Russebil med trigonometrisk fartsfunksjon

Anders og Ivana har kjøpt seg russebil. De skal kjøre bilen til en garasje, men på turen begynner motoren å fuske. Farten $v$ følger funksjonen

v(t) = -6\sin\left(360t - \frac{\pi}{2}\right) + 54

Her er $v$ gitt i km/t, og $t$ er antall timer etter at motoren har begynt å fuske.

Bestem det første tidspunktet gjennomsnittsfarten blir 54 km/t.

På hvilke tidspunkt har bilen størst akselerasjon når den kjører med farten $v$ ? Hvor stor er denne akselerasjonen?

Når bilen begynner å fuske, er det 2 km til garasjen som bilen skal parkeres i.

Hvor lenge må Anders og Ivana kjøre for å komme til garasjen, når bilen kjører med farten $v$ ?

Fasit

Gjennomsnittsfart 54 km/t etter $\approx 0{,}00873 \, \mathrm{t}$ (≈ 31 s)

Størst akselerasjon ved vendepunktene: $\approx 0{,}00436 \, \mathrm{t}$ og $\approx 0{,}01309 \, \mathrm{t}$

$\approx 0{,}03684 \, \mathrm{t}$ (≈ 2 min 13 s)

Løsningsforslag

Løsning av oppgave 4 del 2 i CAS

Vi ser at likevektslinja er ved 54 km/t, og at sinusfunksjonen har amplituden 6 km/t, samt at den er faseforskjøvet slik vi er allerede har toppfarten 60 km/t ved tiden $t=0$ . Dermed kan vi konkludere med at gjennomsnittsfarten må være 54 km/t i det vi kommer til fartens første bunnpunkt. Ut fra grafen i GeoGebra ser vi at dette er etter 0,00873 timer.

Vi kan også finne gjennomsnittet av funksjonen slik vi har gjort i linje 2 i CAS i GeoGebra.

Gjennomsnittsfarten var 54 km/t for første gang etter 0,00873 timer eller 31 sekunder.

Bilen har størst akselerasjon i vendepunktene. Alle vendepunktene ligger langs likevektslinja $y=54$ , og vi kan også finne dem ved å løse $v''(t)=54$ , se linje 3 i CAS.

Perioden til funksjonen er 0,01745 timer eller 63 sekunder, se linja mellom $B$ og $D$ i figuren.

Akselerasjonen har sin største negative verdi etter 0,00436 timer eller 16 sekunder, og deretter hvert 63 sekund etter dette. Se punkt $C$ i figuren.

Akselerasjonen har sin største positive verdi etter 0,01309 timer eller 47 sekunder, og deretter hvert 63 sekund etter dette. Se punkt $D$ i figuren.

Vi kan sette opp likningen (se linje 5 i CAS)

\int_{0}^{x} v(t) \, dt =2 \implies x=0{,}03684

Anders og Ivana må kjøre i 0,03684 timer eller ca 2,21 minutter for å komme til garasjen.

Sensorveiledning

Hvis kandidaten finner et tidspunkt der gjennomsnittsfarten er 54 km/t, men som ikke er det første tidspunktet, så kan det gis 1 poeng.

1 poeng for å finne tidspunktet og 1 poeng for å finne akselerasjonen. Kandidaten trekkes ikke hvis enhet mangler på akselerasjonen.

Hvis kandidaten bruker gjennomsnittsfarten uten noe argumentasjon, gis det ingen poeng. Hvis kandidaten setter opp riktig likning med integral, men ikke kommer fram til svaret, kan det gis 1 poeng.

Oppgavedata

Hentet fra: R2 H2024, del 2, oppgave 4
Kategori: 2
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: trigonometri, integral, derivasjon
Kompetansemål: Utforske egenskaper ved radianer og trigonometriske funksjoner og identiteter og anvende disse egenskapene til å løse praktiske problemer
Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon og integrasjon, og anvende integrasjon til å beregne ulike mål av omdreiningslegemer