R1 Høst 2017

LK06 12 oppgaver 60 poeng 5 timer

0 av 12 klart

Ikke prøvd Prøvd Trenger hjelp Klart

R1 Høst 2017 – oversikt over oppgavene
№	Navn	LF
Del 1 1 time uten hjelpemidler · 8 oppgaver · 36 poeng
1	Derivasjon av tre funksjoner R1 H17	—
2	Forenkle ln-uttrykk med logaritmeregler	—
3	Vektorer i planet med parameterverdi	—
4	Trekantareal under andregradsgraf optimering	—
5	Nøkkelboks kombinatorikk med og uten rekkefølge	—
6	Trekant ABC med midtnormal og parameterframstilling	—
7	Implikasjoner og ekvivalenser mellom utsagn	—
8	Tangent gjennom origo til e-funksjon	—
Del 2 4 timer med hjelpemidler · 4 oppgaver · 24 poeng
1	Spilleliste med Kygo binomisk fordeling	—
2	Vinkler og tyngdepunkt i trekanter med vektorer	—
3	Logaritmefunksjon med ekstremalpunkt og CAS	—
4	Skip Euler redningsbåt vektormodell	—

Del 1 — uten hjelpemidler · 1 time · 8 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 1-1 : Derivasjon av tre funksjoner R1 H17

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Deriver funksjonene

f(x) = 3x^2 - 2x + 1

g(x) = x^2 e^x

h(x) = \ln(x^3 - 1)

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Derivasjon, Kjerneregelen, Produktregelen

Oppgave 1-2 : Forenkle ln-uttrykk med logaritmeregler

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Skriv så enkelt som mulig

2\ln b - \ln\!\left(\frac{1}{b}\right) - \ln(ab^2) + \ln\!\left(\frac{a}{b^2}\right)

Skriv uttrykket så enkelt som mulig.

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Logaritmer, Algebra

Oppgave 1-3 : Vektorer i planet med parameterverdi

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Vektorene $\vec{a} = [3,\ 1]$ , $\vec{b} = [4,\ 2]$ og $\vec{c} = [t+1,\ 3]$ er gitt, der $t \in \mathbb{R}$ .

Bestem $\vec{a} - 2\vec{b}$

Bestem $\vec{a} \cdot \vec{b}$

Bestem $t$ slik at $\vec{b} \parallel \vec{c}$

Bestem $t$ slik at $|\vec{c}| = |\vec{a}|$

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Vektorer, Parallelle vektorer, Lengde av vektor

Oppgave 1-4 : Trekantareal under andregradsgraf optimering

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ er gitt ved

f(x) = 2(x-3)^2 \qquad , \quad 0 < x < 3

En rettvinklet trekant $\triangle ABC$ er gitt ved punktene $A(0,\ 0)$ , $B(x,\ 0)$ og $C(x,\ f(x))$ . Se skissen til høyre.

Rettvinklet trekant under grafen til f

Vis at arealet $F$ til $\triangle ABC$ kan skrives som

F(x) = x^3 - 6x^2 + 9x

Bestem $x$ slik at arealet til $\triangle ABC$ blir størst mulig.

Bestem arealet når $x = 2$ . Er det andre $x$ -verdier som gir dette arealet?

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 5
Temaer: Optimering, Derivasjon, Areal, Andregradsfunksjon

Oppgave 1-5 : Nøkkelboks kombinatorikk med og uten rekkefølge

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En nøkkelboks er en boks med plass til nøkler. Noen slike bokser har kodelås.

For én type nøkkelboks lages en kode ved å stille inn fire tall. Hvert tall velges blant tallene 0 til 9. Et tall kan velges flere ganger. Tallene må være stilt inn i en bestemt rekkefølge.

Nøkkelboks type 1 (Master Lock)

Hvor mange ulike koder finnes det for denne typen nøkkelboks?

For en annen type nøkkelboks lages en kode ved å velge et bestemt antall forskjellige tall blant tallene 0 til 9. Tallene trenger ikke å være stilt inn i en bestemt rekkefølge.

Nøkkelboks type 2 (med knapper)

Hvor mange ulike koder finnes for denne typen nøkkelboks dersom koden skal bestå av fire forskjellige tall?

Hvor mange tall må koden bestå av for at antallet mulige koder skal bli størst mulig? Hvor mange mulige koder er det da?

Oppgavedata

Delt med: R1, S1
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Kombinatorikk, Sannsynlighet

Oppgave 1-6 : Trekant ABC med midtnormal og parameterframstilling

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En $\triangle ABC$ har hjørnene $A(3,\ {-2})$ , $B(9,\ 4)$ og $C(1,\ 4)$ . Punktet $M$ er midtpunktet på $AC$ .

Trekant ABC med midtnormal ℓ

Vis ved vektorregning at $M$ har koordinatene $M(2,\ 1)$ .

La $\ell$ være midtnormalen til $AC$ .

Forklar at

\ell : \begin{cases} x = 2 + 3t \\ y = 1 + t \end{cases}

er en parameterframstilling for $\ell$ .

Avgjør om punktet $\left(12,\ \dfrac{9}{2}\right)$ ligger på $\ell$ .

Bestem koordinatene til skjæringspunktet mellom $\ell$ og midtnormalen til $AB$ .

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 7
Temaer: Vektorer, Parameterframstilling, Geometri

Oppgave 1-7 : Implikasjoner og ekvivalenser mellom utsagn

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Nedenfor er det gitt noen utsagn. Skriv av utsagnene. I boksen mellom utsagnene skal du sette inn ett av symbolene $\Leftarrow$ , $\Rightarrow$ eller $\Leftrightarrow$ . Husk å begrunne svarene.

x^2 = 1 \quad \square \quad x = 1

f(x) = 5x^2 - 1 \quad \square \quad f'(x) = 10x

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Argumentasjon, Derivasjon, Algebra

Oppgave 1-8 : Tangent gjennom origo til e-funksjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ er gitt ved

f(x) = e^{1-x}

Grafen til $f$ har en tangent som går gjennom origo.

Bestem likningen for denne tangenten.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Derivasjon, Eksponentialfunksjoner, Tangent

Del 2 — med hjelpemidler · 4 timer · 4 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 2-1 : Spilleliste med Kygo binomisk fordeling

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Jakob har en spilleliste med 20 sanger på mobilen sin. Fire av sangene på spillelisten er med artisten Kygo. Programmet spiller av sangene i tilfeldig rekkefølge (shuffle) med tilbakelegging. Det vil si at samme sang kan bli spilt av flere ganger etter hverandre.

Forklar at sannsynligheten alltid er $p = 0{,}2$ for at neste sang som blir spilt, er med Kygo.

Jakob vil høre på fem avspillinger fra spillelisten. Bestem sannsynligheten for at nøyaktig to av sangene han spiller, er med Kygo.

Hvor mange avspillinger må han høre på for at sannsynligheten for å få høre minst én sang med Kygo skal være større enn 90 %?

Oppgavedata

Delt med: R1, S1
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Binomisk fordeling, Sannsynlighet

Oppgave 2-2 : Vinkler og tyngdepunkt i trekanter med vektorer

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En $\triangle ABC$ har hjørnene $A(3,\ 5)$ , $B(6,\ 5)$ og $C(7,\ 9)$ .

Bestem $\overrightarrow{AB}$ , $\overrightarrow{AC}$ og bruk vektorregning til å bestemme $\angle BAC$ .

Tyngdepunktet $T$ til en trekant med hjørnene $A$ , $B$ og $C$ er generelt gitt ved

\overrightarrow{OT} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}) \text{, der } O \text{ er origo.}

Bestem, ved vektorregning, koordinatene til tyngdepunktet $T$ til $\triangle ABC$ .

En $\triangle DEF$ er gitt. To av hjørnene er $D(2,\ 3)$ og $E(-3,\ 5)$ . Tyngdepunktet er $S(4,\ 2)$ .

Bestem koordinatene til hjørnet $F$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Vektorer, Geometri

Oppgave 2-3 : Logaritmefunksjon med ekstremalpunkt og CAS

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ er gitt ved

f(x) = 2\ln(x^2 + 4) - \frac{1}{2}x

Bruk graftegner til å tegne grafen til $f$ når $x \in \langle -4,\ 16\rangle$

Bestem eventuelle topp- og bunnpunkt på grafen til $f$ .

Funksjonen $g$ er gitt ved

g(x) = 2\ln(x^2 + k) - \frac{1}{2}x \qquad , \quad k > 0

Bruk CAS til å bestemme $k$ slik at $g$ har et ekstremalpunkt i $x = 1$ .

Bruk blant annet CAS til å bestemme hvor mange ekstremalpunkt $g$ har for ulike verdier av $k$ .

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 8
Temaer: Funksjonsdrøfting, Logaritmefunksjoner, Cas

Oppgave 2-4 : Skip Euler redningsbåt vektormodell

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Skipet Euler sender ut en melding om at det har fått motorstopp. Kapteinen oppgir at posisjonen er $P_0(80,\ 16)$ i et bestemt koordinatsystem. På grunn av avdriften vil posisjonen $P$ (i nm) $t$ timer senere være gitt ved

\overrightarrow{OP} = [80 + 4t,\ 16 + 3t]

På havet måles avstander i nautiske mil (nm). $1 \mathrm{~nm} = 1852 \mathrm{~m}$ .

Koordinatsystem med skip Euler og posisjoner

Hvilken fartsvektor $\vec{v}$ driver skipet med? Hvor stor er farten (banefarten)?

En redningsbåt som ligger i $O$ , sier at den er klar til å gå mot skipet og kan være ved Euler om 4 timer.

Hvor stor fart holder redningsbåten?

En annen redningsbåt er i posisjonen $Q(-10,\ 50)$ når meldingen blir sendt. Den kan holde en fart på 35 nm/h.

Bruk CAS til å bestemme hvor lang tid det vil gå før denne redningsbåten kan være framme ved Euler.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Vektorer, Modellering, Cas

Sync på tvers av enheter

R1 Høst 2017

Del 1 — uten hjelpemidler · 1 time · 8 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 1-1 : Derivasjon av tre funksjoner R1 H17

Oppgave 1-2 : Forenkle ln-uttrykk med logaritmeregler

Oppgave 1-3 : Vektorer i planet med parameterverdi

Oppgave 1-4 : Trekantareal under andregradsgraf optimering

Oppgave 1-5 : Nøkkelboks kombinatorikk med og uten rekkefølge

Oppgave 1-6 : Trekant ABC med midtnormal og parameterframstilling

Oppgave 1-7 : Implikasjoner og ekvivalenser mellom utsagn

Oppgave 1-8 : Tangent gjennom origo til e-funksjon

Del 2 — med hjelpemidler · 4 timer · 4 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 2-1 : Spilleliste med Kygo binomisk fordeling

Oppgave 2-2 : Vinkler og tyngdepunkt i trekanter med vektorer

Oppgave 2-3 : Logaritmefunksjon med ekstremalpunkt og CAS

Oppgave 2-4 : Skip Euler redningsbåt vektormodell

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave