Antall stortingsplasser
Arbeiderpartiet (AP)	4
Senterpartiet (SP)	1
Fremskrittspartiet (FRP)	1
Sosialistisk Venstreparti (SV)	1
Totalt	7

$\underline{\underline{\text{AP: 4 plasser, SP: 1 plass, FRP: 1 plass, SV: 1 plass}}}$, de andre partiene får ingen plass.

a)

Den store halvsirkelen har sentrum i $B$ og går gjennom $E$, så radien er $BE=60\mathrm{cm}$. Siden halvsirkelen går fra $D$ til $E$, er også $BD=60\mathrm{cm}$.

Den lille sirkelen med sentrum $C$ rører den store halvsirkelen i punktet $F$ (de to sirklene tangerer hverandre helt øverst i figuren). Når to sirkler tangerer hverandre på denne måten, ligger de to sentrene og tangeringspunktet på samme rette linje — og det ser vi også på figuren, der $B$, $C$ og $F$ ligger på den loddrette linjen.

Det betyr at avstanden fra $B$ til $F$ er lik radien til den store halvsirkelen:

$$BF=60\mathrm{cm}$$

Vi vet at $CF=20\mathrm{cm}$ (radien til den lille sirkelen). Siden $C$ ligger mellom $B$ og $F$ på linjen, finner vi $BC$ ved å trekke fra:

$$BC=BF-CF=60-20=40\mathrm{cm}$$

Dette viser at $\underline{\underline{BC=40\mathrm{cm}}}$.

b)

$A$ er sentrum i den lille halvsirkelen som går fra $D$ til $B$. Radien til denne halvsirkelen er derfor halvparten av $DB$:

$$AB=\frac{DB}{2}=\frac{60}{2}=30\mathrm{cm}$$

På figuren ser vi at linjen $BC$ står vinkelrett på linjen $DE$ (markert med den grønne vinkelen i $B$). Da er trekant $ABC$ rettvinklet i $B$, og vi kan bruke Pytagoras’ setning til å finne $AC$:

$$AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{{30}^2+{40}^2}=\sqrt{900+1600}=\sqrt{2500}=50\mathrm{cm}$$

Dette viser at $\underline{\underline{AC=50\mathrm{cm}}}$.

c)

Trekant $DBC$ er også rettvinklet i $B$, siden $BC$ står vinkelrett på $DE$. Vi kjenner $DB=60\mathrm{cm}$ og $BC=40\mathrm{cm}$ (fra oppgave a). Ved Pytagoras’ setning:

$$CD=\sqrt{D{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{{60}^2+{40}^2}=\sqrt{3600+1600}=\sqrt{5200}\approx \mathrm{72,1}\mathrm{cm}$$

Lengden $CD$ er $\underline{\underline{CD\approx \mathrm{72,1}\mathrm{cm}}}$.

d)

$D$ og $E$ ligger begge på den store halvsirkelen, med sentrum $B$ midt mellom dem. Punktet $F$ ligger rett over $B$, og siden $BF=60\mathrm{cm}$ (fra oppgave a) er $F$ det høyeste punktet på den samme halvsirkelen — altså ligger $F$ også på sirkelen med sentrum $B$.

Trekantene $DBF$ og $EBF$ er begge rettvinklet i $B$ (siden $F$ ligger rett over $B$), med $DB=EB=BF=60\mathrm{cm}$. Med Pytagoras’ setning finner vi de to like sidene i trekant $DEF$:

$$DF=EF=\sqrt{{60}^2+{60}^2}=\sqrt{7200}=60\sqrt{2}\mathrm{cm}$$

Vi sjekker om trekant $DEF$ er rettvinklet, ved å se om Pytagoras’ setning stemmer for sidene $DF$, $EF$ og $DE=120\mathrm{cm}$:

$$D{F}^2+E{F}^2=7200+7200=14400D{E}^2={120}^2=14400$$

Siden $D{F}^2+E{F}^2=D{E}^2$, må trekant $DEF$ være rettvinklet, med rett vinkel i $F$ (motstående den lengste siden $DE$):

$$\angle F=90°$$

Trekanten er dessuten likebeint fordi $DF=EF$, så de to andre vinklene er like store:

$$\angle D=\angle E=\frac{180°-90°}{2}=45°$$

Vinklene i trekant $DEF$ er $\underline{\underline{\angle F=90°,\angle D=\angle E=45°}}$.