Vurder påstander om funksjoner

Avgjør om hver enkelt påstand nedenfor er sann eller usann. Forklar tydelig hvordan du har resonnert.

Påstand: Den gjennomsnittlige vekstfarten til funksjonen $f(x) = x^2 + 2$ i intervallet $[1, 4]$ er 5.

Påstand: Hvis $\lim_{x\to\infty} f(x) = \lim_{x\to\infty} g(x)$ og $\lim_{x\to-\infty} f(x) = \lim_{x\to-\infty} g(x)$ , så er $f(x) = g(x)$ .

Påstand: For likningen $a^x = a^y$ , der $a \in \mathbb{R}$ , er løsningen alltid $x = y$ .

Fasit

Sann. Den gjennomsnittlige vekstfarten er 5.

Usann. Flere funksjoner kan ha samme grenseverdier, for eksempel $f(x)=\frac{1}{x}$ og $g(x)=\frac{2}{x}$ .

Usann. For $a \in \{ -1,0,1 \}$ finnes det flere løsninger.

Løsningsforslag

Vi kan finne gjennomsnittlig vekstfart i intervallet ved å beregne

\frac{f(4)-f(1)}{3}=\frac{4^{2}+2-\left( 1^{2}+2 \right) }{3}=\frac{16+2-1-2}{3}=\frac{15}{3}=\underline{\underline{5}}

Påstanden stemmer. Den gjennomsnittlige vekstfarten i intervallet er 5.

Påstanden sier at dersom to funksjoner har samme grenseverdier når $x \to \pm \infty$ , så er de like.

Det er enkelt å finne eksempler som motbeviser dette, for eksempel vil $f(x)=\frac{1}{x}$ og $g(x)=\frac{2}{x}$ begge gå mot null når $x \to \pm\infty$ .

Påstanden er usann. Det finnes eksempler hvor $f(x)\neq g(x)$ .

Alternativ 1: x = y er eneste løsning

Det finnes flere eksempler som motbeviser påstanden, for eksempel vil $a=1$ gjøre at $a^{x}=a^{y}$ for alle $x,y \in \mathbb{R}$ . $a=-1$ og $a=0$ vil også gi mange løsninger.

Påstanden er feil. For $a \in \{ -1,0,1 \}$ finnes det flere løsninger.

Alternativ 2: x = y kan være en av flere løsninger

Avhengig av kontekst kan $0^{0}$ være definert på ulike måter

I kombinatorikk vil ofte $0^{0} \overset{\text{def}}{=} 1$
$0^{0}$ er en ubestemt form i de fleste andre deler av matematikken.

Hvis vi tolker at $0^{0}$ er en ubestemt form så vil likningen ha ingen løsninger for $a=0$ .

Påstanden er usann. For $a=0$ så er $x=y$ bare hvis $x,y\neq 0$ .

Sensorveiledning

Kandidaten må argumentere dersom det skal gis full uttelling. Det kan gis 1 poeng dersom kandidaten viser relevant argumentasjon, men ikke kommer frem til riktig svar. Kun rett svar uten begrunnelse gir ingen uttelling.

Oppgavedata

Hentet fra: S1 H2024, del 2, oppgave 2
Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: gjennomsnittlig vekstfart, grenseverdi, argumentasjon
Kompetansemål: Forstå begrepene gjennomsnittlig og momentan vekstfart, grenseverdi og derivasjon, og bruke disse for å løse praktiske problemer
Uttrykke egne resonnementer ved hjelp av matematiske begreper og symbolspråk