R1 Høst 2017

Oppgave 1-1Derivasjon av tre funksjoner R1 H17

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Deriver funksjonene

f (x) = 3 x^{2} - 2 x + 1

g (x) = x^{2} e^{x}

h (x) = \ln (x^{3} - 1)

Fasit

$f^{'} (x) = 6 x - 2$

$g^{'} (x) = (x^{2} + 2 x) e^{x}$

$h^{'} (x) = \frac{3 x^{2}}{x^{3} - 1}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker potensregelen $\frac{d}{d x} (x^{n}) = n \cdot x^{n - 1}$ på hvert ledd i

f (x) = 3 x^{2} - 2 x + 1

Det gir

f^{'} (x) = 3 \cdot 2 x - 2 \cdot 1 + 0 = 6 x - 2

Funksjonen $g (x) = x^{2} e^{x}$ er et produkt av $u (x) = x^{2}$ og $v (x) = e^{x}$ . Vi bruker produktregelen ${(u \cdot v)}^{'} = u^{'} \cdot v + u \cdot v^{'}$ , der $u^{'} (x) = 2 x$ og $v^{'} (x) = e^{x}$ .

g^{'} (x) = 2 x \cdot e^{x} + x^{2} \cdot e^{x}

g^{'} (x) = (2 x + x^{2}) e^{x} = (x^{2} + 2 x) e^{x}

Funksjonen $h (x) = \ln (x^{3} - 1)$ er en sammensatt funksjon. Vi bruker kjerneregelen $\frac{d}{d x} \ln (u (x)) = \frac{u^{'} (x)}{u (x)}$ , der $u (x) = x^{3} - 1$ og $u^{'} (x) = 3 x^{2}$ .

h^{'} (x) = \frac{3 x^{2}}{x^{3} - 1}

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Derivasjon, Kjerneregelen, Produktregelen
Egen side: Åpne oppgave 1-1 for seg selv

Oppgave 1-2Forenkle ln-uttrykk med logaritmeregler

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Skriv så enkelt som mulig

2 \ln b - \ln (\frac{1}{b}) - \ln (a b^{2}) + \ln (\frac{a}{b^{2}})

Skriv uttrykket så enkelt som mulig.

Fasit

$- \ln b$

LøsningsforslagKI-generert

Vi forenkler uttrykket

2 \ln b - \ln (\frac{1}{b}) - \ln (a b^{2}) + \ln (\frac{a}{b^{2}})

steg for steg med logaritmereglene $n \ln x = \ln (x^{n})$ , $\ln x - \ln y = \ln (\frac{x}{y})$ og $\ln x + \ln y = \ln (x y)$ .

Vi skriver om det første leddet med potensregelen, og det andre leddet med at $- \ln (\frac{1}{b}) = \ln {(b^{- 1})}^{- 1} = \ln b$ :

2 \ln b - \ln (\frac{1}{b}) = \ln (b^{2}) + \ln b = \ln (b^{3})

Deretter slår vi sammen med de to siste leddene:

\ln (b^{3}) - \ln (a b^{2}) + \ln (\frac{a}{b^{2}}) = \ln (\frac{b^{3}}{a b^{2}}) + \ln (\frac{a}{b^{2}}) = \ln (\frac{b}{a}) + \ln (\frac{a}{b^{2}})

Til slutt slår vi sammen de to gjenværende logaritmene:

\ln (\frac{b}{a} \cdot \frac{a}{b^{2}}) = \ln (\frac{1}{b}) = - \ln b

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Logaritmer, Algebra
Egen side: Åpne oppgave 1-2 for seg selv

Oppgave 1-3Vektorer i planet med parameterverdi

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Vektorene $\vec{a} = [3, 1]$ , $\vec{b} = [4, 2]$ og $\vec{c} = [t + 1, 3]$ er gitt, der $t \in ℝ$ .

Bestem $\vec{a} - 2 \vec{b}$

Bestem $\vec{a} \cdot \vec{b}$

Bestem $t$ slik at $\vec{b} ∥ \vec{c}$

Bestem $t$ slik at $| \vec{c} | = | \vec{a} |$

Fasit

$\vec{a} - 2 \vec{b} = [- 5, - 3]$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 14$

$t = 5$

$t = 0 \lor t = - 2$

LøsningsforslagKI-generert

Vi regner ut komponentvis, med $\vec{a} = [3, 1]$ og $\vec{b} = [4, 2]$ :

\vec{a} - 2 \vec{b} = [3, 1] - 2 \cdot [4, 2] = [3 - 8, 1 - 4] = [- 5, - 3]

Prikkproduktet regnes ut ved å multiplisere komponentvis og summere:

\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot 4 + 1 \cdot 2 = 12 + 2 = 14

To vektorer $[x_{1}, y_{1}]$ og $[x_{2}, y_{2}]$ er parallelle når $x_{1} \cdot y_{2} - x_{2} \cdot y_{1} = 0$ . Med $\vec{b} = [4, 2]$ og $\vec{c} = [t + 1, 3]$ gir dette

4 \cdot 3 - (t + 1) \cdot 2 = 0

12 - 2 t - 2 = 0

10 = 2 t

t = 5

Kontroll: for $t = 5$ er $\vec{c} = [6, 3] = 1,5 \cdot [4, 2] = 1,5 \cdot \vec{b}$ , så $\vec{b} ∥ \vec{c}$ .

Lengden til en vektor $[x, y]$ er $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ . Vi setter opp likningen $| \vec{c} | = | \vec{a} |$ :

| \vec{a} | = \sqrt{3^{2} + 1^{2}} = \sqrt{10}

| \vec{c} | = \sqrt{{(t + 1)}^{2} + 3^{2}} = \sqrt{10}

Vi kvadrerer begge sider:

{(t + 1)}^{2} + 9 = 10

{(t + 1)}^{2} = 1

t + 1 = \pm 1

Dette gir $t = 0$ eller $t = - 2$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Vektorer, Parallelle vektorer, Lengde av vektor
Egen side: Åpne oppgave 1-3 for seg selv

Oppgave 1-4Trekantareal under andregradsgraf optimering

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ er gitt ved

f (x) = 2 {(x - 3)}^{2}, 0 < x < 3

En rettvinklet trekant $△ A B C$ er gitt ved punktene $A (0, 0)$ , $B (x, 0)$ og $C (x, f (x))$ . Se skissen til høyre.

Rettvinklet trekant under grafen til f

Vis at arealet $F$ til $△ A B C$ kan skrives som

F (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x

Bestem $x$ slik at arealet til $△ A B C$ blir størst mulig.

Bestem arealet når $x = 2$ . Er det andre $x$ -verdier som gir dette arealet?

Fasit

Se utledning.

$x = 1$

$F (2) = 2$ , også $x = 2 - \sqrt{3}$ gir samme areal.

LøsningsforslagKI-generert

Trekanten $△ A B C$ har hjørner $A (0, 0)$ , $B (x, 0)$ og $C (x, f (x))$ . Siden $A$ og $B$ ligger på $x$ -aksen, og $B$ og $C$ har samme $x$ -koordinat, er trekanten rettvinklet med katetene $A B$ (langs $x$ -aksen) og $B C$ (loddrett).

Lengden av $A B$ er $x$ , og lengden av $B C$ er $f (x) = 2 {(x - 3)}^{2}$ . Arealet av en rettvinklet trekant er halvparten av produktet av katetene:

F (x) = \frac{1}{2} \cdot | A B | \cdot | B C | = \frac{1}{2} \cdot x \cdot 2 {(x - 3)}^{2} = x {(x - 3)}^{2}

Vi utvider parentesen:

F (x) = x (x^{2} - 6 x + 9) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x

For å finne maksimalt areal deriverer vi $F$ og setter $F^{'} (x) = 0$ :

F^{'} (x) = 3 x^{2} - 12 x + 9 = 3 (x^{2} - 4 x + 3) = 3 (x - 1) (x - 3)

F^{'} (x) = 0 \Rightarrow x = 1 \lor x = 3

Siden $0 < x < 3$ er intervallet åpent, og $x = 3$ er ikke med i definisjonsmengden. Vi undersøker fortegnet til $F^{'}$ rundt $x = 1$ :

For $0 < x < 1$ , f.eks. $x = 0,5$ : $F^{'} (0,5) = 3 (0,5 - 1) (0,5 - 3) = 3,75 > 0$
For $1 < x < 3$ , f.eks. $x = 2$ : $F^{'} (2) = 3 (2 - 1) (2 - 3) = - 3 < 0$

$F^{'}$ skifter fra positiv til negativ ved $x = 1$ , så $F$ har et maksimum der.

x = 1

Vi setter $x = 2$ inn i $F$ :

F (2) = 2^{3} - 6 \cdot 2^{2} + 9 \cdot 2 = 8 - 24 + 18 = 2

F (2) = 2

For å finne eventuelle andre $x$ -verdier som gir samme areal, løser vi likningen $F (x) = 2$ :

x^{3} - 6 x^{2} + 9 x - 2 = 0

Siden $x = 2$ er en løsning, kan vi faktorisere ut $(x - 2)$ . Polynomdivisjon gir

x^{3} - 6 x^{2} + 9 x - 2 = (x - 2) (x^{2} - 4 x + 1)

Vi løser $x^{2} - 4 x + 1 = 0$ med abc-formelen:

x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}

Det gir $x = 2 + \sqrt{3} \approx 3,73$ og $x = 2 - \sqrt{3} \approx 0,27$ . Siden definisjonsmengden er $0 < x < 3$ , er $x = 2 + \sqrt{3}$ utenfor og forkastes, mens $x = 2 - \sqrt{3}$ ligger i intervallet.

x = 2 - \sqrt{3} \approx 0,27 gir også arealet 2

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 5
Temaer: Optimering, Derivasjon, Areal og omkrets, Andregradsfunksjon
Egen side: Åpne oppgave 1-4 for seg selv

Oppgave 1-5Nøkkelboks kombinatorikk med og uten rekkefølge

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En nøkkelboks er en boks med plass til nøkler. Noen slike bokser har kodelås.

For én type nøkkelboks lages en kode ved å stille inn fire tall. Hvert tall velges blant tallene 0 til 9. Et tall kan velges flere ganger. Tallene må være stilt inn i en bestemt rekkefølge.

Nøkkelboks type 1 (Master Lock)

Hvor mange ulike koder finnes det for denne typen nøkkelboks?

For en annen type nøkkelboks lages en kode ved å velge et bestemt antall forskjellige tall blant tallene 0 til 9. Tallene trenger ikke å være stilt inn i en bestemt rekkefølge.

Nøkkelboks type 2 (med knapper)

Hvor mange ulike koder finnes for denne typen nøkkelboks dersom koden skal bestå av fire forskjellige tall?

Hvor mange tall må koden bestå av for at antallet mulige koder skal bli størst mulig? Hvor mange mulige koder er det da?

Fasit

$10 000 koder$

$210 koder$

$k = 5, 252 koder$

LøsningsforslagKI-generert

Koden består av fire tall, og hvert tall velges blant $10$ mulige sifre ( $0$ – $9$ ). Sifrene kan gjenta seg, og rekkefølgen betyr noe. Vi bruker multiplikasjonsprinsippet: det er $10$ valg for hvert av de fire sifrene i koden.

10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 10^{4} = 10 000

Det finnes $10 000$ ulike koder.

Her skal koden bestå av fire forskjellige tall valgt blant tallene $0$ – $9$ , og rekkefølgen har ikke noe å si. Da teller vi antall kombinasjoner av $4$ tall blant $10$ :

(\binom{10}{4}) = \frac{10!}{4! \cdot 6!} = 210

Det finnes $210$ ulike koder.

Dersom koden består av $k$ forskjellige tall valgt blant $10$ tall uten hensyn til rekkefølge, er antall mulige koder gitt ved $(\binom{10}{k})$ .

Vi må finne den verdien av $k$ (der $k$ kan være $0, 1, 2, \dots, 10$ ) som gjør $(\binom{10}{k})$ størst mulig. Binomialkoeffisientene $(\binom{10}{k})$ er symmetriske om $k = 5$ og øker fram til midten:

(\binom{10}{0}) = 1, (\binom{10}{1}) = 10, (\binom{10}{2}) = 45, (\binom{10}{3}) = 120, (\binom{10}{4}) = 210, (\binom{10}{5}) = 252

Deretter avtar de igjen ( $(\binom{10}{6}) = 210$ , osv., siden $(\binom{10}{k}) = (\binom{10}{10 - k})$ ). Det største antallet koder får vi altså når koden består av $k = 5$ forskjellige tall, og da er antall mulige koder

(\binom{10}{5}) = \frac{10!}{5! \cdot 5!} = 252

Koden bør bestå av $5$ tall, og da er det $252$ mulige koder.

Oppgavedata

Delt med: R1, S1
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Kombinatorikk, Sannsynlighet
Egen side: Åpne oppgave 1-5 for seg selv

Oppgave 1-6Trekant ABC med midtnormal og parameterframstilling

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En $△ A B C$ har hjørnene $A (3, - 2)$ , $B (9, 4)$ og $C (1, 4)$ . Punktet $M$ er midtpunktet på $A C$ .

Trekant ABC med midtnormal ℓ

Vis ved vektorregning at $M$ har koordinatene $M (2, 1)$ .

La $ℓ$ være midtnormalen til $A C$ .

Forklar at

ℓ : {\begin{matrix} x = 2 + 3 t \\ y = 1 + t \end{matrix}

er en parameterframstilling for $ℓ$ .

Avgjør om punktet $(12, \frac{9}{2})$ ligger på $ℓ$ .

Bestem koordinatene til skjæringspunktet mellom $ℓ$ og midtnormalen til $A B$ .

Fasit

$M (2, 1)$

$ℓ$ går gjennom $M$ og har retningsvektor vinkelrett på $A C$

$Punktet ligger ikke på ℓ$

$(5, 2)$

LøsningsforslagKI-generert

Vektoren fra $A$ til $C$ er

\vec{A C} = C - A = (1 - 3, 4 - (- 2)) = (- 2, 6)

Midtpunktet $M$ på $A C$ kan uttrykkes ved vektorregning som

\vec{O M} = \vec{O A} + \frac{1}{2} \vec{A C} = (3, - 2) + \frac{1}{2} (- 2, 6) = (3, - 2) + (- 1, 3) = (2, 1)

Dette viser at $M (2, 1)$ .

Retningsvektoren til $ℓ$ er $\vec{v} = (3, 1)$ .

Vi sjekker at $\vec{v}$ står normalt på $\vec{A C} = (- 2, 6)$ ved å regne ut skalarproduktet:

\vec{v} \cdot \vec{A C} = 3 \cdot (- 2) + 1 \cdot 6 = - 6 + 6 = 0

Siden skalarproduktet er $0$ , står $\vec{v}$ vinkelrett på $A C$ .

Videre ser vi at $ℓ$ går gjennom punktet $(2, 1)$ når $t = 0$ , og dette er nettopp midtpunktet $M$ fra a).

Siden $ℓ$ går gjennom midtpunktet på $A C$ og har en retningsvektor som står normalt på $A C$ , er $ℓ$ midtnormalen til $A C$ .

Vi setter $x = 12$ inn i parameterframstillingen og løser for $t$ :

2 + 3 t = 12 \Rightarrow t = \frac{10}{3}

Vi setter denne $t$ -verdien inn i uttrykket for $y$ :

y = 1 + \frac{10}{3} = \frac{13}{3}

Siden $\frac{13}{3} \neq \frac{9}{2}$ , ligger ikke punktet $(12, \frac{9}{2})$ på $ℓ$ .

Punktet ligger ikke på ℓ

Vi finner først midtnormalen til $A B$ . Vektoren fra $A$ til $B$ er

\vec{A B} = B - A = (9 - 3, 4 - (- 2)) = (6, 6)

Midtpunktet $N$ på $A B$ er

N = (\frac{3 + 9}{2}, \frac{- 2 + 4}{2}) = (6, 1)

En retningsvektor vinkelrett på $\vec{A B} = (6, 6)$ er $(1, - 1)$ , siden $6 \cdot 1 + 6 \cdot (- 1) = 0$ . Midtnormalen til $A B$ kan da skrives

m : {\begin{matrix} x = 6 + s \\ y = 1 - s \end{matrix}

For å finne skjæringspunktet mellom $ℓ$ og $m$ setter vi $x$ - og $y$ -uttrykkene like hverandre:

2 + 3 t = 6 + s og 1 + t = 1 - s

Fra den andre likningen får vi $s = - t$ . Setter vi dette inn i den første likningen:

2 + 3 t = 6 - t \Rightarrow 4 t = 4 \Rightarrow t = 1

Vi setter $t = 1$ inn i parameterframstillingen for $ℓ$ :

x = 2 + 3 \cdot 1 = 5, y = 1 + 1 = 2

Skjæringspunktet er dermed $(5, 2)$ .

Dette punktet er for øvrig sentrum i den omskrevne sirkelen til $△ A B C$ , siden det ligger på midtnormalene til to av sidene og dermed er like langt fra alle tre hjørnene.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 7
Temaer: Vektorer, Parameterframstilling, Geometri
Egen side: Åpne oppgave 1-6 for seg selv

Oppgave 1-7Implikasjoner og ekvivalenser mellom utsagn

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Nedenfor er det gitt noen utsagn. Skriv av utsagnene. I boksen mellom utsagnene skal du sette inn ett av symbolene $\Leftarrow$ , $\Rightarrow$ eller $\Leftrightarrow$ . Husk å begrunne svarene.

x^{2} = 1 □ x = 1

f (x) = 5 x^{2} - 1 □ f^{'} (x) = 10 x

Fasit

$x^{2} = 1 \Leftarrow x = 1$

$f (x) = 5 x^{2} - 1 \Rightarrow f^{'} (x) = 10 x$

LøsningsforslagKI-generert

Vi sjekker begge retninger.

Hvis $x = 1$ , så er $x^{2} = 1^{2} = 1$ . Dette er sant, så $x = 1 \Rightarrow x^{2} = 1$ .

Hvis $x^{2} = 1$ , betyr ikke det nødvendigvis at $x = 1$ . Likningen $x^{2} = 1$ har løsningene $x = 1$ og $x = - 1$ , så $x^{2} = 1$ medfører ikke $x = 1$ (moteksempel: $x = - 1$ ).

Siden implikasjonen bare gjelder én vei, er riktig symbol $\Leftarrow$ :

x^{2} = 1 \Leftarrow x = 1

Vi deriverer $f (x) = 5 x^{2} - 1$ :

f^{'} (x) = 10 x

Dette viser at $f (x) = 5 x^{2} - 1 \Rightarrow f^{'} (x) = 10 x$ .

Den motsatte veien gjelder derimot ikke: hvis vi bare vet at $f^{'} (x) = 10 x$ , kan $f$ være $f (x) = 5 x^{2} + C$ for en hvilken som helst konstant $C$ , ikke bare $C = - 1$ . For eksempel har $f (x) = 5 x^{2} + 3$ også $f^{'} (x) = 10 x$ , uten at $f (x) = 5 x^{2} - 1$ .

Siden implikasjonen bare gjelder én vei, er riktig symbol $\Rightarrow$ :

f (x) = 5 x^{2} - 1 \Rightarrow f^{'} (x) = 10 x

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Argumentasjon, Derivasjon, Algebra
Egen side: Åpne oppgave 1-7 for seg selv

Oppgave 1-8Tangent gjennom origo til e-funksjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ er gitt ved

f (x) = e^{1 - x}

Grafen til $f$ har en tangent som går gjennom origo.

Bestem likningen for denne tangenten.

Fasit

$y = - e^{2} x$

LøsningsforslagKI-generert

La tangeringspunktet være $(a, f (a))$ . Vi deriverer $f (x) = e^{1 - x}$ :

f^{'} (x) = - e^{1 - x}

Stigningstallet til tangenten i $x = a$ er $f^{'} (a) = - e^{1 - a}$ , og tangentlikningen er

y = f (a) + f^{'} (a) (x - a) = e^{1 - a} - e^{1 - a} (x - a)

Tangenten skal gå gjennom origo, altså $(x, y) = (0, 0)$ . Vi setter dette inn:

0 = e^{1 - a} - e^{1 - a} (0 - a) = e^{1 - a} + a \cdot e^{1 - a} = e^{1 - a} (1 + a)

Siden $e^{1 - a} \neq 0$ for alle $a$ , må

1 + a = 0 \Rightarrow a = - 1

Vi finner tangeringspunktet og stigningstallet:

f (- 1) = e^{1 - (- 1)} = e^{2}, f^{'} (- 1) = - e^{1 - (- 1)} = - e^{2}

Tangentlikningen blir

y - e^{2} = - e^{2} (x - (- 1)) = - e^{2} x - e^{2}

y = - e^{2} x

Vi kontrollerer at linjen faktisk går gjennom origo: for $x = 0$ er $y = 0$ . Stemmer.

y = - e^{2} x

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Derivasjon, Eksponentialfunksjon, Tangent
Egen side: Åpne oppgave 1-8 for seg selv

Oppgave 2-1Spilleliste med Kygo binomisk fordeling

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Jakob har en spilleliste med 20 sanger på mobilen sin. Fire av sangene på spillelisten er med artisten Kygo. Programmet spiller av sangene i tilfeldig rekkefølge (shuffle) med tilbakelegging. Det vil si at samme sang kan bli spilt av flere ganger etter hverandre.

For hånd

Forklar at sannsynligheten alltid er $p = 0,2$ for at neste sang som blir spilt, er med Kygo.

Kalkulator

Jakob vil høre på fem avspillinger fra spillelisten. Bestem sannsynligheten for at nøyaktig to av sangene han spiller, er med Kygo.

Kalkulator

Hvor mange avspillinger må han høre på for at sannsynligheten for å få høre minst én sang med Kygo skal være større enn 90 %?

Fasit

Se forklaring.

$P (X = 2) \approx 20,5 %$

$n = 11 a v s p i l l i n g e r$

LøsningsforslagKI-generert

Sangene spilles av med tilbakelegging, det vil si at hver avspilling er uavhengig av de andre og alltid trekkes blant alle 20 sangene på nytt. Siden $4$ av de $20$ sangene er med Kygo, er sannsynligheten for at en tilfeldig valgt sang er med Kygo alltid

p = \frac{4}{20} = 0,2

Dette gjelder for hver eneste avspilling, uansett hvilke sanger som er spilt tidligere, nettopp fordi sangene legges tilbake i «bunken» før neste trekning.

Vi ser på antall avspillinger med Kygo blant $n = 5$ avspillinger. Siden hver avspilling er uavhengig med samme sannsynlighet $p = 0,2$ for Kygo, er $X$ binomisk fordelt med $n = 5$ og $p = 0,2$ .

P (X = 2) = (\binom{5}{2}) \cdot {0,2}^{2} \cdot {0,8}^{3} = 10 \cdot 0,04 \cdot 0,512 = 0,2048

Beregning i GeoGebra CAS bekrefter dette:

Beregning i GeoGebra CAS

Sannsynligheten for at nøyaktig to av de fem sangene er med Kygo, er om lag $20,5 %$ .

La $n$ være antall avspillinger. Sannsynligheten for at ingen av de $n$ avspillingene er med Kygo, er ${0,8}^{n}$ (siden hver avspilling er uavhengig med sannsynlighet $0,8$ for «ikke Kygo»). Da er sannsynligheten for minst én Kygo-sang

P (minst én Kygo) = 1 - {0,8}^{n}

Vi krever at denne skal være større enn $90 %$ :

1 - {0,8}^{n} > 0,9 \Leftrightarrow {0,8}^{n} < 0,1

Løser vi likheten ${0,8}^{n} = 0,1$ i GeoGebra CAS, finner vi $n \approx 10,32$ (se skjermbildet over, linje 3). Siden $n$ må være et helt tall, og ulikheten er strengt større enn $0,9$ , prøver vi $n = 10$ og $n = 11$ :

P_{10} = 1 - {0,8}^{10} \approx 0,8926 (< 0,90)

P_{11} = 1 - {0,8}^{11} \approx 0,9141 (> 0,90)

(se P_10 og P_11 i skjermbildet over). Jakob må altså høre på minst $11 a v s p i l l i n g e r$ for at sannsynligheten for å få høre minst én Kygo-sang skal være større enn $90 %$ .

Oppgavedata

Delt med: R1, S1
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Binomisk fordeling, Sannsynlighet
Egen side: Åpne oppgave 2-1 for seg selv

Oppgave 2-2Vinkler og tyngdepunkt i trekanter med vektorer

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En $△ A B C$ har hjørnene $A (3, 5)$ , $B (6, 5)$ og $C (7, 9)$ .

Kalkulator

Bestem $\vec{A B}$ , $\vec{A C}$ og bruk vektorregning til å bestemme $∠ B A C$ .

Tyngdepunktet $T$ til en trekant med hjørnene $A$ , $B$ og $C$ er generelt gitt ved

\vec{O T} = \frac{1}{3} (\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C}), der O er origo.

For hånd

Bestem, ved vektorregning, koordinatene til tyngdepunktet $T$ til $△ A B C$ .

En $△ D E F$ er gitt. To av hjørnene er $D (2, 3)$ og $E (- 3, 5)$ . Tyngdepunktet er $S (4, 2)$ .

For hånd

Bestem koordinatene til hjørnet $F$ .

Fasit

$∠ B A C = 45 °$

$T = (\frac{16}{3}, \frac{19}{3})$

$F = (13, - 2)$

LøsningsforslagKI-generert

Vi finner vektorene $\vec{A B}$ og $\vec{A C}$ ut fra koordinatene til hjørnene $A (3, 5)$ , $B (6, 5)$ og $C (7, 9)$ :

\vec{A B} = B - A = (6 - 3, 5 - 5) = (3, 0)

\vec{A C} = C - A = (7 - 3, 9 - 5) = (4, 4)

Vinkelen $∠ B A C$ mellom vektorene finner vi med formelen

\cos (∠ B A C) = \frac{\vec{A B} \cdot \vec{A C}}{| \vec{A B} | \cdot | \vec{A C} |}

Prikkproduktet er

\vec{A B} \cdot \vec{A C} = 3 \cdot 4 + 0 \cdot 4 = 12

Lengdene er

| \vec{A B} | = \sqrt{3^{2} + 0^{2}} = 3 | \vec{A C} | = \sqrt{4^{2} + 4^{2}} = \sqrt{32} = 4 \sqrt{2}

Dette gir

\cos (∠ B A C) = \frac{12}{3 \cdot 4 \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}

∠ B A C = \cos^{- 1} (\frac{\sqrt{2}}{2}) = 45 °

Se vinkelA i utklippet under, som bekrefter $∠ B A C = 45 °$ .

Tyngdepunktet er gitt ved $\vec{O T} = \frac{1}{3} (\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C})$ , altså gjennomsnittet av hjørnenes koordinater:

T = (\frac{3 + 6 + 7}{3}, \frac{5 + 5 + 9}{3}) = (\frac{16}{3}, \frac{19}{3})

Se Tx og Ty i utklippet, som gir $\frac{16}{3} \approx 5,33$ og $\frac{19}{3} \approx 6,33$ .

Vi bruker samme formel som i b), men nå er tyngdepunktet $S (4, 2)$ kjent og hjørnet $F$ er ukjent:

S = \frac{1}{3} (D + E + F) \Rightarrow F = 3 S - D - E

Med $D (2, 3)$ , $E (- 3, 5)$ og $S (4, 2)$ får vi

F = (3 \cdot 4 - 2 - (- 3), 3 \cdot 2 - 3 - 5) = (13, - 2)

Se Fx og Fy i utklippet, som bekrefter $F = (13, - 2)$ .

CAS-utregning av vinkel, tyngdepunkt og ukjent hjørne

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Vektorer, Geometri
Egen side: Åpne oppgave 2-2 for seg selv

Oppgave 2-3Logaritmefunksjon med ekstremalpunkt og CAS

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ er gitt ved

f (x) = 2 \ln (x^{2} + 4) - \frac{1}{2} x

Krever PC

Bruk graftegner til å tegne grafen til $f$ når $x \in ⟨ - 4, 16 ⟩$

Kalkulator

Bestem eventuelle topp- og bunnpunkt på grafen til $f$ .

Funksjonen $g$ er gitt ved

g (x) = 2 \ln (x^{2} + k) - \frac{1}{2} x, k > 0

For hånd

Bruk CAS til å bestemme $k$ slik at $g$ har et ekstremalpunkt i $x = 1$ .

For hånd

Bruk blant annet CAS til å bestemme hvor mange ekstremalpunkt $g$ har for ulike verdier av $k$ .

Fasit

Se graf i løsningsforslaget.

$Bunnpunkt (0,54, 2,64), toppunkt (7,46, 4,45)$

$k = 7$

$To ekstremalpunkt for 0 < k < 16, ingen for k \geq 16$

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker graftegner til å plotte $f (x) = 2 \ln (x^{2} + 4) - \frac{1}{2} x$ for $x \in ⟨ - 4, 16 ⟩$ :

Graf av f med bunn- og toppunkt

Vi deriverer $f$ og bruker CAS til å løse $f^{'} (x) = 0$ :

f^{'} (x) = \frac{4 x}{x^{2} + 4} - \frac{1}{2}

CAS-utregning for b, c og d

Linje 2 og 3 i CAS-utklippet viser

f^{'} (x) = \frac{4 x}{x^{2} + 4} - \frac{1}{2} = 0 \Rightarrow x = 4 - 2 \sqrt{3} eller x = 4 + 2 \sqrt{3}

Vi setter $f^{'} (x)$ på fellesbrøk for å avgjøre fortegn:

f^{'} (x) = \frac{8 x - (x^{2} + 4)}{2 (x^{2} + 4)} = \frac{- x^{2} + 8 x - 4}{2 (x^{2} + 4)}

Telleren er et nedovervendt parabelutrykk med nullpunkt i $x = 4 \pm 2 \sqrt{3}$ , så $f^{'} (x) < 0$ for $x < 4 - 2 \sqrt{3}$ , $f^{'} (x) > 0$ for $4 - 2 \sqrt{3} < x < 4 + 2 \sqrt{3}$ og $f^{'} (x) < 0$ for $x > 4 + 2 \sqrt{3}$ . Dermed er $x = 4 - 2 \sqrt{3}$ et bunnpunkt og $x = 4 + 2 \sqrt{3}$ et toppunkt.

Linje 4 og 5 i CAS-utklippet viser funksjonsverdiene:

f (4 - 2 \sqrt{3}) = 2 \ln (16 (2 - \sqrt{3})) + \sqrt{3} - 2 \approx 2,64

f (4 + 2 \sqrt{3}) = 2 \ln (16 (2 + \sqrt{3})) - \sqrt{3} - 2 \approx 4,45

Bunnpunkt $(0,54, 2,64)$ og toppunkt $(7,46, 4,45)$ , i samsvar med grafen i a).

Vi deriverer $g (x) = 2 \ln (x^{2} + k) - \frac{1}{2} x$ :

g^{'} (x) = \frac{4 x}{x^{2} + k} - \frac{1}{2}

Skal $g$ ha et ekstremalpunkt i $x = 1$ , må $g^{'} (1) = 0$ . Linje 6–8 i CAS-utklippet viser at CAS løser dette med hensyn på $k$ :

g^{'} (1) = 0 \Rightarrow k = 7

$k = 7$

Vi setter $g^{'} (x) = 0$ generelt:

\frac{4 x}{x^{2} + k} - \frac{1}{2} = 0 \Rightarrow - x^{2} + 8 x - k = 0 \Rightarrow x^{2} - 8 x + k = 0

Linje 9 i CAS-utklippet viser løsningen

x = 4 - \sqrt{16 - k} eller x = 4 + \sqrt{16 - k}

Antall (reelle) løsninger avhenger av uttrykket under rottegnet, $16 - k$ :

For $0 < k < 16$ er $16 - k > 0$ , og likningen har to forskjellige løsninger. Akkurat som i b) (der $k = 4$ ) skifter $g^{'} (x)$ fortegn i begge punktene, så $g$ får to ekstremalpunkt — ett bunnpunkt og ett toppunkt.
For $k = 16$ blir $16 - k = 0$ , og likningen har kun løsningen $x = 4$ . Telleren i $g^{'} (x)$ blir da $- {(x - 4)}^{2} \leq 0$ for alle $x$ , så $g^{'} (x)$ skifter ikke fortegn i $x = 4$ . Punktet er et terrassepunkt, ikke et ekstremalpunkt.
For $k > 16$ er $16 - k < 0$ , og likningen har ingen reelle løsninger. Da beholder $g^{'} (x)$ samme fortegn (negativt) for alle $x$ , og $g$ er strengt avtagende uten ekstremalpunkt.

$To ekstremalpunkt for 0 < k < 16, ingen ekstremalpunkt for k \geq 16$

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 8
Temaer: Funksjonsdrøfting, Logaritmefunksjoner, CAS
Egen side: Åpne oppgave 2-3 for seg selv

Oppgave 2-4Skip Euler redningsbåt vektormodell

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Skipet Euler sender ut en melding om at det har fått motorstopp. Kapteinen oppgir at posisjonen er $P_{0} (80, 16)$ i et bestemt koordinatsystem. På grunn av avdriften vil posisjonen $P$ (i nm) $t$ timer senere være gitt ved

\vec{O P} = [80 + 4 t, 16 + 3 t]

På havet måles avstander i nautiske mil (nm). $1 n m = 1852 m$ .

Koordinatsystem med skip Euler og posisjoner

For hånd

Hvilken fartsvektor $\vec{v}$ driver skipet med? Hvor stor er farten (banefarten)?

En redningsbåt som ligger i $O$ , sier at den er klar til å gå mot skipet og kan være ved Euler om 4 timer.

Kalkulator

Hvor stor fart holder redningsbåten?

En annen redningsbåt er i posisjonen $Q (- 10, 50)$ når meldingen blir sendt. Den kan holde en fart på 35 nm/h.

Kalkulator

Bruk CAS til å bestemme hvor lang tid det vil gå før denne redningsbåten kan være framme ved Euler.

Fasit

$\vec{v} = [4, 3], | \vec{v} | = 5 n m / h$

$25 n m / h$

$t \approx 3,00 timer$

LøsningsforslagKI-generert

Fartsvektoren $\vec{v}$ er koeffisientene til $t$ i parameterframstillingen

\vec{O P} = [80 + 4 t, 16 + 3 t] = [80, 16] + t \cdot [4, 3]

Dette gir

\vec{v} = [4, 3]

Banefarten er lengden av $\vec{v}$ :

| \vec{v} | = \sqrt{4^{2} + 3^{2}} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5

$\vec{v} = [4, 3], | \vec{v} | = 5 n m / h$

Etter $t = 4$ timer har Euler driftet til posisjonen

P (4) = (80 + 4 \cdot 4, 16 + 3 \cdot 4) = (96, 28)

Redningsbåten starter i $O (0, 0)$ og skal være framme i $P (4)$ etter 4 timer, altså tilbakelegge strekningen $\vec{O P (4)}$ på 4 timer. Avstanden er

| \vec{O P (4)} | = \sqrt{96^{2} + 28^{2}} = \sqrt{10000} = 100

(bekreftet med CAS, se skjermbilde). Farten blir da

fart = \frac{100}{4} = 25

$25 n m / h$

Den andre redningsbåten starter i $Q (- 10, 50)$ med farten $35 n m / h$ . Etter $t$ timer har den tilbakelagt strekningen $35 t$ , mens Euler da er i posisjonen $P (t) = (80 + 4 t, 16 + 3 t)$ . Redningsbåten når Euler når avstanden $| \vec{Q P (t)} |$ er lik strekningen den har tilbakelagt:

\sqrt{{(80 + 4 t - (- 10))}^{2} + {(16 + 3 t - 50)}^{2}} = 35 t

\sqrt{{(90 + 4 t)}^{2} + {(3 t - 34)}^{2}} = 35 t

Vi løser likningen med CAS (se skjermbilde under):

CAS-utregning for redningsbåt-oppgaven

CAS gir

t = \frac{129 + 7 \sqrt{57009}}{600} \approx 3,0006

Situasjonen med Eulers drivbane og de to redningsbåtenes møtepunkter er illustrert under:

Koordinatsystem med Euler, redningsbåtene og møtepunktene

$t \approx 3,00 timer$

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Vektorer, Modellering, CAS
Egen side: Åpne oppgave 2-4 for seg selv

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Del 1uten hjelpemidler · 3 timer · 8 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 1-1Derivasjon av tre funksjoner R1 H17

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-2Forenkle ln-uttrykk med logaritmeregler

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-3Vektorer i planet med parameterverdi

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-4Trekantareal under andregradsgraf optimering

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-5Nøkkelboks kombinatorikk med og uten rekkefølge

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-6Trekant ABC med midtnormal og parameterframstilling

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-7Implikasjoner og ekvivalenser mellom utsagn

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-8Tangent gjennom origo til e-funksjon

Forstå oppgaven med en KI

Del 2alle hjelpemidler · 2 timer · 4 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 2-1Spilleliste med Kygo binomisk fordeling

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-2Vinkler og tyngdepunkt i trekanter med vektorer

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-3Logaritmefunksjon med ekstremalpunkt og CAS

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-4Skip Euler redningsbåt vektormodell

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Del 1uten hjelpemidler · 3 timer · 8 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 1-1·Derivasjon av tre funksjoner R1 H17

Oppgave 1-2·Forenkle ln-uttrykk med logaritmeregler

Oppgave 1-3·Vektorer i planet med parameterverdi

Oppgave 1-4·Trekantareal under andregradsgraf optimering

Oppgave 1-5·Nøkkelboks kombinatorikk med og uten rekkefølge

Oppgave 1-6·Trekant ABC med midtnormal og parameterframstilling

Oppgave 1-7·Implikasjoner og ekvivalenser mellom utsagn

Oppgave 1-8·Tangent gjennom origo til e-funksjon

Del 2alle hjelpemidler · 2 timer · 4 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 2-1·Spilleliste med Kygo binomisk fordeling

Oppgave 2-2·Vinkler og tyngdepunkt i trekanter med vektorer

Oppgave 2-3·Logaritmefunksjon med ekstremalpunkt og CAS

Oppgave 2-4·Skip Euler redningsbåt vektormodell

Temaer

Oppgave 1-1Derivasjon av tre funksjoner R1 H17

Oppgave 1-2Forenkle ln-uttrykk med logaritmeregler

Oppgave 1-3Vektorer i planet med parameterverdi

Oppgave 1-4Trekantareal under andregradsgraf optimering

Oppgave 1-5Nøkkelboks kombinatorikk med og uten rekkefølge

Oppgave 1-6Trekant ABC med midtnormal og parameterframstilling

Oppgave 1-7Implikasjoner og ekvivalenser mellom utsagn

Oppgave 1-8Tangent gjennom origo til e-funksjon

Oppgave 2-1Spilleliste med Kygo binomisk fordeling

Oppgave 2-2Vinkler og tyngdepunkt i trekanter med vektorer

Oppgave 2-3Logaritmefunksjon med ekstremalpunkt og CAS

Oppgave 2-4Skip Euler redningsbåt vektormodell