2P-Y Høst 2025

Vi vet at det er 20 vogner totalt. Fra tabellen kan vi finne hvor mange vogner som hadde personer i seg:

Antall tomme vogner blir da:

Dette viser at Stines påstand er riktig - det var $\underline{\underline{5}}$ tomme vogner.

Vi skal finne gjennomsnittet og medianen for antallet personer i hver vogn.

Gjennomsnitt:

For å finne gjennomsnittet må vi summere alle personene og dele på antall vogner:

Median:

For å finne medianen må vi sortere alle vognene etter antall personer. Vi har:

• 5 vogner med 0 personer
• 2 vogner med 1 person
• 3 vogner med 2 personer
• 4 vogner med 3 personer
• 6 vogner med 4 personer

Sortert liste: $0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 2, \textcolor{steelblue}{2}, \textcolor{seagreen}{3}, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4$

Siden vi har 20 vogner (et partall), blir medianen gjennomsnittet av vogn nummer 10 og 11:

Gjennomsnittet er $\underline{\underline{2{,}2}}$ personer per vogn, og medianen er $\underline{\underline{2{,}5}}$ personer per vogn.

Kumulativ frekvens forteller oss hvor mange vogner som har to personer eller færre.

Framgangsmåte:

Vi summerer antall vogner med 0, 1 og 2 personer:

Praktisk tolkning: Den kumulative frekvensen for to personer er $\underline{\underline{10}}$. Dette betyr at 10 vogner hadde 2 personer eller færre i seg. Med andre ord: halvparten av vognene var enten tomme eller hadde maksimalt 2 personer.

To størrelser er proporsjonale hvis forholdet mellom dem er konstant. Dette gir en lineær sammenheng som går gjennom origo: $y = k \cdot x$.

Analyse av grafene:

Grafen $q$ er en rett linje som går gjennom origo. Dette tyder på proporsjonale størrelser.

For å finne funksjonsuttrykket leser vi av et punkt på grafen. For eksempel ser det ut til at $q(4) = 600$, som gir oss proporsjonalitetskontanten:

Grafen $q$ beskriver sammenhengen mellom to proporsjonale størrelser, fordi den er en rett linje gjennom origo. Funksjonsuttrykket er $\underline{\underline{q(x) = 150x}}$.

To størrelser er omvendt proporsjonale hvis produktet av dem er konstant: $y \cdot x = k$, eller $y = \frac{k}{x}$.

Analyse av grafene:

Grafen $r$ ser ut som en omvendt proporsjonal funksjon. Vi vet at to størrelser er omvendt proporsjonale dersom den ene størrelsen halveres når den andre dobles.

Vi leser av to punkter på grafen.

Vi ser altså at når $x$ dobles så halveres $y$.

Grafen $r$ beskriver sammenhengen mellom to omvendt proporsjonale størrelser. Funksjonsuttrykket er $\underline{\underline{r(x) = \frac{1200}{x}}}$.

Vi skal finne antall pinner i figur 4 og figur 10.

Framgangsmåte:

La oss først se på mønsteret:

• Figur 1: 3 pinner (én trekant)
• Figur 2: 5 pinner (3 + 2)
• Figur 3: 7 pinner (5 + 2)

Vi ser at hver ny figur får 2 flere pinner enn den forrige.

Figur 4:

Figur 10:

Vi kan fortsette mønsteret:

• Figur 4: 9 pinner
• Figur 5: 11 pinner
• Figur 6: 13 pinner
• Figur 7: 15 pinner
• Figur 8: 17 pinner
• Figur 9: 19 pinner
• Figur 10: 21 pinner

Det vil være $\underline{\underline{9}}$ pinner i figur 4 og $\underline{\underline{21}}$ pinner i figur 10.

Vi skal lage en formel for antallet pinner i figur $n$.

Framgangsmåte:

Vi ser at:

Vi kan forenkle dette:

Formelen er $\underline{\underline{P(n) = 2n + 1}}$.

Vi skal forklare hva programmet finner ut og hva verdiene som skrives ut betyr.

Analyse av programmet:

Programmet starter med:

• n = 0 (figurnummer)
• total = 0 (totalt antall pinner brukt)
• figur = 3 (antall pinner i neste figur)
• grense = 1000 (grensen for total)

I løkken:

1. n = n + 1: Går til neste figur
2. total = total + figur: Legger til pinnene fra denne figuren
3. figur = figur + 2: Neste figur får 2 flere pinner

Løkken fortsetter til total > 1000.

Resultat:

• n = 31: Dette er figurnummeret
• total = 1023: Dette er totalt antall pinner brukt

Programmet finner ut hvor mange figurer Vivian kan lage før hun har brukt over 1000 pinner totalt. Verdiene viser at etter å ha laget $\underline{\underline{31}}$ figurer har hun brukt $\underline{\underline{1023}}$ pinner totalt, som er første gang totalen overskrider 1000.

Jeg la inn dataene i GeoGebra og brukte regresjon med en eksponentiell modell

Modellen $\underline{\underline{f(x) = 1271 \cdot 1{,}124^{x}}}$ der $x$ er antall måneder etter februar 2025 passer godt for Alex’ omsetning.

Vekstfaktoren $b = 1{,}124$ tilsvarer $112{,}4 \,\%$. Siden utgangspunktet vårt er 100 %, så blir økningen 12,4 %.

Omsetningen øker med omtrent $\underline{\underline{12{,}4\,\%}}$ per måned ifølge modellen.

Vi kan enten løse likningen $f(x)=20000$ i CAS i GeoGebra, eller så kan vi finne skjæringen med linjen $y=20000$ slik jeg har gjort i figur figur 1, se punkt $A$.

Alex kommer til å nå målet etter omtrent $\underline{\underline{23{,}5}}$ måneder, det vil si i $\underline{\underline{\text{januar 2027}}}$ ifølge modellen.

Vi skal finne hvor mange prosent omsetningen må øke med per måned etter juni 2025 for å nå målet i desember 2025.

Framgangsmåte:

• I juni (måned 4) er omsetningen: $2032$ kr
• Fra juni til desember er det 6 måneder
• Vi vil nå 20 000 kr i desember

Vi kaller vekstfaktoren til økningen $x$ og setter opp likningen

Denne vekstfaktoren tilsvarer 46,4 % økning.

Omsetningen må øke med omtrent $\underline{\underline{46{,}4\,\%}}$ per måned etter juni 2025 for at Alex skal nå målet i løpet av desember 2025.

Vi skal beregne median, gjennomsnitt, standardavvik og variasjonsbredde for innbyggertallet. Vi bruker regnearket i GeoGebra.

Variasjonsbredde:

Resultater:

• Median: $\underline{\underline{123\,110}}$
• Gjennomsnitt: $\underline{\underline{232\,993}}$
• Standardavvik: $\underline{\underline{297\,326}}$
• Variasjonsbredde: $\underline{\underline{1\,042\,377}}$

Vi ser at gjennomsnittet er nesten dobbelt så stort som medianen. Dette skyldes at Oslo (1 098 061) er en ekstremverdi som trekker gjennomsnittet kraftig opp.

Når vi har ekstremverdier i datasettet, er medianen et bedre sentralmål fordi den ikke påvirkes like mye av ekstreme verdier. Medianen viser den «midterste» verdien og gir et mer representativt bilde av et typisk stort tettsted i Norge.

Jeg er mest enig med Kine. Medianen er best å bruke fordi Oslo er en ekstremverdi som gjør gjennomsnittet misvisende. Medianen på 123 110 gir et mer representativt bilde av størrelsen på de norske tettstedene.

Vi skal sammenligne folketallet i de danske og norske tettstedene.

Sammenligning:

Observasjoner:

1. Gjennomsnittene er ganske like (Danmark litt høyere)
2. Medianen i Danmark er mye lavere enn i Norge (67 832 vs 123 110)
3. Standardavviket i Danmark er mye høyere (388 000 vs 297 326)

Tolkning:

Det høye standardavviket og den lave medianen i Danmark tyder på at København må være ekstremt mye større enn de andre danske tettstedene. I Norge er spredningen mindre - selv om Oslo er størst, er forskjellen til de andre byene ikke like dramatisk.

Danmark har en hovedstad (København) som dominerer mye mer enn Oslo gjør i Norge. De fleste danske tettstedene er relativt små (median 67 832), men København er så stor at den trekker gjennomsnittet opp og gir et svært høyt standardavvik. Norge har en jevnere fordeling av innbyggere mellom de største tettstedene.

Vi må anta jevn fordeling av aldre innenfor hvert intervall. Dermed blir midtpunktet en god tilnærmingsverdi for av gjennomsnittsalderen i gruppen.

Vi bruker midtpunktet i hvert intervall:

Gjennomsnittsalderen i Åseral kommune var $\underline{\underline{42{,}4}}$ år i 2024.

Gjennomsnittsalderen er 42,4 år. Vi må finne hvor mange som var eldre enn dette.

Intervallene som er helt over 42,4 år:

• $[50, 67\rangle$: 237 personer
• $[67, 80\rangle$: 103 personer
• $[80, 90\rangle$: 33 personer
• $[90, 100\rangle$: 15 personer

Sum: $237 + 103 + 33 + 15 = 388$ personer

Men vi må også inkludere noen fra intervallet $[18, 50\rangle$ siden gjennomsnittsalderen (42,4 år) ligger i dette intervallet.

Hvis vi antar jevn fordeling i intervallet $[18, 50\rangle$:

• Intervallet går fra 18 til 50 år (32 år bredt)
• Vi vil ha de fra 42,4 til 50 år (7,6 år)
• Andelen: $\frac{7{,}6}{32} \approx 0{,}238$
• Antall personer: $347 \cdot 0{,}238 \approx 83$ personer

Totalt antall over gjennomsnittet: $388 + 83 = 471$

Prosentandel:

Omtrent $\underline{\underline{51\,\%}}$ av befolkningen i Åseral kommune var eldre enn gjennomsnittsalderen i 2024.