2P-Y Vår 2024

2P-Y Vår 2024 – oversikt over oppgavene
№	Navn	LF
Del 1 1 time uten hjelpemidler
1-1	Proporsjonale størrelser i kiosk	✔︎
1-2	Prosentvis prisreduksjon bagetter	✔︎
1-3	Vannforbruk i Oslo	✔︎
1-4	Figurtall 2P-Y v2024	✔︎
Del 2 4 timer med hjelpemidler
2-1	Hytteleie omvendt proporsjonal funksjon	✔︎
2-2	Fastrenteinnskudd og renteinntekter	✔︎
2-3	Skiturstatistikk Solveig og Miriam	✔︎
2-4	Instagram-følgere eksponentiell vekst	✔︎
2-5	Tid brukt på lekser histogram	✔︎
2-6	Programmering av Theas BSU-konto	✔︎
2-7	Grafisk framstilling av læreplasser	✔︎

Oppgave 1-1 : Proporsjonale størrelser i kiosk

Er antall sjokolader du kjøper, og prisen du betaler for hver sjokolade proporsjonale størrelser i denne kiosken?

Husk å begrunne svaret ditt.

Fasit

Ja, proporsjonale størrelser

Løsningsforslag

Hvis prisene og antall sjokolader er proporsjonale størrelser, så skal vi få det samme svaret hvis vi deler pris på antall sjokolader for alle tilbudene

Pris	Sjokolader	Forhold
25	2	12,5
100	8	12,5
200	16	12,5
300	24	12,5

Prisen per sjokolade er 12,5 kroner uansett hvilket tilbud vi ser på.

Antall sjokolader og prisen du betaler er proporsjonale størrelser.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 1
Poeng: 2
Temaer: proporsjonalitet, argumentasjon
Kompetansemål: Utforske, beskrive og bruke omgrepa proporsjonalitet og omvend proporsjonalitet

Oppgave 1-2 : Prosentvis prisreduksjon bagetter

Nora skal kjøpe bagetter.

Hvor mange prosent lavere blir prisen per bagett dersom hun kjøper fire i stedet for to?

Fasit

25 % lavere

Løsningsforslag

32 kroner for 2 bagetter betyr at hver bagett koster 16 kroner.
48 kroner for 4 bagetter betyr at hver bagett koster 12 kroner.

For å regne den prosentvise forskjellen kan vi sammenligne differansen mellom de to tilbudene og den dyreste prisen.

\frac{\text{differanse}}{\text{det vi sammenligner med}}=\frac{16-12}{16}=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}=25 \,\%

Prisen per bagett blir 25 % lavere dersom hun kjøper 4 istedenfor 2 bagetter.

Oppgavedata

Delt med: 2P-Y, 2P
Kategori: 2
Vanskegrad: 1
Poeng: 2
Temaer: prosentregning, enhetskostnad
Kompetansemål: Forklare og bruke prosent, prosentpoeng og vekstfaktor til modellering av praktiske situasjonar med digitale verktøy

Oppgave 1-3 : Vannforbruk i Oslo

I Oslo bor det ca. 700 000 mennesker. Hver person bruker i gjennomsnitt 150 liter vann hvert døgn.

Omtrent hvor mange liter vann blir dette i løpet av én måned?
Skriv svaret på standardform.

Fasit

$3{,}15\cdot 10^{9}$ liter vann

Løsningsforslag

For å finne den totale mengden vann på en måned må vi regne ut

\text{antall mennesker} \cdot \text{gjennomsnittlig vannforbruk per døgn} \cdot \text{30 dager}

\begin{aligned} 700\, 000 \cdot 150 \cdot 30\\ 7 \cdot 10^{5} \cdot 1{,}5 \cdot 10^{2} \cdot 3\cdot 10^{1} \\ 7 \cdot 3\cdot 1{,}5 \cdot 10^{5+2+1}\\ 31{,}5 \cdot 10^{8}\\ 3{,}15 \cdot 10^{9} \end{aligned}

I Oslo bruker man $3{,}15 \cdot 10^{9}$ liter vann i måneden.

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 2
Temaer: standardform
Kompetansemål: Tolke og rekne med rotuttrykk, potensar og tal på standardform

Oppgave 1-4 : Figurtall 2P-Y v2024

Figurtall

Ovenfor ser du tre figurer. Figurene er satt sammen av små sirkler. Tenk deg at du skal fortsette å lage figurer etter samme mønster.

Hvor mange små sirkler vil det være i figur 4 og i figur 9?

Beskriv mønsteret, og bestem et uttrykk for antallet små sirkler i figur $n$ .

Fasit

Figur 4: 49 sirkler, figur 9: 199 sirkler

$2(n+1)^2 - 1$

Løsningsforslag

Jeg fortsetter mønsteret, som jeg ser består av to kvadrater hvor kvadratene overlapper med en sirkel.

Det er $5\cdot 5 + 5 \cdot 5 -1=49$ sirkler i figur 4. Det er $10 \cdot 10 + 10\cdot 10 -1 =199$ sirkler i figur 9.

Hver figur består av to kvadrater, hvor det er én mer sirkel i sidekanten enn figurnummeret. I figur $n$ har hvert kvadrat $(n+1)^{2}$ sirkler. Vi har to slike kvadrater slik at formelen blir $(n+1)^{2} \cdot 2$ også må vi huske å trekke fra 1 siden det er en sirkel som overlapper. Det ferdige uttrykket blir

2(n+1)^{2}-1

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: figurtall
Kompetansemål: Identifisere variable storleikar i ulike situasjonar og bruke dei til utforsking og generalisering

Oppgave 2-1 : Hytteleie omvendt proporsjonal funksjon

Noen venner vil leie ei hytte en uke i sommerferien.

Funksjonen $H$ gitt ved

H(x) = \frac{18\,000}{x} \quad , \quad 1 \le x \le 12

er en modell for prisen $H(x)$ kroner hver av vennene må betale i leie dersom $x$ venner blir med på hytteturen.

Hva kan du ut fra denne modellen si om hytta vennene vil leie? >

Tegn grafen til $H$ , og bestem skjæringspunktet mellom grafen og den rette linjen $y = 2250$ . Gi en praktisk tolkning av koordinatene til skjæringspunktet. >

Bestem stigningstallet til den rette linjen som går gjennom punktene $(6, H(6))$ og $(12, H(12))$ . Gi en praktisk tolkning av svaret.

Fasit

Hytta koster 18 000 kr å leie, maks 12 venner

Skjæringspunkt $(6, 3000)$ , 6 personer betaler 3000 kr

Stigningstall $-250$

Løsningsforslag

Hvis det bare 1 person som skal på hyttetur så blir prisen per person

H(1)=\frac{18000}{1}=18000

Det koster altså 18 000 kr å leie hytta.

I tillegg får vi oppgitt definisjonsmengden $1\leq x\leq 12$ . Det betyr at det maks er 12 venner som skal på hyttetur, kanskje fordi det ikke er plass til flere på hytta.

Det koster 18 000 kroner å leie hytta, og det er maksimalt 12 venner som kan dra på hyttetur.

Jeg legger inn funksjonsuttrykket i GeoGebra og avgrenser funksjonen til definisjonsmengden ved å bruke Funksjon()-kommandoen. Deretter legger jeg inn $y=2250$ og finner skjæringspunktet mellom funksjonene.

Skjæringspunktet mellom grafen og den rette linja er $(8, 2250)$ , se punkt $A$ i utklippet. Det betyr at de trenger å være 8 personer som spleiser på leia for at prisen skal bli 2250 kr.

Jeg setter ut punktene i koordinatsystemet ved å skrive dem inn slik de står i oppgaveteksten, se punkt $B$ og $C$ . De to punktene ligger på grafen til $H$ ved 6 og 12 venner. Jeg bruker linjeverktøyet for å lage en linje mellom punktene, og stigningsverktøyet til å måle stigningen til linja.

Stigningstallet for linja er -250, se verdi $a$ . Stigningstallet til linja forteller oss at prisen per deltaker i gjennomsnitt blir 250 kr rimeligere per person, dersom vi øker antallet deltakere fra 6 til 12.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: omvendt proporsjonalitet, funksjoner, tolke grafer, stigningstall
Kompetansemål: Bruke digitale verktøy i utforsking og problemløysing knytt til eigenskapar ved funksjonar, og diskutere løysingane
Utforske, beskrive og bruke omgrepa proporsjonalitet og omvend proporsjonalitet

Oppgave 2-2 : Fastrenteinnskudd og renteinntekter

Malin har 450 000 kroner på en sparekonto. Hun vil sette beløpet over på en konto med fastrenteinnskudd. Hun finner informasjonen nedenfor.

Fastrenteinnskudd

Med fastrenteinnskudd binder du pengene for en periode på 3, 6 eller 12 måneder.
I hele bindingstiden beholder du samme rente, uavhengig av om renten endres i markedet.

Vilkår for fastrenteinnskudd:

Periode	Rente
3 måneder	5,15 % per år
6 måneder	5,25 % per år
1 år	5,4 % per år

Malin vurderer om hun skal binde pengene i 3 måneder eller i 1 år.

Hvor mange prosentpoeng og hvor mange prosent høyere er renten dersom hun velger 1 år i stedet for 3 måneder?

Hvor mye får Malin i renteinntekter dersom hun velger å binde pengene i 1 år?

Fasit

0,25 prosentpoeng, 4,85 % høyere

24 300 kr

Løsningsforslag

For å bestemme forskjellen i prosentpoeng finner jeg differansen mellom prosenttallene

5{,}4 - 5{,}15 = 0{,}25

For å bestemme forskjellen i prosent så sammenligner jeg differansen med renten for 3 måneder

\frac{5{,}4 \,\% - 5{,}15 \,\%}{5{,}15 \,\%}=\frac{0{,}25 \,\%}{5{,}15 \,\%}=0{,}0485=4{,}85 \,\%

Hvis hun binder pengene i ett år er renten 0,25 prosentpoeng og 4,85 % høyere enn hvis hun binder pengene i 3 måneder.

Jeg finner rentene ved å gange sparebeløpet med rentesatsen

450 \, 000 \cdot 5{,}4 \,\%=450 \, 000 \cdot 0{,}054=24 \, 300

Renteinntektene er 24 300 kroner hvis hun binder pengene i ett år.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: sparing, prosentregning, prosentvis endring
Kompetansemål: Lese, hente ut og vurdere matematikk i tekstar om samfunnsfaglege tema og tema frå lokalmiljøet, gjere berekningar knytte til dette og presentere og argumentere for resultata
Forklare og bruke prosent, prosentpoeng og vekstfaktor til modellering av praktiske situasjonar med digitale verktøy

Oppgave 2-3 : Skiturstatistikk Solveig og Miriam

Nedenfor ser du hvor mange timer Solveig brukte på hver av de 20 skiturene hun gikk vinteren 2024.

Tabell 1: Solveigs skiturer

8	4	7	5	10	3	12	6	8	9
6	5	8	9	11	5	3	7	9	8

Solveigs venninne, Miriam, gikk også 20 skiturer vinteren 2024. I gjennomsnitt brukte Miriam 4,7 timer per tur. Medianen var 4, og standardavviket hennes for antall timer per tur var 4,2.

Hva kan du ut fra dette si om skiturene til Miriam sammenliknet med skiturene til Solveig?

Solveig og Miriam gikk noen av skiturene sammen. Tabellen nedenfor viser den kumulative frekvensen for antallet timer disse skiturene varte.

Lengde turer sammen (timer)	Kumulativ frekvens
0	10
3	11
5	14
8	17
9	19
12	20

Argumenter for at hver av de to påstandene nedenfor er riktig.

Miriam og Solveig gikk 3 skiturer på 5 timer sammen.
Miriam var ikke med alle gangene Solveig gikk en skitur på 8 timer.

Fasit

3 turer på 5 timer; Solveig gikk 1 tur på 8 timer alene

Løsningsforslag

Jeg beregnet gjennomsnittet og standardavviket til turene til Solveig ved å bruke formlene =gjennomsnitt() og =stdav.p() i Excel. Jeg oppsummerer opplysningene om gjennomsnitt og standardavvik til venninnene i tabellen

	Gjennomsnitt	Standardavvik	Median
Solveig	7,15 timer	2,45 timer	7,5 timer
Miriam	4,7 timer	4,2 timer	4 timer

Solveig har omtrent 2,5 timer høyere gjennomsnitt enn Miriam. Solveig går derfor oftere turer som er veldig lange (hun har et gjennomsnitt på over 7 timer). Gjennomsnittet og medianen til Solveig er ganske like, det tyder på at det er få ekstreme verdier i datamaterialet.

Solveig har et mye lavere standardavvik enn Miriam, nesten 2 timer eller kun $\frac{4{,}2-2{,}45}{4{,}2}=41{,}7 \,\%$ av Miriams standardavvik. Det er derfor mye større variasjon lengdene på turene til Miriam. Sannsynligvis har hun gått noen veldig lange turer siden standardavviket er nesten like høyt som gjennomsnittet.

Den kumulative frekvensen for turer på 5 timer er 14, og den kumulative frekvensen for turer på 3 timer er 11. De har ikke gått noen turer sammen på 4 timer.

Siden kumulativ frekvens er summen av alle frekvenser for observasjoner som er mindre eller lik den aktuelle observasjonen, kan vi finne frekvensen for antall turer på 5 timer slik:

14-11=3

Ifølge datamaterialet i starten av oppgaven har Solveig gått 4 turer på 8 timer. Ifølge de kumulative frekvensene i tabellen har de to venninnene vært på $17-14=3$ turer sammen på 8 timer. Solveig har altså gått en skitur på 8 timer alene, og 3 sammen med Miriam.

Oppgavedata

Delt med: 2P-Y, 2P
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: statistikk, kumulativ frekvens, sentralmål, spredningsmål
Kompetansemål: Bruke og vurdere val av formålstenlege sentralmål og spreiingsmål for statistisk datamateriale

Oppgave 2-4 : Instagram-følgere eksponentiell vekst

Tuva har en profil på Instagram. Tabellen nedenfor viser hvor mange følgere hun har hatt de siste seks månedene.

Måned	November	Desember	Januar	Februar	Mars	April
Følgere	5335	7035	9467	12 780	17 208	24 008

Tuva har laget en modell som viser at antallet følgere har økt med ca. 35 % hver måned i perioden november 2023–april 2024.

La $x$ være antall måneder etter november 2023, og vis hvordan Tuva kan ha laget denne modellen.

For å få antall følgere til å øke raskere vil Tuva gjøre noen endringer i innholdet hun legger ut. Hun har som mål at økningen i antall følgere ikke skal fortsette å være på 35 % etter april 2024, men øke med 5 prosentpoeng hver måned.

Vis at antall følgere vil være 33 611 i mai og 48 736 i juni dersom Tuva klarer å nå målet sitt for disse månedene.

Hvor mange prosent flere følgere vil Tuva ha i august 2024 dersom hun klarer å nå det nye målet sitt for hver måned, sammenliknet med om økningen fortsetter å være på 35 % hver måned?

Fasit

$f(x) = 5244 \cdot 1{,}35^x$

43,6 % flere følgere

Løsningsforslag

Vi lar $x$ være antall måneder etter november og bruker regresjon i GeoGebra. Siden modellen skal stige med 35 % per måned bør vi velge eksponentiell modell, siden disse vokser med en fast prosent.

Regresjon i GeoGebra av Tuvas følgere

Modellen $f(x)=5244 \cdot 1{,}35^{x}$ er en modell som vokser med 35 % per måned, og som kan være modellen Tuva har brukt.

Tuva har 24 008 følgere i april. Hvis økningen i mai skal være 35 % + 5 prosentpoeng så har hun $24008 \cdot 1{,}40=33 \,611$ følgere i mai.

I juni øker økningen med enda 5 prosentpoeng til 45 %. Antall følgere i juni vil derfor være $33 \,611 \cdot 1{,}45=48\, 736$ .

Vi kan bruke modellen $f(x)=5244 \cdot 1{,}35^{x}$ til å beregne hvor mange følgere hun har i august med 35 % økning. August tilsvarer $x=9$

f(9)=5244 \cdot 1{,}35^9=78 \,103

Dersom Tuva klarer å holde målet sitt med 5 prosentpoeng økning vil hun i juli ha $48 \, 736 \cdot 1{,}50=73 \, 104$ følgere, og i august $73 \, 104 \cdot 1{,}55=113 \, 311$ følgere.

Vi finner den prosentvise forskjellen

\frac{113 \,311-78\,103}{78\,103} = \frac{35 \,208}{78 \,103}=45{,}1 \,\%

Tuva vil ha 45,1 % flere følgere i august om hun klarer å nå det nye målet sitt.

Oppgavedata

Delt med: 2P-Y, 2P
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: eksponentiell vekst, vekstfaktor, prosentvis vekst, regresjon
Kompetansemål: Forklare og bruke prosent, prosentpoeng og vekstfaktor til modellering av praktiske situasjonar med digitale verktøy

Oppgave 2-5 : Tid brukt på lekser histogram

Oda har undersøkt hvor mange minutter elevene ved skolen brukte på lekser en ettermiddag i mai, og laget histogrammet nedenfor.

Tid brukt på lekser en ettermiddag i mai

Bruk opplysningene du kan lese ut av histogrammet, gjør beregninger, og argumenter for at hver av de fire påstandene nedenfor kan være riktig.

Fasit

Alle fire påstandene stemmer

Løsningsforslag

Påstand 1

Den første søylen i histogrammet har høyde 2 og bredde 40, altså er frekvensen $2 \cdot 40=80$ . Derfor stemmer det at 80 elever brukte 40 minutter eller mindre på lekser.

Påstand 2

Søylen mellom 100 og 150 minutter har høyde 2, altså er frekvensen $2 \cdot 50 = 100$ . For å bestemme den relative frekvensen finner jeg først det totale antall elever ved å finne arealet til de siste to søylene: $6 \cdot 20=120$ og $5 \cdot 40=200$ . Det er altså $80+120+200+100=500$ elever på skolen og den relative frekvensen for 100 til 150 minutter blir $\frac{100}{500}=\frac{1}{5}$ .

Påstand 3

Det er 80 elever som vi kan regne med at har brukt 20 minutter i gjennomsnitt (siden 20 ligger midt i intervallet $[0,40\rangle$ ). Det er 120 elever som i gjennomsnitt har brukt 50 minutter. Til sammen har disse elevene brukt

80 \cdot 20 + 120 \cdot 50 = 1600 + 6000= 7600 \text{ minutter}

Hvis vi fordeler tiden på de 200 elevene får vi gjennomsnittet

\frac{7600 \text{ min}}{200 \text{ elever}}=\underline{\underline{38}} \text{ min per elev}

Påstand 4

Medianeleven blant de som brukte under 60 minutter er omtrent elev nummer 100. Siden det er 80 elever i det første intervallet, så må vår medianelev være elev nummer 20 av 120 i det andre intervallet. Med andre ord finner vi medianen vår $\frac{20}{120}=\frac{1}{6}$ ut i intervallet. For å finne ut hvor mange minutter dette tilsvarer så kan jeg ta bredden av intervallet og gange med $\frac{1}{6}$

20 \cdot \frac{1}{6}=3{,}33

Medianen vil være 3,33 minutter over bunnen av intervallet vårt, altså ved $40+3{,}33=43{,}33$ minutter. Medianen 43,33 minutter er altså høyere enn gjennomsnittet på 38 minutter.

Oppgavedata

Delt med: 2P-Y, 2P
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: statistikk, diagram, gjennomsnitt, median
Kompetansemål: Bruke og vurdere val av formålstenlege sentralmål og spreiingsmål for statistisk datamateriale

Oppgave 2-6 : Programmering av Theas BSU-konto

Thea vil spare penger og har lest at det er lurt å opprette en BSU-konto i banken. Hun finner informasjonen nedenfor.

Thea har skrevet programkoden nedenfor.

Hva er det hun vil finne ut? Forklar hver linje i programkoden.

innskudd = 27500
prosent_rente = 6.8
BSU = 0

for år in range(2024, 2034):
    
    BSU = BSU + innskudd
    
    renter = prosent_rente * BSU / 100
    
    BSU = BSU + renter
    
    print(år, round(renter), round(BSU))

Fasit

Se forklaring i løsningsforslaget

Løsningsforslag

Thea vil finne beløpet på BSU-kontoen for hvert år hvis hun setter inn 27 500 kr i 10 år fra 2024–2033. Det ser ut til at programmet regner med at hun setter inn pengene i starten av året, og at rentene beregnes ved utgangen av året.

Linje 1: Setter at innskuddet skal være 27 500 kr
Linje 2: Setter rentesatsen
Linje 3: Setter innskuddet til null kroner foreløpig (hun initialiserer variabelen BSU)
Linje 5: For-løkka kjører 10 ganger. Variabelen år tar verdiene 2024 til og med 2033.
Linje 7: Hun legger til et nytt innskudd hvert år
Linje 9: Hun regner ut rentene i kroner
Linje 11: Hun legger rentene til BSU-kontoen
Linje 13: Hun skriver ut hvilket år vi er ved utgangen av, hvor mye renteinntekter hun har hatt dette året og det totale beløpet på BSU-kontoen

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: programmering, sparing
Kompetansemål: Forklare og bruke prosent, prosentpoeng og vekstfaktor til modellering av praktiske situasjonar med digitale verktøy
Bruke digitale verktøy i utforsking og problemløysing knytt til eigenskapar ved funksjonar, og diskutere løysingane

Oppgave 2-7 : Grafisk framstilling av læreplasser

Nedenfor ser du en tabell som viser antallet lærlinger i Rogaland, i Oslo og totalt i Norge i perioden 2018-2022.

	2018	2019	2020	2021	2022
Oslo	3626	3757	3685	3688	3799
Rogaland	5009	5432	5324	5589	5960
Norge	43322	45323	44961	46705	48400

Tenk deg at du skal presentere dette datamaterialet for klassen din.

Gjør sammenlikninger og beregninger og lag ulike framstillinger som du kan bruke i en presentasjon. Presentasjonen skal inneholde både beregninger og diagrammer.

Fasit

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: grafisk framstilling, statistikk, prosentregning, diagrammer, presentasjon av data
Kompetansemål: Analysere og presentere funn i datasett frå lokalsamfunn og media
Forklare og bruke prosent, prosentpoeng og vekstfaktor til modellering av praktiske situasjonar med digitale verktøy

Sync på tvers av enheter

Del 1 — uten hjelpemidler · 1 time

Oppgave 1-1 : Proporsjonale størrelser i kiosk

Oppgave 1-2 : Prosentvis prisreduksjon bagetter

Oppgave 1-3 : Vannforbruk i Oslo

Oppgave 1-4 : Figurtall 2P-Y v2024

Del 2 — med hjelpemidler · 4 timer

Oppgave 2-1 : Hytteleie omvendt proporsjonal funksjon

Oppgave 2-2 : Fastrenteinnskudd og renteinntekter

Oppgave 2-3 : Skiturstatistikk Solveig og Miriam

Oppgave 2-4 : Instagram-følgere eksponentiell vekst

Oppgave 2-5 : Tid brukt på lekser histogram

Påstand 1

Påstand 2

Påstand 3

Påstand 4

Oppgave 2-6 : Programmering av Theas BSU-konto

Oppgave 2-7 : Grafisk framstilling av læreplasser