R1 Høst 2020

LK06 13 oppgaver 60 poeng 5 timer

0 av 13 klart

Ikke prøvd Prøvd Trenger hjelp Klart

R1 Høst 2020 – oversikt over oppgavene
№	Navn	LF
Del 1 1 time uten hjelpemidler · 9 oppgaver · 36 poeng
1	Derivasjon med eksponent rotuttrykk og kvotient	—
2	Logaritmeuttrykk med potenser forenklet	—
3	Polynomlikning og polynomunlikhet med bevis	—
4	Partikkelposisjon og akselerasjon med vektorfunksjon	—
5	Matematisk tyngdepunkt i firkant med vektorer	—
6	Kuler i krukke sannsynlighet for lik farge	—
7	Tredjegradsfunksjon stigende med vendepunkt	—
8	Vinkler i innskrevet trekant med sentralvinkel	—
9	Midtlinjens lengde i trapes bevis	—
Del 2 4 timer med hjelpemidler · 4 oppgaver · 24 poeng
1	Soldager på Gran Canaria og binomisk fordeling	—
2	Kulekast modellert med vektorfunksjoner	—
3	Rektangel med størst areal under parabel	—
4	Krumningsradius til grafpunkt	—

Del 1 — uten hjelpemidler · 1 time · 9 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 1-1 : Derivasjon med eksponent rotuttrykk og kvotient

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Deriver funksjonene

f(x) = x + e^{2x}

g(x) = x^3 \cdot \sqrt{x^2 - 1}

h(x) = \dfrac{x^3}{x^2 - 1}

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Derivasjon, Kjerneregelen, Produktregelen

Oppgave 1-2 : Logaritmeuttrykk med potenser forenklet

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Skriv så enkelt som mulig:

\ln(a^3 b^2) - \ln(a^2) - \ln(ab^2)

Skriv uttrykket $\ln(a^3 b^2) - \ln(a^2) - \ln(ab^2)$ så enkelt som mulig.

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Logaritmer, Algebra

Oppgave 1-3 : Polynomlikning og polynomunlikhet med bevis

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Vis at $x = 2$ er en løsning av likningen:

x^3 + 2x = 2x^2 + 5x - 6

Løs ulikheten:

x^3 + 2x < 2x^2 + 5x - 6

Lag en ulikhet som har løsningsmengden $\langle \leftarrow, -1 \rangle \cup [2, \rightarrow\rangle$

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Polynomdivisjon, Ulikheter, Faktorisering

Oppgave 1-4 : Partikkelposisjon og akselerasjon med vektorfunksjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Posisjonsvektoren til en partikkel er gitt ved vektorfunksjonen

\vec{r}(t) = \left[ 4t + 2,\ 2t^2 - 5t \right]

Bestem et uttrykk for fartsvektoren og et uttrykk for akselerasjonsvektoren til partikkelen.

Når står fartsvektoren vinkelrett på akselerasjonsvektoren?

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Vektorer, Derivasjon, Parameterframstilling

Oppgave 1-5 : Matematisk tyngdepunkt i firkant med vektorer

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Firkanten ABCD er gitt ved A(1, 1), B(6, 2), C(5, 7) og D(2, 8).

Bestem $\overrightarrow{AB}$ og $|\overrightarrow{AB}|$ .

For en firkant PQRS er det matematiske tyngdepunktet T gitt ved

\overrightarrow{OT} = \frac{1}{4}\left(\overrightarrow{OP} + \overrightarrow{OQ} + \overrightarrow{OR} + \overrightarrow{OS}\right)

der O er origo.

Bestem koordinatene til det matematiske tyngdepunktet til firkanten ABCD ovenfor.

Vi har gitt punktene E(0, 3), F(2, −2) og G(7, 3). Disse danner sammen med punktet H en firkant EFGH. Det matematiske tyngdepunktet i denne firkanten er T(3, 2).

Bestem koordinatene til H.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Vektorer, Lengde av vektor

Oppgave 1-6 : Kuler i krukke sannsynlighet for lik farge

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Tore og Mia diskuterer hvem som skal ta oppvasken. De legger 2 røde og 2 blå kuler i en krukke og skal trekke 2 kuler tilfeldig (uten tilbakelegging) fra krukken. Mia foreslår at hun må ta oppvasken dersom de 2 kulene har lik farge, mens Tore må ta oppvasken dersom de 2 kulene har ulik farge.

Bestem sannsynligheten for at Mia må ta oppvasken dersom de følger dette forslaget.

Tore mener at dette er urettferdig. Han foreslår at de skal legge flere røde kuler i krukken.

Hvor mange røde kuler må det minst ligge i krukken dersom sannsynligheten for at de to kulene har ulik farge, er mindre enn 50 %?

Oppgavedata

Delt med: R1, S1
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Sannsynlighet, Kombinatorikk

Oppgave 1-7 : Tredjegradsfunksjon stigende med vendepunkt

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ er gitt ved

f(x) = (x + 2)(x^2 + x + 5)

Vis at grafen til $f$ er stigende for alle verdier av $x$ .

Bestem eventuelle vendepunkter på grafen til $f$ .

Lag en skisse av grafen til $f$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Funksjonsdrøfting, Derivasjon, Nullpunkter

Oppgave 1-8 : Vinkler i innskrevet trekant med sentralvinkel

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Punktene A, B og C ligger på en sirkel med sentrum i S, slik skissen viser.

Innskrevet trekant ABC med sentralvinkel 140° og perifervinkel 30°

Bestem vinklene i trekanten ABC.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Geometri, Sirkel, Trigonometri

Oppgave 1-9 : Midtlinjens lengde i trapes bevis

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

I et trapes ABCD lar vi M være midtpunktet på AD og N være midtpunktet på BC. Se skissen.

Trapes ABCD med midtlinje MN

Vis at $MN = \dfrac{1}{2}(AB + DC)$

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Geometri, Vektorer, Bevis

Del 2 — med hjelpemidler · 4 timer · 4 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 2-1 : Soldager på Gran Canaria og binomisk fordeling

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Agnete planlegger en 14 dagers ferietur til sørkysten av Gran Canaria. Der er det i gjennomsnitt 300 soldager i året.

Hun har gjort noen beregninger og funnet ut at sannsynligheten for at alle de 14 dagene blir soldager, er $6{,}4\,\%$ .

Forklar hvordan hun kan ha kommet fram til dette resultatet. Hvilke forutsetninger ligger til grunn for beregningene?

En familie vurderer å reise på en 14 dagers tur til sørkysten av Gran Canaria hvert år de neste 8 årene.

Bestem sannsynligheten for at de opplever bare soldager på minst 2 av disse 8 framtidige feriereisene. Vi forutsetter at antall soldager i året ikke endrer seg i løpet av disse åtte årene.

Ole planlegger en 4 ukers ferietur til et annet sted i verden. Et reisebyrå oppgir at sannsynligheten for minst 22 soldager på dette feriestedet i løpet av en tilfeldig fireukersperiode er minst 90 %.

Hvor mange soldager i året må det minst være i gjennomsnitt på dette stedet for at påstanden fra reisebyrået skal være sann?

Oppgavedata

Delt med: R1, S1
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Binomisk fordeling, Sannsynlighet

Oppgave 2-2 : Kulekast modellert med vektorfunksjoner

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Rikard kaster en kule. Etter $t$ sekunder er posisjonen $\vec{r}_A$ til kulen gitt ved

\vec{r}_A(t) = \left[9t,\ 1 + 7t - 5t^2\right]

Enheten på aksene er meter, og $x$ -aksen er langs bakken.

Hvor langt kaster Rikard kulen i $x$ -retning?

Berit står 25 meter fra Rikard. Hun kaster en kule i retning mot Rikard samtidig som Rikard kaster sin kule. Etter $t$ sekunder er posisjonen $\vec{r}_B$ til Berits kule gitt ved

\vec{r}_B(t) = \left[25 - 8t,\ 1 + 7t - 5t^2\right]

Tegn grafene til $\vec{r}_A$ og $\vec{r}_B$ i samme koordinatsystem.

Vil de to kulene treffe hverandre?

Ville svaret i oppgave c) blitt annerledes dersom Berit hadde stått nærmere Rikard da hun kastet kulen? (Vi går ut fra at Berit kaster kulen med samme kraft og retning som når hun står 25 meter fra Rikard.)

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 8
Temaer: Vektorer, Parameterframstilling, Modellering

Oppgave 2-3 : Rektangel med størst areal under parabel

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ er gitt ved

f(x) = 6x - x^2, \quad x \in [0, 6]

Nedenfor har vi tegnet grafen til $f$ sammen med rektangelet ABCD. I rektangelet er $A(a, 0)$ og $D(a, f(a))$ , der $a \in (0, 3)$ . Punktet C ligger på grafen til $f$ .

Parabel med innskrevet rektangel ABCD og punkt D(a,f(a))

Bestem den eksakte verdien til $a$ som gjør at rektangelet får størst mulig areal.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Optimering, Derivasjon, Andregradsfunksjon

Oppgave 2-4 : Krumningsradius til grafpunkt

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $h$ er gitt ved

h(x) = x^2

En sirkel med radius $r$ og sentrum $(0, r)$ tangerer grafen til $h$ i punktet $(0, 0)$ . Se skissen.

Parabel h(x) = x^2 med tangerende sirkel med sentrum (0,r)

Nedre halvdel av sirkelen er grafen til funksjonen gitt ved

g(x) = r - \sqrt{r^2 - x^2}

Bestem $r$ slik at $g''(0) = h''(0)$

Tallet $r$ som du fant i oppgave a), kalles krumningsradiusen til $h$ i $(0, h(0))$ .

Generelt gjelder følgende setning: Anta at en funksjon $f$ er dobbeltderiverbar i $x = a$ , og at $f''(a) \neq 0$ . Da er krumningsradiusen $r(a)$ til grafen til $f$ i $(a, f(a))$ gitt ved

r(a) = \sqrt{\frac{\left(1 + \left(f'(a)\right)^2\right)^3}{\left(f''(a)\right)^2}}

Bruk denne formelen til å regne ut krumningsradiusen til grafen til $h$ i $(0, h(0))$ .

Funksjonen $f$ er gitt ved

f(x) = \ln(x)

Bruk CAS til å bestemme hvilket punkt på grafen til $f$ som har minst krumningsradius. Hva er den minste krumningsradiusen?

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 7
Temaer: Derivasjon, Funksjonsdrøfting, Cas

Sync på tvers av enheter

R1 Høst 2020

Del 1 — uten hjelpemidler · 1 time · 9 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 1-1 : Derivasjon med eksponent rotuttrykk og kvotient

Oppgave 1-2 : Logaritmeuttrykk med potenser forenklet

Oppgave 1-3 : Polynomlikning og polynomunlikhet med bevis

Oppgave 1-4 : Partikkelposisjon og akselerasjon med vektorfunksjon

Oppgave 1-5 : Matematisk tyngdepunkt i firkant med vektorer

Oppgave 1-6 : Kuler i krukke sannsynlighet for lik farge

Oppgave 1-7 : Tredjegradsfunksjon stigende med vendepunkt

Oppgave 1-8 : Vinkler i innskrevet trekant med sentralvinkel

Oppgave 1-9 : Midtlinjens lengde i trapes bevis

Del 2 — med hjelpemidler · 4 timer · 4 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 2-1 : Soldager på Gran Canaria og binomisk fordeling

Oppgave 2-2 : Kulekast modellert med vektorfunksjoner

Oppgave 2-3 : Rektangel med størst areal under parabel

Oppgave 2-4 : Krumningsradius til grafpunkt

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave