Integral med delvis integrasjon og trigonometri

Regn ut integralet $\int x^2 \cdot \ln x \, dx$

Bestem $x$ når $\int_0^x \sin\left(\pi t + \frac{\pi}{4}\right) \, \mathrm{d}t = 0$ og $x \in \langle 0, \pi \rangle$ .

Gi en praktisk tolkning av svaret i oppgave b).

Fasit

$\dfrac{1}{3}x^3\left(\ln x - \dfrac{1}{3}\right) + C$

$x = \dfrac{3}{2}$ og $x = 2$

Like mye positivt og negativt areal mellom 0 og $x$

Løsningsforslag

Siden vi skal regne ut integralet til produktet av to ulike funksjoner vil jeg forsøke delvis integrasjon. Jeg benytter DI-metoden, og velger at $x^{2}$ er den faktoren som skal integreres, og $\ln x$ er faktoren som skal deriveres.

	D	I
+	$\ln x$	$x^{2}$
-	$\frac{1}{x}$	$\frac{1}{3}x^{3}$

Vi kan altså sette opp

\begin{aligned} \int x^{2} \ln x \, \mathrm{d}x &= \ln x \cdot \frac{1}{3}x^{3} - \int \frac{1}{x}\cdot \frac{1}{3} x^{3} \, \mathrm{d}x \\ &=\frac{1}{3} x^{3}\ln x - \frac{1}{3} \int x^{2} \, \mathrm{d}x\\ &=\frac{1}{3} x^{3} \ln x - \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{3} x^{3}+C\\ &=\underline{\underline{\frac{1}{3}x^{3}\left( \ln x-\frac{1}{3} \right)+C}} \end{aligned}

Vi løser først det tilhørende ubestemte integralet ved hjelp av variabelskiftet $u=\pi t+\frac{\pi}{4}$ . Da er

\frac{du}{dt}=\pi \iff dt=\frac{du}{\pi}

Vi gjennomfører variabelskiftet

\int \sin \left( \pi t + \frac{\pi}{4} \right) \, \mathrm{d}t=\int \sin u \, \frac{\mathrm{d}u}{\pi} =-\frac{1}{\pi}\cos(u)+C=-\frac{1}{\pi}\cos\left( \pi t + \frac{\pi}{4} \right)+C

Vi setter opp det bestemte integralet og setter lik 0.

\begin{aligned} -\frac{1}{\pi} \left[ \cos\left( \pi t + \frac{\pi}{4} \right) \right]_{0}^{x}&=0\\ \left[ \cos\left( \pi t + \frac{\pi}{4} \right) \right]_{0}^{x}&=0\\ \left( \cos\left( \pi x + \frac{\pi}{4} \right) \right)-\left( \cos\left( \pi \cdot 0 + \frac{\pi}{4} \right) \right) &=0\\ \left( \cos\left( \pi x + \frac{\pi}{4} \right) \right)-\left( \cos\left(\frac{\pi}{4} \right) \right) &=0\\ \cos\left( \pi x + \frac{\pi}{4} \right)- \cos\left(\frac{\pi}{4} \right) &=0\\ \cos\left( \pi x + \frac{\pi}{4} \right) &= \cos\left(\frac{\pi}{4} \right) \end{aligned}

Vi vet at vi at følgende uttrykk er like

\begin{aligned} \text{(1)} \quad \cos \left( \frac{\pi}{4} \right) &=\cos\left( 2k\pi+ \frac{\pi}{4}\right) \quad \text{der} \quad k\in \mathbb{Z}\\ \text{(2)} \quad \cos \left( \frac{\pi}{4} \right) &=\cos\left( 2k\pi+\frac{7\pi}{4}\right) \quad \text{der} \quad k\in \mathbb{Z} \end{aligned}

$x$ er begrenset til intervallet $\langle 0, \pi\rangle$ , derfor får vi kun en gyldig løsning fra likning $(1)$

x=2k \implies x=2

Fra likning $(2)$ får vi følgende løsning

\begin{aligned} \pi x + \frac{\pi}{4}&=2k \pi + \frac{7\pi}{4}\\ \pi x&=2\pi k+\frac{6\pi}{4}\\ x &=2k + \frac{3}{2}\\ x&=\frac{3}{2} \quad \text{ hvis } x \in \langle 0, \pi \rangle \end{aligned}

Løsningene er $\underline{\underline{x=\frac{3}{2}}}$ og $\underline{\underline{x=2}}$ .

Hvis integralet av $\int_{0}^{x} f(t) \, dt$ skal være lik 0 så må vi ha nøyaktig like mye areal mellom grafen og $x$ -aksen på den positive og negative siden av $x$ -aksen mellom $0$ og $x$ . For en sinusfunksjon så vil vi like mye areal på begge sider av $x$ -aksen når funksjonen har gjennomført et heltall antall perioder fra tiden $t=0$ .

Sensorveiledning

Det kan gis 1 poeng dersom kandidaten bruker en riktig strategi, men gjør feil i utregningen. Kandidaten kan få full uttelling selv om $C$ utelates i svaret, men det er en del av helhetsvurderingen.

Riktig bestemt integral uten å løse likningen kan gi 1 poeng.

En upresis tolkning kan gi 1 poeng. For å få 2 poeng må kandidaten koble areal til løsningene.

Oppgavedata

Hentet fra: R2 H2024, del 1, oppgave 1
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: integral, trigonometri, delvis integrasjon, substitusjon, tolkning av integraler
Kompetansemål: Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon og integrasjon, og anvende integrasjon til å beregne ulike mål av omdreiningslegemer
Utforske egenskaper ved radianer og trigonometriske funksjoner og identiteter og anvende disse egenskapene til å løse praktiske problemer
Forstå definisjonen av det bestemte integralet og anvende integralet til å analysere funksjoner