R1 Vår 2016

LK06 11 oppgaver 60 poeng 5 timer

0 av 11 klart

Ikke prøvd Prøvd Trenger hjelp Klart

R1 Vår 2016 – oversikt over oppgavene
№	Navn	LF
Del 1 1 time uten hjelpemidler · 7 oppgaver · 36 poeng
1	Deriver tre funksjoner R1 V16	—
2	Polynomdivisjon faktorisering og ulikhet med P(x)	—
3	Drøfting av f(x) lik x kvadrat e opphøyd i parentes	—
4	Likesidet trekant kvadrat og det gylne snitt	—
5	Punkter og vektorer i plan med trapes og vinkelvilkår	—
6	Fagvalg Vg2 kombinatorikk med minst to realfag	—
7	Geometrisk konstruksjon av nullpunkter til andregradsfunksjon	—
Del 2 4 timer med hjelpemidler · 4 oppgaver · 24 poeng
1	To bunker med kort og Bayes setning	—
2	Rektangel under eksponentialfunksjon maksimalt areal	—
3	Parameterframstilling skalarprodukt og vinkel mellom vektorer	—
4	Trekant på hyperbelgraf og normallinjer med CAS	—

Del 1 — uten hjelpemidler · 1 time · 7 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 1-1 : Deriver tre funksjoner R1 V16

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Deriver funksjonene gitt ved

f(x) = -3x^2 + 6x - 4

g(x) = 5\ln(x^3 - x)

h(x) = \dfrac{x-1}{x+1}

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 5
Temaer: Derivasjon

Oppgave 1-2 : Polynomdivisjon faktorisering og ulikhet med P(x)

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Polynomet $P$ er gitt ved

P(x) = x^3 - 7x^2 + 14x + k

Vis at $P$ er delelig med $(x - 2)$ hvis og bare hvis $k = -8$ .

Sett $k = -8$ og faktoriser $P$ ved hjelp av lineære faktorer.

Løs ulikheten $P(x) \leq 0$ .

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Polynomdivisjon, Faktorisering, Ulikheter

Oppgave 1-3 : Drøfting av f(x) lik x kvadrat e opphøyd i parentes

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ er gitt ved

f(x) = x^2 e^{1-x^2} \qquad , \qquad D_f = \mathbb{R}

Vis at $f'(x) = 2x(1 - x^2)e^{1-x^2}$

Bestem eventuelle topp- og bunnpunkt på grafen til $f$ .

Lag en skisse av grafen til $f$ , når du får vite at $f(x) \to 0$ når $x \to \pm\infty$ .

Bruk skissen til å avgjøre hvor mange vendepunkt grafen til $f$ har. Marker vendepunktene på skissen.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 7
Temaer: Funksjonsdrøfting, Derivasjon, Eksponentialfunksjoner

Oppgave 1-4 : Likesidet trekant kvadrat og det gylne snitt

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En likesidet $\triangle ABC$ har side lik $6 \mathrm{~cm}$ . Høyden fra $C$ treffer $AB$ i $H$ . $\square BEDC$ er et kvadrat. En sirkelbue med sentrum i $C$ og radius $CE$ treffer forlengelsen av $AB$ i punktet $F$ . Se figuren nedenfor.

Likesidet trekant med kvadrat og sirkelbue

Bestem lengdene av linjestykkene $CH$ , $CF$ og $HF$ .

Vis at forholdet $\dfrac{AF}{AB}$ er lik «det gylne snitt» $\varphi = \dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$ .

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 4
Temaer: Geometri, Bevis, Trigonometri

Oppgave 1-5 : Punkter og vektorer i plan med trapes og vinkelvilkår

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Punktene $A(1, 1)$ , $B(5, 2)$ og $C(3, 5)$ er gitt.

Bruk vektorregning til å avgjøre om punktene ligger på en rett linje.

Punktet $D$ er gitt ved $D(0, t)$ .

Bestem eventuelle verdier av $t$ slik at $\angle CDA = 90°$ .

Bestem eventuelle verdier av $t$ slik at $ABCD$ blir et trapes.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Vektorer, Geometri, Plan

Oppgave 1-6 : Fagvalg Vg2 kombinatorikk med minst to realfag

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Elevene på Vg1 må velge fag for Vg2. Camilla vil ha realfag som sitt programområde og må derfor velge minst to realfag. Skolen tilbyr fem realfag og åtte fag fra andre programområder.

Hvor mange fagkombinasjoner er mulig dersom hun skal ha to realfag og to andre fag?

Camilla skal velge fire fag. Hvor mange fagkombinasjoner er mulig dersom minst to av fagene skal være realfag?

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Kombinatorikk

Oppgave 1-7 : Geometrisk konstruksjon av nullpunkter til andregradsfunksjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En funksjon $f$ er gitt på formen

f(x) = x^2 + px + q

Vi kan finne eventuelle nullpunkt til $f$ ved hjelp av en geometrisk konstruksjon. Framgangsmåten er gitt i boksen nedenfor.

Bruk framgangsmåten til å konstruere sirkelen når $f(x) = x^2 - 2x - 8$ . Hva er nullpunktene til $f$ , ifølge konstruksjonen?

Vi vil nå se på det generelle tilfellet $f(x) = x^2 + px + q$ .

Vis at sentrum $S$ og radien $r$ til sirkelen er gitt ved

S\!\left(-\frac{p}{2},\, \frac{q+1}{2}\right) \qquad \text{og} \qquad r = \sqrt{\frac{p^2 + (q-1)^2}{4}}

Bestem likningen for sirkelen uttrykt ved $p$ og $q$ . Vis at sirkelen skjærer $x$ -aksen i nullpunktene til funksjonen $f$ .

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 5
Temaer: Sirkel, Nullpunkter, Bevis, Geometri

Del 2 — med hjelpemidler · 4 timer · 4 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 2-1 : To bunker med kort og Bayes setning

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Vi har to bunker med kort. I bunke A er det 5 røde og 3 svarte kort. I bunke B er det 3 røde og 4 svarte kort.

Vi velger tilfeldig én av bunkene og trekker tilfeldig 2 kort fra denne bunken.

Vi definerer følgende hendelser:

$F$ : Vi velger bunke A

$R$ : Vi trekker 2 røde kort

Bestem $P(F)$ , $P(\bar{F})$ , $P(R \mid F)$ og $P(R \mid \bar{F})$ .

Bestem $P(R)$ .

Bruk Bayes’ setning til å bestemme $P(F \mid R)$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Sannsynlighet, Kombinatorikk

Oppgave 2-2 : Rektangel under eksponentialfunksjon maksimalt areal

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ er gitt ved

f(x) = 5e^{-\frac{x}{2}} \qquad , \qquad x \geq 0

Bruk graftegner til å tegne grafen til $f$ .

Rektangelet $OABC$ er gitt ved punktene $O(0, 0)$ , $A(x, 0)$ , $B(x, f(x))$ og $C(0, f(x))$ .

Forklar at arealet til rektangelet er gitt ved

T(x) = 5x e^{-\frac{x}{2}}

Bestem det største arealet rektangelet kan få. Bestem den tilhørende verdien for $x$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Optimering, Eksponentialfunksjoner, Derivasjon

Oppgave 2-3 : Parameterframstilling skalarprodukt og vinkel mellom vektorer

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Gitt tre punkt $A(1, 3)$ , $B(4, 0)$ og $C(5, 5)$ .

Bestem en parameterframstilling for linjen $\ell$ gjennom $B$ og $C$ .

Et punkt $P$ ligger på linjen $\ell$ . Forklar at vi kan skrive $\overrightarrow{AP} = [3+t,\; -3+5t]$ for en $t \in \mathbb{R}$ .

Bruk blant annet skalarprodukt til å finne koordinatene til $P$ slik at $\overrightarrow{AB} \perp \overrightarrow{AP}$ .

Bruk CAS til å bestemme hvilke koordinater $P$ kan ha når $\angle BAP = 45°$ .

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 8
Temaer: Vektorer, Parameterframstilling, Cas

Oppgave 2-4 : Trekant på hyperbelgraf og normallinjer med CAS

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ er gitt ved

f(x) = \frac{1}{x} \qquad , \qquad x \neq 0

$\triangle ABC$ har hjørnene $A(r,\, f(r))$ , $B(s,\, f(s))$ og $C(t,\, f(t))$ på grafen til $f$ , der $r, s, t \in \mathbb{R}$ er tre parametere.

Trekant med hjørner på hyperbelgraf og to normallinjer

Vis at linjen $\ell_1$ gjennom $A$ som står normalt på linjen gjennom $B$ og $C$ , er gitt ved

y = st(x - r) + \frac{1}{r}

På samme måte kan vi vise at linjen $\ell_2$ gjennom $B$ som står normalt på linjen gjennom $A$ og $C$ , er gitt ved

y = rt(x - s) + \frac{1}{s}

Linjene $\ell_1$ og $\ell_2$ skjærer hverandre i et punkt $P$ . Bruk CAS til å vise at $P$ alltid vil ligge på grafen til $f$ .

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 4
Temaer: Omvendt proporsjonalitet, Derivasjon, Cas, Bevis

Sync på tvers av enheter

R1 Vår 2016

Del 1 — uten hjelpemidler · 1 time · 7 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 1-1 : Deriver tre funksjoner R1 V16

Oppgave 1-2 : Polynomdivisjon faktorisering og ulikhet med P(x)

Oppgave 1-3 : Drøfting av f(x) lik x kvadrat e opphøyd i parentes

Oppgave 1-4 : Likesidet trekant kvadrat og det gylne snitt

Oppgave 1-5 : Punkter og vektorer i plan med trapes og vinkelvilkår

Oppgave 1-6 : Fagvalg Vg2 kombinatorikk med minst to realfag

Oppgave 1-7 : Geometrisk konstruksjon av nullpunkter til andregradsfunksjon

Del 2 — med hjelpemidler · 4 timer · 4 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 2-1 : To bunker med kort og Bayes setning

Oppgave 2-2 : Rektangel under eksponentialfunksjon maksimalt areal

Oppgave 2-3 : Parameterframstilling skalarprodukt og vinkel mellom vektorer

Oppgave 2-4 : Trekant på hyperbelgraf og normallinjer med CAS

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave