S1 Vår 2024

Oppgave 1-1Derivasjon med produktregel og ln

Deriver funksjonen.

f (x) = 4 x^{2} \cdot \ln (3 x)

Fasit

$f^{'} (x) = 4 x (2 \ln (3 x) + 1)$

Løsningsforslag

Vi ønsker å bruke produktregelen, men da må vi kunne derivere begge faktorene. Jeg må derivere $\ln (3 x)$ ved å bruke kjerneregelen først ved å sette $u = 3 x$

{(\ln (3 x))}^{'} = {(\ln u)}^{'} \cdot u^{'} = \frac{1}{u} \cdot 3 = \frac{3}{3 x} = \frac{1}{x}

Vi bruker produktregelen.

\begin{matrix} f^{'} (x) & = {(4 x^{2})}^{'} \cdot \ln (3 x) + 4 x^{2} \cdot {(\ln (3 x))}^{'} \\ = 8 x \cdot \ln (3 x) + 4 x^{2} \cdot \frac{1}{x} \\ = 8 x \cdot \ln (3 x) + 4 x \\ = 4 x (2 \ln (3 x) + 1) \end{matrix}

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 2 poeng

1 poeng for riktig derivasjon av faktorene og 1 poeng for riktig bruk av produktregelen.

Oppgavedata

Delt med: S1, R1
Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 2
Temaer: Derivasjon, Logaritmer
Kompetansemål: Forstå begrepene gjennomsnittlig og momentan vekstfart, grenseverdi og derivasjon, og bruke disse for å løse praktiske problemer
Utforske, analysere og derivere ulike funksjoner og deres omvendte funksjoner, og gjøre rede for egenskaper til og sammenhenger mellom slike funksjoner
Egen side: Åpne oppgave 1-1 for seg selv

Oppgave 1-2Logaritmeligningen med substitusjon

Løs likningen.

{(\ln x)}^{2} - \ln x = 6

Fasit

$x = e^{3}$ eller $x = e^{- 2}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi setter $u = \ln x$ og skriver om likningen:

u^{2} - u = 6

u^{2} - u - 6 = 0

Vi faktoriserer andregradsuttrykket:

(u - 3) (u + 2) = 0

u = 3 eller u = - 2

Tilbakesubstitusjon:

$\ln x = 3 \Rightarrow x = e^{3}$

$\ln x = - 2 \Rightarrow x = e^{- 2}$

Begge løsningene er gyldige siden $e^{3} > 0$ og $e^{- 2} > 0$ (logaritmen er definert for positive tall).

$x = e^{3}$ eller $x = e^{- 2}$

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 2 poeng

Én riktig løsning kan gi 1 poeng.

Oppgavedata

Delt med: S1, R1
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Logaritmer, Likninger
Kompetansemål: Utforske og forstå regneregler for potenser og logaritmer, og bruke ulike strategier for å løse eksponentialligninger og logaritmeligninger
Egen side: Åpne oppgave 1-2 for seg selv

Oppgave 1-3Grenseverdier av eksponentialfunksjon

Funksjonen $f$ er gitt ved

f (x) = e^{- x + 1}, D_{f} = ℝ .

Bestem grenseverdiene $\lim_{x \to \infty} f (x)$ og $\lim_{x \to - \infty} f (x)$ dersom de eksisterer.

Fasit

$\lim_{x \to \infty} f (x) = 𝟎$

$\lim_{x \to - \infty} f (x)$ eksisterer ikke (vokser ubegrenset)

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker at $e^{t} \to 0$ når $t \to - \infty$ , og at $e^{t} \to \infty$ når $t \to + \infty$ .

La $t = - x + 1$ . Da er $f (x) = e^{t}$ .

Når $x \to \infty$ : eksponenten $t = - x + 1 \to - \infty$ , og derfor

\lim_{x \to \infty} f (x) = \lim_{t \to - \infty} e^{t} = 𝟎

Når $x \to - \infty$ : eksponenten $t = - x + 1 \to + \infty$ , og derfor

\lim_{x \to - \infty} f (x) = \lim_{t \to + \infty} e^{t} = + \infty

Grenseverdien $\lim_{x \to - \infty} f (x)$ eksisterer ikke fordi $f (x)$ vokser ubegrenset.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 2 poeng

1 poeng for hver grenseverdi.

Oppgavedata

Delt med: S1, R1
Kategori: 2
Vanskegrad: 1
Poeng: 2
Temaer: Eksponentialfunksjon, Grenseverdi
Kompetansemål: Bruke ulike strategier for å utforske og bestemme grenseverdier til funksjoner, og utforske og argumentere for anvendelser av grenseverdier
Egen side: Åpne oppgave 1-3 for seg selv

Oppgave 1-4Sokker trukket fra skuff

I en skuff ligger det 6 gule, 5 svarte og 4 hvite sokker.

Tenk deg at du tar 2 sokker tilfeldig fra skuffen. Bestem sannsynligheten for at begge sokkene er gule.

Tenk deg at du tar 3 sokker tilfeldig fra skuffen. Bestem sannsynligheten for at minst 2 av sokkene har samme farge.

Fasit

$P (begge gule) = \frac{1}{7} \approx 14,3 %$

$P (minst 2 like) = \frac{67}{91} \approx 73,6 %$

LøsningsforslagKI-generert

Skuffen inneholder $6$ gule, $5$ svarte og $4$ hvite sokker — totalt $15$ sokker.

Vi trekker $2$ sokker uten tilbakelegging. Vi vil finne sannsynligheten for at begge er gule.

Metode 1 — uten tilbakelegging i rekkefølge:

P (begge gule) = \frac{6}{15} \cdot \frac{5}{14} = \frac{30}{210} = \frac{1}{7}

Metode 2 — kombinatorikk:

Antall måter å velge 2 av 6 gule sokker:

(\binom{6}{2}) = \frac{6 \cdot 5}{2} = 15

Antall måter å velge 2 av 15 sokker totalt:

(\binom{15}{2}) = \frac{15 \cdot 14}{2} = 105

P (begge gule) = \frac{15}{105} = \frac{1}{7}

$P (begge gule) = \frac{1}{7} \approx 14,3 %$

Vi trekker $3$ sokker uten tilbakelegging. Vi bruker komplementmetoden:

P (minst 2 av samme farge) = 1 - P (alle tre har ulik farge)

For at alle tre skal ha ulik farge, må vi ha én gul, én svart og én hvit.

Antall måter å velge én av hver farge:

(\binom{6}{1}) \cdot (\binom{5}{1}) \cdot (\binom{4}{1}) = 6 \cdot 5 \cdot 4 = 120

Antall måter å velge 3 av 15 sokker totalt:

(\binom{15}{3}) = \frac{15 \cdot 14 \cdot 13}{3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{2730}{6} = 455

P (alle ulike) = \frac{120}{455} = \frac{24}{91}

P (minst 2 av samme farge) = 1 - \frac{24}{91} = \frac{91 - 24}{91} = \frac{67}{91}

$P (minst 2 av samme farge) = \frac{67}{91} \approx 73,6 %$

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 4 poeng

Det gis 1 poeng for rett strategi og i tillegg 1 poeng for riktig svar.

Oppgavedata

Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Sannsynlighet, Kombinatorikk
Kompetansemål: Analysere et problem der sannsynlighet og kombinatorikk inngår, og bruke ulike strategier i problemløsingen
Utforske og forstå kombinatoriske forsøk med ordnede og uordnede utvalg
Egen side: Åpne oppgave 1-4 for seg selv

Oppgave 1-5Kontinuerlig funksjon med størst mulig definisjonsmengde

En funksjon $f$ er definert ved

f (x) = {\begin{matrix} x, & 0 \leq x \leq 2 \\ 5 - x, & 2 < x \leq 5 \end{matrix}

Gi funksjonen $f$ en ny definisjonsmengde slik at følgende er oppfylt samtidig:

$f$ skal være kontinuerlig.
Den nye definisjonsmengden skal være så stor som mulig.
Verdimengden til $f$ skal være uendret.

Fasit

$D_{f} = [0, 2 ⟩ \cup ⟨ 2, 5]$ . Da er $f$ kontinuerlig på hele $D_{f}$ , $V_{f} = [0, 3 ⟩$ er uendret, og vi har bare fjernet det enkelte punktet $x = 2$ .

LøsningsforslagKI-generert

Vi sjekker først om $f$ er kontinuerlig i $x = 2$ :

Fra venstre: $\lim_{x \to 2^{-}} f (x) = 2$
Fra høyre: $\lim_{x \to 2^{+}} f (x) = 5 - 2 = 3$

Grensene er ulike, så $f$ har et hopp i $x = 2$ og er ikke kontinuerlig der.

Verdimengden til den opprinnelige $f$ :

$f (x) = x$ på $[0, 2]$ gir $[0, 2]$
$f (x) = 5 - x$ på $⟨ 2, 5]$ gir $[0, 3 ⟩$ (verdien $3$ nås aldri fordi $x = 2$ ikke er med i andre stykke)

Til sammen: $V_{f} = [0, 3 ⟩$ .

For å gjøre $f$ kontinuerlig må vi unngå hoppet ved $x = 2$ . Den enkleste måten er å fjerne kun selve punktet $x = 2$ :

D_{f} = [0, 2 ⟩ \cup ⟨ 2, 5]

På denne mengden er $f$ kontinuerlig (polynomer er kontinuerlige på hver komponent, og $x = 2$ er ikke lenger i $D_{f}$ ).

Verdimengden blir:

$f ([0, 2 ⟩) = [0, 2 ⟩$
$f (⟨ 2, 5]) = [0, 3 ⟩$
Til sammen: $V_{f} = [0, 3 ⟩$ — uendret.

Definisjonsmengdens “lengde” er fortsatt $5$ (vi har bare fjernet ett enkeltpunkt). Dette er den største mulige definisjonsmengden som oppfyller begge krav: vi kan ikke ha med $x = 2$ uten å bryte kontinuiteten.

Svar: $D_{f} = [0, 2 ⟩ \cup ⟨ 2, 5]$ .

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 2 poeng

En løsning der funksjonen er kontinuerlig, kan gi 1 poeng.

Oppgavedata

Delt med: S1, R1
Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Kontinuitet, Funksjoner, Delt forskrift
Kompetansemål: Gjøre rede for og argumentere for om en funksjon er kontinuerlig eller diskontinuerlig i et punkt i et definisjonsområde, og gi eksempler på anvendelser av funksjoner som ikke er kontinuerlige
Gjøre rede for og argumentere for om en funksjon er kontinuerlig eller diskontinuerlig i et punkt i et definisjonsområde, og gi eksempler på anvendelser av diskontinuerlige funksjoner
Egen side: Åpne oppgave 1-5 for seg selv

Oppgave 2-1Edison biler – overskudd og enhetskostnad

Bedriften Edison produserer biler. Kostnaden (oppgitt i 1000 kroner) ved å produsere $x$ biler per måned er gitt ved

K (x) = 200 x \cdot {1,015}^{x} + 200.

Edison selger alle bilene de produserer. Hver bil selges for 600 000 kroner.

Krever PC

Hvilken produksjonsmengde gir størst mulig overskudd?

Krever PC

Hvilken produksjonsmengde gir lavest mulig enhetskostnad?

En måned trenger et firma 70 biler. De er villige til å betale mer enn 600 000 kroner per bil. Firmaet inngår en kontrakt om at Edison skal lage 70 biler denne måneden og selge alle til dem. Kontrakten gir Edison et overskudd på 15 millioner kroner.

Krever PC

Hvilken pris ble avtalt per bil i denne kontrakten?

Fasit

$x = 41 biler$ gir størst overskudd, $O (41) \approx 9302 tusen kr \approx 9,3 mill. kr$

$x = 8 biler$ gir lavest enhetskostnad, $E (8) \approx 250,3 tusen kr per bil$

$p \approx 784 234 kr per bil$

LøsningsforslagKI-generert

Vi definerer inntektsfunksjonen. Edison selger hver bil for 600 000 kr = 600 tusen kr, så

I (x) = 600 x

Overskuddet er inntekt minus kostnad:

O (x) = I (x) - K (x) = 600 x - 200 x \cdot {1,015}^{x} - 200

Vi bruker GeoGebra CAS til å løse alle deloppgavene:

GeoGebra CAS – Edison biler

Vi finner maksimalt overskudd ved å løse $O^{'} (x) = 0$ .

Fra CAS (linje 4): $x \approx 41,48$ .

Siden Edison produserer et heltall biler, sjekker vi $x = 41$ og $x = 42$ :

$O (41) \approx 9301,9$ tusen kr
$O (42) \approx 9301,7$ tusen kr

$x = 41$ gir litt høyere overskudd.

$x = 41$ biler per måned gir størst overskudd, $O (41) \approx 9302$ tusen kr $\approx 9,3$ mill. kr.

Enhetskostnaden er kostnad per bil:

E (x) = \frac{K (x)}{x} = \frac{200 x \cdot {1,015}^{x} + 200}{x} = 200 \cdot {1,015}^{x} + \frac{200}{x}

Vi finner minimumet ved å prøve heltallsverdier rundt det kontinuerlige minimumet ( $x \approx 7,7$ fra CAS):

$E (7) \approx 250,54$ tusen kr
$E (8) \approx 250,30$ tusen kr
$E (9) \approx 250,90$ tusen kr

$x = 8$ gir lavest enhetskostnad.

$x = 8$ biler per måned gir lavest enhetskostnad, $E (8) \approx 250,3$ tusen kr $\approx 250 300$ kr per bil.

Overskuddet er inntekt minus kostnad. Vi setter opp ligningen

p \cdot 70 - K (70) = 15 000

Fra CAS (linje 12): $K (70) \approx 39 896,4$ tusen kr.

Vi løser for $p$ :

p = \frac{15 000 + K (70)}{70} = \frac{15 000 + 39 896,4}{70} = \frac{54 896,4}{70} \approx 784,2 tusen kr

Avtalt pris per bil er $p \approx 784 234 kr$ .

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 6 poeng

Det gis 1 poeng for rett strategi og i tillegg 1 poeng for riktig svar.

Oppgavedata

Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Økonomi, Derivasjon, Enhetskostnad
Kompetansemål: Anvende derivasjon til å analysere og forstå optimaliseringsproblemer
Anvende derivasjon til å analysere og tolke egne matematiske modeller av reelle datasett
Egen side: Åpne oppgave 2-1 for seg selv

Oppgave 2-2Logaritme- og binomialpåstander

Avgjør om hver av påstandene nedenfor er sann eller usann. Forklar tydelig hvordan du har resonnert.

For hånd

Påstand:

Når x > 0, er e^{k \cdot \ln (x)} = x^{k}

For hånd

Påstand:

Når 1 < a < \frac{b}{2}, er (\binom{b}{a + 1}) > (\binom{b}{a})

Fasit

Sann

Usann

LøsningsforslagKI-generert

Vi skal avgjøre om $e^{k \cdot \ln (x)} = x^{k}$ for $x > 0$ .

Bevis med logaritmeregler:

Vi bruker logaritmeregelen $k \cdot \ln (x) = \ln (x^{k})$ :

e^{k \cdot \ln (x)} = e^{\ln (x^{k})} = x^{k}

Det siste steget bruker at $e^{\ln (u)} = u$ for $u > 0$ .

Alternativt bevis med potensregler:

e^{k \cdot \ln (x)} = {(e^{\ln (x)})}^{k} = x^{k}

Her brukes potensregelen ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ og $e^{\ln (x)} = x$ .

Påstanden er $sann$ .

Vi skal avgjøre om $(\binom{b}{a + 1}) > (\binom{b}{a})$ når $1 < a < \frac{b}{2}$ .

Analyse av forholdet:

Vi beregner forholdet mellom de to binomialkoeffisientene:

\frac{(\binom{b}{a + 1})}{(\binom{b}{a})} = \frac{\frac{b!}{(a + 1)! (b - a - 1)!}}{\frac{b!}{a! (b - a)!}} = \frac{b! \cdot a! \cdot (b - a)!}{(a + 1)! \cdot (b - a - 1)! \cdot b!} = \frac{b - a}{a + 1}

Påstanden sier at $(\binom{b}{a + 1}) > (\binom{b}{a})$ , dvs. at forholdet er strengt større enn 1:

\frac{b - a}{a + 1} > 1 ⟺ b - a > a + 1 ⟺ b > 2 a + 1 ⟺ a < \frac{b - 1}{2}

Så påstanden holder bare når $a < \frac{b - 1}{2}$ , men betingelsen i oppgaven er den svakere $a < \frac{b}{2}$ .

Motbevis:

La $b = 5$ og $a = 2$ . Da er $1 < 2 < \frac{5}{2} = 2,5$ , så betingelsen er oppfylt.

(\binom{5}{3}) = 10 og (\binom{5}{2}) = 10

Her er $(\binom{5}{3}) = (\binom{5}{2})$ , altså ikke strengt større. Påstanden er motbevist.

Påstanden er $usann$ .

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 4 poeng

Kandidaten må argumentere dersom det skal gis full uttelling. Det kan gis 1 poeng dersom kandidaten viser relevant argumentasjon, men ikke kommer frem til riktig svar. Kun rett svar uten begrunnelse gir ingen uttelling.

Oppgavedata

Vanskegrad: 3
Poeng: 4
Temaer: Logaritmer, Kombinatorikk, Argumentasjon
Kompetansemål: Utforske og gjøre rede for egenskapene ved potenser og logaritmer, og gi eksempler på reelle anvendelser av disse egenskapene
Uttrykke egne resonnementer ved hjelp av matematiske begreper og symbolspråk
Egen side: Åpne oppgave 2-2 for seg selv

Oppgave 2-3Kombinatorikk for passord

En skole har regler for å lage passord.

Regelsett 1

Passordet må ha nøyaktig 6 tegn.
Det er bare lov å bruke store og små bokstaver.
Det må være minst én stor bokstav i passordet.
Det må være minst én liten bokstav i passordet.

Kalkulator

Hvor mange forskjellige passord er det mulig å lage ved å følge regelsett 1?

Skolen vil øke sikkerheten og legger til flere krav for å lage passord. De lager et nytt sett med regler.

Regelsett 2

Passordet må ha nøyaktig 6 tegn.
Det må være nøyaktig to store bokstaver i passordet.
Det må være nøyaktig to små bokstaver i passordet.
Det må være nøyaktig to sifre i passordet.

Kalkulator

Gjør nødvendige beregninger for å vurdere effekten på sikkerheten av regelsett 2.

Fasit

$58^{6} - 2 \cdot 29^{6} = 36 879 045 902$ ulike passord (ca. 36,9 milliarder).

$6 365 529 000$ ulike passord. Regelsett 2 gir dårligere sikkerhet enn regelsett 1.

Løsningsforslag

Passordet må ha 6 tegn
Kun store og små bokstaver
Minst 1 stor bokstav
Minst 1 liten bokstav

Det er 29 små bokstaver og 29 store bokstaver, dette gir i utgangspunktet 58 ulike muligheter for hver av de 6 tegnene i passordet. Dersom vi ikke hadde hatt kravene om minst 1 liten og stor bokstav ville antallet kombinasjoner derfor ha vært $58^{6}$ .

Siden vi må minst ha 1 liten bokstav så kan vi ta bort de kombinasjonene som bare bruker store bokstaver ( $29^{6}$ ) og de som bare bruker små bokstaver ( $29^{6}$ ). Til sammen har vi da

58^{6} - 29^{6} - 29^{6} = 58^{6} - 2 \cdot 29^{6} = 36 879 045 902

Det er 36,9 milliarder ulike passordet ifølge dette regelsettet.

Det finnes fremdeles 29 ulike store bokstaver, 29 ulike små bokstaver og det finnes 10 ulike siffer.

Hvis rekkefølgen ikke hadde spilt noen rolle ville vi fått $29^{2} \cdot 29^{2} \cdot 10^{2} = 70 728 100$ kombinasjoner.

Rekkefølgen på de ulike tegnene spiller en rolle, siden vi har 6 tegn («ledige plasser») og skal plassere 3 $\times$ 2 ulike typer tegn så kan vi finne antallet permutasjoner med

\frac{6!}{2! \cdot 2! \cdot 2!} = \frac{720}{8} = 90

Det finnes altså $70 728 100 \cdot 90 = 6 365 529 000$ ulike passord.

Det finnes omtrent 6 ganger så mange mulige passord med regelsett 1 som med regelsett 2. Regelsett 2 vil derfor sannsynligvis gjøre sikkerheten en god del dårligere enn regelsett 1.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 4 poeng

Én eksplisitt rekkefølge av store og små bokstaver kan gi 1 poeng.

1 poeng for beregninger og 1 poeng for vurdering av effekten.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 4
Temaer: Kombinatorikk
Kompetansemål: Utforske og forstå kombinatoriske forsøk med ordnede og uordnede utvalg
Analysere et problem der sannsynlighet og kombinatorikk inngår, og bruke ulike strategier i problemløsingen
Egen side: Åpne oppgave 2-3 for seg selv

Oppgave 2-4Kuler i boks og hypergeometrisk sannsynlighet

Kalkulator

I en boks ligger det et ukjent antall røde og hvite kuler. Du trekker tre kuler uten tilbakelegging.

Hva er det minste antallet røde kuler og hvite kuler det kan være i boksen for at sannsynligheten skal være mellom 17 % og 18 % for at alle kulene du trekker, er hvite?

Fasit

5 hvite og 3 røde kuler (totalt 8 kuler). $P = \frac{5}{28} \approx 17,9 %$

LøsningsforslagKI-generert

Siden kulene trekkes uten tilbakelegging, er dette en hypergeometrisk situasjon. La

$m$ = antall hvite kuler
$n$ = antall røde kuler
$T = m + n$ = totalt antall kuler

Antall måter å trekke 3 hvite av $m$ hvite er $(\binom{m}{3})$ , og antall måter å trekke 3 kuler av $T$ totalt er $(\binom{T}{3})$ . Sannsynligheten for at alle tre er hvite blir

P (alle hvite) = \frac{(\binom{m}{3})}{(\binom{T}{3})} = \frac{m (m - 1) (m - 2)}{T (T - 1) (T - 2)}

Vi trenger $0,17 < P < 0,18$ , og vi vil finne minste $T$ (færrest mulig kuler totalt).

Vi må ha $m \geq 3$ (ellers kan vi ikke trekke tre hvite). Vi prøver systematisk fra $T = 4$ :

$m$ (hvite)	$n$ (røde)	$T$ (totalt)	$P = \frac{(\binom{m}{3})}{(\binom{T}{3})}$	Innenfor?
3	1	4	$\frac{1}{4} = 0,250$	Nei
3	2	5	$\frac{1}{10} = 0,100$	Nei
4	1	5	$\frac{4}{10} = 0,400$	Nei
3	3	6	$\frac{1}{20} = 0,050$	Nei
4	2	6	$\frac{4}{20} = 0,200$	Nei
5	1	6	$\frac{10}{20} = 0,500$	Nei
3	4	7	$\frac{1}{35} \approx 0,029$	Nei
4	3	7	$\frac{4}{35} \approx 0,114$	Nei
5	2	7	$\frac{10}{35} \approx 0,286$	Nei
5	3	8	$\frac{10}{56} = \frac{5}{28} \approx 0, 179$	Ja ✓

For $T = 8$ , $m = 5$ , $n = 3$ :

P = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3}{8 \cdot 7 \cdot 6} = \frac{60}{336} = \frac{5}{28} \approx 17,9 %

Alle kombinasjoner med $T \leq 7$ gir $P$ utenfor intervallet $[17 %, 18 %]$ , og $m = 5$ , $n = 3$ er den første løsningen vi finner.

Det minste antallet er $5 hvite og 3 røde kuler$ , altså 8 kuler totalt, og sannsynligheten er $\frac{5}{28} \approx 17,9 %$ .

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 2 poeng

En god strategi kan gi 1 poeng.

Oppgavedata

Vanskegrad: 3
Poeng: 2
Temaer: Sannsynlighet, Kombinatorikk
Kompetansemål: Utforske og tolke binomiske og hypergeometriske fordelinger, og gi eksempler på reelle anvendelser av disse fordelingene
Analysere et problem der sannsynlighet og kombinatorikk inngår, og bruke ulike strategier i problemløsingen
Egen side: Åpne oppgave 2-4 for seg selv

Oppgave 2-5Terninger – alle ulike og simulering

Du kaster fem terninger.

Kalkulator

Bestem sannsynligheten for at alle terningene viser forskjellige antall øyne.

Krever PC

Bruk simulering til å bestemme sannsynligheten for at du får nøyaktig tre seksere.

Fasit

$P = \frac{5}{54} \approx 9,26 %$

$P \approx 3,22 %$ (teoretisk); simuleringen gir ca. $3,2 %$

LøsningsforslagKI-generert

Vi kaster fem terninger og ønsker at alle viser forskjellige antall øyne.

Vi bruker multiplikasjonsprinsippet. Den første terningen kan vise et hvilket som helst tall — 6 muligheter. Den andre må vise noe annet enn den første — 5 muligheter. Slik fortsetter vi:

P (alle ulike) = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2}{6^{5}} = \frac{720}{7776} = \frac{5}{54} \approx 0,0926

$P (alle ulike) = \frac{5}{54} \approx 9,26 %$

La $X$ være antall seksere når vi kaster fem terninger. $X$ er binomisk fordelt med $n = 5$ og $p = \frac{1}{6}$ .

Teoretisk sannsynlighet:

P (X = 3) = (\binom{5}{3}) \cdot {(\frac{1}{6})}^{3} \cdot {(\frac{5}{6})}^{2} = 10 \cdot \frac{1}{216} \cdot \frac{25}{36} = \frac{250}{7776} \approx 0,0322

Simulering med Python:

# uv run --with numpy simulering-seksere.py
import numpy as np

rng = np.random.default_rng(42)
n = 100_000
dice = rng.integers(1, 7, size=(n, 5))
treffer = np.sum(dice == 6, axis=1)
p = np.mean(treffer == 3)
print(f"Estimat: {p:.4f}")  # → Estimat: 0.0316

Simuleringen med 100 000 forsøk ga $\hat{p} \approx 0,0316$ , som stemmer godt overens med den teoretiske verdien $\frac{250}{7776} \approx 0,0322$ .

$P (X = 3) = \frac{250}{7776} \approx 3,22 %$

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 4 poeng

Det gis 1 poeng for rett strategi og i tillegg 1 poeng for riktig svar.

For å få full uttelling må kandidaten bruke simulering. En løsning med opptelling ved for eksempel nøstede for-løkker kan gi 1 poeng.

Oppgavedata

Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Sannsynlighet, Simulering
Kompetansemål: Utforske og tolke binomiske og hypergeometriske fordelinger, og gi eksempler på reelle anvendelser av disse fordelingene
Bruke digitale verktøy til å simulere og utforske utfall i stokastiske forsøk, og forstå begrepet stokastiske variabler
Egen side: Åpne oppgave 2-5 for seg selv

Oppgave 2-6Modell for drivstoffutvikling i Moss

Det har vært en stor endring i hvilken type drivstoff bilene i Norge bruker. Statistisk sentralbyrå samler inn data om dette, og tabellen viser en oversikt over typen drivstoff til registrerte personbiler i Moss i perioden 2010–2022.

Krever PC

Bruk opplysningene i tabellen til å lage modeller du mener beskriver utviklingen i drivstofftypene bensin og elektrisk («El.») $t$ år etter 2010. Argumenter for valg av modeller.

Kalkulator + svaret på tidligere oppgave

Ut fra modellene du har laget, hvordan vil du vurdere veksten i drivstofftypene bensin og elektrisk i årene framover, etter 2022? Kommenter gyldigheten til modellene dine.

Figur 1: Personbiler per drivstofftype i Moss. Kilde: Skjermdump av ssb.no, utdrag fra tabell 07849

Fasit

Bensin: lineær modell $B (t) = - 452 t + 14 243$ . Elektrisk: eksponentiell modell $E (t) = 100,5 \cdot {1,395}^{t}$ .

Bensin-modellen gir $B (20) \approx 5 200$ biler i 2030, men forutsier negativt antall etter 2041 — ugyldig. El.-modellen gir $E (20) \approx 78 000$ biler, som overstiger antall husstander i Moss — urealistisk.

LøsningsforslagKI-generert

La $t$ være antall år etter 2010. Vi bruker GeoGebra til å kjøre regresjon på datapunktene fra tabellen.

Bensin — lineær modell:

Datapunktene for bensin viser en jevn nedgang år for år. Absolutt nedgang per år er omtrent 450 biler, noe som tyder på at en lineær modell passer godt. Regresjonen i GeoGebra gir

B (t) = - 451,79 t + 14 243,25

med korrelasjonskoeffisient $r \approx - 0,996$ , altså en svært god lineær tilpasning. Vi avrunder til

B (t) = - 452 t + 14 243

Elektrisk — eksponentiell modell:

Datapunktene for elbiler stiger kraftig og kurver oppover, noe en rett linje ikke fanger opp. Fordi veksten ser ut til å ha en tilnærmet konstant prosentvis økning per år, er en eksponentiell modell naturlig. Regresjonen i GeoGebra gir

E (t) = 100,5 \cdot {1,395}^{t}

Vekstfaktoren $1,395$ tilsvarer omtrent $39,5 %$ økning per år. Modellen passer godt til data i perioden 2010–2022.

E (t) = 100,5 \cdot {1,395}^{t}

Grafen under viser datapunktene (rødt: bensin, blått: elektrisk) og de to modellkurvene:

Datapunkter og modeller for bensin (rød, lineær) og elektrisk (blå, eksponentiell)

Bensin-modellen fremover:

Vi setter $t = 20$ (år 2030):

B (20) = - 452 \cdot 20 + 14 243 = - 9 040 + 14 243 = 5 203 biler

Modellen forutsier altså omtrent 5 200 bensinbiler i Moss i 2030, noe som virker rimelig på mellomlang sikt. Modellen har imidlertid en viktig begrensning: den gir negativt antall biler når $B (t) = 0$ , det vil si ved

t = \frac{14 243}{452} \approx 31,5 \Rightarrow år 2041

I virkeligheten kan ikke antall biler bli negativt. Nedgangen vil trolig avta og asymptotisk nærme seg null. Ekstrapolering til 2030 er rimelig, men modellen er ugyldig etter ca. 2041.

El.-modellen fremover:

Vi setter $t = 20$ (år 2030):

E (20) = 100,5 \cdot {1,395}^{20} \approx 100,5 \cdot 779 \approx 78 300 biler

Dette er klart urealistisk — Moss har omtrent 35 000 husstander, og antall personbiler totalt er begrenset. Den eksponentielle veksten kan ikke fortsette i det uendelige. I praksis vil veksten flate ut etter hvert som markedet nærmer seg metning (logistisk vekst ville gitt en mer realistisk modell for lengre tidsperspektiv).

Konklusjon: Bensin-modellen er rimelig til omtrent 2030–2035. El.-modellen overestimerer kraftig på lengre sikt og er kun gyldig noen få år utover 2022.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 4 poeng

1 poeng for å finne modellene og 1 poeng for argumentasjon for valg av modellene.

1 poeng for å vurdere veksten etter 2022 og 1 poeng for å kommentere gyldigheten til modellene.

Oppgavedata

Delt med: S1, R1
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Regresjon, Modellering, Eksponentiell vekst
Kompetansemål: Anvende derivasjon til å analysere og tolke egne matematiske modeller av reelle datasett
Egen side: Åpne oppgave 2-6 for seg selv

Oppgave 2-7Innskrevet rektangel og Lars sitt program

En funksjon $f$ er gitt ved

f (x) = - x^{2} + 4, 0 \leq x \leq 2.

Lars har tegnet grafen til $f$ med et innskrevet rektangel $A B C D$ . Lars har også skrevet et program.

Grafen til f(x)

def f(x):
    return -x**2 + 4

def areal(x):
    return x*f(x)

h = 0.0001
def der_areal(x):
    return (areal(x + h) - areal(x))/h

x = 0
dx = 0.01
while der_areal(x + dx) > 0:
    x = x + dx

print(areal(x))

Kalkulator

Forklar hva Lars prøver å finne ut med programmet. Hva blir svaret hvis man kjører programmet?

For hånd

Hvilken strategi bruker Lars i programmet sitt? Vil strategien fungere uavhengig av hvilken funksjon $f$ er?

Fasit

Programmet finner det største arealet av et rektangel innskrevet under grafen. Svaret er ca. $3,079$ .

Lars bruker en numerisk trinnvis tilnærming der han leter fremover til deriverte av arealet skifter fortegn. Strategien er ikke universell.

LøsningsforslagKI-generert

Rektangelet $A B C D$ har ett hjørne på grafen til $f$ . Hjørnet over $x$ -aksen befinner seg i punktet $(x, f (x))$ . Siden rektangelet er symmetrisk om $y$ -aksen, har det bredde $2 x$ og høyde $f (x)$ .

Av figuren leser vi imidlertid at bare halvparten av rektangelet vises (fra $x = 0$ til $x$ -verdien på grafen), altså bredde $x$ og høyde $f (x)$ . Arealet er:

A (x) = x \cdot f (x) = x (- x^{2} + 4) = - x^{3} + 4 x

Hva programmet gjør:

areal(x) beregner $A (x) = x \cdot f (x)$ .
der_areal(x) beregner den numeriske deriverte $A^{'} (x) \approx \frac{A (x + h) - A (x)}{h}$ med $h = 0,0001$ .
Løkken starter på $x = 0$ og øker $x$ med $𝚍 𝚡 = 0,01$ i hvert steg, så lenge den numeriske deriverte i neste steg er positiv (dvs. arealet fortsatt vokser).
Løkken stopper når der_areal(x + dx) <= 0, altså når arealet er i ferd med å avta — ved et (lokalt) maksimum.

Programmet prøver å finne $x$ -verdien som maksimerer arealet, og skriver deretter ut $A (x)$ i dette punktet.

Kjøring: $x$ øker fra $0$ i steg på $0,01$ . Den eksakte maksimumsverdien er $x = \frac{2}{\sqrt{3}} \approx 1,1547$ . Programmet stopper siste gang $𝚍 𝚎 𝚛_𝚊 𝚛 𝚎 𝚊 𝚕 (x + 0,01) > 0$ , noe som gir $x = 1,15$ (siden $A^{'} (1,16) < 0$ ).

Programmet skriver ut:

A (1,15) = 1,15 \cdot (- {(1,15)}^{2} + 4) = 1,15 \cdot 2,6775 \approx 3,079

(Det eksakte maksimale arealet er $\frac{16 \sqrt{3}}{9} \approx 3,0792$ .)

Strategi: Lars antar at arealet begynner med å vokse fra $x = 0$ , og leter trinnvis fremover til den numeriske deriverte skifter fra positiv til ikke-positiv. Han finner altså det første punktet der $A^{'} (x)$ snur fra positiv til negativ — et lokalt toppunkt.

Strategien er ikke universell. Den kan feile i følgende situasjoner:

Hvis $A^{'} (x)$ allerede er negativ eller lik null for $x = 0$ (arealet avtar fra start), stopper løkken umiddelbart uten å finne noe maksimum.
Hvis $A (x)$ har flere lokale maksimumspunkter, finner programmet bare det første og overser et eventuelt høyere globalt maksimum lenger ut.
Steglengden $𝚍 𝚡 = 0,01$ gir en numerisk tilnærming, ikke det eksakte maksimumet. Her gir programmet $x = 1,15$ istedenfor det eksakte $x = \frac{2 \sqrt{3}}{3} \approx 1,1547$ .

Strategien fungerer kun for funksjoner der arealet er positivt, starter med å vokse, og har nøyaktig ett lokalt maksimum.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 4 poeng

1 poeng for å tolke programmet riktig og 1 poeng for å finne resultatet. Kandidaten behøver ikke å forklare hver linje i programmet.

1 poeng for å forklare strategien og 1 poeng for å forklare hvorfor strategien ikke vil fungere for alle funksjoner.

Oppgavedata

Delt med: S1, R1
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 4
Temaer: Derivasjon, Programmering, Funksjonsdrøfting, Optimering
Kompetansemål: Anvende derivasjon til å analysere og forstå optimaliseringsproblemer
Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon
Egen side: Åpne oppgave 2-7 for seg selv

Oppgave 2-8Pyramide i halvkule – størst mulig volum

For hånd

En kule med radius $r$ deles i to like deler. Vi skal skjære ut en pyramide med rektangulær grunnflate av den ene halvkulen. Grunnflaten skal ligge i snittflaten til halvkulen.

Halvkule med innskrevet pyramide

Volumet av en pyramide er gitt ved

V = \frac{h \cdot G}{3},

der $G$ er grunnflaten og $h$ er høyden til pyramiden.

Bestem et uttrykk for det største volumet en slik pyramide kan ha.

Fasit

$V_{\max} = \frac{2 r^{3}}{3}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi plasserer halvkulen med snittflaten som en sirkulær disk i planet $z = 0$ , med sentrum i origo. Halvkulen har likningen $x^{2} + y^{2} + z^{2} = r^{2}$ for $z \geq 0$ .

Oppsett av pyramiden

Grunnflaten er et rektangel med sider $2 x$ og $2 y$ innskrevet i sirkelen $x^{2} + y^{2} = r^{2}$ . Pyramidens topp ligger på halvkulen rett over sentrum, i punktet $(0, 0, h)$ .

Toppen på halvkulen gir høyden $h = r$ (fast, siden $x = y = 0$ gir $z = r$ ).

Volumet av pyramiden er:

V = \frac{h \cdot G}{3} = \frac{r \cdot 4 x y}{3} = \frac{4 r}{3} \cdot x y

Maksimering med GeoGebra CAS

Vi setter $G = 4 x y$ der $y = \sqrt{r^{2} - x^{2}}$ (fra sirkelbetingelsen), og definerer volumfunksjonen:

V (x) = \frac{4 r}{3} \cdot x \cdot \sqrt{r^{2} - x^{2}}

Vi deriverer og setter den deriverte lik null med CAS:

CAS-utregning for største volum av pyramide i halvkule

CAS gir $x = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot r = \frac{r}{\sqrt{2}}$ (tar positiv verdi). Da er $y = \sqrt{r^{2} - \frac{r^{2}}{2}} = \frac{r}{\sqrt{2}}$ , det vil si $x = y$ .

Grunnflaten er et kvadrat med side $2 x = 2 \cdot \frac{r}{\sqrt{2}} = r \sqrt{2}$ .

Største volum

CAS bekrefter at maksimalt volum er:

V_{\max} = \frac{2}{3} r^{2} \cdot | r | = \frac{2 r^{3}}{3}

$V_{\max} = \frac{2 r^{3}}{3}$

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 2 poeng

Kandidaten kan få 1 poeng for en god strategi.

Oppgavedata

Delt med: S1, R1
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 2
Temaer: Geometri, Derivasjon, Optimering, Volum
Kompetansemål: Anvende derivasjon til å analysere og forstå optimaliseringsproblemer
Egen side: Åpne oppgave 2-8 for seg selv

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Del 1uten hjelpemidler · 1 time · 5 oppgaver · 12 poeng

Oppgave 1-1Derivasjon med produktregel og ln

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-2Logaritmeligningen med substitusjon

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-3Grenseverdier av eksponentialfunksjon

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-4Sokker trukket fra skuff

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-5Kontinuerlig funksjon med størst mulig definisjonsmengde

Forstå oppgaven med en KI

Del 2alle hjelpemidler · 4 timer · 8 oppgaver · 30 poeng

Oppgave 2-1Edison biler – overskudd og enhetskostnad

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-2Logaritme- og binomialpåstander

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-3Kombinatorikk for passord

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-4Kuler i boks og hypergeometrisk sannsynlighet

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-5Terninger – alle ulike og simulering

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-6Modell for drivstoffutvikling i Moss

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-7Innskrevet rektangel og Lars sitt program

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-8Pyramide i halvkule – størst mulig volum

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Del 1uten hjelpemidler · 1 time · 5 oppgaver · 12 poeng

Oppgave 1-1·Derivasjon med produktregel og ln

Oppgave 1-2·Logaritmeligningen med substitusjon

Oppgave 1-3·Grenseverdier av eksponentialfunksjon

Oppgave 1-4·Sokker trukket fra skuff

Oppgave 1-5·Kontinuerlig funksjon med størst mulig definisjonsmengde

Del 2alle hjelpemidler · 4 timer · 8 oppgaver · 30 poeng

Oppgave 2-1·Edison biler – overskudd og enhetskostnad

Oppgave 2-2·Logaritme- og binomialpåstander

Oppgave 2-3·Kombinatorikk for passord

Oppgave 2-4·Kuler i boks og hypergeometrisk sannsynlighet

Oppgave 2-5·Terninger – alle ulike og simulering

Oppgave 2-6·Modell for drivstoffutvikling i Moss

Oppgave 2-7·Innskrevet rektangel og Lars sitt program

Oppgave 2-8·Pyramide i halvkule – størst mulig volum

Temaer

Oppgave 1-1Derivasjon med produktregel og ln

Oppgave 1-2Logaritmeligningen med substitusjon

Oppgave 1-3Grenseverdier av eksponentialfunksjon

Oppgave 1-4Sokker trukket fra skuff

Oppgave 1-5Kontinuerlig funksjon med størst mulig definisjonsmengde

Oppgave 2-1Edison biler – overskudd og enhetskostnad

Oppgave 2-2Logaritme- og binomialpåstander

Oppgave 2-3Kombinatorikk for passord

Oppgave 2-4Kuler i boks og hypergeometrisk sannsynlighet

Oppgave 2-5Terninger – alle ulike og simulering

Oppgave 2-6Modell for drivstoffutvikling i Moss

Oppgave 2-7Innskrevet rektangel og Lars sitt program

Oppgave 2-8Pyramide i halvkule – størst mulig volum