S1 Høst 2024

Antrekket skal bestå av fem deler: ett hodeplagg, én skjorte, én jakke, én bukse og ett skopar. For hvert valg er alternativene uavhengige av hverandre, så vi bruker multiplikasjonsprinsippet:

Det er 225 000 forskjellige antrekk mulig å lage.

Tore tar med seg 3 tilfeldige sko fra 5 skopar, altså totalt 10 enkeltsko. Vi teller antall måter å velge 3 sko av 10:

Vi finner antall måter Tore ikke får med seg noe komplett skopar (altså at alle tre skoene er fra forskjellige par):

• Velg 3 av de 5 parene: $\binom{5}{3} = 10$
• Fra hvert valgte par velges én av to sko: $2^3 = 8$
• Antall utfall uten noe par: $10 \cdot 8 = 80$

Antall gunstige utfall (minst ett skopar):

Sannsynligheten for at Tore får med seg et skopar:

Drakt & Søm trenger å ha flere mulige antrekk enn 542 000. Nåværende antall er $10 \cdot 20 \cdot 15 \cdot 15 \cdot 5 = 225\,000$.

Vi vil legge til færrest mulig nye plagg/skopar slik at produktet overstiger 542 000. For å minimere antall nye enheter lønner det seg å øke det faktoren som gir størst relativ økning per ny enhet.

Relativ økning per ny enhet for hvert element:

Hvert nye skopar gir størst relativ effekt, så vi starter der. Vi sjekker systematisk:

Med 7 ekstra skopar alene (5 + 7 = 12 skopar):

Med 7 ekstra totalt — 6 skopar + 1 hodeplagg (11 hodeplagg, 11 skopar):

Vi sjekker at 6 ekstra ikke er nok. Best mulig fordeling med 6 ekstra er f.eks. 6 skopar (5 + 6 = 11):

Eller 5 skopar + 1 hodeplagg:

Ingen fordeling av 6 ekstra plagg gir over 542 000.

Drakt & Søm må anskaffe minst 7 nye plagg/skopar, for eksempel 1 hodeplagg og 6 skopar, slik at antallet mulige antrekk blir $544\,500 > 542\,000$.

Vi lar $X$ være antall gavekort Hassan finner på $n$ dager. Siden hver pakke er et uavhengig forsøk med to utfall (gavekort eller ikke), samme sannsynlighet $p = \frac{1}{1000}$ for gevinst i hver pakke, og Hassan kjøper én pakke per dag, er $X$ binomisk fordelt med $n$ forsøk og $p = \frac{1}{1000}$.

Vi vil finne minste $n$ slik at

Vi bruker komplementregelen:

Vi setter opp ulikheten:

Vi løser dette i GeoGebra CAS:

CAS gir $n \approx 223{,}03$, altså er minste hele antall $n = 224$.

Hassan må kjøpe knekkebrød i minst $\underline{\underline{224 \text{ dager}}}$ før sannsynligheten for å ha vunnet minst én reise er 20 %.

Overskudd per vanlige pakke:

For Gullknekk med ukjent pris $p$:

Vi setter overskuddet lik 25 kr og løser i GeoGebra CAS (se bilde over):

Trollmat AS må ta $\underline{\underline{85 \, \mathrm{kr}}}$ per pakke Gullknekk.

Hassan kjøper 5 vanlige pakker per uke og 2 Gullknekk-pakker per uke i 52 uker:

• Vanlige pakker: $5 \cdot 52 = 260$ pakker, $p_v = \frac{1}{1000}$
• Gullknekk-pakker: $2 \cdot 52 = 104$ pakker, $p_g = \frac{1}{100}$

Vi simulerer 100 000 år og teller hvor mange ganger Hassan vinner minst én reise:

import random
random.seed(42)
N = 100000
vunnet = 0
for _ in range(N):
    vinst = 0
    for _ in range(260):  # vanlige pakker
        if random.random() < 1/1000:
            vinst += 1
    for _ in range(104):  # Gullknekk
        if random.random() < 1/100:
            vinst += 1
    if vinst >= 1:
        vunnet += 1
print(vunnet/N)  # ≈ 0,729

Simuleringen gir $\approx 0{,}729$, som stemmer godt med den eksakte verdien:

Sannsynligheten for at Hassan vinner minst én reise i løpet av 52 uker er $\underline{\underline{P \approx 0{,}729}}$.

La $n$ være totalt antall parkeringsplasser. Med pris $1\,000 \, \mathrm{kr}$ per plass er samtlige $n$ plasser utleid, og inntekten er $1\,000 \cdot n$.

Dersom prisen økes til $1\,500 \, \mathrm{kr}$ (en økning på $500 \, \mathrm{kr}$), minker antall utleide plasser med $500/50 = 10$. Antall utleide plasser blir da $n - 10$.

Vi setter opp likningen for at inntekten skal være lik:

CAS (linje 1) gir $n = 30$.

Stephanie har $\underline{\underline{30}}$ parkeringsplasser. $\square$

La $p$ være prisen per plass i kroner. Antall plasser som er utleid ved en gitt pris $p$:

• Ved pris $1\,000 \, \mathrm{kr}$: alle 30 plasser utleid.
• For hver $50 \, \mathrm{kr}$ prisøkning over $1\,000 \, \mathrm{kr}$ minker antall utleide plasser med 1.
• Antall utleide plasser: $30 - \dfrac{p - 1\,000}{50} = 50 - \dfrac{p}{50}$

Inntektsfunksjonen blir:

Vi definerer $I(p)$ i CAS (linje 2) og løser $I'(p) = 0$ (linje 3):

CAS bekrefter $p = 1\,250$.

Siden $I''(p) = -\dfrac{1}{25} < 0$ er dette et maksimum.

Maksimal inntekt (linje 4):

Antall utleide plasser ved optimal pris: $50 - \dfrac{1\,250}{50} = 50 - 25 = 25$.

Den største mulige månedlige inntekten er $\underline{\underline{31\,250 \, \mathrm{kr}}}$, med pris $1\,250 \, \mathrm{kr}$ per plass og 25 utleide plasser.

Vi skal finne $I'(15)$ og tolke svaret.

GeoGebra CAS (linje 3–4) gir

$\underline{\underline{I'(15) = 235}}$ (i 1000 kr)

Praktisk tolkning: Grenseinntekten ved $x = 15$ er 235 (i 1000 kr). Det betyr at når Skipsmotor AS allerede har solgt 15 båtmotorer, vil salg av én motor til gi en ekstra inntekt på omtrent 235 000 kr.

Vi setter opp overskuddsfunksjonen og finner maksimum i GeoGebra CAS (linje 5–7):

CAS løser $O'(x) = 0$ og gir $x = 180$, og $O(180) = 15{\ }600$.

Siden ledende koeffisient er negativ ($-\tfrac{1}{2}$) er $x = 180$ et maksimum.

Skipsmotor AS bør selge $\underline{\underline{180 \text{ motorer}}}$ for størst mulig overskudd. Det maksimale overskuddet er $\underline{\underline{15{\ }600 \text{ (i 1000 kr)}}}$, altså 15,6 mill. kr.

Vi antar at de 50 første motorene produseres uten feil, mens 10 % av motorene etter dette ikke kan selges. Av de motorene som produseres etter de første 50, kan altså 90 % selges.

Antall solgte motorer som funksjon av antall produserte ($x \geq 50$):

Det nye overskuddet er inntekt fra solgte motorer minus produksjonskostnad for alle $x$ produserte:

GeoGebra CAS (linje 8–11) gir

CAS løser $O_2'(x) = 0$ og gir $x = \dfrac{15050}{81} \approx 185{,}80$.

Vi runder til $x = 186$ (hele motorer) og beregner

Det største overskuddet Skipsmotor AS kan oppnå under den nye antakelsen er $\underline{\underline{\approx 14{\ }619 \text{ (i 1000 kr)}}}$, altså omtrent 14,6 mill. kr, ved produksjon av $\underline{\underline{186 \text{ motorer}}}$.