Ukjent program h23

En elev har skrevet koden nedenfor

N = 1000
start = -2
slutt = 2
dx = (slutt - start)/N

def f(x):
   return x**2-1

S = 0
for i in range(N):
    xi = start + i*dx
    S = S + abs(f(xi))*dx  # abs(f(x)) gir absoluttverdien til f(x)

print(S)

Forklar hva eleven ønsker å regne ut med denne koden.

Finn ved regning den verdien eleven ønsker å bestemme.

Fasit

Programmet regner ut en tilnærming til arealet mellom $x$ -aksen, grafen til $f(x)=x^{2}-1$ og linjene $x=-2$ og $x=2$ .

Verdien er 4.

Løsningsforslag

Programmet forsøker å regne ut en tilnærmingsverdi for arealene mellom $x$ -aksen, grafen til $f(x)=x^{2}-1$ , linja $x=-2$ og linja $x=2$ .

Ved å bruke absoluttverdifunksjonen så tar programmet hensyn til at $f<0$ i deler av intervallet.

Jeg ser at $f(x)$ har nullpunkter i $x=1$ og $x=-1$ . På grunn av symmetri vil

\int_{-2}^{1} f(x) \, dx = \int_{1}^{2} f(x) \, dx

For å regne ut det samlede arealet kan jeg derfor bruke uttrykket (minustegn foran integral nummer 2, siden grafen ligger under $x$ -aksen i dette intervallet)

2\int_{1}^{2} \left( x^{2}-1 \right) \, dx - \int_{-1}^{1} \left( x^{2}-1 \right) \, dx

Jeg finner først det ubestemte integralet

F(x)=\int (x^{2}-1) \, \mathrm{d}x =\frac{1}{3}x^{3}-x+C

Jeg finner så arealet ved

\begin{aligned} 2\cdot \left( F(2)-F(1) \right) - \left( F(1)-F(-1) \right) \\ 2\cdot F(2)- 3\cdot F(1)+F(-1) \\ 2\left(\frac{1}{3}2^{3}-2 \right)- 3\left( \frac{1}{3}1^{3}- 1 \right) +\left( \frac{1}{3}(-1)^{3}-(-1) \right) \\ \left( \frac{16}{3}-4 \right) -\left( \frac{3}{3}-3 \right) +\left( \frac{-1}{3}+1 \right)\\ -4+3+1+\frac{16}{3}-\frac{3}{3}-\frac{1}{3}=\frac{12}{3}=4 \end{aligned}

Verdien eleven forsøkte å bestemme er 4.

Sensorveiledning

For å få full uttelling må kandidaten kommentere at det er arealet mellom $x$ -aksen og grafen til $f$ mellom $x = -2$ og $x = 2$ som regnes ut. Kandidater som kun sier noe om at det er et integral som regnes ut, kan få 1 poeng.

Kandidater som bare regner ut $\int_{-2}^{2} f(x)\, dx$ kan få 1 poeng. Her kan det ikke gis full uttelling selv om det er følgefeil fra oppgave a).

Oppgavedata

Hentet fra: S2 H2023, del 1, oppgave 4
Delt med: S2, R2
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 4
Temaer: programmering, numerisk integrasjon, integral, areal under graf
Kompetansemål: Utforske rekursive sammenhenger ved å bruke programmering og presentere egne framgangsmåter
Forstå definisjonen av det bestemte integralet og anvende integralet til å analysere funksjoner