10. trinn Eksempeloppgave 2009

Vi skal skrive $18$ som et produkt av primtall.

Vi starter med det minste primtallet, $2$, og deler så langt vi kan:

$9$ er ikke delelig med $2$, så vi går videre til neste primtall, $3$:

Da har vi delt opp $18$ helt ned til primtall:

Svar: $\underline{\underline{18=2\cdot 3\cdot 3}}$

Kari tjente $35000\mathrm{kr}$, og av dette betalte hun $14455\mathrm{kr}$ i skatt. Det hun får utbetalt, er lønnen minus skatten:

Kari fikk altså utbetalt $\underline{\underline{20545\mathrm{kr}}}$.

Vi gjør om hver brøk til desimaltall for å finne hvilken som er lik $\mathrm{0,6}$.

Bare $\frac{3}{5}$ gir $\mathrm{0,6}$.

Riktig svar er $\underline{\underline{\frac{3}{5}}}$.

Vi setter $a=3$ inn i uttrykket $a^3-2a$:

Vi regner ut hver del for seg. Først $3^3=3\cdot 3\cdot 3=27$, og $2\cdot 3=6$. Da får vi:

Verdien av uttrykket er $\underline{\underline{21}}$.

Vi gjør om alle fire tallene til vanlige desimaltall, slik at vi kan sammenlikne dem direkte.

Promille betyr «per tusen», altså deling på $1000$:

Vi setter tallene opp etter størrelse:

Det minste tallet er $\underline{\underline{2\mathrm{‰}}}$.

Vi sorterer tallene fra minst til størst:

Det er $10$ tall i materialet, altså et partall. Da finner vi medianen ved å ta gjennomsnittet av de to midterste tallene — det $5.$ og det $6.$ tallet i den sorterte rekken.

Det $5.$ tallet er $10$, og det $6.$ tallet er $15$. Medianen blir da

$\underline{\underline{\text{Median}=\mathrm{12,5}}}$

Vi leser av antall jenter og gutter for hver musikksjanger fra diagrammet, og legger sammen tallene for hver sjanger:

Sjanger	Jenter	Gutter	Til sammen
Klassisk	1	0	1
Storband/Jazz	1	2	3
Danseband	4	1	5
Tecno/Dance	6	12	18
Black metal	3	8	11
Heavyrock	12	18	30
Rock	13	15	28
Pop	20	8	28
Hiphop	8	13	21
Sum	68	77	145

Påstand 1: Flere gutter enn jenter deltok i undersøkelsen.

Vi legger sammen alle jentesøylene og alle guttesøylene:

Siden $77>68$, deltok det flere gutter enn jenter. Påstanden er sann.

Påstand 2: Pop er den type musikk som flest elever liker.

Vi legger sammen jenter og gutter for hver sjanger (se tabellen). Den høyeste summen er Heavyrock med $30$ elever, mens Pop bare har $28$ elever. Påstanden er derfor usann.

Påstand 3: Rock har like mange tilhengere som pop.

Rock og pop har begge $28$ tilhengere til sammen. Påstanden er sann.

Påstand 4: Det er 3 % av elevene som foretrekker klassisk musikk.

Det er $145$ elever til sammen, og $1$ av dem foretrekker klassisk musikk. Andelen er

Dette er langt under $3\%$, så påstanden er usann.

a)

Figuren består av $15$ like store ruter ($3$ rader med $5$ ruter i hver). Vi teller de skraverte rutene og finner $4$ skraverte ruter.

Den skraverte delen av figuren er da

$$\underline{\underline{\frac{4}{15}}}$$

b)

Vi skal finne hvor mange ruter som utgjør $60\%$ av de $15$ rutene.

$$60\%\cdot 15=\mathrm{0,60}\cdot 15=9$$

Det betyr at $9$ av de $15$ rutene skal være skravert til sammen. Fra før er $4$ ruter skravert, så vi må skravere

$$9-4=5$$

flere ruter. Vi kan for eksempel skravere de $5$ første av de gjenværende ruttene i rekkefølge — for eksempel de tre siste rutene i rad 1, og to ruter i rad 2 — slik at det totalt blir $9$ skraverte ruter av $15$. Det finnes flere gyldige måter å velge hvilke $5$ ruter som skraveres, så lenge det totale antallet skraverte ruter blir $9$.

Blandingsforholdet $1:4$ betyr at saftblandingen er delt inn i $1+4=5$ like deler til sammen: $1$ del saft og $4$ deler vann.

De $10$ literne skal fordeles på disse $5$ delene, så hver del er

Ren saft utgjør $1$ av de $5$ delene, altså

Det var $\underline{\underline{2\mathrm{liter}}}$ ren saft i saftblandingen.

a)

En terning har $6$ like sannsynlige utfall: $1,2,3,4,5,6$. Ett av disse er en $5$-er.

$$P(5\text{-er})=\underline{\underline{\frac{1}{6}}}$$

b)

Når vi kaster to terninger, er det $6\cdot 6=36$ mulige utfall til sammen, siden hver terning har $6$ utfall.

Vi finner alle utfallene der summen blir $7$:

$$(\mathrm{1,6}),(\mathrm{2,5}),(\mathrm{3,4}),(\mathrm{4,3}),(\mathrm{5,2}),(\mathrm{6,1})$$

Det er $6$ gunstige utfall av $36$ mulige, så sannsynligheten blir

$$P(\text{sum}=7)=\frac{6}{36}=\underline{\underline{\frac{1}{6}}}$$

a)

Vi leser av grafen.

Linja skjærer y-aksen i punktet $(0,3)$. Konstantleddet er derfor $3$.

Linja skjærer x-aksen i punktet $(6,0)$. Stigningstallet finner vi ved å se hvor mye $y$ endrer seg når $x$ øker fra $0$ til $6$:

$$a=\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=\frac{0-3}{6-0}=\frac{-3}{6}=-\mathrm{0,5}$$

Funksjonsuttrykket til den fallende linja er dermed $y=-\mathrm{0,5}x+3$.

$\underline{\underline{y=-\mathrm{0,5}x+3}}$

b)

Trekanten er avgrenset av grafen, x-aksen og y-aksen, med hjørner i $(0,0)$, $(0,3)$ og $(6,0)$. Dette er en rettvinklet trekant der katetene ligger langs aksene: den ene kateten har lengde $3\mathrm{cm}$ (langs y-aksen), den andre har lengde $6\mathrm{cm}$ (langs x-aksen).

Arealet av en rettvinklet trekant finner vi med formelen grunnlinje ganger høyde delt på to:

$$A=\frac{g\cdot h}{2}=\frac{6\mathrm{cm}\cdot 3\mathrm{cm}}{2}=\frac{18{\mathrm{cm}}^2}{2}=9{\mathrm{cm}}^2$$

$\underline{\underline{A=9{\mathrm{cm}}^2}}$

a)

Én time er $60$ minutter. Vi legger sammen timen og minuttene:

$$1\mathrm{t}13\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}=60\min +13\min =73\min$$

$\underline{\underline{73\min }}$

b)

Én kilometer er $1000$ meter. Vi deler antall meter på $1000$ for å gjøre om til kilometer:

$$30000\mathrm{m}=\frac{30000}{1000}\mathrm{km}=30\mathrm{km}$$

$\underline{\underline{30\mathrm{km}}}$

c)

Én liter er $1000{\mathrm{cm}}^3$. Vi deler antall kubikkcentimeter på $1000$ for å gjøre om til liter:

$$450{\mathrm{cm}}^3=\frac{450}{1000}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{r}=\mathrm{0,45}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{r}$$

$\underline{\underline{\mathrm{0,45}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{r}}}$

d)

En kvadratkilometer er et kvadrat der hver side er $1\mathrm{km}=1000\mathrm{m}$. Arealet av dette kvadratet finner vi ved å multiplisere sidelengden med seg selv:

$$1{\mathrm{km}}^2=(1000\mathrm{m})\cdot (1000\mathrm{m})=1000000{\mathrm{m}}^2$$

$\underline{\underline{1000000{\mathrm{m}}^2}}$

Vi regner ut verdien av hvert av de fem tallene:

Nå sorterer vi verdiene fra minst til størst: $4,5,7,8,12$.

Satt tilbake til de opprinnelige uttrykkene blir rekkefølgen:

$\underline{\underline{{\displaystyle \frac{16}{4}},\sqrt{25},7,2^3,12}}$

Vi lar $x$ være antall flasker som ga $1$ krone i pant, og $y$ være antall flasker som ga $\mathrm{2,50}$ kroner i pant.

Yousif pantet $42$ flasker til sammen:

Til sammen fikk han $57$ kroner:

Vi løser likningssystemet med innsettingsmetoden. Fra den første likningen isolerer vi $x$:

Vi setter dette uttrykket for $x$ inn i den andre likningen:

Vi setter $y=10$ inn i uttrykket $x=42-y$:

Kontroll: $32\cdot 1\mathrm{kr}+10\cdot \mathrm{2,5}\mathrm{kr}=32\mathrm{kr}+25\mathrm{kr}=57\mathrm{kr}$. Det stemmer med opplysningene i oppgaven.

Yousif pantet altså $32$ flasker som ga $1$ krone i pant, og $10$ flasker som ga $\mathrm{2,50}$ kroner i pant.

$\underline{\underline{32\text{ flasker à 1 krone, }10\text{ flasker à 2,50 kroner}}}$

Det er til sammen $30+45=75$ elever på skolen, og $45$ av dem er jenter.

For å finne hvor mange prosent $45$ er av $75$, deler vi antall jenter på det totale antallet elever, og ganger med $100\%$:

$\underline{\underline{60\%}}$

a)

Vi multipliserer først $2$ inn i parentesen:

$$\begin{array}{cc}-3a+2(6+2a)-10& =-3a+2\cdot 6+2\cdot 2a-10\\ & =-3a+12+4a-10\end{array}$$

Så trekker vi sammen like ledd ($-3a$ og $4a$ hører sammen, $12$ og $-10$ hører sammen):

$$-3a+4a+12-10=a+2$$

Svar: $\underline{\underline{-3a+2(6+2a)-10=a+2}}$

b)

Brøkene har nevnere $2$ og $3$. Fellesnevneren er $6$. Vi utvider første brøk med $3$ og andre brøk med $2$:

$$\frac{a+2}{2}-\frac{a-2}{3}=\frac{3(a+2)}{6}-\frac{2(a-2)}{6}$$

Vi multipliserer ut i tellerne:

$$\frac{3(a+2)}{6}-\frac{2(a-2)}{6}=\frac{3a+6}{6}-\frac{2a-4}{6}$$

Siden brøkene har samme nevner, kan vi trekke sammen tellerne. Vi passer på at minustegnet gjelder hele den andre telleren:

$$\frac{3a+6}{6}-\frac{2a-4}{6}=\frac{3a+6-(2a-4)}{6}=\frac{3a+6-2a+4}{6}=\frac{a+10}{6}$$

Svar: $\underline{\underline{{\displaystyle \frac{a+2}{2}}-{\displaystyle \frac{a-2}{3}}={\displaystyle \frac{a+10}{6}}}}$

Omkretsen til en sirkel finner vi med formelen

der $d$ er diameteren. Vi vet at $O=5$, og skal finne $d$. Vi setter inn og løser likningen:

Riktig svar er derfor det fjerde alternativet.

Svar: $\underline{\underline{d={\displaystyle \frac{5}{\pi }}}}$

For å gjøre et overslag runder vi hver spilletid av til nærmeste hele minutt. Er sekundtallet $30$ eller mer, runder vi opp. Er det mindre enn $30$, runder vi ned.

Spor	Spilletid	Avrundet
the ghost of tom joad	4:23	4
straight time	3:25	3
highway 25	3:39	4
youngstown	3:52	4
sinaloa cowboys	3:51	4
the line	5:14	5
dry lightning	3:30	4
the new timer	5:45	6
across the border	5:24	5
galveston bay	5:04	5
my best was never good enough	2:00	2

Så legger vi sammen de avrundede minuttallene:

Total spilletid er altså omtrent $46$ minutter.

Svar: $\underline{\underline{\text{Omtrent }46\text{ minutter}}}$

Sara skal fordele $6$ liter syltetøy på glass som rommer $\mathrm{0,30}$ liter hver. For å finne ut hvor mange glass hun trenger, deler vi den totale mengden på mengden i hvert glass:

Sara fylte altså $20$ glass med syltetøy.

Svar: $\underline{\underline{20\text{ glass}}}$

Vi skal faktorisere uttrykket $4a^2-6a$. Da leter vi etter den felles faktoren i begge leddene.

• Tallene $4$ og $6$ har felles faktor $2$.
• Bokstavene $a^2$ og $a$ har felles faktor $a$.

Den felles faktoren for hele uttrykket er derfor $2a$. Vi setter $2a$ utenfor en parentes, og finner det som blir igjen inni parentesen ved å dele hvert ledd på $2a$:

Vi kan sjekke svaret ved å multiplisere ut igjen: $2a\cdot 2a-2a\cdot 3=4a^2-6a$. Det stemmer.

Svar: $\underline{\underline{4a^2-6a=2a(2a-3)}}$

I et parallellogram gjelder to regler for vinklene:

• Vinkler som ligger rett overfor hverandre (motstående vinkler), er like store.
• Vinkler som ligger ved siden av hverandre (nabovinkler), summerer til $180°$.

Én vinkel er $60°$. Da er vinkelen rett overfor den også $60°$, siden motstående vinkler er like store.

De to andre vinklene er nabovinkler til $60°$-vinkelen. De regner vi ut slik:

De to nabovinklene er dermed begge $120°$ (de er også motstående vinkler av hverandre, så de må være like store).

De tre andre vinklene i parallellogrammet er altså $\underline{\underline{60°,120°\text{ og }120°}}$.

Farten regner vi ut med formelen

Strekningen passasjerene reiser i løpet av én runde, er lik omkretsen av hjulet: $360\mathrm{m}$.

Tiden er $30\min$, men siden vi vil ha farten i meter per sekund, gjør vi først om tiden til sekunder:

Da blir farten

Passasjerene i London Eye beveger seg altså med en fart på $\underline{\underline{v=\mathrm{0,2}\mathrm{m}/\mathrm{s}}}$. Det er en svært rolig fart, omtrent som en sakte spasertur — noe som stemmer godt med at et pariserhjul går sakte rundt.

Vi legger et koordinatsystem oppå rutenettet, med origo i nedre venstre hjørne av rutenettet, $x$-aksen mot høyre og $y$-aksen oppover. Da ligger linjen $l$ nøyaktig langs diagonalen i rutenettet, altså langs linjen $y=x$.

Hjørnene i firkanten $ABCD$ har da disse koordinatene (talt i antall ruter fra origo):

Slik speiler vi et punkt om linjen $l$: Vi teller hvor mange ruter punktet ligger unna linjen, målt vinkelrett på linjen. Deretter setter vi et nytt punkt like langt unna linjen, på den andre siden, i samme retning vinkelrett på linjen. Siden $l$ er linjen $y=x$, gir denne speilingen en enkel regel: vi bytter om $x$- og $y$-koordinaten til punktet.

Speiler vi hvert av hjørnene, får vi:

Punktet $C$ ligger nøyaktig på linjen $l$ (siden $C(\mathrm{4,4})$ oppfyller $y=x$), så $C$ speiles til seg selv — det flytter seg ikke.

Det speilede bildet av firkanten finner vi ved å markere punktene $A^{\prime }(\mathrm{5,1})$, $B^{\prime }(\mathrm{3,2})$, $C^{\prime }(\mathrm{4,4})$ og $D^{\prime }(\mathrm{7,3})$ i rutenettet, og deretter tegne firkanten $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ ved å trekke strekene $A^{\prime }{B}^{\prime }$, $B^{\prime }{C}^{\prime }$, $C^{\prime }{D}^{\prime }$ og $D^{\prime }{A}^{\prime }$ — i samme rekkefølge som i originalfirkanten $ABCD$.

Legg merke til at den speilede firkanten $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ er like stor og har akkurat samme form som $ABCD$, men er «snudd om» linjen $l$ — akkurat som et speilbilde.

Et tall på normalform (standardform) skrives som $a\cdot {10}^n$, der $a$ er et tall mellom $1$ og $10$ (men ikke $10$ selv), og $n$ er et helt tall.

Tykkelsen på et hårstrå: $\mathrm{0,00005}$ meter.

Vi flytter kommaet til det står ett siffer foran, altså til $5$:

Kommaet er flyttet $5$ plasser mot høyre, så eksponenten blir $-5$ (negativ, siden tallet er mindre enn $1$):

Antall hårstrå: $300000$.

Vi flytter kommaet (som i utgangspunktet står bakerst i tallet) til det står ett siffer foran, altså til $3$:

Kommaet er flyttet $5$ plasser mot venstre, så eksponenten blir $5$ (positiv, siden tallet er større enn $1$):

På normalform blir altså tykkelsen på et hårstrå $\underline{\underline{5\cdot {10}^{-5}\mathrm{m}}}$, og antallet hårstrå på hodet $\underline{\underline{3\cdot {10}^5}}$.

En femkant har $5$ sider. Alle sidene i denne femkanten er like lange, med lengde $n+2$.

Omkretsen er summen av alle sidene, altså $5$ ganger sidelengden:

Omkretsen til femkanten er $\underline{\underline{5n+10}}$.

Vi skal løse ulikheten ${\displaystyle \frac{x}{3}}+3>x-7$.

Først ganger vi begge sider med $3$ for å bli kvitt brøken:

Så samler vi $x$-leddene på én side og tallene på den andre siden:

Dette betyr at $x$ må være mindre enn $15$.

$\underline{\underline{x<15}}$

Vi konstruerer trekanten steg for steg med passer og linjal.

Steg 1: Tegn linjestykket $AB$. Bruk linjal og tegn et linjestykke som er $\mathrm{4,5}$ cm langt. Kall endepunktene $A$ og $B$.

Steg 2: Konstruer $\angle A=45°$. En vinkel på $45°$ er halvparten av en vinkel på $90°$, så vi konstruerer først $90°$ i $A$ og halverer den:

1. Sett passerspissen i $A$ og tegn en sirkelbue med en passe radius som skjærer linja $AB$ i ett punkt, og som fortsetter til andre siden av $A$ (langs den tenkte forlengelsen av $AB$). Kall de to skjæringspunktene med linja $P$ og $Q$, med $A$ mellom dem.
2. Sett passerspissen i $P$, hold samme (eller større) radius, og tegn en bue over linja.
3. Sett passerspissen i $Q$ med samme radius, og tegn en ny bue som skjærer buen fra forrige steg. Kall skjæringspunktet $R$.
4. Trekk en hjelpelinje fra $A$ gjennom $R$. Denne linja står vinkelrett på $AB$, altså er $\angle BAR=90°$.
5. For å halvere denne vinkelen: sett passerspissen i $B$-siden av buen (skjæringspunktet mellom linja $AB$ og den første buen) og tegn en bue mellom vinkelbeina. Gjør det samme med passerspissen i det punktet der linja $AR$ skjærer den første buen (samme radius), slik at de to nye buene skjærer hverandre i et punkt $U$.
6. Trekk en linje fra $A$ gjennom $U$. Da er vinkelen mellom $AB$ og $AU$ lik $45°$, altså halvparten av $90°$.

Steg 3: Konstruer $\angle B=60°$. En vinkel på $60°$ får vi direkte ved å konstruere en likesidet trekant:

1. Sett passerspissen i $B$ med en radius (for eksempel lik $AB$), og tegn en bue som skjærer linja $AB$. Kall skjæringspunktet $S$.
2. Behold samme radius. Sett passerspissen i $S$ og tegn en ny bue som skjærer den første buen. Kall skjæringspunktet $T$. (Dette gir en vinkel på nøyaktig $60°$, fordi trekant $BST$ blir likesidet når alle sidene/buene har samme radius.)
3. Trekk en linje fra $B$ gjennom $T$. Da er $\angle SBT=60°$.

Steg 4: Finn punktet $C$. Forleng linja fra $A$ gjennom $U$ (vinkelbeinet på $45°$) og linja fra $B$ gjennom $T$ (vinkelbeinet på $60°$) til de skjærer hverandre. Skjæringspunktet er $C$.

Trekanten $ABC$ er nå ferdig konstruert, med $AB=\mathrm{4,5}$ cm, $\angle A=45°$ og $\angle B=60°$.

En kode består av $4$ sifre, og hvert siffer kan være et av tallene $0,1,2,\dots ,9$ — altså $10$ mulige verdier. Sifrene kan gjentas, som vi ser i eksemplene $1\text{-}3\text{-}6\text{-}4$ og $0\text{-}3\text{-}3\text{-}7$.

Siden hvert av de $4$ sifrene velges uavhengig av de andre, bruker vi multiplikasjonsprinsippet. Vi ganger sammen antall muligheter for hvert siffer:

Det er altså mulig å lage $\underline{\underline{10000}}$ forskjellige koder.

Steg 1: Finn omkretsen av rommet. Av tegningen ser vi at rommet har en grunnflate på $3\mathrm{m}$ og $4\mathrm{m}$, og at takhøyden er $\mathrm{2,5}\mathrm{m}$. Veggene går hele veien rundt rommet, så omkretsen av gulvet er

Steg 2: Finn totalt veggareal. Veggene kan tenkes brettet ut til én lang, rett vegg med lengde lik omkretsen og høyde $\mathrm{2,5}\mathrm{m}$:

Steg 3: Trekk fra dør og vindu. Vi skal ikke male døra ($1\mathrm{m}\cdot 2\mathrm{m}=2{\mathrm{m}}^2$) eller vinduet ($1\mathrm{m}\cdot 1\mathrm{m}=1{\mathrm{m}}^2$). Arealet som skal males med ett strøk, blir da

Steg 4: Doble for to strøk. Siden veggene skal males to ganger, dobler vi arealet:

Steg 5: Finn hvor mange liter maling som trengs. Anbefalt forbruk er $8$–$10{\mathrm{m}}^2$ per liter. Vi bruker et gjennomsnittlig forbruk på $9{\mathrm{m}}^2$ per liter:

Steg 6: Finn antall spann. Hvert spann inneholder $\mathrm{2,7}$ liter, så vi trenger

Siden maling bare selges i hele spann, må vi runde opp til $3$ spann. (Selv om vi hadde brukt det høyeste eller laveste anbefalte forbruket, $8$ eller $10{\mathrm{m}}^2$ per liter, hadde vi likevel endt opp med å måtte kjøpe $3$ spann.)

Du trenger altså $\underline{\underline{3}}$ malingsspann for å male soverommet med to strøk.