R2 Høst 2024

R2 Høst 2024 – oversikt over oppgavene
№	Navn	LF
Del 1 2 timer uten hjelpemidler
1-1	Integral med delvis integrasjon og trigonometri	✔︎
1-2	Sumformel, kvotient og geometrisk rekke	✔︎
1-3	Telt med vektorer i rommet	✔︎
1-4	Radianer og eksakte trigonometriske verdier	✔︎
1-5	Sinusfunksjon og cosinusfunksjon	✔︎
Del 2 3 timer med hjelpemidler
2-1	Ball i bevegelse med posisjonsvektor	✔︎
2-2	Vurder påstander om rekke, plan og areal	✔︎
2-3	Jordbær som omdreiningslegeme	✔︎
2-4	Russebil med trigonometrisk fartsfunksjon	✔︎
2-5	Rekursiv formel og programmering	✔︎
2-6	Omdreiningslegeme av sirkel om y-aksen	✔︎

Oppgave 1-1 : Integral med delvis integrasjon og trigonometri

Regn ut integralet $\int x^2 \cdot \ln x \, dx$

Bestem $x$ når $\int_0^x \sin\left(\pi t + \frac{\pi}{4}\right) \, \mathrm{d}t = 0$ og $x \in \langle 0, \pi \rangle$ .

Gi en praktisk tolkning av svaret i oppgave b).

Fasit

$\dfrac{1}{3}x^3\left(\ln x - \dfrac{1}{3}\right) + C$

$x = \dfrac{3}{2}$ og $x = 2$

Like mye positivt og negativt areal mellom 0 og $x$

Løsningsforslag

Siden vi skal regne ut integralet til produktet av to ulike funksjoner vil jeg forsøke delvis integrasjon. Jeg benytter DI-metoden, og velger at $x^{2}$ er den faktoren som skal integreres, og $\ln x$ er faktoren som skal deriveres.

	D	I
+	$\ln x$	$x^{2}$
-	$\frac{1}{x}$	$\frac{1}{3}x^{3}$

Vi kan altså sette opp

\begin{aligned} \int x^{2} \ln x \, \mathrm{d}x &= \ln x \cdot \frac{1}{3}x^{3} - \int \frac{1}{x}\cdot \frac{1}{3} x^{3} \, \mathrm{d}x \\ &=\frac{1}{3} x^{3}\ln x - \frac{1}{3} \int x^{2} \, \mathrm{d}x\\ &=\frac{1}{3} x^{3} \ln x - \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{3} x^{3}+C\\ &=\underline{\underline{\frac{1}{3}x^{3}\left( \ln x-\frac{1}{3} \right)+C}} \end{aligned}

Vi løser først det tilhørende ubestemte integralet ved hjelp av variabelskiftet $u=\pi t+\frac{\pi}{4}$ . Da er

\frac{du}{dt}=\pi \iff dt=\frac{du}{\pi}

Vi gjennomfører variabelskiftet

\int \sin \left( \pi t + \frac{\pi}{4} \right) \, \mathrm{d}t=\int \sin u \, \frac{\mathrm{d}u}{\pi} =-\frac{1}{\pi}\cos(u)+C=-\frac{1}{\pi}\cos\left( \pi t + \frac{\pi}{4} \right)+C

Vi setter opp det bestemte integralet og setter lik 0.

\begin{aligned} -\frac{1}{\pi} \left[ \cos\left( \pi t + \frac{\pi}{4} \right) \right]_{0}^{x}&=0\\ \left[ \cos\left( \pi t + \frac{\pi}{4} \right) \right]_{0}^{x}&=0\\ \left( \cos\left( \pi x + \frac{\pi}{4} \right) \right)-\left( \cos\left( \pi \cdot 0 + \frac{\pi}{4} \right) \right) &=0\\ \left( \cos\left( \pi x + \frac{\pi}{4} \right) \right)-\left( \cos\left(\frac{\pi}{4} \right) \right) &=0\\ \cos\left( \pi x + \frac{\pi}{4} \right)- \cos\left(\frac{\pi}{4} \right) &=0\\ \cos\left( \pi x + \frac{\pi}{4} \right) &= \cos\left(\frac{\pi}{4} \right) \end{aligned}

Vi vet at vi at følgende uttrykk er like

\begin{aligned} \text{(1)} \quad \cos \left( \frac{\pi}{4} \right) &=\cos\left( 2k\pi+ \frac{\pi}{4}\right) \quad \text{der} \quad k\in \mathbb{Z}\\ \text{(2)} \quad \cos \left( \frac{\pi}{4} \right) &=\cos\left( 2k\pi+\frac{7\pi}{4}\right) \quad \text{der} \quad k\in \mathbb{Z} \end{aligned}

$x$ er begrenset til intervallet $\langle 0, \pi\rangle$ , derfor får vi kun en gyldig løsning fra likning $(1)$

x=2k \implies x=2

Fra likning $(2)$ får vi følgende løsning

\begin{aligned} \pi x + \frac{\pi}{4}&=2k \pi + \frac{7\pi}{4}\\ \pi x&=2\pi k+\frac{6\pi}{4}\\ x &=2k + \frac{3}{2}\\ x&=\frac{3}{2} \quad \text{ hvis } x \in \langle 0, \pi \rangle \end{aligned}

Løsningene er $\underline{\underline{x=\frac{3}{2}}}$ og $\underline{\underline{x=2}}$ .

Hvis integralet av $\int_{0}^{x} f(t) \, dt$ skal være lik 0 så må vi ha nøyaktig like mye areal mellom grafen og $x$ -aksen på den positive og negative siden av $x$ -aksen mellom $0$ og $x$ . For en sinusfunksjon så vil vi like mye areal på begge sider av $x$ -aksen når funksjonen har gjennomført et heltall antall perioder fra tiden $t=0$ .

Sensorveiledning

Det kan gis 1 poeng dersom kandidaten bruker en riktig strategi, men gjør feil i utregningen. Kandidaten kan få full uttelling selv om $C$ utelates i svaret, men det er en del av helhetsvurderingen.

Riktig bestemt integral uten å løse likningen kan gi 1 poeng.

En upresis tolkning kan gi 1 poeng. For å få 2 poeng må kandidaten koble areal til løsningene.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: integral, trigonometri, delvis integrasjon, substitusjon, tolkning av integraler
Kompetansemål: Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon og integrasjon, og anvende integrasjon til å beregne ulike mål av omdreiningslegemer
Utforske egenskaper ved radianer og trigonometriske funksjoner og identiteter og anvende disse egenskapene til å løse praktiske problemer
Forstå definisjonen av det bestemte integralet og anvende integralet til å analysere funksjoner

Oppgave 1-2 : Sumformel, kvotient og geometrisk rekke

Finn summen av den aritmetiske rekken $3+7+11+15+\cdots+399$ .

Bestem kvotienten $k$ for en uendelig geometrisk rekke som konvergerer og som har $a_1 = 12$ og sum = 18.

Vis at tallet $0{,}75757575\ldots$ kan skrives som en uendelig geometrisk rekke. Bruk dette til å vise at $1{,}75757575\ldots = \dfrac{58}{33}$ .

Fasit

$s_{100} = 20\,100$

$k = \dfrac{1}{3}$

$1{,}75757575\ldots = \dfrac{58}{33}$ (bevis)

Løsningsforslag

Summen av en aritmetisk rekke er gitt ved

s_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n

Vi ser at differansen $d=4$ . For å finne ut hvor mange ledd det er i rekka vår kan vi løse

3+(n-1) \cdot 4=399 \implies n-1=\frac{399-3}{4} \implies n=100

Summen av de 100 første leddene blir altså

s_{100}=\frac{3+399}{2}\cdot 100=\frac{402}{2} \cdot 100= 201\cdot 100=\underline{\underline{20\,100}}

Vi vet at summen av en uendelig geometrisk rekke som konvergerer er

s=\frac{a_{1}}{1-k} \iff 1-k=\frac{a_{1}}{s}\iff k=1-\frac{a_{1}}{s}

Vi setter inn verdiene i uttrykket for $k$

k=1-\frac{12}{18}=1-\frac{2}{3}=\underline{\underline{\frac{1}{3}}}

Vi kan omskrive tallet som sum summen av uendelig rekke med ledd på denne måten $0{,}75757575\ldots=0{,}75+0{,}0075+0{,}000075+\cdots$

Hvert av disse leddene kan vi skrive om som brøker

\begin{aligned} 0{,}75&=\frac{3}{4}\\ 0{,}0075&=\frac{\frac{3}{4}}{100}=\frac{3}{400}\\ 0{,}000075&=\frac{\frac{3}{4}}{10000}=\frac{3}{40000} \end{aligned}

Vi ser et mønster hvor hvert ledd er $\frac{1}{100}$ av det forrige, altså har vi

\frac{3}{4}+\frac{3}{400}+\frac{3}{40000}+\dots=\frac{3}{4\cdot 100^0}+\frac{3}{4\cdot 100^1}+\frac{3}{4 \cdot 100^2}+ \cdots

Vi har altså vist at $0{,}75757575\dots$ kan skrives som en uendelig geometrisk rekke, og med sumnotasjon blir rekka

\lim_{ n \to \infty } \sum_{i=1}^n \frac{3}{4\cdot 100^{i-1}}=0{,}75757575\dots

Denne uendelig geometrisk rekka har $a_{1}=\frac{3}{4}$ og $k=\frac{1}{100}$ . Summen av rekka er gitt ved

s=\frac{\frac{3}{4}}{1-\frac{1}{100}}=\frac{\frac{3}{4}}{\frac{99}{100}}=\frac{300}{396}=\frac{75}{99}=\frac{25}{33}

Siden vi nå vet at $0{,}75757575+\dots=\frac{25}{33}$ så kan vi vise følgende

1{,}75757575\ldots=1+0{,}75757575\ldots=1+\frac{25}{33}=\frac{58}{33}

Vi har altså vist at $1{,}75757575\ldots=\frac{58}{33}$ .

Sensorveiledning

Kandidater som finner riktig antall ledd kan få 1 poeng.

Riktig strategi, men feil utregning, kan gi 1 poeng.

1 poeng for å sette opp riktig geometrisk rekke og 1 poeng for å regne ut verdien.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: rekker, uendelig rekke
Kompetansemål: Utforske egenskaper ved ulike rekker og gjøre rede for praktiske anvendelser av egenskaper ved rekker

Oppgave 1-3 : Telt med vektorer i rommet

Et telt står i en plan skråning. Teltet har tre rette teltstenger som er plassert i punktene $A(0, 0, 0)$ , $B(3, 1, 2)$ og $C(-1, 3, 1)$ . De tre teltstengene er samlet i toppunktet $T$ .

Bestem arealet av bunnen i teltet.

Lengden av teltstanga fra punkt $C$ til punkt $T$ er $\sqrt{17}$ . Teltstanga fra punkt $A$ til punkt $T$ følger linja $\ell$ , gitt ved

\ell: \begin{cases} x=t &\\ y=t &\\ z=4t & \end{cases}

Bestem koordinatene til toppunktet $T$ .

Fasit

$\dfrac{5}{2}\sqrt{6}$

$T(1,\ 1,\ 4)$

Løsningsforslag

Jeg vet at arealet til et parallellogram utspent av $\vec{a}$ og $\vec{b}$ er gitt ved $\lvert \vec{a} \times \vec{b} \rvert$ , derfor må arealet av bunnen av teltet være gitt ved

A_{\triangle}=\frac{1}{2} \left| \vec{AB} \times \vec{AC} \right|

\begin{aligned} \vec{AB} \times \vec{AC} &=\begin{vmatrix} \vec{e}_{x} &\vec{e}_{y} & \vec{e}_{z}\\ 3 & 1 & 2\\ -1 & 3 & 1 \end{vmatrix} \\ &= \vec{e}_{x} \left( 1 \cdot 1 - 2 \cdot 3 \right)- \vec{e}_{y} \left( 3 \cdot 1 - 2 \cdot (-1) \right)+ \vec{e}_{z} ( 3 \cdot 3 - 1 \cdot (-1) ) \\ &=\begin{bmatrix} -5, & -5, & 10 \end{bmatrix} \end{aligned}

Arealet er derfor

A_{\triangle}=\frac{1}{2} \left| \vec{AB} \times \vec{AC} \right|=\frac{1}{2}\sqrt{ (-5)^{2}+(-5)^{2}+10^{2} }=\frac{1}{2}\sqrt{ 150 }=\frac{1}{2}\sqrt{ 25 \cdot 6 }=\frac{1}{2}5\cdot \sqrt{ 6 }=\underline{\underline{\frac{5}{2}\sqrt{ 6 }}}

Arealet av bunnen av teltet er $\underline{\underline{\frac{5}{2}\sqrt{ 6 }}}$ .

$T$ ligger på linja $\ell$ med parameterframstillingen $T(t, t, 4t)$ . Vi vet at lengden av teltstanga $CT$ er $\sqrt{17}$ , altså $|\vec{CT}| = \sqrt{17}$ . Vi setter opp:

\begin{aligned} |\vec{CT}|^{2} &= 17\\ (t-(-1))^{2}+(t-3)^{2}+(4t-1)^{2} &= 17\\ (t+1)^{2}+(t-3)^{2}+(4t-1)^{2} &= 17\\ t^{2}+2t+1+t^{2}-6t+9+16t^{2}-8t+1 &= 17\\ 18t^{2}-12t+11 &= 17\\ 18t^{2}-12t-6 &= 0\\ 3t^{2}-2t-1 &= 0\\ (3t+1)(t-1) &= 0\\ t &= 1 \quad \vee \quad t=-\frac{1}{3} \end{aligned}

Fra figuren skal toppunktet befinne seg over $xy$ -planet, så vi velger $t=1$ .

Koordinatene til toppunktet er $\underline{\underline{T(1,\,1,\,4)}}$ .

Sensorveiledning

Riktig strategi for utregning av kryssprodukt kan gi 1 poeng.

4 poeng

To løsninger uten videre kommentarer kan gi 1 poeng.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: vektorer, areal
Kompetansemål: Utforske og forstå regneregler for vektorer i rommet, og bruke vektorer til å beregne ulike størrelser i rommet
Anvende parameterframstillinger til kurver og bruke parameterframstillinger til å løse naturvitenskapelige problemer inkludert problemer knyttet til fart og akselerasjon

Oppgave 1-4 : Radianer og eksakte trigonometriske verdier

Hva er definisjonen av det absolutte vinkelmålet (radianen) til en vinkel? Hvor mange radianer er $80\degree$ ?

Finn de eksakte verdiene til $\cos v$ og $\tan v$ når $\sin v = -\dfrac{1}{4}$ og $v \in \left[\pi, \dfrac{3\pi}{2}\right]$ .

Fasit

$\dfrac{4}{9}\pi$ radianer

$\cos v = -\dfrac{\sqrt{15}}{4}$ , $\tan v = \dfrac{1}{\sqrt{15}}$

Løsningsforslag

Vi tar utgangspunkt i en sirkel med radius $r=1$ og legger toppunktet til en vinkel $\theta$ i sentrum av sirkelen. Vinkelbeina vil skjære sirkelperiferien og avgrense en sirkelbue $b$ .

Det absolutte vinkelmålet er forholdet mellom sirkelbuen $b$ og omkretsen til hele sirkelen.

\theta = \frac{b}{2\pi r}=\frac{b}{2\pi}

Vi kan bruke forholdet mellom et vinkelmål og en hel omdreining for å gjøre om fra grader til radianer. La $\theta$ være det absolutte vinkelmålet til $80^\circ$ , da er

\frac{\theta}{2\pi} =\frac{80^\circ}{360^\circ} \iff \theta=\frac{160}{360}\pi \iff \theta=\frac{4}{9}\pi

$80^\circ$ er $\frac{4}{9}\pi$ radianer.

\sin v = -\frac{1}{4}=\frac{\text{motstående katet}}{\text{hypotenus}}

Vi vet at hypotenusen i en enhetssirkel er 1, derfor har vi $\text{mk}=-\frac{1}{4}$ . Lengden av den siste kateten i en slik trekant må være

\text{hosliggende katet}=\sqrt{ h^{2}-\text{mk}^{2} }=\sqrt{ 1^{2}- \left( -\frac{1}{4} \right) ^{2} }=\sqrt{ 1-\frac{1}{16} }=\sqrt{ \frac{15}{16} }

Vi ser at vinkelen vår må befinne seg i tredje kvadrant siden $v \in \left[ \pi, \frac{3\pi}{2} \right]$ . Det betyr at $\cos v=-\sqrt{ \frac{15}{16} }$ .

$\tan v$ er gitt ved

\tan v = \frac{\sin v}{\cos v}=\frac{-\frac{1}{4}}{-\sqrt{ \frac{15}{16} }}=\frac{1}{\sqrt{ 15 }}

\underline{\underline{\cos v = -\sqrt{ \frac{15}{16} } \quad \text{og} \quad \tan v=\frac{1}{\sqrt{ 15 }}}}

Sensorveiledning

1 poeng for definisjonen og 1 poeng for å finne ut hvor mange radianer det er.

1 poeng for å finne cosinusverdien og 1 poeng for å finne tangensverdien.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: trigonometri, enhetssirkel
Kompetansemål: Utforske egenskaper ved radianer og trigonometriske funksjoner og identiteter og anvende disse egenskapene til å løse praktiske problemer

Oppgave 1-5 : Sinusfunksjon og cosinusfunksjon

Figuren viser grafen til funksjonen

f(x) = 2 \cdot \sin\left(\frac{\pi}{4}x - \frac{\pi}{2}\right) - 1

Grafen til f(x)

Bestem en funksjon på formen $g(x) = A \cdot \cos(cx + \varphi) + d$ , som passer til grafen.

Løs likningen $\cos\left(\dfrac{\pi}{4}x - \pi\right) = \dfrac{1}{2}$ , der $x \in [0, 3\pi]$ . Forklar hvor på figuren løsningene ligger.

Fasit

$g(x) = 2\cos\left(\dfrac{\pi}{4}x + \pi\right) - 1$

$x = \dfrac{8}{3}$ og $x = \dfrac{16}{3}$

Løsningsforslag

Vi kan omskrive en sinusfunksjon til en cosinusfunksjon ved å endre på faseforksyvningen. Likevektslinje, periode og amplitude vil være lik som for sinusfunksjonen.

Vi ser at $f$ har et bunnpunkt i $(0,-3)$ . Vi vet at $\cos u$ har bunnpunkt når $u=\pi$ , så vi kan faseforskyve med $\pi$

g(x)=2 \cdot \cos\left( \frac{\pi}{4}x+\pi \right)-1

Vi vet at $\cos 60\degree=\cos \frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}$ , derfor må $\cos \left( \frac{\pi}{3}+2k\pi \right)=\frac{1}{2}=\cos \left( \frac{5\pi}{3}+2k\pi \right)$ der $k \in \mathbb{Z}$ . Vi kan løse for $x$ i to steg. Først setter vi opp likningen

\frac{\pi}{3}+2k\pi=\frac{\pi}{4}x-\pi \iff x=8k+\frac{16}{3}

Siden $x$ er begrenset til $\left[ 0,3\pi \right]$ , så er det kun løsningen $x=\frac{16}{3}$ som er gyldig fra denne likningen.

Deretter kan vi sette opp

\frac{5\pi}{3}+2k \pi=\frac{\pi}{4}x-\pi \iff x=8k+\frac{32}{3}

På grunn av avgresningen av $x$ , så får vi kun en gyldig løsning hvis vi velger $k=-1$ .

x=8\cdot (-1)+\frac{32}{3}=\frac{8}{3}

Likningen har løsningene $x=\frac{8}{3}$ og $x=\frac{16}{3}$ .

Sensorveiledning

Kandidater som kun finner $A$ og $d$ får ingen uttelling. Kandidater som finner tre verdier kan få 1 poeng.

1 poeng for å løse likningen og finne to løsninger, og 1 poeng for å forklare hvor de ligger på figuren.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: trigonometri, funksjoner
Kompetansemål: Utforske egenskaper ved radianer og trigonometriske funksjoner og identiteter og anvende disse egenskapene til å løse praktiske problemer

Oppgave 2-1 : Ball i bevegelse med posisjonsvektor

En ball ruller av taket på et hus og ned på bakken. Vi plasserer et koordinatsystem slik at

$y$ -aksen ligger på bakken parallelt med husveggen
$x$ -aksen ligger på bakken, står vinkelrett på husveggen og skjærer $y$ -aksen der ballen forlater hustaket
$z$ -aksen angir høyden over bakken med positiv retning oppover

Koordinatsystem med hus og ball

Måleenheten på aksene er meter.

Posisjonen til ballen er gitt ved

\vec{r}(t) = [2t,\ 4t,\ 6 - 0{,}7t - 4{,}9t^2]

der $t$ er antall sekunder etter at ballen forlater taket.

Hvor høyt over bakken er kanten på taket? Hva er posisjonen til ballen etter $0{,}5$ s?

Bestem farten til ballen når den treffer bakken.

Ved hvilket tidspunkt er farten til ballen $10 \mathrm{~m/s}$ ?

Fasit

6 m over bakken; posisjon $(1,\ 2,\ 4{,}425)$ etter 0,5 s

$\approx 11{,}8 \, \mathrm{m/s}$

$t \approx 0{,}84 \, \mathrm{s}$

Løsningsforslag

Løsning av oppgave 1 del 2 i CAS

$z$ -komponenten til $\vec{r}(t)$ gir oss høyden ved tiden $t=0$

\vec{r}_{z}(0)=6-0{,}7 \cdot 0 - 4{,}9 \cdot 0^{2}=6

Posisjonen til ballen etter 0,5 s er gitt ved

\vec{r}(0{,}5)=\begin{bmatrix} 2\cdot 0{,}5, & 4 \cdot 0{,}5, & 6-0{,}7\cdot 0{,}5-4{,}9\cdot 0{,}5^{2} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1, &2, &4{,}425 \end{bmatrix}

Kanten av hustaket er 6 meter over bakken og ballen befinner seg i punktet $(1, 2, 4{,}425)$ etter 0,5 sekunder.

Vi må først finne ut når ballen treffer bakken, altså når $\vec{r}_{z}(t)=0$ , se linje 1 i GeoGebra. Vi kan se bort fra negative løsninger siden denne modellen kun er gyldig etter at ballen har forlatt kanten av taket.

\begin{aligned} \vec{r}_{z}(t)&=0\\ 6-0{,}7t-4{,}9t^{2}&=0\\ t&=1{,}0374 \end{aligned}

Farten til ballen er gitt ved

\vec{v}(t)=\dot{\vec{r}}(t)=\begin{bmatrix} 2, &4, &-9{,}8t-0{,}7 \end{bmatrix}

Jeg tolker oppgaven slik at vi kun er interessert i farten og ikke retningen til ballen i det den treffer bakken. Z-komponenten til fartsvektoren er $\frac{d}{dt}(6-0{,}7t-4{,}9t^{2})=-0{,}7-9{,}8t$ . Farten er i så fall gitt ved

\lvert \vec{v}(t)\rvert=\sqrt{ 2^{2}+4^{2}+(0{,}7+9{,}8t)^{2} }=\sqrt{ (9{,}8t+0{,}7)^{2} +20 }

Farten når ballen treffer bakken vil være (se linje 2 i GeoGebra)

\lvert \vec{v}(1{,}0374)\rvert=\sqrt{ (9{,}8\cdot 1{,}0374+0{,}7)^{2} +20 }=\sqrt{138{,}1}\approx 11{,}75

Farten er $\underline{\underline{\approx 11{,}8 \text{ m/s}}}$ når ballen treffer bakken.

Vi løser likningen (se linje 3 i GeoGebra)

\sqrt{ (9{,}8t+0{,}7)^{2} +20 }=10 \implies 9{,}8t+0{,}7=\sqrt{80} \implies t=\frac{\sqrt{80}-0{,}7}{9{,}8}\approx 0{,}841

Igjen kan vi se bort fra den negative løsningen.

Farta til ballen er 10 m/s etter $\underline{\underline{0{,}84}}$ sekunder.

Sensorveiledning

1 poeng for å finne høyden og 1 poeng for å finne posisjonen etter 0.5 sekunder.

3 poeng

Kandidater som regner ut fartsvektoren for riktig $t$ , men ikke regner ut absoluttverdien, kan få 1 poeng.

3 poeng

Riktig strategi, men feil utregning, kan gi 1 poeng.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: vektorer, derivasjon
Kompetansemål: Anvende parameterframstillinger til kurver og bruke parameterframstillinger til å løse naturvitenskapelige problemer inkludert problemer knyttet til fart og akselerasjon
Utforske og forstå regneregler for vektorer i rommet, og bruke vektorer til å beregne ulike størrelser i rommet

Oppgave 2-2 : Vurder påstander om rekke, plan og areal

Avgjør om hver enkelt påstand nedenfor er sann eller usann. Forklar tydelig hvordan du har resonnert.

Påstand: Likningen til et plan kan alltid bestemmes av 3 punkter i planet.

En uendelig geometrisk rekke er gitt ved $1 + (\ln x - 1) + (\ln x - 1)^2 + \cdots$

Påstand: Dersom $x = \dfrac{1}{e}$ vil summen av rekka være $\dfrac{1}{3}$ .

To funksjoner er gitt ved $f(x) = x^3 - x^2 - ax$ , der $a \in \mathbb{R}$ , og $g(x) = -x^2 + x$ .

Påstand: Grafene til $f$ og $g$ avgrenser to områder som er like store når $a > -1$ .

Fasit

Usann – tre kollineære punkter bestemmer ikke et entydig plan

Usann – rekka divergerer for $x = \dfrac{1}{e}$

Sann – de to arealene er like store

Løsningsforslag

Påstand: Likningen til et plan kan alltid bestemmes av 3 punkter i planet.

Påstanden er usann. Tre punkter bestemmer et entydig plan hvis og bare hvis de ikke er kollineære (ikke ligger på samme rette linje). Hvis tre punkter er kollineære, spenner vektorene $\vec{AB}$ og $\vec{AC}$ over det samme retningsrommet, og kryssprodukt $\vec{AB} \times \vec{AC} = \vec{0}$ . Vi får dermed ingen normalvektor og kan ikke bestemme planet entydig.

Moteksempel: La $A=(0,0,0)$ , $B=(1,0,0)$ og $C=(2,0,0)$ . Disse tre punktene ligger på $x$ -aksen, og uendelig mange plan inneholder denne linja (f.eks. $y=0$ -planet, $z=0$ -planet, $y=z$ -planet m.fl.).

Påstanden er usann.

Jeg vet at summen av en uendelig geometrisk rekke er gitt ved

s=\frac{a_{1}}{1-k}

dersom $-1< k<1$ .

Hvis vi vi lar $x=\frac{1}{e}$ så vil rekka bli

1+ \left( \ln \frac{1}{e}-1 \right) + \left( \ln \frac{1}{e}-1 \right)^{2} + \dots

La oss se hva $\ln \frac{1}{e}-1$ blir

\ln \frac{1}{e}-1=\ln 1 - \ln e - 1=0-1-1=-2

Det første leddet i rekka er $a_{1}=1$ og det andre leddet er $a_{2}=-2$ , det vil si at

k=\frac{-2}{1}=-2

$k$ ligger ikke i intervallet $\langle-1,1\rangle$ , og dermed konvergerer ikke rekka.

Påstanden er usann, rekka konvergerer ikke når $x=\frac{1}{e}$ .

$f$ og $g$ kommer til å avgrense maksimalt 2 områder siden $f$ er en tredjegradsfunksjon og $g$ er en andregradsfunksjon. For å finne disse to områdene må vi først finne skjæringspunktene mellom grafene.

Bestemmelse av skjæringspunktet mellom funksjoner i CAS

Jeg fant skjæringspunktene i GeoGebra. (Vi ser her at kravet om at $a>-1$ gjør at vi får reelle løsninger).

La oss undersøke arealet av områdene som er avgrenset. Jeg gjør dette i GeoGebra ved å integrere fra skjæringspunkt til skjæringspunkt ved hjelp av IntegralMellom.

Bestemmelse av arealet mellom grafene

Påstanden stemmer. Vi ser at arealene mellom grafene er like store.

Sensorveiledning

Kandidaten må argumentere dersom det skal gis full uttelling. Det kan gis 1 poeng dersom kandidaten viser relevant argumentasjon, men ikke kommer fram til riktig svar. Kun rett svar uten begrunnelse gir ingen uttelling.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: rekker, vektorer, integral, argumentasjon
Kompetansemål: Utforske egenskaper ved ulike rekker og gjøre rede for praktiske anvendelser av egenskaper ved rekker
Utforske og forstå regneregler for vektorer i rommet, og bruke vektorer til å beregne ulike størrelser i rommet

Oppgave 2-3 : Jordbær som omdreiningslegeme

Tverrsnitt av jordbær i målestokk 1:1

Linjal i målestokk 1:1

Bildet viser tverrsnittet av et jordbær i målestokk 1:1. Bruk integrasjon og omdreiningslegeme til å beregne volumet av hele jordbæret. Kommenter formen på omdreiningslegemet ditt og vurder svaret.

Fasit

$V \approx 35 \, \mathrm{cm}^3$ (avhenger av målinger fra bildet)

Løsningsforslag

Vi legger et koordinatsystem med origo spissen på jordbæret og måler avstanden fra $x$ -aksen til kanten av jordbæret. Jeg har gjort dette i GeoGebra ved å sette ut punkter, se figur figur 1.

Jeg valgte en andregradsmodell siden denne passet «godt nok». Vi ser at modellen følger omrisset av jordbæret relativt godt fram til punkt $H$ . Vi underestimerer volumet mellom $C$ og $D$ , men vi overestimerer mellom $D$ og $E$ . Jeg setter integrasjonsgrensen til 3,65 cm siden toppen av jordbæret «bøyer seg tilbake» inn mot stilkfestet.

Figur 1: Regresjon og beregning av volum i GeoGebra

Jeg beregner volumet som et omdreiningslegeme med $\pi \int_{a}^{b} \left( f(x) \right)^{2} \, \mathrm{d}x$ i GeoGebra.

Volumet av jordbæret er omtrent $\underline{\underline{ 35 \mathrm{~cm}^{3} }}$ .

Sensorveiledning

1 poeng for å beregne volumet, og 1 poeng for å kommentere og vurdere løsningen.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 2
Temaer: integral, volum, omdreiningslegeme, modellering, regresjon
Kompetansemål: Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon og integrasjon, og anvende integrasjon til å beregne ulike mål av omdreiningslegemer
Gi eksempler på ulike situasjoner som kan modelleres ved å bruke ulike matematiske funksjoner, og modellere og analysere slike situasjoner ved å bruke reelle datasett
Forstå definisjonen av det bestemte integralet og anvende integralet til å analysere funksjoner

Oppgave 2-4 : Russebil med trigonometrisk fartsfunksjon

Anders og Ivana har kjøpt seg russebil. De skal kjøre bilen til en garasje, men på turen begynner motoren å fuske. Farten $v$ følger funksjonen

v(t) = -6\sin\left(360t - \frac{\pi}{2}\right) + 54

Her er $v$ gitt i km/t, og $t$ er antall timer etter at motoren har begynt å fuske.

Bestem det første tidspunktet gjennomsnittsfarten blir 54 km/t.

På hvilke tidspunkt har bilen størst akselerasjon når den kjører med farten $v$ ? Hvor stor er denne akselerasjonen?

Når bilen begynner å fuske, er det 2 km til garasjen som bilen skal parkeres i.

Hvor lenge må Anders og Ivana kjøre for å komme til garasjen, når bilen kjører med farten $v$ ?

Fasit

Gjennomsnittsfart 54 km/t etter $\approx 0{,}00873 \, \mathrm{t}$ (≈ 31 s)

Størst akselerasjon ved vendepunktene: $\approx 0{,}00436 \, \mathrm{t}$ og $\approx 0{,}01309 \, \mathrm{t}$

$\approx 0{,}03684 \, \mathrm{t}$ (≈ 2 min 13 s)

Løsningsforslag

Løsning av oppgave 4 del 2 i CAS

Vi ser at likevektslinja er ved 54 km/t, og at sinusfunksjonen har amplituden 6 km/t, samt at den er faseforskjøvet slik vi er allerede har toppfarten 60 km/t ved tiden $t=0$ . Dermed kan vi konkludere med at gjennomsnittsfarten må være 54 km/t i det vi kommer til fartens første bunnpunkt. Ut fra grafen i GeoGebra ser vi at dette er etter 0,00873 timer.

Vi kan også finne gjennomsnittet av funksjonen slik vi har gjort i linje 2 i CAS i GeoGebra.

Gjennomsnittsfarten var 54 km/t for første gang etter 0,00873 timer eller 31 sekunder.

Bilen har størst akselerasjon i vendepunktene. Alle vendepunktene ligger langs likevektslinja $y=54$ , og vi kan også finne dem ved å løse $v''(t)=54$ , se linje 3 i CAS.

Perioden til funksjonen er 0,01745 timer eller 63 sekunder, se linja mellom $B$ og $D$ i figuren.

Akselerasjonen har sin største negative verdi etter 0,00436 timer eller 16 sekunder, og deretter hvert 63 sekund etter dette. Se punkt $C$ i figuren.

Akselerasjonen har sin største positive verdi etter 0,01309 timer eller 47 sekunder, og deretter hvert 63 sekund etter dette. Se punkt $D$ i figuren.

Vi kan sette opp likningen (se linje 5 i CAS)

\int_{0}^{x} v(t) \, dt =2 \implies x=0{,}03684

Anders og Ivana må kjøre i 0,03684 timer eller ca 2,21 minutter for å komme til garasjen.

Sensorveiledning

Hvis kandidaten finner et tidspunkt der gjennomsnittsfarten er 54 km/t, men som ikke er det første tidspunktet, så kan det gis 1 poeng.

1 poeng for å finne tidspunktet og 1 poeng for å finne akselerasjonen. Kandidaten trekkes ikke hvis enhet mangler på akselerasjonen.

Hvis kandidaten bruker gjennomsnittsfarten uten noe argumentasjon, gis det ingen poeng. Hvis kandidaten setter opp riktig likning med integral, men ikke kommer fram til svaret, kan det gis 1 poeng.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: trigonometri, integral, derivasjon
Kompetansemål: Utforske egenskaper ved radianer og trigonometriske funksjoner og identiteter og anvende disse egenskapene til å løse praktiske problemer
Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon og integrasjon, og anvende integrasjon til å beregne ulike mål av omdreiningslegemer

Oppgave 2-5 : Rekursiv formel og programmering

Bestem en rekursiv formel for tallfølgen $1, 2, 6,15,31,56,\dots$

Bruk den rekursive formelen du fant i oppgave a), og lag et program som regner ut summen av de 30 første leddene i tallfølgen.

Husk å legge ved bilde av både koden og resultatet av kjøringen.

Fasit

$a_{n+1}=a_{n}+n^{2}$

67 455

Løsningsforslag

Jeg setter opp tallene i følgen og sjekker differansene mellom hvert ledd (det er alltid et godt tips for å finne mønstre!). Jeg fant ut at differansene mellom tallene var 1, 4, 9, 16, 25, og disse tallene kjenner jeg igjen som kvadrattallene.

Jeg sjekker om jeg finner en god sammenheng for et av leddene

a_{5}=31=15+16=15+4^2=a_{4}+4^{2}

Jeg ser at jeg kan generalisere denne sammenhengen som

\underline{\underline{a_{n+1}=a_{n}+n^{2}}}

Program for å regne ut ledd i rekke

Jeg brukte en for-løkke til å regne meg fram til delsummen til ledd nummer 30 og skrev ut svarene i konsollen.

Summen av de 30 første leddene er 67 455.

Ulike løsninger på denne oppgaven

Det finnes mange ulike løsninger på denne oppgaven – det viktigste er å passe på at ledd nr. 1 faktisk blir 1, ledd nr. 2 blir 2, ledd nr. 3 blir 6 og så videre. Derfor er det lurt å skrive ut alle leddene, og sjekke at de første leddene blir riktige sammelignet med oppgaveteksten. Her er ulike løsningsforslag til samme oppgave.

a = 1
sum = 0
for n in range(1, 31):
   a = a + (n - 1) ** 2  # regner ut nytt ledd
   sum = sum + a         # finner delsummen
   print(f"Ledd {n}: {a}. Delsum {n}: {sum}")

a = 1
sum = 1
for n in range(1, 30):
  a = a + n ** 2
  sum = sum + a
  print(f"Ledd {n + 1}: {a}. Delsum {n + 1}: {sum}")

a = 1
sum = 1
for n in range(2, 31):
   a = (n - 1) ** 2 + a  
   sum = sum + a         
   print(f"Ledd {n}: {a}. Delsum {n}: {sum}")


a = 1
sum = 1
for n in range(1, 31):
  print(f"Ledd {n}: {a}. Delsum {n}: {sum}")
  a = a + n ** 2
  sum = sum + a

Sensorveiledning

Kun formel uten begrunnelse eller argumentasjon gir 1 poeng.

Kandidater som lager et program med den eksplisitte formelen, kan få 1 poeng. Program med en god strategi, men feil svar, kan få 1 poeng. Program med riktig strategi, men med små feil som fører til feil svar, kan få 2 poeng.

Oppgavedata

Delt med: S2, R2
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: programmering, rekursiv sammenheng, rekker
Kompetansemål: Utforske rekursive sammenhenger ved å bruke programmering og presentere egne framgangsmåter
Utforske egenskaper ved ulike rekker og gjøre rede for praktiske anvendelser av egenskaper ved rekker

Oppgave 2-6 : Omdreiningslegeme av sirkel om y-aksen

En sirkel har sentrum i $S(a, 0)$ og har radius $R < a$ . Sirkelen roteres om $y$ -aksen.

Vis at volumet av omdreiningslegemet blir $2\pi^2 R^2 a$ .

Fasit

$V = 2\pi^2 R^2 a$ (bevis)

Løsningsforslag

Flytting av sirkelen i oppgave 6

For å gjøre jobben enklere for meg selv så vil jeg flytte sirkelen fra $S(a,0)$ til $S^*(0,a)$ og rotere sirkelen om $x$ -aksen istedenfor om $y$ -aksen. Sirkelens radius er fremdeles $R< a$ .

En sirkel har likningen $x^{2}+y^{2}=R^{2}$ , eller omskrevet for $y$ får vi

y=\pm \sqrt{ R^{2} - x^{2} }

Der den positive løsningen vil gi oss den øvre halvsirkelen, og den negative løsningen gir oss den nedre halvsirkelen.

Vår sirkel er forskjøvet med $a$ enheter i positiv $y$ -retning, derfor er uttrykket for sirkelen vår

y=\pm \sqrt{ R^{2}-x^{2} }+a

Vi kan bruke formelen for omdreiningslegeme for å finne volumet. Vi bruker først formelen for den øvre halvsirkelen og finner dermed volumet av en slags smultring uten hull. Deretter lager vi et hull i smultringen ved å trekke fra volumet av omdreiningslegemet definert av den nedre halvsirkelen.

Formelen for 360º omdreining rundt $x$ -aksen er

V=\pi \int_{a}^{b} \left( f(x) \right) ^{2} \, dx

Grensene for integrasjonen er $x=-R$ og $x=R$ .

$R$ er positiv, så vi har $\text{sgn}(R)=1$ i vårt tilfelle (se faktaboks lenger nede for mer info).

Volumet av omdreiningslegemet er $2\pi^{2} R^{2}a$ , som skulle vises.

Sensorveiledning

Kandidater som har en god strategi, men som ikke kommer helt i mål, kan få 1 poeng.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 2
Temaer: integral, volum, omdreiningslegeme, bevis
Kompetansemål: Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon og integrasjon, og anvende integrasjon til å beregne ulike mål av omdreiningslegemer
Analysere og forstå matematiske bevis, forklare de bærende ideene i et matematisk bevis og utvikle egne bevis

Sync på tvers av enheter

Del 1 — uten hjelpemidler · 2 timer

Oppgave 1-1 : Integral med delvis integrasjon og trigonometri

Oppgave 1-2 : Sumformel, kvotient og geometrisk rekke

Oppgave 1-3 : Telt med vektorer i rommet

Oppgave 1-4 : Radianer og eksakte trigonometriske verdier

Oppgave 1-5 : Sinusfunksjon og cosinusfunksjon

Del 2 — med hjelpemidler · 3 timer

Oppgave 2-1 : Ball i bevegelse med posisjonsvektor

Oppgave 2-2 : Vurder påstander om rekke, plan og areal

Oppgave 2-3 : Jordbær som omdreiningslegeme

Oppgave 2-4 : Russebil med trigonometrisk fartsfunksjon

Oppgave 2-5 : Rekursiv formel og programmering

Oppgave 2-6 : Omdreiningslegeme av sirkel om y-aksen