2P-Y Vår 2026 · Matematikkoppgaver

Oppgave 1-1Brune egg fra bonden 2P-Y V26

En bonde leverer $5200$ egg til et pakkeri. $20 %$ av eggene er brune.

Hvor mange egg er brune?

Fasit

$1040 brune egg$

Løsningsforslag

Vi skal finne $20 %$ av $5200$ .

$20 %$ betyr $\frac{20}{100} = 0,20$ .

0,20 \cdot 5200 = 1040

Det er $1040$ brune egg.

Det vil si at omtrent hvert femte egg bonden leverer, er brunt.

Oppgavedata

Delt med: 2P-Y, 2P
Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 1
Temaer: Prosentregning
Kompetansemål: Forklare og bruke prosent, prosentpoeng og vekstfaktor til modellering av praktiske situasjonar med digitale verktøy
Egen side: Åpne oppgave 1-1 for seg selv

Oppgave 1-2Sentralmål og relativ frekvens for togvogner 2P-Y V26

En dag registrerer Anita hvor mange vogner det er på togene som passerer der hun bor. Resultatene ser du nedenfor.

3 1 5 30 5 6 1 6 20 6

Bestem medianen, gjennomsnittet, variasjonsbredden og typetallet for antall vogner.

Bestem den relative frekvensen for $6$ vogner. Gi en praktisk tolkning av svaret.

Fasit

Median $= 5,5$ vogner, gjennomsnitt $= 8,3$ vogner, variasjonsbredde $= 29$ vogner, typetall $= 6$ vogner

Relativ frekvens $= 0,30 = 30 %$

Løsningsforslag

Vi sorterer datamaterialet:

1 1 3 5 5 6 6 6 20 30

Det er $n = 10$ observasjoner (partall). Medianen er gjennomsnittet av de to midterste verdiene, det vil si den 5. og den 6. verdien.

Median = \frac{5 + 6}{2} = 𝟓,𝟓 v o g n e r

Gjennomsnittet finner vi ved å summere alle verdiene og dele på antallet:

\overline{x} = \frac{3 + 1 + 5 + 30 + 5 + 6 + 1 + 6 + 20 + 6}{10} = \frac{83}{10} = 𝟖,𝟑 v o g n e r

Variasjonsbredden er differansen mellom den største og minste verdien:

Variasjonsbredde = 30 - 1 = 𝟐𝟗 vogner

Typetallet er den verdien som forekommer flest ganger. Verdien $6$ forekommer $3$ ganger, og er den hyppigste.

Typetall = 𝟔 vogner

Verdien $6$ forekommer $3$ ganger av totalt $10$ observasjoner. Den relative frekvensen er:

\frac{3}{10} = 0,30 = 𝟑𝟎 %

Praktisk tolkning: $30 %$ av togene Anita registrerte hadde $6$ vogner.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 4 poeng

Her gis i utgangspunktet 1 poeng for to riktige svar og 2 poeng for fire riktige svar.

For å få uttelling, må kandidaten vise eller forklare hvordan svarene framkommer.

I utgangspunktet gis 1 poeng for riktig relativ frekvens og 1 poeng for en riktig praktisk tolkning.

Oppgavedata

Delt med: 2P-Y, 2P
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Sentralmål, Spredningsmål
Kompetansemål: Bruke og vurdere val av formålstenlege sentralmål og spreiingsmål for statistisk datamateriale
Egen side: Åpne oppgave 1-2 for seg selv

Oppgave 1-3Vekstfaktor og prosentvis endring i tabell 2P-Y V26

Skriv av tabellen nedenfor og fyll inn verdiene som mangler.

Tabell 1:

Vekstfaktor	Prosentvis endring
$1,05$	$+ 5 %$
$1,4$
	$+ 17,5 %$
	$- 28 %$
$0,67$
$2$

Fasit

Tabell 2:

Vekstfaktor	Prosentvis endring
$1,05$	$+ 5 %$
$1,4$	$+ 40 %$
$1,175$	$+ 17,5 %$
$0,72$	$- 28 %$
$0,67$	$- 33 %$
$2$	$+ 100 %$

Løsningsforslag

Sammenhengen mellom vekstfaktor og prosentvis endring er:

Prosentvis endring = (vekstfaktor - 1) \cdot 100 %

Vekstfaktor = 1 + \frac{prosentvis endring}{100}

Tabell 3:

Vekstfaktor	Prosentvis endring	Utregning
$1,05$	$+ 5 %$
$1,4$	$+ 40 %$	$(1,4 - 1) \cdot 100 = 40$
$1,175$	$+ 17,5 %$	$1 + \frac{17,5}{100} = 1,175$
$0,72$	$- 28 %$	$1 + \frac{- 28}{100} = 0,72$
$0,67$	$- 33 %$	$(0,67 - 1) \cdot 100 = - 33$
$2$	$+ 100 %$	$(2 - 1) \cdot 100 = 100$

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 2 poeng

Tre riktige svar gir 1 poeng.

Oppgavedata

Delt med: 2P-Y, 2P
Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 2
Temaer: Vekstfaktor, Prosentregning
Kompetansemål: Forklare og bruke prosent, prosentpoeng og vekstfaktor til modellering av praktiske situasjonar med digitale verktøy
Egen side: Åpne oppgave 1-3 for seg selv

Oppgave 1-4Pris ned og opp med 20 prosent 2P-Y V26

Prisen for en vare settes ned med $20 %$ . Litt senere settes prisen opp igjen med $20 %$ .

Koster varen nå mer enn, mindre enn eller det samme som den gjorde før de to prisendringene? Husk å begrunne svaret.

Fasit

Varen koster mindre enn før — $4 %$ mindre.

Løsningsforslag

Vi tester med et eksempel: la oss si at en vare koster 100 kr og blir først satt ned 20 % og deretter opp 20 %.

Etter den første prisreduksjonen koster varen 80 kr.
Når vi skal legge på 20 % så må vi finne 20 % av 80 kr.
- $0,20 \cdot 80 k r = 16 k r$
Prisen etter 20 % økning blir $80 k r + 16 k r = 96 k r$
96 kr er 4 % mindre enn 100 kr.

Varen koster 4 % mindre enn før prisendringene, siden vi regner 20 % ut fra to ulike priser (100 kr og 80 kr).

Oppgavedata

Delt med: 2P-Y, 2P
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 1
Temaer: Prosentregning, Argumentasjon
Kompetansemål: Forklare og bruke prosent, prosentpoeng og vekstfaktor til modellering av praktiske situasjonar med digitale verktøy
Egen side: Åpne oppgave 1-4 for seg selv

Oppgave 1-5Tolke uttrykk for tre prisendringer 2P-Y V26

Prisen for en vare har endret seg tre ganger i løpet av det siste året. Uttrykket nedenfor viser prisen for varen før prisendringene.

\frac{40 000}{1,05 \cdot {0,85}^{2}}

Hva forteller uttrykket om prisendringene?

Fasit

$40 000$ kr er prisen etter alle tre endringene. Varen ble først økt med $5 %$ (vekstfaktor $1,05$ ), deretter satt ned med $15 %$ to ganger (vekstfaktor $0,85$ to ganger). Prisen før endringene var omtrent $𝟓𝟐 𝟕𝟐𝟕 kr$ .

Løsningsforslag

Vi leser uttrykket del for del:

\frac{40 000}{1,05 \cdot {0,85}^{2}}

Telleren $40 000$ er prisen på varen etter at alle tre prisendringene har skjedd, altså den nye prisen på $40 000 kr$ .

Vekstfaktoren $1,05$ tilsvarer en økning på $5 %$ . Varen ble altså økt med $5 %$ én gang.

Vekstfaktoren $0,85$ tilsvarer en nedgang på $15 %$ , siden $1 - 0,15 = 0,85$ . Eksponenten $2$ betyr at denne nedgangen skjedde to ganger.

Til sammen har varen altså gjennomgått tre prisendringer: én økning på $5 %$ og to nedganger på $15 %$ .

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 2 poeng

For å få full uttelling, må kandidaten tolke begge vekstfaktorene riktig og kommentere at prisen er satt ned med 15 % to ganger.

En kandidat som tolker én vekstfaktor riktig, får 1 poeng.

En kandidat som svarer at 40 000 kroner er prisen før endringene, får høyst 1 poeng.

Oppgavedata

Delt med: 2P-Y, 2P
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Vekstfaktor, Prosentregning
Kompetansemål: Forklare og bruke prosent, prosentpoeng og vekstfaktor til modellering av praktiske situasjonar med digitale verktøy
Egen side: Åpne oppgave 1-5 for seg selv

Oppgave 1-6Renteendring i prosentpoeng og prosent 2P-Y V26

En bank har i løpet av et år satt ned renten på boliglån fra $6 %$ til $5,46 %$ .

Hvor mange prosentpoeng er renten satt ned med?

Hvor mange prosent er renten satt ned med?

Fasit

$0,54 prosentpoeng$

$9 %$

Løsningsforslag

Prosentpoeng er selve differansen mellom to prosenter — vi trekker rett og slett den ene prosenten fra den andre.

6 % - 5,46 % = 0,54 prosentpoeng

Renten er satt ned med $0,54$ prosentpoeng.

Prosentvis endring forteller oss hvor stor nedgangen er sammenlignet med den opprinnelige renten. Vi deler nedgangen (i prosentpoeng) på den opprinnelige renten.

\frac{Endring}{Det vi sammenligner med} = \frac{0,54}{6} = 0,09 = 9 %

Renten er satt ned med $9 %$ .

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 2
Temaer: Prosentpoeng, Prosentregning, Rente
Kompetansemål: Forklare og bruke prosent, prosentpoeng og vekstfaktor til modellering av praktiske situasjonar med digitale verktøy
Egen side: Åpne oppgave 1-6 for seg selv

Oppgave 1-7Multiplikasjon av store og små tall 2P-Y V26

Regn ut

3 000 000 \cdot 0,000 025

Fasit

$𝟕𝟓$

Løsningsforslag

Vi skriver tallene som tierpotenser:

3 000 000 = 3 \cdot 10^{6}

0,000 025 = 2,5 \cdot 10^{- 5}

Deretter multipliserer vi grunntallene og legger sammen eksponentene:

3 \cdot 10^{6} \cdot 2,5 \cdot 10^{- 5} = (3 \cdot 2,5) \cdot 10^{6 + (- 5)} = 7,5 \cdot 10^{1} = 𝟕𝟓

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 1
Temaer: Standardform, Tallregning
Kompetansemål: Tolke og rekne med rotuttrykk, potensar og tal på standardform
Egen side: Åpne oppgave 1-7 for seg selv

Oppgave 1-8Sortere potens- og rotuttrykk 2P-Y V26

Gjør beregninger og sorter tallene i stigende rekkefølge.

$Sju tall i bobler: \sqrt{64}, \sqrt{10\,000}, 2^5, 10^{-2}, 10^3, 3 \cdot 3^2, \frac{1}{5^3}$

Fasit

$\frac{1}{5^{3}} < 10^{- 2} < \sqrt{64} < 3 \cdot 3^{2} < 2^{5} < \sqrt{10 000} < 10^{3}$

Løsningsforslag

Vi regner ut hvert uttrykk:

$\sqrt{64} = 8$
$\sqrt{10 000} = 100$
$2^{5} = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32$
$10^{- 2} = \frac{1}{10^{2}} = \frac{1}{100} = 0,01$
$10^{3} = 1000$
$3 \cdot 3^{2} = 3 \cdot 9 = 27$
$\frac{1}{5^{3}} = \frac{1}{125} = 0,008$

Sortert i stigende rekkefølge:

\frac{𝟏}{𝟓^{𝟑}}, {𝟏𝟎}^{- 𝟐}, \sqrt{𝟔𝟒}, 𝟑 \cdot 𝟑^{𝟐}, 𝟐^{𝟓}, \sqrt{𝟏𝟎 𝟎𝟎𝟎}, {𝟏𝟎}^{𝟑}

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 2 poeng

For å få 1 poeng, må kandidaten argumentere riktig for verdien av fire av tallene.

En kandidat som sorterer i riktig rekkefølge, men ikke argumenterer, får ingen uttelling.

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Potenser, Kvadratrøtter
Kompetansemål: Tolke og rekne med rotuttrykk, potensar og tal på standardform
Egen side: Åpne oppgave 1-8 for seg selv

Oppgave 1-9Hyttetur med leieutgift og matkostnad 2P-Y V26

En gruppe elever skal på tur og har leid en hytte for $15 000$ kroner. Elevene som deltar på turen, skal dele leieutgiftene likt mellom seg. I tillegg må hver elev betale $250$ kroner for mat.

Avgjør om antall elever og pris per elev er

proporsjonale størrelser
omvendt proporsjonale størrelser
ingen av delene

Husk å begrunne svaret.

Sett opp et funksjonsuttrykk som viser prisen $P (x)$ kroner per elev når $x$ elever deltar på turen.

Fasit

Ingen av delene

$P (x) = \frac{15 000}{x} + 250$

Løsningsforslag

Vi sjekker hva som skjer med prisen når antall elever dobles fra $1$ til $2$ :

P (1) = \frac{15 000}{1} + 250 = 15 250 kr

P (2) = \frac{15 000}{2} + 250 = 7 750 kr

Proporsjonale? Da skulle prisen blitt doblet når antall elever dobles. Men $P (2) = 7 750 kr$ , ikke $2 \cdot 15 250 = 30 500 kr$ . Altså er de ikke proporsjonale.

Omvendt proporsjonale? Da skulle prisen blitt halvert når antall elever dobles. Men $P (2) = 7 750 kr$ , ikke $\frac{15 250}{2} = 7 625 kr$ . Altså er de ikke omvendt proporsjonale.

Svaret er: $ingen av delene$

Pris per elev består av to deler:

Leieutgift per elev: $\frac{15 000}{x}$ kroner (deles likt på $x$ elever)
Matkostnad: $250$ kroner (fast per elev)

Totalt:

P (x) = \frac{15 000}{x} + 250

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Omvendt proporsjonalitet, Funksjoner
Kompetansemål: Utforske, beskrive og bruke omgrepa proporsjonalitet og omvend proporsjonalitet
Identifisere variable storleikar i ulike situasjonar og bruke dei til utforsking og generalisering
Egen side: Åpne oppgave 1-9 for seg selv

Oppgave 1-10Figurmønster med grønne sirkler 2P-Y V26

Figur 1 til 4: rutenett av sirkler med en diagonal rekke som vokser

Ovenfor ser du fire figurer. Figurene er satt sammen av grønne sirkler. Tenk deg at du skal fortsette å lage figurer etter samme mønster.

Hvor mange grønne sirkler vil det være i figur $5$ ? Hvor mange grønne sirkler vil det være i figur $10$ ?

Lag en formel for antallet grønne sirkler i figur $n$ .

Fasit

Figur 5: $23 sirkler$ , figur 10: $43 sirkler$

$f (n) = 4 n + 3$

Løsningsforslag

Vi teller antall sirkler i de fire figurene:

Figur	Antall sirkler
1	7
2	11
3	15
4	19

Vi ser at det er $11 - 7 = 4$ , $15 - 11 = 4$ og $19 - 15 = 4$ sirkler ekstra fra figur til figur. Differansen er konstant lik $4$ .

For å finne figur 5 legger vi til 4:

19 + 4 = 23

Figur 5 har $23$ grønne sirkler.

For figur 10 kan vi legge til 4 for hvert steg fra figur 4 til figur 10, det vil si 6 steg:

19 + 6 \cdot 4 = 19 + 24 = 43

Figur 10 har $43$ grønne sirkler.

Her har jeg tegnet figur 4 på to ulike måter. I den høyre figuren har jeg flyttet de to røde sirklene til «ledige plasser» slik at det skal bli enklere å se mønsteret.

Figurtall 3 og 4

Hver figur består av:

En diagonal linje med $n$ sirkler oppe til høyre
Et rektangel med $3 \cdot (n + 1)$ sirkler

Til sammen blir dette

n + 3 \cdot (n + 1) = n + 3 n + 3 = 4 n + 3

Formelen for antall grønne sirkler i figur $n$ er $f (n) = 4 n + 3$ .

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 3 poeng

For å få full uttelling må svarene begrunnes. En riktig formel i oppgave b) gjelder som begrunnelse i oppgave a).

To riktige svar uten begrunnelse gir 1 poeng.

En riktig formel som ikke er gjort rede for, gir full uttelling.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Figurtall, Formler, Tallfølger
Kompetansemål: Identifisere variable storleikar i ulike situasjonar og bruke dei til utforsking og generalisering
Egen side: Åpne oppgave 1-10 for seg selv

Oppgave 1-11Kyllingfilet som proporsjonal størrelse 2P-Y V26

En butikk selger ulike pakker med kyllingfilet. $1 k g$ kyllingfilet koster $120$ kroner.

Hvor mye skulle $1,4 k g$ og $250 g$ kostet dersom pris og vekt hadde vært proporsjonale størrelser?

Fasit

$1,4 k g$ : $𝟏𝟔𝟖 k r$

$250 g$ : $𝟑𝟎 k r$

Løsningsforslag

Når pris og vekt er proporsjonale størrelser, betyr det at prisen er lik kiloprisen ganget med antall kilo:

pris = 120 \cdot x der x er vekten i kg

1,4 kg kyllingfilet:

1,4 \cdot 120 = 𝟏𝟔𝟖 k r

$1,4 k g$ kyllingfilet ville kostet $𝟏𝟔𝟖 k r$ .

250 g kyllingfilet:

Vi gjør om $250 g$ til kilo:

250 g = 0,25 k g

0,25 \cdot 120 = 𝟑𝟎 k r

$250 g$ kyllingfilet ville kostet $𝟑𝟎 k r$ .

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 2 poeng

I utgangspunktet gis 1 poeng for hvert riktige svar som er gjort rede for.

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Proporsjonalitet, Måleenheter
Kompetansemål: Utforske, beskrive og bruke omgrepa proporsjonalitet og omvend proporsjonalitet
Egen side: Åpne oppgave 1-11 for seg selv

Oppgave 1-12Python-program for gjennomsnitt 2P-Y V26

Kari har laget programmet nedenfor.

L = [2, 4, 8, 16, 20]    # L er en liste med tall

a = len(L)               # Antall tall i listen L
s = sum(L)               # Summen av tallene i listen L

g = s/a

print("Resultat:")
print(g)

Resultat:
10.0

Hva forteller verdien som skrives ut når programmet kjøres?

Fasit

Programmet regner ut gjennomsnittet av tallene i listen $L$ , og svaret er $10,0$ .

Løsningsforslag

Programmet utfører følgende steg:

L = [2, 4, 8, 16, 20] lager en liste med fem tall.
a = len(L) finner antall tall i listen: $a = 5$ .
s = sum(L) regner ut summen av tallene:

s = 2 + 4 + 8 + 16 + 20 = 50

g = s/a deler summen på antallet:

g = \frac{50}{5} = 10,0

print(g) skriver ut resultatet: 10.0.

Verdien $10,0$ er gjennomsnittet av tallene i listen $L$ .

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 1 poeng

For å få uttelling, må kandidaten svare at det er gjennomsnittet som regnes ut.

Oppgavedata

Delt med: 2P-Y, 2P
Kategori: 2
Vanskegrad: 1
Poeng: 1
Temaer: Programmering, Sentralmål
Kompetansemål: Bruke og vurdere val av formålstenlege sentralmål og spreiingsmål for statistisk datamateriale
Egen side: Åpne oppgave 1-12 for seg selv

Oppgave 1-13Kumulativ frekvenskurve for aldersfordeling 2P-Y V26

Tabellen til høyre viser aldersfordelingen for de $200$ personene som bor i blokk Z på Tirilltoppen.

Alder (år)	Frekvens
$[0, 10 ⟩$	$40$
$[10, 20 ⟩$	$20$
$[20, 30 ⟩$	$60$
$[30, 50 ⟩$	$20$
$[50, 60 ⟩$	$20$
$[60, 80 ⟩$	$40$
Sum	$200$

Aurora har laget diagrammet nedenfor.

Kumulativ frekvenskurve som viser prosent under hver alder. Punktet A(50, 70) er markert

Hva forteller koordinatene til punkt $A$ om aldersfordelingen i blokk Z?

Aurora kan bruke diagrammet til å finne en verdi hun kan anta er medianalderen.

Hvilken verdi er dette, og hvilken antakelse må hun gjøre? Husk å begrunne svaret.

Fasit

$70 %$ av beboerne er yngre enn $50$ år.

Medianalderen er omtrent $27 år$ .

Løsningsforslag

Punkt $A$ har koordinatene $(50, 70)$ .

Førstekordinaten $50$ viser til alder $50$ år på den vannrette aksen.
Andrekordinaten $70$ viser til $70 %$ på den loddrette aksen (kumulativ frekvens).

Koordinatene forteller oss at $70 %$ av beboerne i blokk Z er yngre enn $50$ år.

Medianen er den alderen som deler beboerne i to like store grupper – altså den alderen der $50 %$ av beboerne er yngre.

Vi leser av den kumulative frekvenskurven ved $50 %$ på den loddrette aksen og finner hvilken alder kurven krysser denne linjen.

Median fra kumulativ frekvens

Fra figuren ser det ut til at medianalderen er omtrent 26,5 år.

For at denne antakelsen om medianen skal være riktig så må de 60 personene som er mellom 20 og 30 år være jevnt fordelt i alder.

Medianalderen er omtrent 26,5 år når vi antar at aldrene er jevnt fordelt i klassene.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 3 poeng

Her gis i utgangspunktet 1 poeng for riktig verdi og 1 poeng for riktig antakelse.

Antakelsen må være at dataverdiene i intervallene er jevnt fordelt.

Oppgavedata

Delt med: 2P-Y, 2P
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Kumulativ frekvens, Sentralmål, Graftolkning
Kompetansemål: Bruke og vurdere val av formålstenlege sentralmål og spreiingsmål for statistisk datamateriale
Egen side: Åpne oppgave 1-13 for seg selv

Oppgave 2-1Eksponentiell modell for utslippsreduksjon 2P-Y V26

En bedrift har fått krav om å redusere utslippet av et miljøskadelig stoff.

I dag er utslippet $16 000$ tonn per år.
Kravet er at utslippet skal halveres for hvert sjette år. Det betyr at utslippet skal være $8000$ tonn per år om $6$ år, $4000$ tonn per år om $12$ år, og så videre.

Ledelsen mener funksjonen $U$ gitt ved

U (x) = 16 000 \cdot {0,89}^{x}

vil være en god modell for utslippet $U (x)$ tonn per år om $x$ år dersom bedriften klarer å innfri kravet.

Kalkulator

Vis hvordan ledelsen kan ha kommet fram til modellen.

Kalkulator

Hvor mange prosent vil utslippet reduseres med per år, ifølge modellen?

Kalkulator

Hvor mange tonn vil utslippet i gjennomsnitt reduseres med per år i løpet av de fem første årene, ifølge modellen?

Fasit

Kravet om halvering hvert sjette år gir $k = \sqrt[6]{0,5} \approx 0,89$ , og startverdi $16 000$ tonn.

Utslippet reduseres med $𝟏𝟏 %$ per år.

Gjennomsnittlig reduksjon er ca. $𝟏𝟒𝟏𝟑$ tonn per år.

Løsningsforslag

Vi kan løse denne med regresjon i GeoGebra hvis vi setter opp i at vi i dag er i år 0 med 16 000 tonn og at utslippene i år 6 og 12 skal være henholdsvis 8000 tonn og 4000 tonn.

Regresjonsanalyse

En modell som passer godt er $U (x) = 16 000 \cdot {0,89}^{x}$ .

Vekstfaktoren i modellen er $0,89$ .

Det betyr at utslippet hvert år er $0,89$ ganger utslippet året før.

Prosentvis endring per år:

1 - 0,89 = 0,11 = 11 %

Utslippet reduseres med $11 %$ per år, ifølge modellen.

Utslippene er 16 000 tonn i dag. Om 5 år er utslippene:

Utslipp om 5 år

Gjennomsnittlig reduksjon per år over de 5 årene:

\frac{U (0) - U (5)}{5} = \frac{16 000 - 8934,5}{5} \approx 1413 tonn per år

I gjennomsnitt reduseres utslippet med ca. $1413$ tonn per år i løpet av de fem første årene, ifølge modellen.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 4 poeng

En kandidat som bare viser at modellen stemmer med beskrivelsen, får ingen uttelling.

En kandidat som velger en riktig strategi, eller gjør noen riktige beregninger, kan få 1 poeng.

En systematisk «prøve-og-feile»-metode, kan gi full uttelling.

Oppgavedata

Delt med: 2P-Y, 2P
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Eksponentialfunksjon, Modellering, Vekstfaktor
Kompetansemål: Forklare og bruke prosent, prosentpoeng og vekstfaktor til modellering av praktiske situasjonar med digitale verktøy
Bruke digitale verktøy i utforsking og problemløysing knytt til eigenskapar ved funksjonar, og diskutere løysingane
Egen side: Åpne oppgave 2-1 for seg selv

Oppgave 2-2Tre medlemskap i mekkeklubb 2P-Y V26

Sondre og Sindre har startet en mekkeklubb. De leier et gammelt verksted og har kjøpt en del verktøy. Alle som melder seg inn i klubben, kan bruke verkstedet og verktøyene. Samtidig kan de få hjelp og gode råd.

For å dekke utgifter og samtidig gi medlemmene fleksibilitet tilbyr klubben tre ulike medlemskap.

Medlemskap	Månedsavgift (kroner)	Pris per time i verkstedet (kroner)
Basis, $B$	$150$	$70$
Standard, $S$	$300$	$40$
Premium, $P$	$1000$	$0$

La $x$ være antall timer et medlem bruker verkstedet i løpet av en måned.

For hånd

Bestem tre uttrykk $B (x)$ , $S (x)$ og $P (x)$ som viser de totale kostnadene per måned for hvert av de tre medlemskapene.

For hånd

Hvor mange timer må et medlem bruke på verkstedet per måned for at det skal lønne seg å velge et standard medlemskap?

Fasit

$B (x) = 150 + 70 x$ , $S (x) = 300 + 40 x$ , $P (x) = 1000$

Fra 5 til 17,5 timer

Løsningsforslag

Kostnaden per måned er månedsavgiften pluss pris per time ganget med antall timer $x$ .

For Basis:

B (x) = 150 + 70 x

For Standard:

S (x) = 300 + 40 x

For Premium er prisen per time 0, så kostnaden er alltid 1000 kr uavhengig av antall timer:

P (x) = 1000

Vi tegner opp grafene til funksjonene i GeoGebra og ser når $B$ gir den laveste kostnaden. Vi bruker verktøyet skjæring for å finne ut når grafene skjærer hverandre.

Grafene som viser medlemskap i mekkeklubb

Standard, $S$ , lønner seg hvis medlemmet er mellom 5 timer (se punkt $A$ ) og 17,5 timer (se punkt $C$ ) på verkstedet.

Alternativ løsning med kalkulator (eksamen 2027)

Vi kan se fra uttrykkene at

Premium har høyest «startpris» og ingen ekstra kostnad per time. Denne vil derfor lønne seg for dem som trener mest.
Basis har lavest startpris og høyest kostnad per time. Denne vil derfor lønne seg for dem som trener minst.
Standard må derfor lønne seg for dem som trener middels mye (hvis den lønner seg i det hele tatt).

Vi finner skjæringpunktene ved å løse likninger for hånd i stedet for å tegne grafer.

Standard er like billig som Basis når $B (x) = S (x)$ :

\begin{matrix} 150 + 70 x & = 300 + 40 x \\ 150 + 70 x - 40 x & = 300 + 40 x - 40 x \\ 150 + 30 x - 150 & = 300 - 150 \\ 30 x & = 150 \\ \frac{30 x}{30} & = \frac{150}{30} \\ x & = 5 \end{matrix}

Standard er like billig som Premium når $S (x) = P (x)$ :

\begin{matrix} 300 + 40 x & = 1000 \\ 300 + 40 x - 300 & = 1000 - 300 \\ 40 x & = 700 \\ \frac{40 x}{40} & = \frac{700}{40} \\ x & = 17,5 \end{matrix}

Standard lønner seg altså mellom 5 og 17,5 timer per måned.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 3 poeng

“

En kandidat som velger en riktig strategi, eller gjør noen riktige beregninger, kan få 1 poeng.

En kandidat som bare tar hensyn til det ene skjæringspunktet, kan få 1 poeng.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Lineære funksjoner, Kostnadsfunksjon, Modellering
Kompetansemål: Identifisere variable storleikar i ulike situasjonar og bruke dei til utforsking og generalisering
Bruke digitale verktøy i utforsking og problemløysing knytt til eigenskapar ved funksjonar, og diskutere løysingane
Egen side: Åpne oppgave 2-2 for seg selv

Oppgave 2-3Sammenligning av sykefravær mellom to bedrifter 2P-Y V26

Nedenfor ser du hvor mange fraværsdager hver av de $15$ ansatte i bedrift A hadde i $2025$ .

2 0 0 5 4 1 1 12 15 0 0 1 1 2 1

Kalkulator

Bestem gjennomsnittet, medianen og standardavviket for antall fraværsdager.

Kalkulator

Bestem den kumulative frekvensen for $5$ fraværsdager. Gi en praktisk tolkning av svaret.

Bedrift B har også $15$ ansatte.

Gjennomsnittet for antall fraværsdager i $2025$ er det samme for bedrift B som for bedrift A.
Medianen er høyere for bedrift B.
Standardavviket er lavere for bedrift B.

Kalkulator

Hva forteller disse opplysningene om fraværet i bedrift B sammenlignet med fraværet i bedrift A?

Kari påstår at den kumulative frekvensen for $5$ fraværsdager i bedrift B må være høyere enn for bedrift A.

Kalkulator

Er denne påstanden riktig? Husk å begrunne svaret.

Fasit

Gjennomsnitt: $3 fraværsdager$ , median: $1 fraværsdag$ , standardavvik: $\approx 4,5 fraværsdager$

Kumulativ frekvens: $\approx 86,7 %$

Fraværet i bedrift B er jevnere fordelt – færre ansatte med svært høyt eller svært lavt fravær.

Påstanden er ikke nødvendigvis riktig.

Løsningsforslag

Statistikk av en variabel i GeoGebra

Vi kan lese verdiene fra statistikkvinduet i GeoGebra.

Gjennomsnitt: 3
Median: 1
Standardavvik ( $σ$ ): 4,38

Gjennomsnittet er 3, medianen er 1 og standardavviket er 4,38.

Vi teller opp hvor mange ansatte som hadde $5$ eller færre fraværsdager.

Fra den sorterte lista er alle verdier unntatt $12$ og $15$ mindre enn eller lik $5$ :

0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 4, 5, 12, 15

Den kumulative frekvensen til $5$ eller færre fraværsdager er 13 siden det er 13 observasjoner som er mindre eller lik 5.

Den kumulative frekvensen for 5 fraværsdager er 13. Det betyr at 13 ansatte har vært hatt 5 eller færre fraværsdager i 2025.

Vi sammenligner de tre statistiske målene for bedrift B med bedrift A:

Samme gjennomsnitt ( $3$ dager): Det totale fraværet er likt fordelt på antall ansatte.
Høyere median: Mer enn halvparten av de ansatte i bedrift B hadde flere fraværsdager enn medianen i bedrift A (som var $1$ dag). Det betyr at færre ansatte i B hadde $0$ eller $1$ fraværsdag.
Lavere standardavvik: Fraværsdagene i bedrift B ligger tettere rundt gjennomsnittet enn i bedrift A. Det er færre ansatte med svært høyt fravær (som de med $12$ og $15$ dager i A).

$Fraværet i bedrift B er jevnere fordelt.$ Færre ansatte har nesten ingen fraværsdager, og færre har svært mange. Fraværet er mer samlet rundt gjennomsnittet på $3$ dager.

Kari påstår at den kumulative frekvensen for 5 fraværsdager i bedrift B må være høyere enn for bedrift A, altså at den må være høyere enn 13.

Denne påstanden er vanskelig å bevise eller motbevise, men dersom vi klarer å finne et moteksempel så kan vi si at påstanden til Kari ikke stemmer.

Når vi lager moteksempelet så bør vi tenke på at

det totale antallet fraværsdager er 45 slik at gjennomsnittet blir 3
medianen må bli større enn 1
standardavviket må bli mindre enn 4,38
vi har maksimalt 2 observasjoner som er større enn 5 slik at kumulativ frekvens for 5 blir 13

Moteksempel: La oss si at de $15$ ansatte i bedrift B hadde følgende fraværsdager:

0, 0, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 7, 7

Vi kontrollerer at alle opplysningene stemmer:

Gjennomsnitt: $\frac{45}{15} = 3$ ✓
Median: Den $8.$ verdien i den sorterte lista er $3$ , som er høyere enn $1$ i bedrift A ✓
Standardavvik (beregnet i GeoGebra): $\approx 2,2$ dager, som er lavere enn $4,5$ i bedrift A ✓
Kumulativ frekvens for $5$ dager: $13$ ✓

Dette viser at det er mulig å ha en fordeling i bedrift B som oppfyller alle de tre opplysningene, men der den kumulative frekvensen for $5$ fraværsdager ikke er høyere enn i bedrift A.

Påstanden til Kari er feil.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 7 poeng

For å få 1 poeng, må kandidaten bestemme minst to av verdiene.

En oversiktlig besvarelse i et regneark gir full uttelling selv om kandidaten ikke viser formlene som er brukt.

En kandidat som bestemmer empirisk standardavvik, kan også få full uttelling.

Her gis i utgangspunktet 1 poeng for riktig kumulativ frekvens, og 1 poeng for en riktig praktisk tolkning.

For å få full uttelling må kandidaten argumentere riktig ut fra alle tre målene. For å 1 poeng, må kandidaten argumentere riktig ut fra to av målene.

Oppgavedata

Delt med: 2P-Y, 2P
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 7
Temaer: Sentralmål, Spredningsmål, Kumulativ frekvens
Kompetansemål: Analysere og presentere funn i datasett frå lokalsamfunn og media
Bruke og vurdere val av formålstenlege sentralmål og spreiingsmål for statistisk datamateriale
Egen side: Åpne oppgave 2-3 for seg selv

Oppgave 2-4Presentasjon av nyhetsundersøkelser 2P-Y V26

Krever PC

Hvert år undersøker Reuters Institute, Universitetet i Bergen og Stiftelsen Fritt Ord hvordan vi får med oss nyheter, og i hvilken grad vi unngår nyheter. Dersom vi unngår nyheter over tid, kan vi gå glipp av viktig informasjon og få en svakere tilknytning til samfunnet. Forskerne er derfor spesielt opptatt av dette.

Nedenfor ser du noen resultater fra undersøkelsene.

Hvordan nordmenn får med seg dagens første nyheter i 2019 og 2025
Prosentandel som oppgir hver kilde

Kilde	$2019$	$2025$
Smarttelefon	$32 %$	$50 %$
Radio	$19 %$	$14 %$
PC	$15 %$	$12 %$
TV	$13 %$	$11 %$
Nettbrett	$6 %$	$5 %$
Papiravis	$7 %$	$2 %$
Ingen av disse	$4 %$	$4 %$
Vet ikke	$4 %$	$2 %$

Nyhetsunngåelse i Norge 2025
Hvor ofte nordmenn aktivt unngår nyheter

Svar	$2025$
Aldri	$37 %$
En gang iblant	$29 %$
Noen ganger	$23 %$
Ofte	$7 %$
Vet ikke	$4 %$

Tenk deg at du skal presentere funn fra dette datamaterialet for klassen din.

Gjør beregninger og sammenligninger, og lag ulike diagrammer som du kan bruke i en presentasjon.

Fasit

Mange gyldige svar. Eksempelpresentasjon viser at smarttelefon er den dominerende nyhetskilden i 2025 ( $50 %$ ), opp fra $32 %$ i 2019 – en relativ økning på $+ 56 %$ . Papiravis har størst relativ nedgang ( $- 71 %$ ). $59 %$ av nordmenn unngår nyheter av og til.

LøsningsforslagKI-generert

Nøkkelfunn og beregninger

Funn 1 – Smarttelefon dominerer i 2025

Smarttelefon er den klart største nyhetskilden i 2025. Vi beregner endringen fra 2019 til 2025:

Prosentpoeng-endring = 50 - 32 = + 18 prosentpoeng

Den relative økningen er:

\frac{50 - 32}{32} \cdot 100 = \frac{18}{32} \cdot 100 \approx + 56 %

Smarttelefon har altså økt med 18 prosentpoeng (relativt sett $+ 56 %$ ) fra 2019 til 2025.

Funn 2 – Papiravis har størst relativ nedgang

Papiravisens andel falt fra $7 %$ til $2 %$ . Den relative endringen er:

\frac{2 - 7}{7} \cdot 100 = \frac{- 5}{7} \cdot 100 \approx - 71 %

Papiravis har falt med 5 prosentpoeng, noe som tilsvarer en relativ nedgang på $- 71 %$ .

Selv om nedgangen i absolutte tall er liten ( $5$ prosentpoeng), viser den relative beregningen at papiravis har mistet nesten tre fjerdedeler av sin andel.

Funn 3 – Majoriteten unngår nyheter av og til

Fra tabellen om nyhetsunngåelse legger vi sammen andelene som unngår nyheter «en gang iblant», «noen ganger» eller «ofte»:

29 + 23 + 7 = 59 %

59 % av nordmenn unngår nyheter i hvert fall av og til i 2025. Bare 37 % sier at de aldri unngår nyheter.

Diagram 1: Gruppert søylediagram til tabell 1

Søylediagram som viser utviklingen i hvordan nordmenn får dagens første nyheter mellom 2019 og 2025

Dette diagrammet passer best til Tabell 1 fordi det gjør det enkelt å sammenligne hvert medium mellom de to årstallene.

Diagramtype: gruppert stolpediagram (to stolper per kategori – én for 2019, én for 2025)
X-akse: kildenavn (Smarttelefon, Radio, PC, TV, Nettbrett, Papiravis, Ingen, Vet ikke)
Y-akse: andel i prosent ( $0$ – $55 %$ )
Farge: én farge for 2019 (f.eks. blå), én farge for 2025 (f.eks. oransje)
Legg til dataetiketter på toppen av hver stolpe
Nøkkelfunn å trekke frem muntlig: smarttelefonstolpen i 2025 er klart høyest; alle tradisjonelle medier har kortere stolper i 2025 enn i 2019

Diagram 2 – Sektordiagram: fordeling av nyhetskilder i 2025

Sektordiagram som viser fordeling av nyhetskilder

Sektordiagrammet viser tydelig at smarttelefon utgjør halvparten av alle svar alene.

Diagramtype: sektordiagram (ett for 2025)
Én sektor per kilde; sektorenes størrelse svarer til prosentandelene
Legg til prosentlabeler på sektorene
Merk gjerne at smarttelefon-sektoren ( $50 %$ ) er like stor som alle de andre kildene til sammen
Tips: «Ingen av disse» og «Vet ikke» kan slås sammen til én sektor («Annet») for å forenkle bildet

Diagram 3 – Stolpediagram: nyhetsunngåelse i 2025

Sektordiagram som viser nyhetsunngåelse

Dette diagrammet hører til Tabell 2 og illustrerer at de fleste nordmenn unngår nyheter til en viss grad.

Diagramtype: enkelt stolpediagram (én stolpe per svaralternativ)
X-akse: Aldri / En gang iblant / Noen ganger / Ofte / Vet ikke
Y-akse: andel i prosent ( $0$ – $40 %$ )
Legg til en tydelig markering (f.eks. en pil eller farge) på de tre stolpene som til sammen utgjør $59 %$ («unngår av og til»)
Alternativ: sektordiagram der «Aldri» og «Unngår av og til» (de tre kategoriene slått sammen) kontrasteres mot hverandre

Kort konklusjon til presentasjonen

Undersøkelsen viser en klar forskyvning i hvordan nordmenn skaffer seg nyheter: smarttelefonen har tatt over og utgjør nå halvparten av alle svar, mens papiravis nesten er forsvunnet. Samtidig er det overraskende mange – hele 59 % – som av og til aktivt unngår nyheter. Disse funnene reiser et viktig spørsmål: hva skjer med samfunnsdebatten når folk velger bort nyhetene?

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 4 poeng

For å få full uttelling må kandidaten gjøre relevante sammenlikninger og beregninger og lage ulike diagrammer som illustrerer opplysningene på en god måte.

Det er viktig at sensor ser på helheten i besvarelsen, vurder om informasjonen som presenteres er riktig og relevant, og om diagrammene illustrerer hele eller deler av datamaterialet på ulike måter.

Sensor skal også vurdere kandidatens digitale kompetanse, dvs. valg av egnede diagramtyper, og hvor tydelig informasjonen kommer fram i hvert diagram (bruk av overskrifter, aksetitler, dataetiketter osv.)

Som et utgangspunkt kan de 4 poengene uttrykke høy måloppnåelse (4 poeng), middels måloppnåelse (2 - 3 poeng) og lav måloppnåelse (1 poeng).

Lav måloppnåelse kan for eksempel være å lage ett riktig diagram til hver tabell.

Middels måloppnåelse kan for eksempel være å lage ett riktig diagram til hver tabell og i tillegg gjøre noen relevante beregninger og sammenlikninger. Om kandidaten får 2 eller 3 poeng, vil være avhengig av den digitale kompetansen som er vist, kommunikasjon og helheten i besvarelsen.

Høy måloppnåelse kan for eksempel være å lage flere riktige diagrammer til den første tabellen, ett riktig diagram til den andre og i tillegg gjøre flere relevante beregninger og sammenlikninger. Her krevers også god digital kompetanse og god kommunikasjon.

Oppgavedata

Delt med: 2P-Y, 2P
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 4
Temaer: Presentasjon av data, Diagram, Prosentregning
Kompetansemål: Analysere og presentere funn i datasett frå lokalsamfunn og media
Lese, hente ut og vurdere matematikk i tekstar om samfunnsfaglege tema og tema frå lokalmiljøet, gjere berekningar knytte til dette og presentere og argumentere for resultata
Egen side: Åpne oppgave 2-4 for seg selv

Del 1uten hjelpemidler · 3 timer · 13 oppgaver · 26 poeng

Oppgave 1-1·Brune egg fra bonden 2P-Y V26

Oppgave 1-2·Sentralmål og relativ frekvens for togvogner 2P-Y V26

Oppgave 1-3·Vekstfaktor og prosentvis endring i tabell 2P-Y V26

Oppgave 1-4·Pris ned og opp med 20 prosent 2P-Y V26

Oppgave 1-5·Tolke uttrykk for tre prisendringer 2P-Y V26

Oppgave 1-6·Renteendring i prosentpoeng og prosent 2P-Y V26

Oppgave 1-7·Multiplikasjon av store og små tall 2P-Y V26

Oppgave 1-8·Sortere potens- og rotuttrykk 2P-Y V26

Oppgave 1-9·Hyttetur med leieutgift og matkostnad 2P-Y V26

Oppgave 1-10·Figurmønster med grønne sirkler 2P-Y V26

Oppgave 1-11·Kyllingfilet som proporsjonal størrelse 2P-Y V26

Oppgave 1-12·Python-program for gjennomsnitt 2P-Y V26

Oppgave 1-13·Kumulativ frekvenskurve for aldersfordeling 2P-Y V26

Del 2alle hjelpemidler · 2 timer · 4 oppgaver · 18 poeng

Oppgave 2-1·Eksponentiell modell for utslippsreduksjon 2P-Y V26

Oppgave 2-2·Tre medlemskap i mekkeklubb 2P-Y V26

Oppgave 2-3·Sammenligning av sykefravær mellom to bedrifter 2P-Y V26

Oppgave 2-4·Presentasjon av nyhetsundersøkelser 2P-Y V26

Nøkkelfunn og beregninger

Kort konklusjon til presentasjonen

Temaer

Oppgave 1-1Brune egg fra bonden 2P-Y V26

Oppgave 1-2Sentralmål og relativ frekvens for togvogner 2P-Y V26

Oppgave 1-3Vekstfaktor og prosentvis endring i tabell 2P-Y V26

Oppgave 1-4Pris ned og opp med 20 prosent 2P-Y V26

Oppgave 1-5Tolke uttrykk for tre prisendringer 2P-Y V26

Oppgave 1-6Renteendring i prosentpoeng og prosent 2P-Y V26

Oppgave 1-7Multiplikasjon av store og små tall 2P-Y V26

Oppgave 1-8Sortere potens- og rotuttrykk 2P-Y V26

Oppgave 1-9Hyttetur med leieutgift og matkostnad 2P-Y V26

Oppgave 1-10Figurmønster med grønne sirkler 2P-Y V26

Oppgave 1-11Kyllingfilet som proporsjonal størrelse 2P-Y V26

Oppgave 1-12Python-program for gjennomsnitt 2P-Y V26

Oppgave 1-13Kumulativ frekvenskurve for aldersfordeling 2P-Y V26

Oppgave 2-1Eksponentiell modell for utslippsreduksjon 2P-Y V26

Oppgave 2-2Tre medlemskap i mekkeklubb 2P-Y V26

Oppgave 2-3Sammenligning av sykefravær mellom to bedrifter 2P-Y V26

Oppgave 2-4Presentasjon av nyhetsundersøkelser 2P-Y V26