2P-Y Vår 2025

Medianen er det midterste tallet etter at vi har sortert dem stigende

Siden både 4 og 6 står i midten så er medianen 5.

Gjennomsnittet er summen av tallene delt på antallet observasjoner.

Medianen er 5 og gjennomsnittet er 5.

Den kumulative frekvensen for 6 personer er antallet observasjoner som er 6 eller mindre. Det er 7 av de 10 observasjonene som er på 6 personer eller mindre.

Den kumulative frekvensen for 6 personer er 7, det betyr at det i 7 av de 10 tilfellene var 6 personer eller færre i vogna i skiheisen.

Jeg ser at dette er en omvendt proporsjonal funksjon siden en dobling fra 2 til 4 deltakere gir en halvering av prisen per elev fra 4000 kr til 2000 kr.

Siden det koster 800 kr per person hvis de er 10 elever må det koste 400 kr per person dersom de er 20 elever.

Det koster 400 kr per person dersom det er 20 elever på festen.

Funksjonsuttrykkene for omvendt proporsjonale er på formen

Der $k$ er prisen når $x=1$. I dette tilfellet må prisen være 8000 kr for å leie lokalet (siden det koster 4000 kr per person for 2 personer). Funksjonsuttrykket er derfor

Jeg ser at hele figuren er rektangler som øker med 2 i bredden og 1 i høyden for hver figur. De hvite feltene øker med 3 for hver figur. Jeg setter opp en oversikt.

Det er 64 grønne ruter i figur 5.

Antallet hvite kvadrater øker med 3 for hver figur, og det starter på 1.

I figuren over har jeg delt opp figur nr 3 i 4 ulike deler. Jeg ser at vi har tre like deler med lengde 2 merket med lilla farge. Disse er altså 1 mindre enn figurtallet. I tillegg har vi en ekstra hvit rute som er fast i alle figurene, merket med rød farge. For figur 3 kunne vi altså skrevet opp antallet som $3 \cdot 2 + 1$ eller ved å bruke figurnummeret $\textcolor{seagreen}{3}$ kunne vi skrevet $3 \cdot (\textcolor{seagreen}{3}-1) + 1$. Et generelt uttrykk for hvite ruter i figur nummer $n$ blir derfor

Jeg har allerede sett at det er mulig å finne størrelsen av hele rektangelet og trekke fra de hvite feltene for å finne ut hvor mange grønne ruter det er. Det store rektangelet øker med 2 i bredden og 1 i høyden, og vi ser at bredden er $2n+1$, mens høyden er $n+2$. Altså er antall ruter i hele rektangelet

For å finne antallet grønne ruter så kan vi trekke fra antallet hvite ruter.

I figur nummer $n$ er antallet grønne kvadrater gitt ved:

Vi kunne også funnet formelen for antallet grønne felter ved å dele opp de grønne feltene i mindre deler, se figuren.

$U(x)$ består av to ledd: $\textcolor{maroon}{5000 \cdot 0{,}95^{x}}$ og $\textcolor{seagreen}{1000}$.

1. $\textcolor{maroon}{5000 \cdot 0{,}95^{x}}$ er en eksponentialfunksjon som synker med 5 % for hvert år. Dette viser at prosessen som i dag slipper ut 5000 tonn per år kommer til å reduseres med 5 %.
2. $\textcolor{seagreen}{1000}$ er en konstant funksjon, denne verdiene endrer seg altså ikke i framtiden. Dette viser at prosessen som i dag slipper ut 1000 tonn per år kommer til å fortsette på samme måte i framtiden.

Ledelsen ønsker å minke utslippet fra den ene prosessen med 5 % per år, og ikke gjøre noe med den andre prosessen.

Til de neste oppgavene har jeg brukt GeoGebra til å regne ut svarene, se figur figur 1.

For å finne antall år før utslippene blir halvert har jeg lagt ut linja $y=\frac{6000}{2}$ og funnet skjæringen med $U$, se punkt $A$.

Utslippene vil være halvert til 3000 tonn per år etter 18 år.

For å finne utslippet etter 10 år har jeg lagt ut linja $x=10$ og funnet skjæringen med $U$, se punkt $B$. Utslippene er 3993,7 tonn etter 10 år.

Jeg har beregnet den prosentvise endringen i algebrafeltet, se linjen merket c) ProsEndring.

Utslippene har minket med 33,4 % etter 10 år.

Jeg la ut punktene $C(0,U(0))$ og $D(30,U(30))$ i GeoGebra og trakk en linje mellom dem. Etter å ha ordnet uttrykket for linja ser jeg at stigningstallet til linja er $-130{,}9$.

Stigningstallet til linja er omtrent -131, dette betyr at utslippene i gjennomsnitt minker med 131 tonn per år hvert år i løpet av de 30 første årene.

Jeg sjekket dette ved å lete etter skjæringen i mellom $y=800$ og $U(x)$ i GeoGebra. Da fikk jeg svaret Udefinert siden disse funksjonene ikke skjærer hverandre. Dette kunne jeg også sett fra funksjonsuttrykket med leddet $+1000$, som gjør at $U(x)$ alltid vil være større enn 1000.

Det er ikke mulig å komme ned til 800 tonn per år med dagens modell.

Akkurat nå er det 10 personer i rommet. Medianalderen blir da gjennomsnittet av aldrene til person nummer 5 og 6. Denne medianalderen er foreløpig $\frac{28+30}{2}=29$ år.

Dersom det kommer en ellevte person inn så er det person nr. 6 som vil være medianalderen:

• Hvis personen er yngre enn 29 år så vil medianalderen bli 28
• Hvis personen er eldre enn 29 år så vil medianalderen bli 30
• Hvis personen er 29 år så blir den nye medianalderen 29

Påstanden er riktig.

Hvis det kommer en ny person inn i rommet så blir det 11 personer i rommet. Hvis deres gjennomsnittsalder skal være 30 så må summen av alle aldrene være $11 \cdot 30 = 330$ år.

Foreløpig er summen av aldrene 313 år. Hvis den siste personen er 17 år så blir blir summen 330 år, og dermed blir gjennomsnittet

Påstanden er riktig.

For at skjerfet skal øke med like mange centimeter per uke, så må vi bruke en lineær modell på formen $y=ax+b$.

Vi vet at skjerfet er 8 m i dag, og at det skal bli 40 meter etter 25 uker. Det skal altså øke med vekstfarten

En lineær modell for lengden på skjerfet etter $x$ uker vil derfor være

Jeg løser oppgaven i CAS. Vi skal finne ut når funksjonen vår passerer 17 m, vi skal altså løse likningen

Det tar 7 uker før skjerfet er 17 meter langt ifølge modellen.

Jeg bruker regresjon for å vise dette, se figuren.

Funksjonen $\underline{\underline{F(x)=12000\cdot 0{,}87^{x}}}$ er en god modell for utviklingen.

Jeg sjekket verdien av $F(7)$ i GeoGebra, se skjermbildet.

Etter 7 år vil det være 4527 fugler ifølge modellen.

Når bestanden er redusert med 35 % er det 65 % igjen, altså $12000 \cdot 0{,}65$. Jeg la inn linja $y=12000 \cdot 0{,}65$ og fant skjæringen i punktet $A$.

Det tar 3 år før bestanden er redusert med 35 % ifølge modellen.