Grensekostnader og enhetskostnader fra graf

I koordinatsystemet nedenfor ser du grafen til en kostnadsfunksjon $K$ sammen med tre rette linjer.

De tre rette linjene er grafene til funksjonene $f$ , $g$ , $h$ der

\begin{aligned} f(x)&=31x+2030\\ g(x)&=60x\\ h(x)&=81{,}75x \end{aligned}

To av linjene tangerer grafen til $K$ . Vi kaller tangeringspunktene $A$ og $B$ .

Kostnadsfunksjonen K(x)

Bestem enhetskostnaden ved produksjon av 40 enheter.

Forklar at grensekostnaden ved produksjon av 40 enheter er 31 kroner.

Bestem den minste enhetskostnaden.

Fasit

81,75 kr

Se løsningsforslag. Hint: den deriverte til en funksjon i et punkt er lik stigningstallet til tangenten i punktet.

60 kr

Løsningsforslag

Enhetskostnadene er gitt ved

E(x)=\frac{K(x)}{x}

Jeg ser at punktet linja $f(x)=31x+2030$ tangerer $K$ ved $x=40$ . Dermed har vi

K(40)=f(40)=31\cdot 40 + 2030=1240+2030=3270

Ved å sette inn i uttrykket for enhetskostnadene får vi

E(40)=\frac{K(40)}{40}=\frac{3270}{40}=81{,}75

Enhetskostnadene ved produksjon av 40 enheter er 81,75 kr.

Dette stemmer perfekt med uttrykket for $h(x)$ , og da vet vi også at den grønne linja i figuren faktisk skjærer grafen nøyaktig i $x=40$ .

Siden $A$ er et tangeringspunkt på grafen til $K$ , og $A$ ligger på $x=40$ , så vil stigningstallet til tangenten i $A$ være det samme som den deriverte til $K$ i punktet $A$ . Grensekostnadene er definert som den deriverte av kostnadsfunksjonen.

Tangenten til $K$ ved $x=40$ har funksjonsuttrykk $f(x)=31x+2030$ , dermed er både stigningstallet, den deriverte og grensekostnadene lik 31 kroner.

Vi har lavest grensekostnader når $E'(x)=0$ , og dette betyr

\begin{aligned} E'(x)&=0 \\ \left( \frac{K(x)}{x} \right)'&=0 \\ \frac{K'(x)\cdot x-K(x)}{x^{2}}&=0 \\ K'(x) \cdot x &= K(x) \end{aligned}

Den nederste linja forteller oss at vi finner den laveste enhetskostnaden når den lineære funksjonen $y=K'(x)\cdot x$ skjærer $K(x)$ . Enklere sagt vil det si at vi har lavest enhetskostnad når tangenten til $K$ går gjennom origo. Jeg ser fra grafen at dette gjelder den blå linja og punktet $B$ .

Hvis vi fortsetter likningsløsningen litt til får vi:

\begin{aligned} K'(x) \cdot x &= K(x)\\ K'(x) &= \frac{K(x)}{x}\\ K'(x) &= E(x) \end{aligned}

De laveste enhetskostnadene er altså $K'(x)$ , eller stigningstallet til tangenten i punktet $B$ . Tangenten i $B$ har funksjonsuttrykk $g(x)=60x$ .

De laveste enhetskostnadene er 60 kr per enhet.

Sensorveiledning

Kandidater som bruker formel for enhetskostnad og regner ut fra grafen og får et omtrentlig svar, kan få 1 poeng.

For å få full uttelling må kandidaten begrunne at grensekostnad er stigningstall til tangentlinjen og så begrunne hvilken av de tre funksjonene som gir denne tangentlinjen. Dersom det er noe riktig i argumentasjonen, kan det gis 1 poeng.

Kandidater som bruker stigningstallet til grafen til funksjonen $g$ uten forklaring får ingen uttelling. Rett strategi, men feil svar, kan gi 1 poeng.

Oppgavedata

Hentet fra: S2 H2023, del 1, oppgave 3
Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: grenseinntekt og grensekostnad, enhetskostnad, tolke grafer, derivasjon, argumentasjon
Kompetansemål: Finne grensekostnader og grenseinntekter i økonomiske modeller, og gjøre rede for betydningen av disse størrelsene