2P-Y Vår 2025 · Matematikkoppgaver

Oppgave 1-1Elever i klassen basert på prosentandel

$88 %$ av elevene i en klasse deltar i en undersøkelse. Det er $3$ elever som ikke deltar i undersøkelsen.

Hvor mange elever er det i klassen?

Fasit

25 elever i klassen.

Løsningsforslag

Siden 88 % har svart, så må de gjenværende 12 prosentene tilsvare de 3 elevene. Vi kan gå veien om en ved å finne ut hvor mange elever 1 prosent tilsvarer.

\frac{3 elever}{12 %} = \frac{3 elever}{3 \cdot 4 %} = \frac{1}{4} elever per % = 0,25 elever per %

1 % tilsvarer altså 0,25 elever, og dermed tilsvarer 100 % 25 elever.

Det er 25 elever i klassen.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 1 poeng

Riktig svar uten begrunnelse gir ingen uttelling.

Oppgavedata

Delt med: 2P-Y, 2P
Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 1
Temaer: Prosentregning
Kompetansemål: Forklare og bruke prosent, prosentpoeng og vekstfaktor til modellering av praktiske situasjonar med digitale verktøy
Egen side: Åpne oppgave 1-1 for seg selv

Oppgave 1-2Median og gjennomsnitt i heiskø

Trine og Truls står i kø for å ta en skiheis. De teller hvor mange personer som blir med i hver av vognene som kjører forbi før det blir deres tur. Resultatene ser du nedenfor:

6 3 2 4 4 6 2 7 8 8

Bestem medianen og gjennomsnittet.

Bestem den kumulative frekvensen for $6$ personer, og gi en praktisk tolkning av svaret.

Fasit

Medianen er $5$ og gjennomsnittet er $5$ .

Den kumulative frekvensen for $6$ personer er $7$ (det var 7 av de 10 observasjonene som var $\leq 6$ ).

Løsningsforslag

Medianen er det midterste tallet etter at vi har sortert dem stigende

2,2,3,4, \underset{Median}{\underset{⏟}{4,6}}, 6,7,8,8

Siden både 4 og 6 står i midten så er medianen 5.

Gjennomsnittet er summen av tallene delt på antallet observasjoner.

\frac{Sum}{Antall observasjoner} = \frac{2 + 2 + 3 + 4 + 4 + 6 + 6 + 7 + 8 + 8}{10} = \frac{50}{10} = 5 .

Medianen er 5 og gjennomsnittet er 5.

Den kumulative frekvensen for 6 personer er antallet observasjoner som er 6 eller mindre. Det er 7 av de 10 observasjonene som er på 6 personer eller mindre.

Den kumulative frekvensen for 6 personer er 7, det betyr at det i 7 av de 10 tilfellene var 6 personer eller færre i vogna i skiheisen.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 4 poeng

I utgangspunktet gis 1 poeng for riktig median, og 1 poeng for riktig gjennomsnitt. For å få uttelling må kandidaten vise hvordan svarene framkommer.

I utgangspunktet gis 1 poeng for riktig kumulativ frekvens, og 1 poeng for riktig praktisk tolkning knyttet til situasjonen i oppgaven. For å få uttelling må kandidaten vise hvordan svaret framkommer. Generelle forklaringer av begrepet kumulativ frekvens gir ingen uttelling.

Oppgavedata

Delt med: 2P-Y, 2P
Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 4
Temaer: Sentralmål, Kumulativ frekvens
Kompetansemål: Bruke og vurdere val av formålstenlege sentralmål og spreiingsmål for statistisk datamateriale
Egen side: Åpne oppgave 1-2 for seg selv

Oppgave 1-3Omvendt proporsjonal klassefest

Graf som viser sammenhengen mellom antall elever og pris per elev

Elevene i klasse 3PBB vil leie et lokale for å arrangere klassefest. De vil spleise på utgiftene. Ovenfor ser du grafen til en funksjon $f$ . Grafen viser sammenhengen mellom hvor mange elever som blir med på festen, og prisen hver elev må betale:

Hvor mye må hver elev betale dersom $20$ elever blir med på festen?

Bestem funksjonsuttrykket $f (x)$ .

Fasit

Det koster $400 kr$ per elev ved $20$ deltakere.

$f (x) = \frac{8000}{x}$ .

Løsningsforslag

Jeg ser at dette er en omvendt proporsjonal funksjon siden en dobling fra 2 til 4 deltakere gir en halvering av prisen per elev fra 4000 kr til 2000 kr.

Siden det koster 800 kr per person hvis de er 10 elever må det koste 400 kr per person dersom de er 20 elever.

Det koster 400 kr per person dersom det er 20 elever på festen.

Funksjonsuttrykkene for omvendt proporsjonale er på formen

f (x) = \frac{k}{x}

Der $k$ er prisen når $x = 1$ . I dette tilfellet må prisen være 8000 kr for å leie lokalet (siden det koster 4000 kr per person for 2 personer). Funksjonsuttrykket er derfor

f (x) = \frac{8000}{x}

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 2 poeng

Et riktig svar som ikke er begrunnet i oppgave b) kan gi full uttelling dersom kandidaten har gjort rede for sammenhengen ved beregninger eller et resonnement i oppgave a).

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Omvendt proporsjonalitet, Funksjoner
Kompetansemål: Utforske, beskrive og bruke omgrepa proporsjonalitet og omvend proporsjonalitet
Egen side: Åpne oppgave 1-3 for seg selv

Oppgave 1-4Prosentvis framgang for to partier

I en kommune fikk Høyre $24 %$ av stemmene ved forrige valg. Fremskrittspartiet fikk $16 %$ . En meningsmåling viser at begge partiene har økt sin oppslutning med $4$ prosentpoeng siden valget.

Hvilket parti har hatt størst prosentvis framgang? Husk å begrunne svaret.

Fasit

Fremskrittspartiet har størst prosentvis framgang (fra $16 %$ til $20 %$ gir $\frac{4}{16} \cdot 100 % = 25 %$ , mens Høyre går fra $24 %$ til $28 %$ som gir $\frac{4}{24} \cdot 100 % \approx 16,7 %$ ).

Løsningsforslag

Høyre sin framgang var fra 24 % til 28 %, det gir en prosentvis framgang på

Høyres prosentvise endring = \frac{4 %}{24 %} \cdot 100 % = \frac{4 %}{4 \cdot 6 %} \cdot 100 % = \frac{100}{6} %

Fremskrittspartiet sin framgang var fra 16 % til 20 %, det gir en prosentvis framgang på

FrPs prosentvise endring = \frac{4 %}{16 %} \cdot 100 % = \frac{4 %}{4 \cdot 4 %} \cdot 100 % = \frac{100}{4} %

Siden $\frac{100}{4}$ er mer enn $\frac{100}{6}$ må Fremskrittspartiet ha hatt den største prosentvise framgangen.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 1 poeng

En kandidat som resonnerer seg fram til riktig svar uten å gjøre beregninger, kan få full uttelling. En kandidat som forklarer at FRP har størst prosentvis fremgang på grunn av lavest utgangspunkt, men blander begrepene prosent og prosentpoeng, kan få full uttelling. Riktig svar uten begrunnelse gir ingen uttelling.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 1
Temaer: Prosentregning
Kompetansemål: Forklare og bruke prosent, prosentpoeng og vekstfaktor til modellering av praktiske situasjonar med digitale verktøy
Egen side: Åpne oppgave 1-4 for seg selv

Oppgave 1-5Få størst mulig svar

I denne oppgaven skal du bruke fire av tallene $1,2,3,4,5,6,7,8,9$ . Hvert tall kan bare brukes én gang.

Skriv av og fyll inn ett tall i hver av de fire rutene i regnestykket nedenfor slik at svaret blir størst mulig:

10^{□} \times □ - □ \times 10^{□} =

Fasit

$8 \cdot 10^{9} - 2 \cdot 10^{1}$ .

Løsningsforslag

Vi ser et regnestykke med differansen mellom to ulike ledd. For at svaret skal bli størst mulig må det første leddet være så stort som mulig, og det andre leddet (det vi trekker fra) må være så lite som mulig.

Siden potenser blir veldig store når eksponentene er høye så vil $8 \cdot 10^{9}$ være det største tallet vi kan skrive, og $2 \cdot 10^{1}$ være det minste tallet vi kan skrive, dermed vil det regnestykket som gir det høyeste svaret være

8 \cdot 10^{9} - 2 \cdot 10^{1}

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 1 poeng

En kandidat som har satt inn riktige tall i hver av de fire rutene, får full uttelling. Kandidaten trekkes ikke for en videre utregning som er feil.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 1
Temaer: Potensregning
Kompetansemål: Tolke og rekne med rotuttrykk, potensar og tal på standardform
Egen side: Åpne oppgave 1-5 for seg selv

Oppgave 1-6Figurtall 2PY v2025

Tre rektangler av små kvadrater. Figur 1 er 3 ganger 3 ruter med 1 hvit rute, figur 2 er 5 ganger 4 ruter med 4 hvite ruter, og figur 3 er 7 ganger 5 ruter med 7 hvite ruter. Resten av rutene er grønne, og de hvite rutene danner en opp-ned T som vokser fra figur til figur.

Ovenfor ser du tre figurer. Figurene er satt sammen av små hvite og grønne kvadrater. Tenk deg at du skal fortsette å lage figurer etter samme mønster.

Hvor mange små grønne kvadrater vil det være i figur $5$ ?

Lag en formel for antallet hvite kvadrater i figur $n$ .

Fasit

$64$

$H_{n} = 3 n - 2$

$G_{n} = 2 n^{2} + 2 n + 4$

Løsningsforslag

Jeg ser at hele figuren er rektangler som øker med 2 i bredden og 1 i høyden for hver figur. De hvite feltene øker med 3 for hver figur. Jeg setter opp en oversikt.

Figurnummer	Antall totalt	Antall hvite	Antall grønne
1	$3 \cdot 3 = 9$	1	8
2	$5 \cdot 4 = 20$	4	16
3	$7 \cdot 5 = 35$	7	28
4	$9 \cdot 6 = 54$	10	44
5	$11 \cdot 7 = 77$	13	64

Det er 64 grønne ruter i figur 5.

Antallet hvite kvadrater øker med 3 for hver figur, og det starter på 1.

Figur 1: Oppdeling av figur 3 i oppgave 1-6b

I figuren over har jeg delt opp figur nr 3 i 4 ulike deler. Jeg ser at vi har tre like deler med lengde 2 merket med lilla farge. Disse er altså 1 mindre enn figurtallet. I tillegg har vi en ekstra hvit rute som er fast i alle figurene, merket med rød farge. For figur 3 kunne vi altså skrevet opp antallet som $3 \cdot 2 + 1$ eller ved å bruke figurnummeret $3$ kunne vi skrevet $3 \cdot (3 - 1) + 1$ . Et generelt uttrykk for hvite ruter i figur nummer $n$ blir derfor

H_{n} = 3 \cdot (n - 1) + 1 = 3 n - 2

Jeg har allerede sett at det er mulig å finne størrelsen av hele rektangelet og trekke fra de hvite feltene for å finne ut hvor mange grønne ruter det er. Det store rektangelet øker med 2 i bredden og 1 i høyden, og vi ser at bredden er $2 n + 1$ , mens høyden er $n + 2$ . Altså er antall ruter i hele rektangelet

\begin{matrix} Antall ruter totalt & = (2 n + 1) \cdot (n + 2) \\ = 2 n \cdot n + 2 n \cdot 2 + 1 \cdot n + 1 \cdot 2 \\ = 2 n^{2} + 4 n + n + 2 \\ = 2 n^{2} + 5 n + 2 \end{matrix}

For å finne antallet grønne ruter så kan vi trekke fra antallet hvite ruter.

\begin{matrix} Antall grønne & = Antall ruter totalt - Antall hvite \\ = (2 n^{2} + 5 n + 2) - (3 n - 2) \\ = 2 n^{2} + 5 n + 2 - 3 n + 2 \\ = 2 n^{2} + 5 n - 3 n + 2 + 2 \\ = 2 n^{2} + 2 n + 4 \end{matrix}

I figur nummer $n$ er antallet grønne kvadrater gitt ved:

G_{n} = 2 n^{2} + 2 n + 4

Oppdeling av figur 3 i oppgave 1-6c

Vi kunne også funnet formelen for antallet grønne felter ved å dele opp de grønne feltene i mindre deler, se figuren.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 3 poeng

Riktig svar uten begrunnelse gir ingen uttelling. En riktig formel i oppgave c) gjelder som begrunnelse i oppgave a).

En riktig formel som ikke er gjort rede for, gir full uttelling.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Figurtall
Kompetansemål: Identifisere variable storleikar i ulike situasjonar og bruke dei til utforsking og generalisering
Egen side: Åpne oppgave 1-6 for seg selv

Oppgave 1-7Median og gjennomsnitt fra klassedelt alder

I tabellen nedenfor finner du informasjon om alderen til $100$ personer som er medlemmer på et treningssenter:

Alder (år)	Antall medlemmer
$[16,20 ⟩$	$20$
$[20,40 ⟩$	$40$
$[40,60 ⟩$	$30$
$[60,90 ⟩$	$10$

Trine påstår at gjennomsnittsalderen er ca. $38$ år, og at medianalderen er ca. $35$ år.

Gjør beregninger og vis at påstandene kan være riktige. Trine må ha gjort en antakelse for å kunne regne seg fram til disse verdiene. Gjør rede for en mulig antakelse.

Fasit

Gjennomsnitt ≈ $38,1$ år, median ≈ $35$ år (ved jevn fordeling i hver klasse).

Løsningsforslag

Trine må ha antatt at det er omtrent like mange personer i hver alder i hver klasse, altså at det for eksempel er 5 16-åringer, 5 17-åringer, 5 18-årnger og 5 19-åringer i den første klassen.

Hvis den antakelsen stemmer så kan vi finne gjennomsnittsalder ved å ta klassemidtpunktet for hver klasse og multiplisere med antallet medlemmer i klassen.

Alder	Midtpunkt	Frekvens	Midtpunkt $\cdot$ frekvens
$[16, 20 ⟩$	18	20	360
$[20,40 ⟩$	30	40	1200
$[40,60 ⟩$	50	30	1500
$[60,90 ⟩$	75	10	750
Sum		100	3810

Gjennomsnittsalderen er omtrent $\frac{3810}{100} = 38,1$ år.

Medianen er «den midterste personen» blant de 100 hvis vi sorterer dem etter alder. Altså vil medianen være gjennomsnittet av alderen til person nr. 50 og 51.

Vi tenker oss de 100 personene sortert etter alder i en lang rekke. De 20 yngste personene er under 20 år. I den neste klassen er det 40 personer, og medianpersonen vil være gjennomsnittet av person nr. 30 og 31 inni denne klassen.

Hvis vi fordeler personene i klassen $[20, 40 ⟩$ i 5-årsgrupper så finner vi ut at person nummer 21–30 er mellom 20–24 år, person 31–40 er 25–30 år, person 41–50 er 30–35 år og 51–60 er 35–40 år. Personene 50 og 51 er altså begge rett rundt 35 år, og dermed er medianalderen 35 år.

Gjennomsnittet er ca. 38 år og medianalderen er ca. 35 år hvis personene er jevnt fordelt innenfor hver klasse.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 4 poeng

Her gis i utgangspunktet 2 poeng for å vise at gjennomsnittet blir ca. 38 år, og 2 poeng for å vise at medianen blir ca. 35 år. Det gis 1 poeng for riktig argumentasjon for medianklassen. For å få full uttelling, må kandidaten gjøre rede for en antakelse om jevn fordeling.

Oppgavedata

Delt med: 2P-Y, 2P
Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Sentralmål, Grupperte data, Argumentasjon
Kompetansemål: Bruke og vurdere val av formålstenlege sentralmål og spreiingsmål for statistisk datamateriale
Egen side: Åpne oppgave 1-7 for seg selv

Oppgave 1-8Program for reduksjon av matsvinn

Et av FNs bærekraftsmål er å redusere matsvinn. Sofie har lest at en familie på fire kaster ca. $160 kg$ mat hvert år. Hun har laget programmet nedenfor.

matsvinn = 160
mål = matsvinn / 2
vf = 0.87

år = 2025

while matsvinn > mål:
    matsvinn = matsvinn * vf
    år = år + 1

print(år)
print(matsvinn)

Når Sofie kjører programmet, blir disse verdiene skrevet ut:

2030
79.74734731199999

Forklar hva Sofie ønsker å finne ut.
Hva forteller verdiene som blir skrevet ut når Sofie kjører programmet?

Fasit

Sofie ønsker å finne ut hvor mange år det tar før matsvinnet er halvert (til under $80 kg$ ). Verdiene viser at målet nås i $2030$ med utslipp på $79,7 kg$ .

Løsningsforslag

I programmet ser jeg følgende:

Linje 1: matsvinnet starter på 160 kg
Linje 2: Målet er å halvere matsvinnet til 80 kg
Linje 3: Vekstfaktoren er 0,87, altså 13 % nedgang.
Linje 7: Starter en løkke som kjører fram til matsvinnet er mindre enn målet vårt på 80 kg
Linje 8: Reduserer matsvinnet med 13 %
Linje 9: Beregner hvilket år vi er i

Sofie ønsker å finne ut hvor mange år det tar før vi har halvert matsvinnet vårt.

Verdiene som skrives ut forteller at vi når målet i 2030 dersom vi reduserer med 13 % per år, og at utslippet da vil være 79,7 kg per familie på fire.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 2 poeng

For å få full uttelling må kandidaten gjøre rede for

at målet er å halvere utslippet
at utslippet skal reduseres med 13 % per år
at målet nås i 2030
at utslippet da er redusert til ca. 79,7 kg

For å få ett poeng, må kandidaten gjøre rede for to av de fire momentene nevnt ovenfor. Redegjørelsene må være presise.

Oppgavedata

Delt med: 2P-Y, 2P
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Programmering, Eksponentialfunksjon
Kompetansemål: Forklare og bruke prosent, prosentpoeng og vekstfaktor til modellering av praktiske situasjonar med digitale verktøy
Egen side: Åpne oppgave 1-8 for seg selv

Oppgave 2-1Modell for reduksjon av utslipp Modell for reduksjon av utslipp

Ledelsen ved en bedrift ønsker å redusere utslippet av miljøskadelige stoffer de neste årene. I dag har bedriften to produksjonsprosesser:

Den ene slipper ut $5000 t o n n$ per år
Den andre slipper ut $1000 t o n n$ per år.

Ledelsen mener funksjonen

U (x) = 5000 \cdot {0,95}^{x} + 1000

er en god modell for utslippet $U (x)$ tonn per år etter $x$ år.

For hånd

Forklar hva modellen forteller om ledelsens plan for å redusere utslippet.

Krever PC

Hvor lang tid vil det gå før bedriften har halvert det årlige utslippet ifølge modellen?

Kalkulator

Hvor mange prosent er det årlige utslippet redusert med etter $10$ år ifølge modellen?

Kalkulator

Bestem stigningstallet til den rette linjen som går gjennom punktene $(0, U (0))$ og $(30, U (30))$ . Gi en praktisk tolkning av svaret.

Myndighetene har krevd at utslippet skal reduseres til $800 tonn$ per år.

Vurder om det ifølge modellen $U$ er mulig å oppfylle dette kravet.

Fasit

Den ene prosessen reduseres med $5 %$ per år, den andre holdes konstant på $1000 tonn$ .

$18$ år.

$33,4 %$ reduksjon.

Stigningstallet ≈ $- 131$ , som betyr en gjennomsnittlig årlig nedgang på $131 tonn$ de første 30 årene.

Nei, modellen har alltid $U (x) > 1000$ og vil aldri nå $800$ ).

Løsningsforslag

$U (x)$ består av to ledd: $5000 \cdot {0,95}^{x}$ og $1000$ .

$5000 \cdot {0,95}^{x}$ er en eksponentialfunksjon som synker med 5 % for hvert år. Dette viser at prosessen som i dag slipper ut 5000 tonn per år kommer til å reduseres med 5 %.
$1000$ er en konstant funksjon, denne verdiene endrer seg altså ikke i framtiden. Dette viser at prosessen som i dag slipper ut 1000 tonn per år kommer til å fortsette på samme måte i framtiden.

Ledelsen ønsker å minke utslippet fra den ene prosessen med 5 % per år, og ikke gjøre noe med den andre prosessen.

Til de neste oppgavene har jeg brukt GeoGebra til å regne ut svarene, se figur 1.

For å finne antall år før utslippene blir halvert har jeg lagt ut linja $y = \frac{6000}{2}$ og funnet skjæringen med $U$ , se punkt $A$ .

Utslippene vil være halvert til 3000 tonn per år etter 18 år.

For å finne utslippet etter 10 år har jeg lagt ut linja $x = 10$ og funnet skjæringen med $U$ , se punkt $B$ . Utslippene er 3993,7 tonn etter 10 år.

Jeg har beregnet den prosentvise endringen i algebrafeltet, se linjen merket c) ProsEndring.

Utslippene har minket med 33,4 % etter 10 år.

Jeg la ut punktene $C (0, U (0))$ og $D (30, U (30))$ i GeoGebra og trakk en linje mellom dem. Etter å ha ordnet uttrykket for linja ser jeg at stigningstallet til linja er $- 130,9$ .

Stigningstallet til linja er omtrent -131, dette betyr at utslippene i gjennomsnitt minker med 131 tonn per år hvert år i løpet av de 30 første årene.

Jeg sjekket dette ved å lete etter skjæringen i mellom $y = 800$ og $U (x)$ i GeoGebra. Da fikk jeg svaret Udefinert siden disse funksjonene ikke skjærer hverandre. Dette kunne jeg også sett fra funksjonsuttrykket med leddet $+ 1000$ , som gjør at $U (x)$ alltid vil være større enn 1000.

Det er ikke mulig å komme ned til 800 tonn per år med dagens modell.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 7 poeng

For å få uttelling må det gå klart fram at det er utslippet fra den ene prosessen som skal reduseres.

En kandidat som finner utslippet etter 10 år og gjør noen riktige beregninger, kan få 1 poeng.

For å få full uttelling, må kandidaten finne riktig stigningstall og tolke dette som gjennomsnitt per år.

En kandidat tegner grafen sammen med linja $y = 800$ , må argumentere for at grafen ikke vil skjære linja for å få uttelling.

Oppgavedata

Delt med: 2P-Y, 2P
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 7
Temaer: Eksponentialfunksjon, Geogebra, Funksjoner
Kompetansemål: Forklare og bruke prosent, prosentpoeng og vekstfaktor til modellering av praktiske situasjonar med digitale verktøy
Egen side: Åpne oppgave 2-1 for seg selv

Oppgave 2-2Burj Khalifa standardform

Kalkulator

Skyskraperen Burj Khalifa i Dubai er $825 m$ høy. Et kronestykke er $1,7 mm$ tykt. Tenk deg at du skal bygge et tårn av kronestykker like høyt som Burj Khalifa.

Omtrent hvor mange kronestykker vil du trenge? Skriv svaret på standardform.

Fasit

Ca. $4,85 \cdot 10^{5}$ kronestykker.

Løsningsforslag

Kronestykker på høyde med Burj Khalifa

Se utklippet over.

Du vil trenge omtrent $4,85 \cdot 10^{5}$ kronestykker.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 2 poeng

En kandidat som gjør noen riktige beregninger, kan få 1 poeng.

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Standardform
Kompetansemål: Tolke og rekne med rotuttrykk, potensar og tal på standardform
Egen side: Åpne oppgave 2-2 for seg selv

Oppgave 2-3Påstander om gjennomsnitt og median i et rom

I et rom er det $10$ personer. Nedenfor ser du alderen til hver person:

12, 14, 40, 42, 70, 67, 5, 5, 28, 30

Kalkulator

Er denne påstanden riktig? Begrunn.

Kalkulator

Er denne påstanden riktig? Begrunn.

Fasit

Det kommer an på alderen på den som kommer. Hvis den er 29 år så blir medianen uendret.

Ja, hvis personen er 17 år.

Løsningsforslag

Akkurat nå er det 10 personer i rommet. Medianalderen blir da gjennomsnittet av aldrene til person nummer 5 og 6. Denne medianalderen er foreløpig $\frac{28 + 30}{2} = 29$ år.

Dersom det kommer en ellevte person inn så er det person nr. 6 som vil være medianalderen:

Hvis personen er yngre enn 29 år så vil medianalderen bli 28
Hvis personen er eldre enn 29 år så vil medianalderen bli 30
Hvis personen er 29 år så blir den nye medianalderen 29

Påstanden er riktig.

Hvis det kommer en ny person inn i rommet så blir det 11 personer i rommet. Hvis deres gjennomsnittsalder skal være 30 så må summen av alle aldrene være $11 \cdot 30 = 330$ år.

Foreløpig er summen av aldrene 313 år. Hvis den siste personen er 17 år så blir blir summen 330 år, og dermed blir gjennomsnittet

\frac{330 år}{11} = 30 år

Påstanden er riktig.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 3 poeng

En riktig argumentasjon for at gjennomsnittsalderen kan bli 30 år, gir full uttelling. Mindre presise argumenter kan gi 1 poeng.

Oppgavedata

Delt med: 2P-Y, 2P
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Sentralmål
Kompetansemål: Bruke og vurdere val av formålstenlege sentralmål og spreiingsmål for statistisk datamateriale
Egen side: Åpne oppgave 2-3 for seg selv

Oppgave 2-4Proporsjonal pris på antibac

Kalkulator

Antibac-hånddesinfeksjon selges i flere størrelser. Flasken med $600 ml$ koster $114 kr$ .

Hva skulle den store kannen ( $4 l$ ) og den lille sprayflasken ( $100 ml$ ) ha kostet dersom pris og mengde var proporsjonale?

Fasit

Kanne $4 l = 4000 ml$ : $114 \cdot \frac{4000}{600} = 760 kr$ Spray $100 ml$ : $114 \cdot \frac{100}{600} = 19 kr$

Løsningsforslag

Hvis pris og mengde skal være proporsjonale størrelser så må det være en fast pris per liter eller milliliter med antibac.

For den ene flasken er prisen per milliliter

\frac{114 kr}{600 ml} = 0,19 kr/ml

De andre flaskene må da koste

\begin{matrix} P_{stor flaske} & = 4000 ml \cdot 0,19 kr/ml = 760 kr \\ P_{liten flaske} & = 100 ml \cdot 0,19 kr/ml = 19 kr \end{matrix}

Den lille flasken må koste 19 kr og den store flasken må koste 760 kr for at prisene og mengde skal være proporsjonale størrelser.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 2 poeng

En kandidat som gjør noen riktige beregninger, kan få 1 poeng.

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 2
Temaer: Proporsjonalitet
Kompetansemål: Utforske, beskrive og bruke omgrepa proporsjonalitet og omvend proporsjonalitet
Egen side: Åpne oppgave 2-4 for seg selv

Oppgave 2-5Modell for lengde av skjerf

Elevene ved en folkehøyskole holder på å strikke et langt skjerf.

I dag er skjerfet 8 meter langt.

Elevene ønsker å organisere strikkingen slik at lengden av skjerfet øker med like mange centimeter hver uke.
Målet er at skjerfet etter 25 uker skal være 40 meter langt.

Kalkulator

Sett opp en modell som viser hvor langt skjerfet vil være etter $x$ dersom elevene klarer å organisere strikkingen slik de ønsker, og når målet.

Kalkulator

Hvor mange uker vil det gå før skjerfet er 17 meter langt, ifølge modellen i oppgave a)?

Fasit

$y = 1,28 x + 8$

7 uker

Løsningsforslag

For at skjerfet skal øke med like mange centimeter per uke, så må vi bruke en lineær modell på formen $y = a x + b$ .

Vi vet at skjerfet er 8 m i dag, og at det skal bli 40 meter etter 25 uker. Det skal altså øke med vekstfarten

\frac{40 m - 8 m}{25 uke} = 1,28 meter per uke

En lineær modell for lengden på skjerfet etter $x$ uker vil derfor være

y = 1,28 x + 8

Jeg løser oppgaven i CAS. Vi skal finne ut når funksjonen vår passerer 17 m, vi skal altså løse likningen

1,28 x + 8 = 17

Løsning av 2-5b i CAS

Det tar 7 uker før skjerfet er 17 meter langt ifølge modellen.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 3 poeng

Her gis i utgangspunktet ett poeng for riktig stigningstall og ett poeng for riktig konstantledd. En kandidat som velger en riktig strategi, men ikke kommer i mål med beregningene, kan til sammen få 1 poeng. Et riktig svar uten begrunnelse, gir 1 poeng.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 1
Poeng: 3
Temaer: Modellering
Kompetansemål: Identifisere variable storleikar i ulike situasjonar og bruke dei til utforsking og generalisering
Egen side: Åpne oppgave 2-5 for seg selv

Oppgave 2-6Halvert fuglebestand

En fuglebestand i et område er blitt halvert i løpet av de fem siste årene.
I dag er det 12 000 fugler i bestanden.

Forskere mener bestanden vil fortsette å bli halvert hvert femte år framover.

Kalkulator

Vis at funksjonen $F$ gitt ved $F (x) = 12 000 \cdot {0,87}^{x}$ er en god modell for antallet fugler etter $x$ år.

Kalkulator

Hvor stor vil bestanden være etter 7 år ifølge modellen?

Krever PC

Hvor mange år vil det gå før bestanden er redusert med 35 % ifølge modellen?

Fasit

–

4527 fugler

3 år

Løsningsforslag

Jeg bruker regresjon for å vise dette, se figuren.

Regresjon på antall fugler

Funksjonen $F (x) = 12000 \cdot {0,87}^{x}$ er en god modell for utviklingen.

Fuglebestand

Jeg sjekket verdien av $F (7)$ i GeoGebra, se skjermbildet.

Etter 7 år vil det være 4527 fugler ifølge modellen.

Når bestanden er redusert med 35 % er det 65 % igjen, altså $12000 \cdot 0,65$ . Jeg la inn linja $y = 12000 \cdot 0,65$ og fant skjæringen i punktet $A$ .

Det tar 3 år før bestanden er redusert med 35 % ifølge modellen.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 5 poeng

En kandidat som gjør noen riktige beregninger, kan få 1 poeng. En kandidat som viser at bestanden halveres for hvert 5. år, må vise minst to halveringer for å få full uttelling.

En kandidat som gjør noen riktige beregninger, kan få 1 poeng.

Oppgavedata

Delt med: 2P-Y, 2P
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Eksponentialfunksjon, Regresjon, Vekstfaktor
Kompetansemål: Forklare og bruke prosent, prosentpoeng og vekstfaktor til modellering av praktiske situasjonar med digitale verktøy
Egen side: Åpne oppgave 2-6 for seg selv

Oppgave 2-7Lag presentasjon som viser døds- og fødselsrate

Krever PC

År	Antall fødte	Antall døde	Fødselsrate	Dødsrate	Samlet fruktbarhetstall
1983	49 937	42 224	12,1	10,2	1,66
1993	59 678	46 597	13,8	10,8	1,86
2003	56 458	42 478	12,4	9,3	1,80
2013	58 995	41 282	11,6	8,1	1,78
2023	51 980	43 803	9,4	7,9	1,40

Datamaterialet ovenfor er hentet fra Statistisk sentralbyrås nettsider.

Fødselsrate og dødsrate er antall fødte og døde per 1000 innbyggere.
Samlet fruktbarhetstall forteller hvor mange barn som i gjennomsnitt fødes per kvinne.

Tenk deg at du skal presentere dette datamaterialet i et foredrag.

Title Gjør relevante sammenlikninger og beregninger, og lag ulike framstillinger som du kan bruke i en presentasjon.

Presentasjonen skal inneholde

diagrammer som illustrerer utviklingen gjennom perioden fra 1983 til 2023
beregninger som viser prosentvise endringer fra 1983 til 2023

Fasit

Oppgaven er åpen og har mange mulige svar. Se løsningsforslag for et eksempel.

Løsningsforslag

Figur 1 viser et eksempel på svar på denne oppgaven, hvor jeg viser ulike framstillinger og beregninger.

Siden vi skal skal vise utvikling over tid fra 1983 til 2023 så passer linjediagrammer best. Jeg lager tre ulike linjediagrammer, ett diagram som passer til hver måleenhet (antall, antall per 1000 og antall per kvinne). For å vise beregninger med prosentvise endringer så har jeg laget en tabell som viser prosentvis endring fra 1983 fram til hvert år, og jeg har også vist formlene for beregningene i presentasjonen.

Vurdering av oppgaver hvor du skal presentere datamateriale

Dette er en type oppgave som har mange ulike svar, og det er vanskelig å si nøyaktig hva som er nok for å få full uttelling (4 poeng) på denne oppgaven. Fjorårets sensorveiledning sa at besvarelsene skulle vurderes på følgende måte

For å få full uttelling må kandidaten gjøre relevante sammenlikninger og beregninger og lage ulike diagrammer som illustrerer opplysningene på en god måte. Det er viktig at sensor ser på helheten i besvarelsen, vurder om informasjonen som presenteres er riktig og relevant, og om diagrammene illustrerer hele eller deler av datamaterialet på ulike måter.

Sensor skal også vurdere kandidatens digitale kompetanse, dvs. valg av egnede diagramtyper, og hvor tydelig informasjonen kommer fram i hvert diagram (bruk av overskrifter, aksetitler, dataetiketter osv.) Som et utgangspunkt kan de 4 poengene uttrykke høy måloppnåelse (4 poeng), middels måloppnåelse (2 - 3 poeng) og lav måloppnåelse (1 poeng).

Jeg synes det er vanskelig å tolke fra oppgaveteksten om det er tilstrekkelig å bare ha med diagrammer som illustrerer utviklingen og beregningen som viser prosentvise endringer, eller om vi skal skal ta med enda flere relevante sammenligninger og beregninger.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 4 poeng

For å få full uttelling må kandidaten gjøre relevante sammenlikninger og beregninger og lage ulike diagrammer som illustrerer opplysningene på en god måte. Det er viktig at sensor ser på helheten i besvarelsen, vurder om informasjonen som presenteres er riktig og relevant, og om diagrammene illustrerer hele eller deler av datamaterialet på ulike måter. Sensor skal også vurdere kandidatens digitale kompetanse, dvs. valg av egnede diagramtyper, og hvor tydelig informasjonen kommer fram i hvert diagram (bruk av overskrifter, aksetitler, dataetiketter osv.). Som et utgangspunkt kan de 4 poengene uttrykke høy måloppnåelse (4 poeng), middels måloppnåelse (2 - 3 poeng) og lav måloppnåelse (1 poeng).

Oppgavedata

Delt med: 2P-Y, 2P
Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Presentasjon av data, Prosentregning, Diagram
Kompetansemål: Analysere og presentere funn i datasett frå lokalsamfunn og media
Egen side: Åpne oppgave 2-7 for seg selv

Del 1uten hjelpemidler · 2 timer · 8 oppgaver · 18 poeng

Oppgave 1-1·Elever i klassen basert på prosentandel

Oppgave 1-2·Median og gjennomsnitt i heiskø

Oppgave 1-3·Omvendt proporsjonal klassefest

Oppgave 1-4·Prosentvis framgang for to partier

Oppgave 1-5·Få størst mulig svar

Oppgave 1-6·Figurtall 2PY v2025

Oppgave 1-7·Median og gjennomsnitt fra klassedelt alder

Oppgave 1-8·Program for reduksjon av matsvinn

Del 2alle hjelpemidler · 3 timer · 7 oppgaver · 26 poeng

Oppgave 2-1·Modell for reduksjon av utslipp Modell for reduksjon av utslipp

Oppgave 2-2·Burj Khalifa standardform

Oppgave 2-3·Påstander om gjennomsnitt og median i et rom

Oppgave 2-4·Proporsjonal pris på antibac

Oppgave 2-5·Modell for lengde av skjerf

Oppgave 2-6·Halvert fuglebestand

Oppgave 2-7·Lag presentasjon som viser døds- og fødselsrate

Temaer

Oppgave 1-1Elever i klassen basert på prosentandel

Oppgave 1-2Median og gjennomsnitt i heiskø

Oppgave 1-3Omvendt proporsjonal klassefest

Oppgave 1-4Prosentvis framgang for to partier

Oppgave 1-5Få størst mulig svar

Oppgave 1-6Figurtall 2PY v2025

Oppgave 1-7Median og gjennomsnitt fra klassedelt alder

Oppgave 1-8Program for reduksjon av matsvinn

Oppgave 2-1Modell for reduksjon av utslipp Modell for reduksjon av utslipp

Oppgave 2-2Burj Khalifa standardform

Oppgave 2-3Påstander om gjennomsnitt og median i et rom

Oppgave 2-4Proporsjonal pris på antibac

Oppgave 2-5Modell for lengde av skjerf

Oppgave 2-6Halvert fuglebestand

Oppgave 2-7Lag presentasjon som viser døds- og fødselsrate