Vi undersøker om $f$ er kontinuerlig i $x = -2$ med $a = 2$ og $b = -2$.

Venstresiden ($x \le -2$): $f(-2) = 2(-2) + (-2) = -6$

Høyresiden ($-2 < x$): $\lim_{x \to -2^+} f(x) = 2(-2)^3 + 2(-2)^2 - 2(-2) = -16 + 8 + 4 = -4$

Siden $-6 \neq -4$ er ikke grenseverdien lik funksjonsverdien, og $f$ er ikke kontinuerlig i $x = -2$.

Kontinuitet og deriverbarhet i $x = -2$:

Middeldelen i $x = -2$ gir (som beregnet ovenfor):

Venstresiden: $f(-2) = -2a + b$.

Krav om kontinuitet: $-2a + b = -4$ … (1)

For deriverbarhet: middeldelen har $f'(x) = 6x^2 + 4x - 2$, som gir $f'(-2) = 6 \cdot 4 + 4 \cdot (-2) - 2 = 14$. Venstresiden har $f'(x) = a$.

Krav om deriverbarhet: $a = 14$ … (2)

Fra (1) og (2): $-2 \cdot 14 + b = -4 \implies b = 24$.

Kontinuitet og deriverbarhet i $x = k$:

Middeldelen i $x = k$: $f(k) = 2k^3 + 2k^2 - 2k$, og høyresiden er konstanten $c$.

Krav om kontinuitet: $c = 2k^3 + 2k^2 - 2k$ … (3)

For deriverbarhet: høyresiden har $f'(x) = 0$. Middeldelen: $f'(k) = 6k^2 + 4k - 2$.

Krav om deriverbarhet: $6k^2 + 4k - 2 = 0 \implies 3k^2 + 2k - 1 = 0 \implies (3k-1)(k+1) = 0$

Begge verdiene er i $\langle -2, \rightarrow \rangle$. Vi beregner $c$ for begge:

• $k = \dfrac{1}{3}$: $c = 2 \cdot \dfrac{1}{27} + 2 \cdot \dfrac{1}{9} - 2 \cdot \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{27} + \dfrac{6}{27} - \dfrac{18}{27} = -\dfrac{10}{27}$

• $k = -1$: $c = 2(-1)^3 + 2(-1)^2 - 2(-1) = -2 + 2 + 2 = 2$

Svar:

og enten $\underline{\underline{k = \dfrac{1}{3},\ c = -\dfrac{10}{27}}}$ eller $\underline{\underline{k = -1,\ c = 2}}$.