R1 Vår 2020

LK06 12 oppgaver 60 poeng 5 timer

0 av 12 klart

Ikke prøvd Prøvd Trenger hjelp Klart

R1 Vår 2020 – oversikt over oppgavene
№	Navn	LF
Del 1 1 time uten hjelpemidler · 8 oppgaver · 36 poeng
1	Derivasjon av tre funksjoner R1 V20	—
2	Logaritme- og eksponentiallikninger R1 V20	—
3	Vektorer med parallellitet og vinkelretthet R1 V20	—
4	Kubisk polynom med faktorisering, ulikhet og grenseverdier	—
5	Bøker i sekken – kombinatorikk og sannsynlighet	—
6	Trapes under parabel med optimalt areal	—
7	Vinkler i sirkel med sentrivinkel og periferivinkel	—
8	Firkant med like sider og vektormetode	—
Del 2 4 timer med hjelpemidler · 4 oppgaver · 24 poeng
1	Elbilandel i Hordaland – binomisk forsøk	—
2	Middelverdisetning og CAS-bevis for andregradsderiverte	—
3	To partikler med parameterkurver og minste avstand	—
4	Pytagoras bevis med speiling og arealbetraktning	—

Del 1 — uten hjelpemidler · 1 time · 8 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 1-1 : Derivasjon av tre funksjoner R1 V20

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Deriver funksjonene:

f(x) = x^6 + 3x^5 + \ln x

g(x) = 2x^2 \cdot e^{2x-1}

h(x) = \dfrac{4x-1}{x+2}

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Derivasjon, Produktregelen, Kjerneregelen, Kjederegelen

Oppgave 1-2 : Logaritme- og eksponentiallikninger R1 V20

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Løs likningene.

\ln(x^2) + \ln x = 12

e^{2x} - e^x = 6

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Logaritmefunksjoner, Eksponentialfunksjoner, Likninger

Oppgave 1-3 : Vektorer med parallellitet og vinkelretthet R1 V20

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Om vektorene $\vec{u}$ og $\vec{v}$ får du vite at

$\vec{u} \cdot \vec{v} = -2$
$|\vec{u}| = 3$ og $|\vec{v}| = 2$

Vektorene $\vec{a}$ og $\vec{b}$ er gitt ved

\vec{a} = 2\vec{u} + 3\vec{v} \quad \text{og} \quad \vec{b} = t \cdot \vec{u} + 5\vec{v}

Bestem $t$ slik at $\vec{a}$ blir parallell med $\vec{b}$ .

Bestem $t$ slik at $\vec{a} \perp \vec{b}$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Vektorer, Parallelle vektorer, Prikkprodukt

Oppgave 1-4 : Kubisk polynom med faktorisering, ulikhet og grenseverdier

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Polynomet $P$ er gitt ved

P(x) = 6x^3 - 5x^2 - 2x + 1

Forklar hvordan vi kan vite at divisjonen $P(x) : (x-1)$ går opp, uten å måtte utføre selve divisjonen.

Bruk blant annet polynomdivisjon for å vise at $P(x) = (x-1)(2x+1)(3x-1)$ .

Funksjonen $F$ er gitt ved

F(x) = \frac{P(x)}{x^2 - 1}

Løs ulikheten: $F(x) \geq 0$

Bestem grenseverdiene, dersom de eksisterer:

\lim_{x \to 1} F(x) \quad \text{og} \quad \lim_{x \to -1} F(x)

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 3
Poeng: 7
Temaer: Polynomdivisjon, Faktorisering, Ulikheter, Grenseverdi, Rasjonale funksjoner

Oppgave 1-5 : Bøker i sekken – kombinatorikk og sannsynlighet

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Per har alle skolebøkene sine liggende hjemme. Han har én bok i hvert av de 8 fagene han tar. Hver dag har Per undervisning i 3 fag. Han må derfor legge 3 bøker i sekken før han går til skolen.

Hvor mange mulige kombinasjoner av bøker kan han legge i sekken?

En dag er Per skikkelig trøtt. Han husker ikke hvilke fag han skal ha den dagen. Han tar derfor med seg 4 av bøkene uten å se hvilke det er.

Hva er sannsynligheten for at han har med seg riktig bok til alle fagene den dagen?

Hva er sannsynligheten for at han har med seg riktig bok til minst 2 av fagene den dagen?

Oppgavedata

Delt med: R1, S1
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Kombinatorikk, Sannsynlighet, Hypergeometrisk fordeling

Oppgave 1-6 : Trapes under parabel med optimalt areal

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

I koordinatsystemet nedenfor har vi tegnet grafen til funksjonen $f$ gitt ved

f(x) = 9 - x^2

Punktene $A(-3,\ 0)$ , $B(3,\ 0)$ , $C(x,\ f(x))$ og $D(-x,\ f(-x))$ danner et trapes når $0 < x < 3$ .

Trapes ABCD innskrevet under parabel f(x)=9-x²

Vis at arealet $F$ av trapeset $ABCD$ er gitt ved

F(x) = -x^3 - 3x^2 + 9x + 27, \quad 0 < x < 3

Bestem det største arealet trapeset kan ha.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 4
Temaer: Optimering, Derivasjon, Areal, Funksjoner

Oppgave 1-7 : Vinkler i sirkel med sentrivinkel og periferivinkel

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Skissen nedenfor viser en sirkel med sentrum $S$ . Punktene $A$ , $B$ , $C$ og $D$ ligger på sirkelperiferien.

Sirkel med sentrum S og punktene A, B, C, D på periferien med gitte vinkler

Bestem vinklene $u$ , $v$ og $w$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Sirkel, Geometri, Trigonometri

Oppgave 1-8 : Firkant med like sider og vektormetode

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Punktene $A(-1,\ 1)$ og $C(7,\ 5)$ er hjørner i firkanten $ABCD$ . Alle sidene i firkanten er like lange. Punktet $D$ ligger på linja $l$ gitt ved $y = 2x + 1$ .

Forklar at $\overrightarrow{AD}$ kan skrives på formen $\overrightarrow{AD} = [t+1,\, 2t]$ , for en $t \in \mathbb{R}$ .

Bestem koordinatene til $B$ og $D$ ved regning.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 4
Temaer: Vektorer, Geometri, Likningssystem

Del 2 — med hjelpemidler · 4 timer · 4 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 2-1 : Elbilandel i Hordaland – binomisk forsøk

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Maria fra Bergen i Hordaland leste teksten nedenfor på nettsiden abcnyheter.no:

På fylkesnivå er det Hordaland som leder an med en elbilandel på 12,5 prosent av personbilparken. Oslo følger hakk i hæl med 12,1 prosent og Akershus på tredjeplass med 11,5 prosent elbilandel.

En dag bestemmer hun seg for å føre statistikk over de 100 første bilene som kjører forbi Danmarks plass i Bergen.

Hvilke antakelser må vi gjøre for å kunne se på dette som et binomisk forsøk?

Bestem sannsynligheten for at minst 15 av bilene er elbiler.

Hva er det minste antallet biler hun må føre statistikk over for at sannsynligheten skal være større enn 90 prosent for at minst 20 av bilene er elbiler?

Oppgavedata

Delt med: R1, S1
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Binomisk fordeling, Sannsynlighet, Statistikk

Oppgave 2-2 : Middelverdisetning og CAS-bevis for andregradsderiverte

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $p$ er gitt ved

p(x) = x^2 + 3x - 1

Vis at linja som går gjennom $(-1,\, p(-1))$ og $(3,\, p(3))$ , er parallell med tangenten til grafen til $p$ i punktet $(1, 3)$ .

Funksjonen $q$ er gitt ved

q(x) = a \cdot x^2 + b \cdot x + c

Bruk CAS til å vise at $q'(x) = \dfrac{q(x+h) - q(x-h)}{2h}$ for alle $x$ , der $h \neq 0$ .

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 4
Temaer: Derivasjon, Grenseverdi, Cas, Andregradsfunksjon

Oppgave 2-3 : To partikler med parameterkurver og minste avstand

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Posisjonene $\vec{r}_1$ og $\vec{r}_2$ (målt i meter) til to partikler ved et tidspunkt $t$ (målt i sekund) er gitt ved

\vec{r}_1(t) = \left[t^2 - 2,\ t^3 - 2t\right], \quad -2 \leq t \leq 2

\vec{r}_2(t) = \left[2t - 1,\ 4t - 4t^2\right], \quad -2 \leq t \leq 2

Tegn grafene til $\vec{r}_1$ og $\vec{r}_2$ i samme koordinatsystem.

Bestem banefarten til hver av partiklene når $t = -1$ .

Ved hvilke tidspunkter har de to partiklene samme fartsretning?

Hva er den minste avstanden mellom partiklene i løpet av de fire sekundene?

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 8
Temaer: Parameterframstilling, Vektorer, Derivasjon, Optimering

Oppgave 2-4 : Pytagoras bevis med speiling og arealbetraktning

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

I denne oppgaven skal du bevise Pytagoras’ setning.

Den rettvinklede trekanten $ABC$ har sidene $a$ , $b$ og $c$ . La $D$ være fotpunktet til normalen fra $C$ på $AB$ .

Rettvinklet trekant ABC med normal fra C til AB

Vi speiler $\triangle ABC$ om $AB$ og får $\triangle AEB$ .
Vi speiler $\triangle BCD$ om $BC$ og får $\triangle CBF$ .
Vi speiler $\triangle CAD$ om $AC$ og får $\triangle ACG$ .

Trekant ABC med de tre speilte trekantene AEB, CBF og ACG

Begrunn at trekantene $AEB$ , $CBF$ og $ACG$ er formlike med hverandre.

Vi lar $h_1$ , $h_2$ og $h_3$ være høydene i trekantene $AEB$ , $CBF$ og $ACG$ .

Vi setter $k = \dfrac{h_1}{c}$

Figur med høyder h₁, h₂ og h₃ i de speilte trekantene

Begrunn at $h_2 = k \cdot a$ og $h_3 = k \cdot b$

Bruk arealbetraktninger og resultatet fra oppgave b) til å bevise Pytagoras’ setning.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Bevis, Geometri, Areal, Rettvinklet trekant

Sync på tvers av enheter

R1 Vår 2020

Del 1 — uten hjelpemidler · 1 time · 8 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 1-1 : Derivasjon av tre funksjoner R1 V20

Oppgave 1-2 : Logaritme- og eksponentiallikninger R1 V20

Oppgave 1-3 : Vektorer med parallellitet og vinkelretthet R1 V20

Oppgave 1-4 : Kubisk polynom med faktorisering, ulikhet og grenseverdier

Oppgave 1-5 : Bøker i sekken – kombinatorikk og sannsynlighet

Oppgave 1-6 : Trapes under parabel med optimalt areal

Oppgave 1-7 : Vinkler i sirkel med sentrivinkel og periferivinkel

Oppgave 1-8 : Firkant med like sider og vektormetode

Del 2 — med hjelpemidler · 4 timer · 4 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 2-1 : Elbilandel i Hordaland – binomisk forsøk

Oppgave 2-2 : Middelverdisetning og CAS-bevis for andregradsderiverte

Oppgave 2-3 : To partikler med parameterkurver og minste avstand

Oppgave 2-4 : Pytagoras bevis med speiling og arealbetraktning

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave