S1 Vår 2024

Vi trekker $2$ sokker uten tilbakelegging. Vi vil finne sannsynligheten for at begge er gule.

Metode 1 — uten tilbakelegging i rekkefølge:

Metode 2 — kombinatorikk:

Antall måter å velge 2 av 6 gule sokker:

Antall måter å velge 2 av 15 sokker totalt:

$\underline{\underline{P(\text{begge gule}) = \dfrac{1}{7} \approx 14{,}3 \,\%}}$

Vi trekker $3$ sokker uten tilbakelegging. Vi bruker komplementmetoden:

For at alle tre skal ha ulik farge, må vi ha én gul, én svart og én hvit.

Antall måter å velge én av hver farge:

Antall måter å velge 3 av 15 sokker totalt:

$\underline{\underline{P(\text{minst 2 av samme farge}) = \dfrac{67}{91} \approx 73{,}6 \,\%}}$

Vi finner maksimalt overskudd ved å løse $O'(x) = 0$.

Fra CAS (linje 4): $x \approx 41{,}48$.

Siden Edison produserer et heltall biler, sjekker vi $x = 41$ og $x = 42$:

• $O(41) \approx 9301{,}9$ tusen kr
• $O(42) \approx 9301{,}7$ tusen kr

$x = 41$ gir litt høyere overskudd.

$x = 41$ biler per måned gir størst overskudd, $O(41) \approx 9302$ tusen kr $\approx 9{,}3$ mill. kr.

Enhetskostnaden er kostnad per bil:

Vi finner minimumet ved å prøve heltallsverdier rundt det kontinuerlige minimumet ($x \approx 7{,}7$ fra CAS):

• $E(7) \approx 250{,}54$ tusen kr
• $E(8) \approx 250{,}30$ tusen kr
• $E(9) \approx 250{,}90$ tusen kr

$x = 8$ gir lavest enhetskostnad.

$x = 8$ biler per måned gir lavest enhetskostnad, $E(8) \approx 250{,}3$ tusen kr $\approx 250\,300$ kr per bil.

Overskuddet er inntekt minus kostnad. Vi setter opp ligningen

Fra CAS (linje 12): $K(70) \approx 39\,896{,}4$ tusen kr.

Vi løser for $p$:

Avtalt pris per bil er $\underline{\underline{p \approx 784\,234 \text{ kr}}}$.

Vi skal avgjøre om $e^{k \cdot \ln(x)} = x^k$ for $x > 0$.

Bevis med logaritmeregler:

Vi bruker logaritmeregelen $k \cdot \ln(x) = \ln(x^k)$:

Det siste steget bruker at $e^{\ln(u)} = u$ for $u > 0$.

Alternativt bevis med potensregler:

Her brukes potensregelen $(a^m)^n = a^{mn}$ og $e^{\ln(x)} = x$.

Påstanden er $\underline{\underline{\text{sann}}}$.

Vi skal avgjøre om $\binom{b}{a+1} > \binom{b}{a}$ når $1 < a < \dfrac{b}{2}$.

Analyse av forholdet:

Vi beregner forholdet mellom de to binomialkoeffisientene:

Påstanden sier at $\binom{b}{a+1} > \binom{b}{a}$, dvs. at forholdet er strengt større enn 1:

Så påstanden holder bare når $a < \dfrac{b-1}{2}$, men betingelsen i oppgaven er den svakere $a < \dfrac{b}{2}$.

Motbevis:

La $b = 5$ og $a = 2$. Da er $1 < 2 < \dfrac{5}{2} = 2{,}5$, så betingelsen er oppfylt.

Her er $\binom{5}{3} = \binom{5}{2}$, altså ikke strengt større. Påstanden er motbevist.

Påstanden er $\underline{\underline{\text{usann}}}$.

Vi kaster fem terninger og ønsker at alle viser forskjellige antall øyne.

Vi bruker multiplikasjonsprinsippet. Den første terningen kan vise et hvilket som helst tall — 6 muligheter. Den andre må vise noe annet enn den første — 5 muligheter. Slik fortsetter vi:

$\underline{\underline{P(\text{alle ulike}) = \dfrac{5}{54} \approx 9{,}26 \,\%}}$

La $X$ være antall seksere når vi kaster fem terninger. $X$ er binomisk fordelt med $n = 5$ og $p = \frac{1}{6}$.

Teoretisk sannsynlighet:

Simulering med Python:

# uv run --with numpy simulering-seksere.py
import numpy as np

rng = np.random.default_rng(42)
n = 100_000
dice = rng.integers(1, 7, size=(n, 5))
treffer = np.sum(dice == 6, axis=1)
p = np.mean(treffer == 3)
print(f"Estimat: {p:.4f}")  # → Estimat: 0.0316

Simuleringen med 100 000 forsøk ga $\hat{p} \approx 0{,}0316$, som stemmer godt overens med den teoretiske verdien $\frac{250}{7776} \approx 0{,}0322$.

$\underline{\underline{P(X = 3) = \dfrac{250}{7776} \approx 3{,}22 \,\%}}$

La $t$ være antall år etter 2010. Vi bruker GeoGebra til å kjøre regresjon på datapunktene fra tabellen.

Bensin — lineær modell:

Datapunktene for bensin viser en jevn nedgang år for år. Absolutt nedgang per år er omtrent 450 biler, noe som tyder på at en lineær modell passer godt. Regresjonen i GeoGebra gir

med korrelasjonskoeffisient $r \approx -0{,}996$, altså en svært god lineær tilpasning. Vi avrunder til

Elektrisk — eksponentiell modell:

Datapunktene for elbiler stiger kraftig og kurver oppover, noe en rett linje ikke fanger opp. Fordi veksten ser ut til å ha en tilnærmet konstant prosentvis økning per år, er en eksponentiell modell naturlig. Regresjonen i GeoGebra gir

Vekstfaktoren $1{,}395$ tilsvarer omtrent $39{,}5\,\%$ økning per år. Modellen passer godt til data i perioden 2010–2022.

Grafen under viser datapunktene (rødt: bensin, blått: elektrisk) og de to modellkurvene:

Bensin-modellen fremover:

Vi setter $t = 20$ (år 2030):

Modellen forutsier altså omtrent 5 200 bensinbiler i Moss i 2030, noe som virker rimelig på mellomlang sikt. Modellen har imidlertid en viktig begrensning: den gir negativt antall biler når $B(t) = 0$, det vil si ved

I virkeligheten kan ikke antall biler bli negativt. Nedgangen vil trolig avta og asymptotisk nærme seg null. Ekstrapolering til 2030 er rimelig, men modellen er ugyldig etter ca. 2041.

El.-modellen fremover:

Vi setter $t = 20$ (år 2030):

Dette er klart urealistisk — Moss har omtrent 35 000 husstander, og antall personbiler totalt er begrenset. Den eksponentielle veksten kan ikke fortsette i det uendelige. I praksis vil veksten flate ut etter hvert som markedet nærmer seg metning (logistisk vekst ville gitt en mer realistisk modell for lengre tidsperspektiv).

Konklusjon: Bensin-modellen er rimelig til omtrent 2030–2035. El.-modellen overestimerer kraftig på lengre sikt og er kun gyldig noen få år utover 2022.

Rektangelet $ABCD$ har ett hjørne på grafen til $f$. Hjørnet over $x$-aksen befinner seg i punktet $(x,\, f(x))$. Siden rektangelet er symmetrisk om $y$-aksen, har det bredde $2x$ og høyde $f(x)$.

Av figuren leser vi imidlertid at bare halvparten av rektangelet vises (fra $x = 0$ til $x$-verdien på grafen), altså bredde $x$ og høyde $f(x)$. Arealet er:

Hva programmet gjør:

• areal(x) beregner $A(x) = x \cdot f(x)$.
• der_areal(x) beregner den numeriske deriverte $A'(x) \approx \dfrac{A(x+h) - A(x)}{h}$ med $h = 0{,}0001$.
• Løkken starter på $x = 0$ og øker $x$ med $\mathtt{dx} = 0{,}01$ i hvert steg, så lenge den numeriske deriverte i neste steg er positiv (dvs. arealet fortsatt vokser).
• Løkken stopper når der_areal(x + dx) <= 0, altså når arealet er i ferd med å avta — ved et (lokalt) maksimum.

Programmet prøver å finne $x$-verdien som maksimerer arealet, og skriver deretter ut $A(x)$ i dette punktet.

Kjøring: $x$ øker fra $0$ i steg på $0{,}01$. Den eksakte maksimumsverdien er $x = \dfrac{2}{\sqrt{3}} \approx 1{,}1547$. Programmet stopper siste gang $\mathtt{der\_areal}(x + 0{,}01) > 0$, noe som gir $x = 1{,}15$ (siden $A'(1{,}16) < 0$).

Programmet skriver ut:

(Det eksakte maksimale arealet er $\dfrac{16\sqrt{3}}{9} \approx 3{,}0792$.)

Strategi: Lars antar at arealet begynner med å vokse fra $x = 0$, og leter trinnvis fremover til den numeriske deriverte skifter fra positiv til ikke-positiv. Han finner altså det første punktet der $A'(x)$ snur fra positiv til negativ — et lokalt toppunkt.

Strategien er ikke universell. Den kan feile i følgende situasjoner:

• Hvis $A'(x)$ allerede er negativ eller lik null for $x = 0$ (arealet avtar fra start), stopper løkken umiddelbart uten å finne noe maksimum.
• Hvis $A(x)$ har flere lokale maksimumspunkter, finner programmet bare det første og overser et eventuelt høyere globalt maksimum lenger ut.
• Steglengden $\mathtt{dx} = 0{,}01$ gir en numerisk tilnærming, ikke det eksakte maksimumet. Her gir programmet $x = 1{,}15$ istedenfor det eksakte $x = \dfrac{2\sqrt{3}}{3} \approx 1{,}1547$.

Strategien fungerer kun for funksjoner der arealet er positivt, starter med å vokse, og har nøyaktig ett lokalt maksimum.