S2 Høst 2023

Oppgave 1-1Bestemt integral 3

Regn ut integralet

\int_{- 1}^{1} (x^{3} + 2 x) d x

Hva forteller svaret deg?

Fasit

Svaret er 0.

Løsningsforslag

Dette integralet trenger ingen spesielle regler eller teknikker for å løses.

\int_{- 1}^{1} (x^{3} + 2 x) d x = {[\frac{1}{4} x^{4} + \frac{2}{2} x^{2}]}_{- 1}^{1}

Jeg setter inn grensene og får

(\frac{1}{4} 1^{4} + 1^{2}) - (\frac{1}{4} {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{2}) = 0

Siden svaret på integralet er 0 så må det være like mye areal avgrenset av grafen på oversiden av $x$ -aksen som på undersiden av $x$ -aksen.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 2 poeng

Det gis 1 poeng for rett svar og 1 poeng for å gi en riktig tolkning av svaret.

Oppgavedata

Delt med: S2, R2
Kategori: 2
Vanskegrad: 1
Poeng: 2
Temaer: Integrasjon, Bestemt integral, Tolkning av integraler
Kompetansemål: Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon og integrasjon, og anvende integrasjon til å beregne ulike mål av omdreiningslegemer
Forstå definisjonen av det bestemte integralet og anvende integralet til å analysere funksjoner
Egen side: Åpne oppgave 1-1 for seg selv

Oppgave 1-2aUendelig geometrisk rekke

En uendelig geometrisk rekke $a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots$ konvergerer mot 8.

Bestem summen av de fire første leddene, når du får vite at $a_{1} = 4$

Fasit

$s_{4} = 7,5$

Løsningsforslag

Jeg bruker formelen for uendelig geometrisk rekke. Jeg setter inn kjente verdier for å bestemme $k$ :

\frac{a_{1}}{1 - k} = \frac{4}{1 - k} = 8 ⟺ \frac{4}{8} = 1 - k ⟺ k = \frac{1}{2}

Summen av de fire første leddene er $4 + 2 + 1 + \frac{1}{2} = \frac{15}{2}$

Summen av de fire første leddene er 7,5

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 2 poeng

Det kan gis 1 poeng dersom kandidaten bruker en riktig strategi, men gjør feil i utregningene.

Oppgavedata

Delt med: S2, R2
Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 2
Temaer: Uendelig rekke, Rekker, Geometrisk rekke
Kompetansemål: Utforske egenskaper ved ulike rekker og gjøre rede for praktiske anvendelser av egenskaper ved rekker
Egen side: Åpne oppgave 1-2a for seg selv

Oppgave 1-2bAritmetisk rekke

I en aritmetisk rekke er $a_{1} + a_{4} + a_{7} = 114$ .

Bestem $a_{4}$ .

Fasit

$a_{4} = 38$

Løsningsforslag

Jeg vet at i en aritmetisk rekke er

a_{n + 1} = a_{n} + d

Vi kan dermed si at $a_{1} = a_{4} - 3 d$ og $a_{7} = a_{4} + 3 d$ .

Jeg setter inn for $a_{1}$ og $a_{7}$ i uttrykket og får

a_{4} - 3 d + a_{4} + a_{4} + 3 d = 114 ⟺ 3 a_{4} = 114 ⟺ a_{4} = 38

$a_{4} = 38$

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 2 poeng

Det kan gis 1 poeng dersom kandidaten bruker en riktig strategi, men ikke finner riktig svar. Kandidater som kommer frem til riktig svar ved gjett og sjekk kan få full uttelling.

Oppgavedata

Delt med: S2, R2
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Rekker, Aritmetisk rekke
Kompetansemål: Utforske egenskaper ved ulike rekker og gjøre rede for praktiske anvendelser av egenskaper ved rekker
Egen side: Åpne oppgave 1-2b for seg selv

Oppgave 1-3Grensekostnader og enhetskostnader fra graf

I koordinatsystemet nedenfor ser du grafen til en kostnadsfunksjon $K$ sammen med tre rette linjer.

De tre rette linjene er grafene til funksjonene $f$ , $g$ , $h$ der

\begin{matrix} f (x) & = 31 x + 2030 \\ g (x) & = 60 x \\ h (x) & = 81,75 x \end{matrix}

To av linjene tangerer grafen til $K$ . Vi kaller tangeringspunktene $A$ og $B$ .

Kostnadsfunksjonen K(x)

Bestem enhetskostnaden ved produksjon av 40 enheter.

Forklar at grensekostnaden ved produksjon av 40 enheter er 31 kroner.

Bestem den minste enhetskostnaden.

Fasit

81,75 kr

Se løsningsforslag. Hint: den deriverte til en funksjon i et punkt er lik stigningstallet til tangenten i punktet.

60 kr

Løsningsforslag

Enhetskostnadene er gitt ved

E (x) = \frac{K (x)}{x}

Jeg ser at punktet linja $f (x) = 31 x + 2030$ tangerer $K$ ved $x = 40$ . Dermed har vi

K (40) = f (40) = 31 \cdot 40 + 2030 = 1240 + 2030 = 3270

Ved å sette inn i uttrykket for enhetskostnadene får vi

E (40) = \frac{K (40)}{40} = \frac{3270}{40} = 81,75

Enhetskostnadene ved produksjon av 40 enheter er 81,75 kr.

Dette stemmer perfekt med uttrykket for $h (x)$ , og da vet vi også at den grønne linja i figuren faktisk skjærer grafen nøyaktig i $x = 40$ .

Siden $A$ er et tangeringspunkt på grafen til $K$ , og $A$ ligger på $x = 40$ , så vil stigningstallet til tangenten i $A$ være det samme som den deriverte til $K$ i punktet $A$ . Grensekostnadene er definert som den deriverte av kostnadsfunksjonen.

Tangenten til $K$ ved $x = 40$ har funksjonsuttrykk $f (x) = 31 x + 2030$ , dermed er både stigningstallet, den deriverte og grensekostnadene lik 31 kroner.

Vi har lavest grensekostnader når $E^{'} (x) = 0$ , og dette betyr

\begin{matrix} E^{'} (x) & = 0 \\ {(\frac{K (x)}{x})}^{'} & = 0 \\ \frac{K^{'} (x) \cdot x - K (x)}{x^{2}} & = 0 \\ K^{'} (x) \cdot x & = K (x) \end{matrix}

Den nederste linja forteller oss at vi finner den laveste enhetskostnaden når den lineære funksjonen $y = K^{'} (x) \cdot x$ skjærer $K (x)$ . Enklere sagt vil det si at vi har lavest enhetskostnad når tangenten til $K$ går gjennom origo. Jeg ser fra grafen at dette gjelder den blå linja og punktet $B$ .

Hvis vi fortsetter likningsløsningen litt til får vi:

\begin{matrix} K^{'} (x) \cdot x & = K (x) \\ K^{'} (x) & = \frac{K (x)}{x} \\ K^{'} (x) & = E (x) \end{matrix}

De laveste enhetskostnadene er altså $K^{'} (x)$ , eller stigningstallet til tangenten i punktet $B$ . Tangenten i $B$ har funksjonsuttrykk $g (x) = 60 x$ .

De laveste enhetskostnadene er 60 kr per enhet.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 6 poeng

Kandidater som bruker formel for enhetskostnad og regner ut fra grafen og får et omtrentlig svar, kan få 1 poeng.

For å få full uttelling må kandidaten begrunne at grensekostnad er stigningstall til tangentlinjen og så begrunne hvilken av de tre funksjonene som gir denne tangentlinjen. Dersom det er noe riktig i argumentasjonen, kan det gis 1 poeng.

Kandidater som bruker stigningstallet til grafen til funksjonen $g$ uten forklaring får ingen uttelling. Rett strategi, men feil svar, kan gi 1 poeng.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Grenseinntekt og grensekostnad, Enhetskostnad, Graftolkning, Derivasjon, Argumentasjon
Kompetansemål: Finne grensekostnader og grenseinntekter i økonomiske modeller, og gjøre rede for betydningen av disse størrelsene
Egen side: Åpne oppgave 1-3 for seg selv

Oppgave 1-4Ukjent program h23

En elev har skrevet koden nedenfor

N = 1000
start = -2
slutt = 2
dx = (slutt - start)/N

def f(x):
   return x**2-1

S = 0
for i in range(N):
    xi = start + i*dx
    S = S + abs(f(xi))*dx  # abs(f(x)) gir absoluttverdien til f(x)

print(S)

Forklar hva eleven ønsker å regne ut med denne koden.

Finn ved regning den verdien eleven ønsker å bestemme.

Fasit

Programmet regner ut en tilnærming til arealet mellom $x$ -aksen, grafen til $f (x) = x^{2} - 1$ og linjene $x = - 2$ og $x = 2$ .

Verdien er 4.

Løsningsforslag

Programmet forsøker å regne ut en tilnærmingsverdi for arealene mellom $x$ -aksen, grafen til $f (x) = x^{2} - 1$ , linja $x = - 2$ og linja $x = 2$ .

Ved å bruke absoluttverdifunksjonen så tar programmet hensyn til at $f < 0$ i deler av intervallet.

Jeg ser at $f (x)$ har nullpunkter i $x = 1$ og $x = - 1$ . På grunn av symmetri vil

\int_{- 2}^{1} f (x) d x = \int_{1}^{2} f (x) d x

For å regne ut det samlede arealet kan jeg derfor bruke uttrykket (minustegn foran integral nummer 2, siden grafen ligger under $x$ -aksen i dette intervallet)

2 \int_{1}^{2} (x^{2} - 1) d x - \int_{- 1}^{1} (x^{2} - 1) d x

Jeg finner først det ubestemte integralet

F (x) = \int (x^{2} - 1) d x = \frac{1}{3} x^{3} - x + C

Jeg finner så arealet ved

\begin{matrix} 2 \cdot (F (2) - F (1)) - (F (1) - F (- 1)) \\ 2 \cdot F (2) - 3 \cdot F (1) + F (- 1) \\ 2 (\frac{1}{3} 2^{3} - 2) - 3 (\frac{1}{3} 1^{3} - 1) + (\frac{1}{3} {(- 1)}^{3} - (- 1)) \\ (\frac{16}{3} - 4) - (\frac{3}{3} - 3) + (\frac{- 1}{3} + 1) \\ - 4 + 3 + 1 + \frac{16}{3} - \frac{3}{3} - \frac{1}{3} = \frac{12}{3} = 4 \end{matrix}

Verdien eleven forsøkte å bestemme er 4.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 4 poeng

For å få full uttelling må kandidaten kommentere at det er arealet mellom $x$ -aksen og grafen til $f$ mellom $x = - 2$ og $x = 2$ som regnes ut. Kandidater som kun sier noe om at det er et integral som regnes ut, kan få 1 poeng.

Kandidater som bare regner ut $\int_{- 2}^{2} f (x) d x$ kan få 1 poeng. Her kan det ikke gis full uttelling selv om det er følgefeil fra oppgave a).

Oppgavedata

Delt med: S2, R2
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 4
Temaer: Programmering, Numerisk integrasjon, Integrasjon, Areal under graf
Kompetansemål: Utforske rekursive sammenhenger ved å bruke programmering og presentere egne framgangsmåter
Forstå definisjonen av det bestemte integralet og anvende integralet til å analysere funksjoner
Egen side: Åpne oppgave 1-4 for seg selv

Oppgave 1-5Tunge kuler i kasse

I en kasse ligger det tre typer kuler. Disse veier henholdsvis 4 kg, 5 kg og 10 kg. Dersom vi trekker tilfeldig en kule, er sannsynligheten $\frac{1}{4}$ for at kulen veier 4 kg og $\frac{1}{2}$ for at den veier 5 kg.

Vis at $E (X) = 6 kg$ . Regn ut variansen til $X$ .

Vi trekker tilfeldig en kule og legger den tilbake igjen. Dette gjør vi to ganger. La $X_{1}$ være vekten til den første kulen vi trekker, og $X_{2}$ vekten til den andre kulen vi trekker. La $Y = X_{1} + X_{2}$ .

Sett opp sannsynlighetsfordelingen til $Y$ .

Bestem $P (Y > 10)$ .

Fasit

$E (X) = 6$ kg, $Var (X) = 5,5$

Se LF

$\frac{7}{16}$

Løsningsforslag

Siden det kun er tre typer kuler så må sannsynligheten for å trekke en kule som veier 10 kg være

P (10 kg) = 1 - \frac{1}{4} - \frac{1}{2} = \frac{1}{4}

Forventningsverdien er summen av produktene av sannsynlighet $\times$ verdi. Altså:

E (X) = \frac{1}{4} \cdot 4 + \frac{1}{2} \cdot 5 + \frac{1}{4} \cdot 10 = \frac{2}{2} + \frac{5}{2} + \frac{5}{2} = \frac{12}{2} = 6

For å finne variansen må vi finne differansen til gjennomsnittet for hver verdi, kvadrere denne differansen og multiplisere den med sannsynligheten for observasjonsverdien.

$x$	$E (x) - x$	$P (X = x)$	${(E (x) - x)}^{2} \cdot P (X = x)$
4	2	$\frac{1}{4}$	$2^{2} \cdot \frac{1}{4} = 1$
5	1	$\frac{1}{2}$	$1^{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$
10	4	$\frac{1}{4}$	$4^{2} \cdot \frac{1}{4} = 4$
Sum			5,5

Jeg har vist at forventningsverdien er 6 kg og at variansen er 5,5 kg.

Valgtre til oppgave 1-5

Se valgtreet over. Jeg ser at utfallene for $Y = X_{1} + X_{2}$ er 8, 9, 10, 14, 15 og 20. Jeg bruker valgtreet til å beregne sannsynligheten for hvert utfall

$y$	$P (Y = y)$
8	$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{16}$
9	$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \cdot 2 = \frac{1}{4}$
10	$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$
14	$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} \cdot 2 = \frac{1}{8}$
15	$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \cdot 2 = \frac{1}{4}$
20	$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{16}$

$P (Y > 10)$ betyr sannsynligheten for at $Y$ er større 10. Det stemmer når $Y = 14$ , $Y = 15$ og $Y = 20$ .

P (Y > 10) = P (Y = 14) + P (Y = 15) + P (Y = 20) = \frac{1}{8} + \frac{1}{4} + \frac{1}{16} = \frac{2 + 4 + 1}{16} = \frac{7}{16}

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 6 poeng

Det gis 1 poeng for riktig forventningsverdi og 1 poeng for varians. Dersom forventningsverdien er gal og formel for varians er riktig, kan det gis 1 poeng.

Dersom det er riktige $Y$ -verdier men mindre feil i sannsynlighetene, kan det gis 1 poeng.

Dersom kandidaten regner ut $P (Y \geq 10)$ kan det gis 1 poeng.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Sannsynlighet, Diskrete sannsynlighetsfordelinger, Forventningsverdi, Varians og standardavvik
Kompetansemål: Forstå begrepene forventningsverdi, varians og standardavvik, og bruke disse størrelsene til å tolke stokastiske variabler
Egen side: Åpne oppgave 1-5 for seg selv

Oppgave 2-1Modell for etterspørsel av vare

Tabellen viser den daglige etterspørselen etter en vare for ulike priser.

Pris (kroner)	Etterspørsel
10	237
20	111
30	49
40	22
50	12

Krever PC

Lag en modell $q$ som kan brukes til å beskrive sammenhengen mellom prisen $p$ (i kroner) og den daglige etterspørselen. Vurder gyldighetsområdet til modellen.

Kalkulator + svaret på tidligere oppgave

Hva bør prisen for varen være dersom bedriften skal selge 70 enheter per dag?

For en annen vare viser det seg at $p = 79 - 12,2 \ln x$ .

Her er $x$ den daglige etterspørselen når varen koster $p$ kroner.

Kalkulator

Hva må prisen være dersom inntektene skal bli størst mulig?

Kostnadene $K$ (i kroner) ved produksjon og salg av $x$ enheter per dag er gitt ved

K (x) = 0,021 x^{2} + 10 x + 910

Oppsett for hånd

Hvor mange enheter må produseres og selges per dag for at grenseinntektene skal bli lik grensekostnadene? Gi en praktisk tolkning av svaret

Fasit

$e (p) = 495 \cdot {0,927}^{p}$

25,8 kr

Etterspørsel 238,75 $\approx$ 239 enheter. Pris ca. 12,2 kr.

80 enheter

Løsningsforslag

Eksponentiell modell til oppgave 2-1a

Jeg brukte GeoGebra til å lage en eksponentiell modell som passet godt til dataene. Jeg vurderer at gyldighetsområdet til modellen er for priser fra omtrent 5 kroner til 70 kroner. Hvis varen hadde kostet veldig lite, så ville nok etterspørselen vært enda større (teoretisk kan man ofte tenke seg at etterspørselen går mot uendelig når prisen går mot null). Det er vanskelig å sette en øvre grense her, men ved prisen 70 kroner så er etterspørselen kun 2,4 – dette er veldig lavt sammenlignet med etterspørselen på 237 ved prisen 10 kroner.

En modell som viser sammenhengen mellom prisen, $p$ , i kroner og etterspørselen er $e (p) = 495 \cdot {0,927}^{p}$

Jeg brukte GeoGebra og løste $e (p) = 70$ i CAS.

Prisen for varen bør være 25,8 kroner dersom bedriften skal selge 70 enheter per dag.

CAS til oppgave 2-1c

Gitt at $p (x) = 79 - 12,2 \ln x$ er en funksjon som angir prisen ved etterspørselen $x$ , så er inntekten gitt ved

I (x) = p (x) \cdot x = (79 - 12,2 \ln x) \cdot x

Jeg brukte GeoGebra til å finne ekstremalpunktet til $I$ ved å derivere funksjonen og sette den deriverte lik null. Jeg sjekket også at dette punktet var et toppunkt i grafikkfeltet.

Vi har høyest inntekt ved etterspørselen 238,75 enheter, da er prisen $p (238,75) = 12,2$ .

CAS til oppgave 2-1d

Jeg la inn funksjonsuttrykket for $K (x)$ i CAS. CAS gir at $I^{'} = K^{'}$ ved $x \approx 80$ .

Grenseinntektene er lik grensekostnadene når det produseres og selges 80 enheter. Når grenseinntektene er lik grensekostnadene så har vi det største overskuddet – dette er altså den optimale produksjons- og salgsmengden.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 8 poeng

En fornuftig modell uten begrunnelse, kan gi 1 poeng. For å få full uttelling må kandidaten vurdere gyldighetsområdet.

Riktig svar kan gi 1 poeng. For å få full uttelling må framgangsmåten kommuniseres på en god måte.

Dersom det vises en riktig strategi uten at oppgaven fullføres kan det gis 1 poeng.

Det gis et poeng for å bestemme antall enheter og 1 poeng for å gi en praktisk tolkning av svaret.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 8
Temaer: Etterspørsel, Modellering, Regresjon, Grenseinntekt og grensekostnad, Eksponentialfunksjon, Derivasjon
Kompetansemål: Modellere og analysere eksponentiell og logistisk vekst i reelle datasett
Finne grensekostnader og grenseinntekter i økonomiske modeller, og gjøre rede for betydningen av disse størrelsene
Egen side: Åpne oppgave 2-1 for seg selv

Oppgave 2-2Miriam og Hermods sparing

Miriam har bestemt seg for å sette inn 20 000 kroner på en konto i begynnelsen av hvert år. Det første sparebeløpet vil hun sette inn i begynnelsen av 2024, det andre beløpet i begynnelsen av 2025, og så videre. Anta at hun får en fast årlig rentesats på 3,5 prosent.

Krever PC

Vis at Miriam vil ha 565 594 kroner på kontoen like etter at hun har satt inn innskudd nummer 20.

Hermod har også bestemt seg for å spare. Han vil sette inn et fast beløp i begynnelsen av hvert år. Det første sparebeløpet setter han inn i begynnelsen av 2024. Han får også en fast årlig rentesats på 3,5 prosent. Hermod har regnet ut at han vil ha 692 852 kroner på kontoen like etter at innskudd nummer 20 er satt inn.

Krever PC

Bestem beløpet Hermod må sette inn hvert år for at dette skal stemme.

Miriam ønsker at det skal være 1 000 000 kroner på kontoen like etter at hun har satt inn innskudd nummer 20. For å få til dette, vil hun øke innskuddet med et fast beløp hvert år. Første innskudd skal være 20 000 kroner.

Krever PC

Hvor mye må hun øke innskuddet med hvert år?

Fasit

–

24 500 kr

1 836,33 kr

Løsningsforslag

Sparing til oppgave 2-2a

Jeg satt opp en oversikt over sparingen i Excel, hvor jeg beregnet innskuddet på kontoen i starten og slutten av hvert år.

Etter det 20. innskuddet så var det 565 593,64 kr på kontoen.

Sparing og målsøking til oppgave 2-2b

Jeg brukte samme oppsettet i Excel og brukte målsøking til å sette celle G47 til 692 852 kr ved å endre celle F28. Jeg fikk da 24 499,99 kr som sparebeløp.

Hermod må spare 24 500 kr hvert år for å ha 692 852 kr etter 20 år.

Målsøking til oppgave 2-2c

Jeg brukte samme oppsett i Excel, men la til et ekstrabeløp i B52 som legges til hvert år. Jeg brukte målsøking til å sette celle G72 til 1 000 000 kr ved å endre celle B52.

Miriam må øke sparebeløpet med 1 836,33 kr hvert år.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 6 poeng

Dersom kandidaten har en riktig strategi, men gjør en regnefeil eller tellefeil kan det gis 1 poeng.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Sparing, Rekker, Regneark
Kompetansemål: Utforske egenskaper ved ulike rekker og gjøre rede for praktiske anvendelser av egenskaper ved rekker
Egen side: Åpne oppgave 2-2 for seg selv

Oppgave 2-3Normalfordelte vinterdekk

En dekkprodusent påstår at bremselengden for en type vinterdekk under bestemte forhold er 83 meter.

La $X$ være bremselengden ved en tilfeldig måling under disse forholdene. Gå ut fra at $X$ er normalfordelt med $μ = 83 m$ og $σ = 3,0 m$ .

Kalkulator

Bestem sannsynligheten for at bremselengden ved en tilfeldig valgt måling er lengre enn 87 meter.

Kalkulator

Bestem $k$ slik at $P (X < k) = 0,9$ . Gi en praktisk tolkning av svaret.

Kalkulator

Bestem sannsynligheten for at gjennomsnittet av 15 målinger er mindre enn 84 meter.

Noen mener at bremselengden er lengre enn 83 meter. De ville derfor gjennomføre en test under de samme bestemte forholdene, for å sjekke om det er hold i dekkprodusentens påstand.

Det ble gjennomført 15 målinger. Resultatet av målingene (i meter) er gitt i tabellen nedenfor.


86,4	85,5	82,9	81,9	84,0
86,4	82,3	85,9	77,7	83,0
86,9	88,3	86,2	80,5	84,8

Kalkulator

Gjennomfør en hypotesetest med et signifikansnivå på 5 prosent til å avgjøre om det er hold i mistanken.

Fasit

$P (X > 87) \approx 0,091$

$k \approx 86,84 m$ . Dekkprodusenten påstår at man stopper innen 86,84 m i 90 % av tilfellene.

$P (\overline{X} < 84) \approx 0,902$

Vi kan ikke forkaste $H_{0}$ . Det er ikke hold i mistanken om at bremselengden er lengre enn 83 m med signifikansnivå 5 %.

Løsningsforslag

Jeg bestemmer $P (X > 87)$ ved hjelp av sannsynlighetsvinduet i GeoGebra.

Sannsynlighet til oppgave 2-3a

Sannsynligheten for at bremselengden til en tilfeldig valgt bil er over 87 meter er 0,09121.

Jeg brukte sannsynlighetsvinduet i GeoGebra. Der valgte jeg sannsynlighet for at $X < k$ og skrev inn 0,9 i sannsynlighetsfeltet.

Sannsynlighet til oppgave 2-3b

$k = 86,84$ . Det betyr at dekkprodusenten påstår at man klarer å stoppe innen 86,84 meter i 90 % av tilfellene.

Jeg lar $\overline{X}$ være gjennomsnittet av 15 målinger. Da er $\overline{X}$ normalfordelt med $μ = 83$ og $S D (\overline{X}) = \frac{σ}{\sqrt{n}} = \frac{3}{\sqrt{15}} = 0,7746$ .

Jeg bruker sannsynlighetsvinduet i GeoGebra til å bestemme sannsynligheten $P (\overline{X} < 84) = 0,90165 \approx 0,902$ .

Sannsynlighet til oppgave 2-3c

Sannsynligheten for at gjennomsnittet av 15 målinger er under 84 meter er 0,902.

Gjennomsnittet av observasjonene i tabellen i oppgaven er 84,18.

Jeg setter opp en hypotesetest hvor:
$H_{0} : μ = 83$ $H_{A} : μ > 83$

Gitt at nullhypotesen er sann så har vi normalfordeling med $E (\overline{X}) = 83$ og $S D (\overline{X}) = \frac{3}{\sqrt{15}}$ .

Sannsynlighet til oppgave 2-3d

Som vi ser fra GeoGebra-utklippet er sannsynligheten så er sannsynligheten 0,064 for at vi får et utvalg med gjennomsnitt større eller lik 84,18. Vi kan dermed ikke forkaste nullhypotesen med signifikansnivået 0,05.

Vi kan ikke fastslå om bremselengden egentlig er lengre enn 83 meter med signifikansnivå 0,05.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 8 poeng

Dersom kandidaten har en riktig strategi, men gjør en regnefeil eller avlesningsfeil, kan det gis 1 poeng.

Det gis 1 poeng for dersom kandidaten finner riktig forventningsverdi og standardavvik for gjennomsnittet av 15 tilfeldige målinger.

Det gis 1 poeng for å sette opp hypotesetesten riktig med nullhypotese og alternativ hypotese. Det gis i tillegg 1 poeng for riktig utregning, konklusjon og kommunikasjon av løsningen.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 8
Temaer: Normalfordeling, Hypotesetest, Sentralgrenseteoremet, Sannsynlighet
Kompetansemål: Argumentere for sentralgrensesetningen og utforske og tolke praktiske situasjoner ved hjelp av normalfordelingen
Gjennomføre hypotesetesting i reelle datasett og tolke resultatet
Egen side: Åpne oppgave 2-3 for seg selv

Oppgave 2-4Rekursiv sammenheng mellom pentagontall

Hver figur nedenfor består av kuler plassert på pentagoner. Antall kuler på hver av ytterkantene øker med én sammenlignet med antall kuler på ytterkanten i figuren før. La $P_{n}$ være antall kuler i figur $n$ .

De fem første figurtallene er 1, 6, 16, 31 og 51

Pentagontallene. — Figurkilde: By HB - Own work, CC BY-SA 3.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=872244

For hånd

Beskriv en rekursiv sammenheng mellom $P_{n}$ og $P_{n - 1}$ .

Oppsett for hånd

Lag et program som regner ut $P_{1000}$ ved å bruke den rekursive sammenhengen du fant i oppgave a)

Fasit

$P_{n} = P_{n - 1} + (n - 1) \cdot d$ , der $d = 5$ .

Se løsningsforslag for programkode.

Løsningsforslag

Jeg ser at differansen mellom antall kuler i figurene øker med 5, 10, 15, 20. La oss kalle denne differansen for $d$ . Vi kan si at $P_{2} = P_{1} + 5 = P_{1} + d$ og $P_{3} = P_{2} + 2 d$ . Vi ser dermed et mønster og kan sette opp følgende sammenheng for $n \geq 2$ :

P_{n} = P_{n - 1} + (n - 1) \cdot d

a = 1
d = 5
n = 100

for i in range(2, n + 1):
    a = a + d * (i-1)

print(f"Det er {a} kuler i figur {n}.")

Programmet gir at $P_{100} = 24 751$ .

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 4 poeng

Det gis 1 poeng for rett rekursiv sammenheng og 1 poeng for god begrunnelse.

Dersom kandidaten har en riktig strategi, men gjør tellefeil eller programmeringsfeil, kan det gis 1 poeng.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Rekursiv sammenheng, Programmering, Rekker, Figurtall
Kompetansemål: Utforske rekursive sammenhenger ved å bruke programmering og presentere egne framgangsmåter
Utforske egenskaper ved ulike rekker og gjøre rede for praktiske anvendelser av egenskaper ved rekker
Egen side: Åpne oppgave 2-4 for seg selv

Oppgave 2-5Simuler sannsynlighet for høyden til 24 måneder gammelt barn

Oppsett for hånd

Høyden $X$ til en tilfeldig valgt jente på 24 måneder er tilnærmet normalfordelt med forventningsverdi $E (X) = 87$ cm og standardavvik $SD (X) = 3,3$ cm.

Høyden $Y$ til en tilfeldig valgt gutt på 24 måneder er tilnærmet normalfordelt med forventningsverdi $E (Y) = 88$ cm og standardavvik $SD (Y) = 3,1$ cm.

Lag et program som du kan bruke til å anslå sannsynligheten for at høyden til et tilfeldig valgt barn på 24 måneder er mindre enn 84 cm. Gå ut ifra at det er like mange jenter som gutter i populasjonen.

Fasit

Omtrent 14 %.

Løsningsforslag

Jeg velger å gjøre oppgaven ved å simulere uttrekk i en populasjon på 10000.

import random

forventning_jente = 87
standardavvik_jente = 3.3
forventning_gutt = 88
standardavvik_gutt = 3.1

antall_gunstige = 0
N = 10000 # gjør 10000 trekk
grenseverdi = 84

for i in range(N):
    # gjør det tilfeldig om vi trekker en jente eller gutt
	tilfeldig_tall = random.randint(1,2)

    if tilfeldig_tall == 1:
		# trekker ei tilfeldig jente fra populasjonen
        hoyde = random.gauss(forventning_jente, standardavvik_jente)
    else:
		# trekker en tilfeldig gutt fra populasjonen
        hoyde = random.gauss(forventning_gutt, standardavvik_gutt)

    if hoyde < grenseverdi:
        antall_gunstige += 1

sannsynlighet = antall_gunstige / N

print(f"Sannsynligheten for at barnet er mindre enn {grenseverdi} cm ved 24 måneder er omtrent {sannsynlighet:.4f}.")

Sannsynligheten er omtrent 0,14 for at et tilfeldig valgt barn på 24 måneder er under 84 cm.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 4 poeng

For å få full uttelling må det lages et program som gir rett svar og dersom det anvendes simulering må antallet simuleringer kommenteres. Det kan gis inntil 3 poeng dersom det er et program som i grove trekk er riktig, men der det er små mangler eller feil.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Programmering, Simulering, Normalfordeling
Kompetansemål: Argumentere for sentralgrensesetningen og utforske og tolke praktiske situasjoner ved hjelp av normalfordelingen
Simulere utfall i, utforske og tolke ulike statistiske fordelinger, og gi eksempler på reelle anvendelser av disse fordelingene
Utforske rekursive sammenhenger ved å bruke programmering og presentere egne framgangsmåter
Egen side: Åpne oppgave 2-5 for seg selv

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Del 1uten hjelpemidler · 2 timer · 6 oppgaver · 22 poeng

Oppgave 1-1Bestemt integral 3

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-2aUendelig geometrisk rekke

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-2bAritmetisk rekke

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-3Grensekostnader og enhetskostnader fra graf

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-4Ukjent program h23

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-5Tunge kuler i kasse

Forstå oppgaven med en KI

Del 2alle hjelpemidler · 3 timer · 5 oppgaver · 30 poeng

Oppgave 2-1Modell for etterspørsel av vare

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-2Miriam og Hermods sparing

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-3Normalfordelte vinterdekk

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-4Rekursiv sammenheng mellom pentagontall

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-5Simuler sannsynlighet for høyden til 24 måneder gammelt barn

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Del 1uten hjelpemidler · 2 timer · 6 oppgaver · 22 poeng

Oppgave 1-1·Bestemt integral 3

Oppgave 1-2a·Uendelig geometrisk rekke

Oppgave 1-2b·Aritmetisk rekke

Oppgave 1-3·Grensekostnader og enhetskostnader fra graf

Oppgave 1-4·Ukjent program h23

Oppgave 1-5·Tunge kuler i kasse

Del 2alle hjelpemidler · 3 timer · 5 oppgaver · 30 poeng

Oppgave 2-1·Modell for etterspørsel av vare

Oppgave 2-2·Miriam og Hermods sparing

Oppgave 2-3·Normalfordelte vinterdekk

Oppgave 2-4·Rekursiv sammenheng mellom pentagontall

Oppgave 2-5·Simuler sannsynlighet for høyden til 24 måneder gammelt barn

Temaer

Oppgave 1-1Bestemt integral 3

Oppgave 1-2aUendelig geometrisk rekke

Oppgave 1-2bAritmetisk rekke

Oppgave 1-3Grensekostnader og enhetskostnader fra graf

Oppgave 1-4Ukjent program h23

Oppgave 1-5Tunge kuler i kasse

Oppgave 2-1Modell for etterspørsel av vare

Oppgave 2-2Miriam og Hermods sparing

Oppgave 2-3Normalfordelte vinterdekk

Oppgave 2-4Rekursiv sammenheng mellom pentagontall

Oppgave 2-5Simuler sannsynlighet for høyden til 24 måneder gammelt barn