S2 Vår 2022

S2 Vår 2022 – oversikt over oppgavene
№	Navn	LF
Del 1 3 timer uten hjelpemidler
1-1	Derivasjon av tre funksjoner	KI
1-2	Tredjegradsfunksjon med nullpunkter og vendetangent	KI
1-3	Aritmetisk og geometrisk rekke med betingelser	KI
1-4	Virkestoff i tablett	KI
1-5	Grensekostnad og enhetskostnad bedrift	KI
1-6	Laveste daglige inntekt	KI
1-7	Torskefileter i poser	KI
Del 2 2 timer med hjelpemidler
2-1	Immunitet og logistisk modell	KI
2-2	Kaffefabrikken og hypotesetest	KI
2-3	Sparing og annuitetslån Camilla	KI

Oppgave 1-1 : Derivasjon av tre funksjoner

Deriver funksjonene

$f(x) = 3x^3 + \ln x$

$g(x) = x \cdot e^{-2x^2}$

$h(x) = \dfrac{2x}{x^2 + 1}$

Fasit

$f'(x) = 9x^2 + \dfrac{1}{x}$

$g'(x) = (1 - 4x^2) \cdot e^{-2x^2}$

$h'(x) = \dfrac{2(1-x^2)}{(x^2+1)^2}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi deriverer ledd for ledd:

f'(x) = 3 \cdot 3x^2 + \frac{1}{x} = \underline{\underline{9x^2 + \frac{1}{x}}}

Vi bruker produktregelen med $u = x$ og $v = e^{-2x^2}$ :

g'(x) = 1 \cdot e^{-2x^2} + x \cdot (-4x) \cdot e^{-2x^2} = e^{-2x^2}(1 - 4x^2)

= \underline{\underline{(1 - 4x^2) \cdot e^{-2x^2}}}

Vi bruker brøkregelen med $u = 2x$ og $v = x^2 + 1$ :

h'(x) = \frac{2(x^2+1) - 2x \cdot 2x}{(x^2+1)^2} = \frac{2x^2 + 2 - 4x^2}{(x^2+1)^2} = \underline{\underline{\frac{2 - 2x^2}{(x^2+1)^2}}}

Oppgavedata

Poeng: 5
Temaer: derivasjon, logaritmer, eksponentialfunksjoner, rasjonale funksjoner
Kompetansemål: Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon og integrasjon

Oppgave 1-2 : Tredjegradsfunksjon med nullpunkter og vendetangent

Funksjonen $f$ er gitt ved

f(x) = x^3 + 6x^2 + 3x - 10

Vis at $x = 1$ er et nullpunkt til $f$ . Bestem de andre nullpunktene til $f$ .

Bestem eksakte verdier for $x$ -koordinatene til eventuelle toppunkter og til eventuelle bunnpunkter på grafen til $f$ .

Bestem likningen til vendetangenten til $f$ .

Lag en skisse av grafen til $f$ .

Fasit

$x = 1$ , $x = -2$ , $x = -5$

Topp: $x = -2 - \sqrt{3}$ , bunn: $x = -2 + \sqrt{3}$

$y = -9x - 18$

Skisse

LøsningsforslagKI-generert

Vi setter inn $x = 1$ :

f(1) = 1 + 6 + 3 - 10 = 0 \checkmark

Siden $x = 1$ er et nullpunkt, er $(x-1)$ en faktor. Vi utfører polynomdivisjon:

(x^3 + 6x^2 + 3x - 10) \div (x-1) = x^2 + 7x + 10

Vi faktoriserer: $x^2 + 7x + 10 = (x+2)(x+5)$ .

Nullpunktene er $\underline{\underline{x = 1, \; x = -2, \; x = -5}}$ .

Vi deriverer:

f'(x) = 3x^2 + 12x + 3

Vi setter $f'(x) = 0$ :

3x^2 + 12x + 3 = 0 \implies x^2 + 4x + 1 = 0

x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{12}}{2} = -2 \pm \sqrt{3}

Vi sjekker med $f''(x) = 6x + 12$ :

$f''(-2-\sqrt{3}) = 6(-2-\sqrt{3}) + 12 = -6\sqrt{3} < 0$ → toppunkt i $\underline{\underline{x = -2 - \sqrt{3}}}$
$f''(-2+\sqrt{3}) = 6(-2+\sqrt{3}) + 12 = 6\sqrt{3} > 0$ → bunnpunkt i $\underline{\underline{x = -2 + \sqrt{3}}}$

Vendepunktet ligger der $f''(x) = 0$ :

6x + 12 = 0 \implies x = -2

f(-2) = (-2)^3 + 6(-2)^2 + 3(-2) - 10 = -8 + 24 - 6 - 10 = 0

Stigningstallet til vendetangenten:

f'(-2) = 3 \cdot 4 + 12 \cdot (-2) + 3 = 12 - 24 + 3 = -9

Vendetangenten: $y - 0 = -9(x - (-2))$ , altså

\underline{\underline{y = -9x - 18}}

Grafen har nullpunkter i $x = -5$ , $x = -2$ og $x = 1$ . Toppunkt for $x = -2-\sqrt{3} \approx -3{,}7$ og bunnpunkt for $x = -2+\sqrt{3} \approx -0{,}3$ . Vendepunktet er $(-2, \, 0)$ , og vendetangenten $y = -9x - 18$ går gjennom dette punktet. For store $x$ går $f(x) \to +\infty$ og for $x \to -\infty$ går $f(x) \to -\infty$ .

Oppgavedata

Poeng: 8
Temaer: funksjonsdrøfting, polynomdivisjon, derivasjon
Kompetansemål: Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon og integrasjon

Oppgave 1-3 : Aritmetisk og geometrisk rekke med betingelser

I en rekke $a_1 + a_2 + \cdots + a_n$ er $a_2 = 8$ og $a_4 = 2$ .

Bestem summen av de seks første leddene i rekken, dersom den er aritmetisk.

Det fins to geometriske rekker som tilfredsstiller betingelsene ovenfor.

Bestem summen av de seks første leddene i hver av de to geometriske rekkene.

Fasit

$s_6 = 21$

$s_6 = \frac{63}{2}$ eller $s_6 = -\frac{21}{2}$

LøsningsforslagKI-generert

I en aritmetisk rekke er $a_n = a_1 + (n-1)d$ . Vi har:

a_2 = a_1 + d = 8 \quad \text{og} \quad a_4 = a_1 + 3d = 2

Vi trekker den første fra den andre:

2d = 2 - 8 = -6 \implies d = -3

a_1 = 8 - (-3) = 11

Summen av de seks første leddene:

s_6 = \frac{6}{2}(2 \cdot 11 + 5 \cdot (-3)) = 3(22 - 15) = \underline{\underline{21}}

I en geometrisk rekke er $a_n = a_1 \cdot k^{n-1}$ . Vi har:

a_2 = a_1 k = 8 \quad \text{og} \quad a_4 = a_1 k^3 = 2

Vi deler:

\frac{a_4}{a_2} = k^2 = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} \implies k = \pm \frac{1}{2}

Tilfelle 1: $k = \frac{1}{2}$ , da er $a_1 = \frac{8}{1/2} = 16$

s_6 = 16 \cdot \frac{1 - (1/2)^6}{1 - 1/2} = 16 \cdot \frac{1 - 1/64}{1/2} = 16 \cdot \frac{63/64}{1/2} = 16 \cdot \frac{63}{32} = \underline{\underline{\frac{63}{2}}}

Tilfelle 2: $k = -\frac{1}{2}$ , da er $a_1 = \frac{8}{-1/2} = -16$

s_6 = -16 \cdot \frac{1 - (-1/2)^6}{1 - (-1/2)} = -16 \cdot \frac{1 - 1/64}{3/2} = -16 \cdot \frac{63/64}{3/2} = -16 \cdot \frac{63}{96} = \underline{\underline{-\frac{21}{2}}}

Oppgavedata

Poeng: 4
Temaer: rekker
Kompetansemål: Utforske egenskaper ved ulike rekker og gjøre rede for praktiske anvendelser av egenskaper ved rekker

Oppgave 1-4 : Virkestoff i tablett

En tablett inneholder 125 mg av et virkestoff. Elise tar én tablett hver dag i en periode. Kroppen til Elise bryter ned 20 prosent av virkestoffet hvert døgn.

Hvor mye virkestoff har Elise i kroppen like etter at hun har tatt den fjerde tabletten?

Hvor mye virkestoff vil det være i kroppen til Elise dersom hun fortsetter å ta en tablett hver dag over en lang tidsperiode?

Fasit

$369 \, \mathrm{mg}$

$625 \, \mathrm{mg}$

LøsningsforslagKI-generert

Kroppen beholder 80 % av virkestoffet hvert døgn ( $k = 0{,}8$ ). Like etter den $n$ -te tabletten har Elise

V_n = 125 + 125 \cdot 0{,}8 + 125 \cdot 0{,}8^2 + \cdots + 125 \cdot 0{,}8^{n-1}

Etter den fjerde tabletten:

V_4 = 125(1 + 0{,}8 + 0{,}64 + 0{,}512) = 125 \cdot 2{,}952 = \underline{\underline{369 \, \mathrm{mg}}}

Over en lang tidsperiode nærmer vi oss en uendelig geometrisk rekke med $a_1 = 125$ og $k = 0{,}8$ :

V = \frac{125}{1 - 0{,}8} = \frac{125}{0{,}2} = \underline{\underline{625 \, \mathrm{mg}}}

Oppgavedata

Poeng: 4
Temaer: uendelig rekke, rekker
Kompetansemål: Utforske egenskaper ved ulike rekker og gjøre rede for praktiske anvendelser av egenskaper ved rekker

Oppgave 1-5 : Grensekostnad og enhetskostnad bedrift

En bedrift produserer og selger en vare. De daglige kostnadene $K$ ved produksjon og salg av $x$ enheter av denne varen er gitt ved

K(x) = 0{,}2x^2 + 80x + 720, \quad 0 < x < 400

Ledelsen i bedriften har funnet ut at med dagens produksjonsmengde vil det koste 160 kroner å øke den daglige produksjonsmengden med 1 enhet.

Hvor mange enheter produserer bedriften daglig?

Bedriften får solgt varen for 180 kroner per enhet.

Vil det lønne seg å øke produksjonen til mer enn 300 enheter per dag?

Bestem den daglige produksjonsmengden som gir lavest kostnad per enhet.

Fasit

200 enheter

Nei

60 enheter

LøsningsforslagKI-generert

Grensekostnaden er $K'(x) = 0{,}4x + 80$ .

Dagens grensekostnad er 160 kr:

0{,}4x + 80 = 160 \implies 0{,}4x = 80 \implies \underline{\underline{x = 200}}

Grensekostnaden ved $x = 300$ :

K'(300) = 0{,}4 \cdot 300 + 80 = 200 \, \mathrm{kr}

Siden grensekostnaden ( $200 \, \mathrm{kr}$ ) er høyere enn salgsprisen ( $180 \, \mathrm{kr}$ ), vil det ikke lønne seg å øke produksjonen til mer enn 300 enheter. Hvert ekstra produkt koster mer å produsere enn det selges for.

Enhetskostnaden er

E(x) = \frac{K(x)}{x} = 0{,}2x + 80 + \frac{720}{x}

Vi deriverer og setter lik null:

E'(x) = 0{,}2 - \frac{720}{x^2} = 0 \implies x^2 = \frac{720}{0{,}2} = 3600 \implies \underline{\underline{x = 60}}

Oppgavedata

Poeng: 5
Temaer: grenseinntekt og grensekostnad, enhetskostnad, økonomi
Kompetansemål: Finne grensekostnader og grenseinntekter i økonomiske modeller, og gjøre rede for betydningen av disse størrelsene

Oppgave 1-6 : Laveste daglige inntekt

Dersom en bedrift selger en vare for $p$ kroner per enhet, vil den daglige etterspørselen $q$ være gitt ved

q(p) = \frac{10\,000}{\ln p}, \quad p \in [2, 10]

Bestem den laveste daglige inntekten bedriften kan få ved salg av denne varen.

Fasit

$10\,000e \approx 27\,183 \, \mathrm{kr}$

LøsningsforslagKI-generert

Daglig inntekt er $I(p) = p \cdot q(p) = \dfrac{10\,000p}{\ln p}$ .

Vi deriverer med brøkregelen:

I'(p) = 10\,000 \cdot \frac{\ln p - p \cdot \frac{1}{p}}{(\ln p)^2} = 10\,000 \cdot \frac{\ln p - 1}{(\ln p)^2}

Vi setter $I'(p) = 0$ : $\ln p - 1 = 0 \implies p = e$ .

Vi sjekker endepunktene og det stasjonære punktet:

I(2) = \frac{10\,000 \cdot 2}{\ln 2} \approx 28\,854 \, \mathrm{kr}

I(e) = \frac{10\,000 \cdot e}{\ln e} = 10\,000e \approx 27\,183 \, \mathrm{kr}

I(10) = \frac{10\,000 \cdot 10}{\ln 10} \approx 43\,429 \, \mathrm{kr}

Den laveste daglige inntekten er $\underline{\underline{10\,000e \approx 27\,183 \, \mathrm{kr}}}$ , når prisen er $p = e \approx 2{,}72 \, \mathrm{kr}$ .

Oppgavedata

Poeng: 2
Temaer: etterspørsel, optimering, økonomi
Kompetansemål: Finne grensekostnader og grenseinntekter i økonomiske modeller, og gjøre rede for betydningen av disse størrelsene

Oppgave 1-7 : Torskefileter i poser

Caroline driver et cateringfirma og kjøper ofte poser med frosne torskefileter. La $X$ være antall torskefileter i en tilfeldig valgt pose. Sannsynlighetsfordelingen til $X$ er gitt i tabellen nedenfor.

$k$	5	6	7	8	9
$P(X = k)$	0,1	0,2	0,4	0,2	0,1

Regn ut forventningsverdien til $X$ . Hva forteller dette svaret?

Vis at variansen til $X$ er 1,2.

La $S$ være det totale antallet torskefileter i 120 tilfeldig valgte poser. Vi antar at antall torskefileter i de ulike posene er uavhengig av hverandre.

Begrunn at $\text{E}(S) = 840$ , og at $\text{Var}(S) = 144$ .

En uke trenger Caroline 822 torskefileter. Hun bestiller derfor 120 poser.

Begrunn at $S$ er tilnærmet normalfordelt, og bruk dette til å bestemme sannsynligheten for at Caroline får nok torskefileter denne uken.

Fasit

$\text{E}(X) = 7$

$\text{Var}(X) = 1{,}2$

$\text{E}(S) = 840$ , $\text{Var}(S) = 144$

$P(S \geq 822) \approx 0{,}933$

LøsningsforslagKI-generert

\text{E}(X) = 5 \cdot 0{,}1 + 6 \cdot 0{,}2 + 7 \cdot 0{,}4 + 8 \cdot 0{,}2 + 9 \cdot 0{,}1

= 0{,}5 + 1{,}2 + 2{,}8 + 1{,}6 + 0{,}9 = \underline{\underline{7}}

Forventningsverdien forteller at man i gjennomsnitt får 7 torskefileter per pose.

\text{E}(X^2) = 25 \cdot 0{,}1 + 36 \cdot 0{,}2 + 49 \cdot 0{,}4 + 64 \cdot 0{,}2 + 81 \cdot 0{,}1

= 2{,}5 + 7{,}2 + 19{,}6 + 12{,}8 + 8{,}1 = 50{,}2

\text{Var}(X) = \text{E}(X^2) - [\text{E}(X)]^2 = 50{,}2 - 49 = 1{,}2

$S = X_1 + X_2 + \cdots + X_{120}$ , der $X_i$ er uavhengige med samme fordeling som $X$ .

\text{E}(S) = 120 \cdot \text{E}(X) = 120 \cdot 7 = 840

\text{Var}(S) = 120 \cdot \text{Var}(X) = 120 \cdot 1{,}2 = 144

Siden $S$ er summen av 120 uavhengige, identisk fordelte stokastiske variabler og $n = 120 \geq 30$ , følger det av sentralgrensesetningen at $S$ er tilnærmet normalfordelt med $\text{E}(S) = 840$ og $\text{SD}(S) = \sqrt{144} = 12$ .

P(S \geq 822) = P\left(Z \geq \frac{822 - 840}{12}\right) = P(Z \geq -1{,}5) = P(Z \leq 1{,}5) \approx \underline{\underline{0{,}933}}

Det er ca. 93 % sannsynlighet for at Caroline får nok torskefileter.

Oppgavedata

Poeng: 8
Temaer: forventningsverdi, varians, normalfordeling, sannsynlighet
Kompetansemål: Argumentere for sentralgrensesetningen og utforske og tolke praktiske situasjoner ved hjelp av normalfordelingen
Forstå begrepene forventningsverdi, varians og standardavvik, og bruke disse størrelsene til å tolke stokastiske variabler

Oppgave 2-1 : Immunitet og logistisk modell

I en by i Norge ble det i 2021 kartlagt hvor mange som ble immune mot en sykdom.

Tabellen viser hvor stor prosentandel av befolkningen som var immune ved slutten av noen utvalgte måneder i 2021.

$t$	2	4	6	8	10
Prosentandel immune	6	21	41	68	81

Her er $t = 1$ slutten av januar 2021, $t = 2$ slutten av februar 2021 og så videre.

Bruk regresjon til å bestemme en logistisk modell $g$ for situasjonen.

Ved hvilket tidspunkt vil andelen immune passere 85 prosent ifølge modellen?

Vil hele befolkningen noen gang bli immune ifølge modellen? Begrunn svaret.

I en annen by er $N$ gitt ved

N(t) = \frac{2300e^{-0{,}61t}}{(1 + 40e^{-0{,}61t})^2}

en god modell for hvor mye prosentandelen som er immune, økte med per måned, $t$ måneder etter 1. januar 2021. Det vil si at $N(1)$ er prosentandelen nye immune i januar 2021, $N(2)$ er prosentandelen nye immune i februar 2021, og så videre.

Bruk graftegner til å tegne grafen til $N$ .

Bestem $\displaystyle\int_{0{,}5}^{12{,}5} N(t) \, \mathrm{d}t$ . Hva forteller svaret i denne situasjonen?

Fasit

$g(t) \approx \dfrac{90}{1 + 38{,}6 \cdot e^{-0{,}59t}}$

$t \approx 11$ , dvs. slutten av november 2021

Nei, grenseverdien er ca. 90 %

Se graf

$\approx 89{,}4$ prosentpoeng

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker logistisk regresjon på datapunktene $(2, 6)$ , $(4, 21)$ , $(6, 41)$ , $(8, 68)$ , $(10, 81)$ .

Regresjonen gir en logistisk modell:

\underline{\underline{g(t) \approx \frac{90}{1 + 38{,}6 \cdot e^{-0{,}59t}}}}

Vi skal løse $g(t) = 85$ :

\frac{90}{1 + 38{,}6 \cdot e^{-0{,}59t}} = 85

1 + 38{,}6 \cdot e^{-0{,}59t} = \frac{90}{85} \approx 1{,}059

e^{-0{,}59t} = \frac{0{,}059}{38{,}6} \approx 0{,}00153

t = \frac{-\ln(0{,}00153)}{0{,}59} \approx \underline{\underline{11}}

Andelen immune passerer 85 % ved slutten av november 2021.

Grenseverdien til den logistiske modellen er $L \approx 90$ :

\lim_{t \to \infty} g(t) = \frac{90}{1 + 0} = 90

Nei, hele befolkningen vil aldri bli immune ifølge modellen. Andelen nærmer seg 90 %, men når aldri 100 %.

Graf av N(t)

Grafen viser at $N(t)$ starter lavt, stiger til et maksimum rundt $t \approx 6$ (juni), og avtar deretter mot null.

Vi beregner integralet i CAS, se utklipp under.

GeoGebra CAS

\int_{0{,}5}^{12{,}5} N(t) \, \mathrm{d}t \approx \underline{\underline{89{,}4}}

Svaret forteller at den totale prosentandelen av befolkningen som ble immune i løpet av de 12 månedene fra midten av januar til midten av januar (altså hele 2021), var ca. 89,4 prosentpoeng.

Oppgavedata

Poeng: 9
Temaer: logistisk funksjon, regresjon, integral, modellering
Kompetansemål: Modellere og analysere eksponentiell og logistisk vekst i reelle datasett

Oppgave 2-2 : Kaffefabrikken og hypotesetest

Kaffefabrikken har en maskin som fyller kaffe i poser. La $X$ være mengden kaffe i en tilfeldig pose. Det viser seg at $X$ er normalfordelt med en forventningsverdi lik 250 gram og standardavvik lik 5 gram.

Bestem sannsynligheten for at en tilfeldig valgt pose inneholder mellom 245 gram og 255 gram kaffe.

Kaffefabrikken har den siste tiden fått klager på at det er for lite kaffe i posene. De bestemmer seg for å justere pakkemaskinen slik at det blir mer kaffe i posene. Forventningsverdien blir da større, men vi kan anta at standardavviket fortsatt er 5 gram.

Hva må forventningsverdien minst være dersom høyst 5 prosent av posene skal veie mindre enn 250 gram?

For å være på den sikre siden justerer Kaffefabrikken maskinen slik at den i gjennomsnitt fyller 260 gram i hver pose. De selger kaffe i esker med 10 poser i hver eske. Vi antar at mengden kaffe i hver pose er uavhengig av hverandre.

Hva er sannsynligheten for at ingen av posene i en tilfeldig valgt eske inneholder mindre enn 250 gram kaffe?

Ledelsen på Kaffefabrikken mistenker at det er noe galt med innstillingen til pakkemaskinen. De tror at forventningsverdien er mindre enn 260 gram.

Sett opp en nullhypotese og en alternativ hypotese som kan brukes for å teste ledelsens mistanke.

I en stikkprøve viste det seg at gjennomsnittsvekten til 50 tilfeldige poser var 258,4 gram.

Gjennomfør hypotesetesten. Bruk et signifikansnivå på 5 prosent til å avgjøre om det er grunnlag for ledelsens mistanke.

Fasit

$\approx 0{,}6827$

$\mu \geq 258{,}2 \, \mathrm{g}$

$\approx 0{,}7944$

$H_0\!: \mu = 260$ , $H_1\!: \mu < 260$

$p$ -verdi $\approx 0{,}012 < 0{,}05$ , forkaster $H_0$

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker GeoGebra til beregningene, se utklipp under.

GeoGebra CAS

$X$ er normalfordelt med $\mu = 250$ og $\sigma = 5$ .

Se PMellom i linje 1:

P(245 < X < 255) \approx \underline{\underline{0{,}6827}}

Vi skal finne $\mu$ slik at $P(X < 250) \leq 0{,}05$ .

P(X < 250) = P\left(Z < \frac{250 - \mu}{5}\right) = 0{,}05

\frac{250 - \mu}{5} = -1{,}645 \implies \mu = 250 + 5 \cdot 1{,}645

Se MuMin i linje 2: $\mu \geq \underline{\underline{258{,}2 \, \mathrm{g}}}$ .

Med $\mu = 260$ og $\sigma = 5$ : sannsynligheten for at én pose har mer enn 250 g:

Se POver250 i linje 3: $P(X > 250) \approx 0{,}9772$ .

For at alle 10 posene i en eske har mer enn 250 g:

Se PAlleOver i linje 4: $P = 0{,}9772^{10} \approx \underline{\underline{0{,}7944}}$ .

Ledelsen tror at $\mu < 260$ . Vi setter opp:

$H_0\!: \mu = 260$ (maskinen er korrekt innstilt)
$H_1\!: \mu < 260$ (forventningsverdien er lavere enn 260)

Vi bruker en venstresidig test med signifikansnivå $\alpha = 0{,}05$ .

Testobservatoren med $\bar{X} = 258{,}4$ , $\sigma = 5$ og $n = 50$ :

Se ZVerdi i linje 5:

Z = \frac{258{,}4 - 260}{5/\sqrt{50}} \approx -2{,}26

Se PVerdi i linje 6: $p$ -verdi $\approx 0{,}012$ .

Siden $p$ -verdien $0{,}012 < 0{,}05 = \alpha$ , forkaster vi $H_0$ .

Det er grunnlag for ledelsens mistanke — det er statistisk signifikant at forventningsverdien er lavere enn 260 gram.

Oppgavedata

Poeng: 9
Temaer: normalfordeling, hypotesetest
Kompetansemål: Argumentere for sentralgrensesetningen og utforske og tolke praktiske situasjoner ved hjelp av normalfordelingen
Gjennomføre hypotesetesting i reelle datasett og tolke resultatet

Oppgave 2-3 : Sparing og annuitetslån Camilla

Camilla ønsker å arbeide som frivillig nødhjelpsarbeider etter at hun er ferdig med videregående skole. Hun har planlagt dette i 2 år. I denne perioden har hun spart 5000 kroner i måneden på en fastrentekonto. Den månedlige rentefoten på denne kontoen er 0,2 prosent.

Hvor mye hadde Camilla på kontoen like etter at hun satte inn det 24. beløpet?

Etter at Camilla kommer hjem, ønsker hun å kjøpe seg en bruktbil. Hun vurderer å ta opp et forbrukslån på 100 000 kroner. En bank tilbyr henne et lån med en månedlig rentefot på 1,5 prosent. Lånet skal nedbetales som et annuitetslån med 36 månedlige terminer. Første innbetaling skal skje én måned etter låneopptaket.

Hvor stort terminbeløp må Camilla betale?

Dersom moren til Camilla stiller sikkerhet for lånet, kan banken tilby et lån med bedre betingelser. Dette lånet skal også nedbetales som et annuitetslån med 36 månedlige terminer, og første innbetaling skal skje én måned etter låneopptak. Terminbeløpet Camilla må betale på dette lånet, er 2926 kroner.

Hva er den månedlige rentefoten til dette lånet?

Fasit

Ca. $122\,801 \, \mathrm{kr}$

Ca. $3615 \, \mathrm{kr}$

Ca. $0{,}28 \, \%$ per måned

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker GeoGebra CAS til beregningene, se utklipp under.

GeoGebra CAS

Camilla setter inn 5000 kr per måned i 24 måneder med månedlig rentefot $r = 0{,}002$ . Innskuddene danner en geometrisk rekke.

Det første innskuddet vokser i 23 måneder, det andre i 22 måneder, …, og det siste vokser i 0 måneder:

S = 5000 \cdot \frac{1{,}002^{24} - 1}{0{,}002}

Se Sparekonto i linje 1: $S \approx \underline{\underline{122\,801 \, \mathrm{kr}}}$ .

Et annuitetslån på $100\,000 \, \mathrm{kr}$ med månedlig rentefot $r = 0{,}015$ og 36 terminer gir:

T \cdot \sum_{i=1}^{36} \frac{1}{1{,}015^i} = 100\,000

Se Terminbeløp i linje 2: $T \approx \underline{\underline{3615 \, \mathrm{kr}}}$ .

Vi skal finne $r$ slik at terminbeløpet er $2926 \, \mathrm{kr}$ :

\sum_{i=1}^{36} \frac{2926}{(1+r)^i} = 100\,000

Se linje 3 i CAS: $r \approx 0{,}00284$ .

Den månedlige rentefoten er ca. $\underline{\underline{0{,}28 \, \%}}$ .

Oppgavedata

Poeng: 6
Temaer: sparing, lån, rekker, økonomi
Kompetansemål: Utforske egenskaper ved ulike rekker og gjøre rede for praktiske anvendelser av egenskaper ved rekker

Sync på tvers av enheter

Del 1 — uten hjelpemidler · 3 timer

Oppgave 1-1 : Derivasjon av tre funksjoner

Oppgave 1-2 : Tredjegradsfunksjon med nullpunkter og vendetangent

Oppgave 1-3 : Aritmetisk og geometrisk rekke med betingelser

Oppgave 1-4 : Virkestoff i tablett

Oppgave 1-5 : Grensekostnad og enhetskostnad bedrift

Oppgave 1-6 : Laveste daglige inntekt

Oppgave 1-7 : Torskefileter i poser

Del 2 — med hjelpemidler · 2 timer

Oppgave 2-1 : Immunitet og logistisk modell

Oppgave 2-2 : Kaffefabrikken og hypotesetest

Oppgave 2-3 : Sparing og annuitetslån Camilla