2P-Y Høst 2024

Oppgave 1-1Prisstigning på vare

En butikk satte opp prisen for en vare med 12 kroner.
Dette tilsvarte en prisøkning på 30 %.

Hvor mye kostet varen før prisøkningen?

Fasit

$40 kr$

Løsningsforslag

En økning på 30 % betyr at 30 % av den opprinnelige prisen er lik 12 kroner.

Det betyr også at 10 % av den opprinnelige prisen er 4 kr.

Derfor må 100 % av den opprinnelige prisen være 40 kr.

Varen kostet $40 kr$ før prisøkningen.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 1
Poeng: 1
Temaer: Prosentregning
Kompetansemål: Forklare og bruke prosent, prosentpoeng og vekstfaktor til modellering av praktiske situasjonar med digitale verktøy
Egen side: Åpne oppgave 1-1 for seg selv

Oppgave 1-2Statistikk på Lars arbeidstid

Lars arbeider i en butikk etter skoletid og i helgene. Nedenfor ser du hvor mange timer han har arbeidet hver av de 10 siste dagene:

3 3 4 5 6 8 0 3 5 5

Bestem gjennomsnittet og medianen.

Bestem den kumulative frekvensen for 5 timer og forklar hva dette tallet betyr.

Fasit

Gjennomsnitt: 4,2 timer. Median: 4,5 timer.

8

Løsningsforslag

Data sortert i stigende rekkefølge:

0 3 3 3 \underset{Median}{\underset{⏟}{4 5}} 5 5 6 8

Gjennomsnitt = \frac{0 + 3 + 3 + 3 + 4 + 5 + 5 + 5 + 6 + 8}{10} = \frac{42}{10} = 4,2

median = \frac{4 + 5}{2} = 4,5

Gjennomsnittet er 4,2 timer og medianen er 4,5 timer.

Den kumulative frekvensen for 5 timer er antall dager der Lars jobbet høyst 5 timer. Vi teller antall verdier som er mindre eller lik 5 timer: $0, 3, 3, 3, 4, 5, 5, 5$ .

Den kumulative frekvensen for 5 timer er 8. Det betyr at Lars jobbet høyst 5 timer på 8 av de 10 siste dagene.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 4 poeng

I utgangspunktet gis 1 poeng for riktig median, og 1 poeng for riktig gjennomsnitt. For å få uttelling må kandidaten vise hvordan svarene framkommer.

I utgangspunktet gis 1 poeng for riktig kumulativ frekvens, og 1 poeng for en riktig praktisk tolkning knyttet til situasjonen i oppgaven.

For å få uttelling må kandidaten vise hvordan svaret framkommer.

Generelle forklaringer av begrepet kumulativ frekvens gir ingen uttelling.

Oppgavedata

Delt med: 2P-Y, 2P
Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 4
Temaer: Statistikk
Kompetansemål: Bruke og vurdere val av formålstenlege sentralmål og spreiingsmål for statistisk datamateriale
Egen side: Åpne oppgave 1-2 for seg selv

Oppgave 1-3Proporsjonale og omvendt proporsjonale størrelser fra graf

Her ser du grafene til fire funksjoner $f$ , $g$ , $p$ og $q$ .

Fire funksjoner

Avgjør om en eller flere av grafene viser sammenhengen mellom to størrelser som er proporsjonale.
Avgjør om en eller flere av grafene viser sammenhengen mellom to størrelser som er omvendt proporsjonale.

Husk å argumentere for svarene dine.

Fasit

$f$ er proporsjonal, $p$ er omvendt proporsjonal

Løsningsforslag

For at to størrelser skal være proporsjonale, må sammenhengen kunne skrives som $y = k \cdot x$ for en konstant $k > 0$ . Grafen vil da være en rett linje som går gjennom origo.

For at to størrelser skal være omvendt proporsjonale, må sammenhengen kunne skrives som $y = \frac{k}{x}$ for en konstant $k > 0$ . Grafen vil da være en hyperbel.

Fra grafen:

$f$ (grønn) er en rett linje som går gjennom origo → $f$ viser proporsjonale størrelser.
$p$ (blå) er en kraftig avtagende kurve som ligner en hyperbel → $p$ viser omvendt proporsjonale størrelser.
$q$ (rød) er en avtagende kurve, men den er brattere enn en hyperbel ved lave $x$ -verdier og flater mer ut – dette er ikke en ren hyperbel, og er verken proporsjonal eller omvendt proporsjonal.
$g$ (lilla) er en stigende kurve som ikke går gjennom origo med konstant stigningstall – verken proporsjonal eller omvendt proporsjonal.

$f$ viser proporsjonale størrelser, og $p$ viser omvendt proporsjonale størrelser.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 2 poeng

I utgangspunktet gis 1 poeng for riktig argumentasjon for proporsjonalitet og 1 poeng for riktig argumentasjon for omvendt proporsjonalitet. Riktige svar som ikke er argumentert for, gir ingen uttelling.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Proporsjonalitet, Omvendt proporsjonalitet, Graftolkning, Argumentasjon
Kompetansemål: Utforske, beskrive og bruke omgrepa proporsjonalitet og omvend proporsjonalitet
Egen side: Åpne oppgave 1-3 for seg selv

Oppgave 1-4Figurtall for firkanter med hjørnetapper

Her ser du tre figurer. Figurene er satt sammen av små sirkler.

Tre figurer av små sirkler. Hver figur har en kvadratisk ramme av sirkler i midten og to sirkler på skrå utover fra hvert hjørne. Figur 1 har 12 sirkler, figur 2 har 16 sirkler og figur 3 har 20 sirkler — rammen vokser, mens armene alltid har to sirkler.

Tenk deg at du skal fortsette å lage figurer etter samme mønster.

Hvor mange små sirkler vil det være i figur 4 og i figur 10?

Lag en formel for antall sirkler i figur $n$ .

Fasit

Figur 4: $24$ , figur 10: $48$

$T (n) = 4 n + 8$

Løsningsforslag

Vi teller sirkler i de tre figurene:

Figur 1: $12$ sirkler
Figur 2: $16$ sirkler
Figur 3: $20$ sirkler

Mønsteret øker med $4$ sirkler for hvert figurnummer.

Figur 4:

12 + 3 \cdot 4 = 24

Figur 10:

12 + 9 \cdot 4 = 48

Figur 4 har $24$ sirkler og figur 10 har $48$ sirkler.

Vi ser at $T (n) = 12 + (n - 1) \cdot 4 = 4 n + 8$ .

$T (n) = 4 n + 8$

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 3 poeng

Her gis i utgangspunktet 1 poeng for hvert riktig svar.

En riktig formel kan gi 1 poeng selv om kandidaten ikke har vist hvordan formelen framkommer.

Det er viktig å se på besvarelsen av oppgave a) og oppgave b) under ett og gjøre en helhetsvurdering.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Figurtall, Mønstre, Lineær vekst
Kompetansemål: Identifisere variable storleikar i ulike situasjonar og bruke dei til utforsking og generalisering
Egen side: Åpne oppgave 1-4 for seg selv

Oppgave 1-5Utslippsreduksjon med prosentvis nedgang

Sara har lest om en bedrift som regner med å slippe ut $200 tonn$ CO $_{2}$ i 2025.

Bedriften har som mål å redusere utslippet med $2,5 %$ hvert år framover.

Sara har laget programmet nedenfor:

def f(x):
	return 200 * 0.975 ** x

x = 0
s = 0

while x <= 4:
	s = s + f(x)
	x = x + 1
	
print(s)

Gi en praktisk tolkning av uttrykket Sara har brukt i linje 2.

Hva vil verdien som skrives ut når programmet kjøres, fortelle Sara?

Fasit

Uttrykket gir utslippet (tonn CO₂) $x$ år etter 2025

Det totale CO₂-utslippet i 2025–2029 ( $\approx 951 tonn$ )

Løsningsforslag

Linje 2 i programmet er return 200 * 0.975 ** x.

$200$ er utslippet i tonn CO₂ i 2025
$0,975 = 1 - 0,025$ er vekstfaktoren når utslippet reduseres med $2,5 %$ per år
$x$ er antall år etter 2025

Uttrykket $200 \cdot {0,975}^{x}$ gir utslippet (i tonn CO₂) $x$ år etter 2025.

Programmet beregner $f (0) + f (1) + f (2) + f (3) + f (4)$ , altså summen av utslippet for $x = 0, 1, 2, 3, 4$ .

Dette tilsvarer utslippet i 2025, 2026, 2027, 2028 og 2029.

Verdien som skrives ut ( $\approx 951 tonn$ ), er det totale CO₂-utslippet fra bedriften i perioden 2025–2029.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 3 poeng

Mindre presise forklaringer kan gi 1 poeng. En kandidat som bare gjentar det står i koden linje for linje, får ingen uttelling for dette.

Oppgavedata

Delt med: 2P-Y, 2P
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Prosentvis endring i flere perioder, Programmering
Kompetansemål: Forklare og bruke prosent, prosentpoeng og vekstfaktor til modellering av praktiske situasjonar med digitale verktøy
Egen side: Åpne oppgave 1-5 for seg selv

Oppgave 2-1Salg av iste

En bedrift produserer iste. Funksjonen gitt ved

F (x) = 620 \cdot {1,045}^{x}

er en modell som viser hvor mange flasker av isteen bedriften regner med å selge hver måned fra og med desember 2024.

For å regne ut salget i desember 2024 kan vi sette $x = 0$ , for å regne ut salget i januar 2025 kan vi sette $x = 1$ , og så videre.

Krever PC

Vis hvordan du på to ulike måter kan svare på spørsmål 1) og på spørsmål 2) nedenfor.

Hvor mange flasker iste regner bedriften med å selge i desember 2025 ifølge modellen?

Når vil bedriften for første gang selge mer enn 2000 flasker iste i løpet av en måned ifølge modellen?

Krever PC

Hvor mange prosent vil salget øke med fra desember 2024 til desember 2026 ifølge modellen?

Fasit

Des. 2025: $\approx 1051$ flasker; selger $> 2000$ fra mars 2027 ( $x = 27$ )

$\approx 188 %$ økning

Løsningsforslag

Metode 1 – bruke modellen direkte:

Desember 2025 er 12 måneder etter desember 2024, så vi setter $x = 12$ :

F (12) = 620 \cdot {1,045}^{12} \approx 1051 flasker

For å finne når salget overstiger 2000 flasker løser vi $F (x) > 2000$ :

620 \cdot {1,045}^{x} = 2000 ⟹ {1,045}^{x} = \frac{2000}{620} \approx 3,226

x = \frac{\lg 3,226}{\lg 1,045} \approx 26,6

Det vil si at fra og med $x = 27$ (mars 2027) vil salget overstige 2000 flasker.

Metode 2 – grafisk løsning:

Vi tegner $F (x) = 620 \cdot {1,045}^{x}$ og leser av. For spørsmål 1 leser vi av $y$ -verdien ved $x = 12$ (grønt punkt). For spørsmål 2 finner vi skjæringspunktet mellom $F (x)$ og linjen $y = 2000$ (rødt punkt).

$Graf av F(x) = 620 \cdot 1{,}045^x med y = 2000 og x = 12 markert$

Fra grafen leser vi av:

I desember 2025 regner bedriften med å selge omtrent $1051 flasker$ iste.
Fra og med $x = 27$ , som tilsvarer mars 2027, vil bedriften for første gang selge mer enn $2000 flasker$ i løpet av en måned.

Fra desember 2024 ( $x = 0$ ) til desember 2026 ( $x = 24$ ):

F (0) = 620 F (24) = 620 \cdot {1,045}^{24} \approx 1783

Prosentvis økning = \frac{F (24) - F (0)}{F (0)} \cdot 100 = \frac{1783 - 620}{620} \cdot 100 \approx 187,6 %

Vi kan også bruke at vekstfaktoren over 24 måneder er ${1,045}^{24} \approx 2,876$ , dvs. $188 %$ økning.

Salget vil øke med omtrent $188 %$ fra desember 2024 til desember 2026.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 6 poeng

I utgangspunktet gis 1 poeng for hver framgangsmåte som fører fram til riktig svar.

En kandidat som gjør noen riktige beregninger, kan få 1 poeng.

For å få uttelling, må kandidaten regne med riktig grunnlag.

Oppgavedata

Delt med: 2P-Y, 2P
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Eksponentialfunksjon, Prosentvis endring i flere perioder
Kompetansemål: Forklare og bruke prosent, prosentpoeng og vekstfaktor til modellering av praktiske situasjonar med digitale verktøy
Egen side: Åpne oppgave 2-1 for seg selv

Oppgave 2-2Bakterier i kjøkkensvamp

Randi har lest at det kan finnes mellom $25$ og $54$ milliarder bakterier per kubikkcentimeter kjøkkensvamp.

Randi finner ut at kjøkkensvampen hun bruker, har et volum på $150 c m^{3}$ .

Kalkulator

Omtrent hvor mange bakterier kan Randi regne med at det er i kjøkkensvampen?
Skriv svaret på standardform.

Randi har også lest at de fleste bakterier ikke er større enn $0,2$ til $2$ mikrometer. Én mikrometer er en tusendels millimeter.

Tenk deg at alle bakteriene i svampen legges etter hverandre i en rekke.

Kalkulator

Omtrent hvor mange meter vil rekken bli? Skriv svaret på standardform.

Fasit

$\approx 6 \times 10^{12}$ bakterier

$\approx 6 \times 10^{6} m$

Løsningsforslag

Kjøkkensvampen har volum $150 c m^{3}$ , og det er mellom $25$ og $54$ milliarder bakterier per cm³.

Vi bruker midtverdien som overslag: omtrent $40$ milliarder $= 4 \times 10^{10}$ bakterier per cm³.

4 \times 10^{10} \cdot 150 = 6 \times 10^{12}

Det er omtrent $6 \times 10^{12}$ bakterier i kjøkkensvampen.

De fleste bakterier er mellom $0,2$ og $2$ mikrometer, omtrent $1 µm = 10^{- 6} m$ .

Med $6 \times 10^{12}$ bakterier, hver på omtrent $1 µm$ :

6 \times 10^{12} \cdot 10^{- 6} m = 6 \times 10^{6} m

Rekken ville bli omtrent $6 \times 10^{6} m$ lang – det tilsvarer $6 000 km$ !

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 3 poeng

For å få uttelling, må kandidaten skrive svaret på standardform.

En kandidat som har gjort noen riktige beregninger, kan få 1 poeng.

For å få full uttelling, må kandidaten skrive svaret på standardform.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Standardform, Store tall
Kompetansemål: Tolke og rekne med rotuttrykk, potensar og tal på standardform
Egen side: Åpne oppgave 2-2 for seg selv

Oppgave 2-3Argumenter for at prosentregnestykker gir samme svar

For hånd

Chris arbeider med de seks oppgavene nedenfor. Han har systematisert oppgavene i tre kolonner og kaller de to oppgavene som står i samme kolonne, for et oppgavepar.

Seks oppgaver i snakkebobler, ordnet i tre oppgavepar. Par 1: «Hvor mye er 10 % av 50?» og «Hvor mye er 50 % av 10?». Par 2: «Hvor mye er 30 % av 12?» og «Hvor mye er 12 % av 30?». Par 3: «Hvor mye er 25 % av 8?» og «Hvor mye er 8 % av 25?».

Argumenter for hvorfor to oppgaver som er satt opp i oppgavepar på samme måte som ovenfor, alltid vil ha samme svar.

Fasit

$a %$ av $b$ $=$ $\frac{a \cdot b}{100}$ $=$ $b %$ av $a$ (multiplikasjon er kommutativ)

Løsningsforslag

« $a %$ av $b$ » betyr $\frac{a}{100} \cdot b = \frac{a \cdot b}{100}$ .

« $b %$ av $a$ » betyr $\frac{b}{100} \cdot a = \frac{b \cdot a}{100}$ .

Siden multiplikasjon er kommutativ ( $a \cdot b = b \cdot a$ ), gir de to regnestykket alltid det samme svaret:

\frac{a \cdot b}{100} = \frac{b \cdot a}{100}

Vi kan bytte om tallene i prosentoppgaver: $a %$ av $b$ gir alltid samme svar som $b %$ av $a$ , fordi vi i begge tilfeller deler produktet $a \cdot b$ på $100$ . Multiplikasjon er kommutativ.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 2 poeng

En kandidat som løser oppgavene i alle tre oppgaveparene, får 1 poeng. For å få full uttelling må kandidaten argumentere for en generalisering.

Oppgavedata

Delt med: 2P-Y, 2P
Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Prosentregning, Utforskning, Argumentasjon
Kompetansemål: Forklare og bruke prosent, prosentpoeng og vekstfaktor til modellering av praktiske situasjonar med digitale verktøy
Egen side: Åpne oppgave 2-3 for seg selv

Oppgave 2-4Modeller for parkeringsavtaler

Hermann må betale for å parkere på jobb. Han kan velge mellom tre ulike parkeringsavtaler.

Avtale	Fast pris per år	Tillegg per dag han parkerer
A	0 kroner	50 kroner
B	1995 kroner	30 kroner
C	3490 kroner	24 kroner

Kalkulator

Sett opp en modell som beskriver alternativ A, en modell som beskriver alternativ B og en modell som beskriver alternativ C.

Kalkulator

Hvor mange ganger må Hermann parkere i løpet av et år for at det skal lønne seg å velge avtale B?

Fasit

$A (x) = 50 x$ , $B (x) = 1995 + 30 x$ , $C (x) = 3490 + 24 x$

Minst $100$ dager (og maks $249$ dager)

Løsningsforslag

La $x$ = antall dager Hermann parkerer i løpet av et år.

A (x) = 50 x

B (x) = 1995 + 30 x

C (x) = 3490 + 24 x

B lønner seg fremfor A når B er billigere enn A. Vi finner skjæringspunktet mellom A og B grafisk:

Graf av parkeringsavtalene A, B og C

Fra grafen ser vi at:

$A$ og $B$ skjærer hverandre ved $x \approx 100$ (nøyaktig $x = 99,75$ )
$B$ og $C$ skjærer hverandre ved $x \approx 249$

Mellom 100 og 249 parkeringsdager er B det billigste alternativet.

Hermann må parkere minst $100 dager$ i løpet av året for at det skal lønne seg å velge avtale B fremfor A. Avtale B er gunstigst mellom 100 og 249 parkeringsdager.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Modellering, Regresjon
Kompetansemål: Identifisere variable storleikar i ulike situasjonar og bruke dei til utforsking og generalisering
Bruke digitale verktøy i utforsking og problemløysing knytt til eigenskapar ved funksjonar, og diskutere løysingane
Egen side: Åpne oppgave 2-4 for seg selv

Oppgave 2-5Statistikk for quizlag Statistikk for quizlag

En fotoklubb arrangerer quiz hver torsdag. Det er tre lag som alltid deltar på quizen. På hvert av lagene er det seks personer.

Nedenfor ser du alderen til de seks personene på lag A:

15 år 60 år 24 år 18 år 45 år 78 år

Kalkulator

Bestem medianalderen, gjennomsnittsalderen og standardavviket for alderen til de seks personene på laget.

Du får vite dette om alderen til personene som er med på hvert av de to andre lagene:

Kalkulator

Hva kan du si om alderen til personene på lag B og lag C sammenliknet med personene på lag A ut fra disse opplysningene?

Kalkulator

Sett opp et eksempel som viser en mulig aldersfordeling for lag B og for lag C. Vis at gjennomsnittsalder, medianalder og standardavvik stemmer med opplysningene om alderen til personene på lagene.

Fasit

Median $= 34,5 år$ , gjennomsnitt $= 40 år$ , $σ \approx 23,2 år$

Se løsningsforslag for beskrivelse

Se løsningsforslag for eksempel

Løsningsforslag

Lag A sortert: $15, 18, 24, 45, 60, 78$

Medianalder:

Seks personer → gjennomsnittet av den 3. og 4. verdien:

median = \frac{24 + 45}{2} = 34,5 år

Gjennomsnittsalder:

\overline{x} = \frac{15 + 60 + 24 + 18 + 45 + 78}{6} = \frac{240}{6} = 40 år

Standardavvik (beregnet med kalkulator):

σ \approx 23,2 år

Medianen er 34,5 år, gjennomsnittsalderen er 40 år og standardavviket er 23,2 år.

Lag B har høyere median og høyere gjennomsnitt enn lag A, men lavere standardavvik. Det betyr at personene på lag B generelt er eldre enn på lag A, og at de er mer jevnaldrende (mindre variasjon i alderen).

Lag C har lavere median men høyere gjennomsnitt enn lag A. Det tyder på at det er en eller noen få personer med svært høy alder som drar gjennomsnittet opp, mens over halvparten er yngre enn medianen på lag A. Det høyere standardavviket bekrefter at aldersfordelingen er mer spredt enn på lag A.

Eksempel på lag B (median > 34,5, gjennomsnitt > 40, SD < 23,2):

38, 40, 42, 45, 50, 55

Median: $\frac{42 + 45}{2} = 43,5 > 34,5$ ✓
Gjennomsnitt: $\frac{270}{6} = 45 > 40$ ✓
SD $\approx 5,9 < 23,2$ ✓

Eksempel på lag C (median < 34,5, gjennomsnitt > 40, SD > 23,2):

10, 15, 30, 35, 60, 100

Median: $\frac{30 + 35}{2} = 32,5 < 34,5$ ✓
Gjennomsnitt: $\frac{250}{6} \approx 41,7 > 40$ ✓
SD $\approx 30,6 > 23,2$ ✓

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 6 poeng

For å få uttelling, må kandidaten bestemme minst to av de tre verdiene. En kandidat som bestemmer alle tre verdiene, men ikke gjør rede for hvordan svarene framkommer, får 1 poeng.

For å få full uttelling må kandidaten argumentere riktig ut fra alle tre målene for hvert lag. Mindre presise eller ufullstendige forklaringer kan gi 1 poeng.

I utgangspunktet gis 1 poeng for hvert riktig eksempel dersom kandidaten viser at verdiene stemmer med opplysningene som er gitt.

Oppgavedata

Delt med: 2P-Y, 2P
Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Statistikk, Sentralmål, Spredningsmål, Utforskning
Kompetansemål: Bruke og vurdere val av formålstenlege sentralmål og spreiingsmål for statistisk datamateriale
Egen side: Åpne oppgave 2-5 for seg selv

Oppgave 2-6Modell for Hannes løping

For ni uker siden begynte Hanne å løpe. Tabellen nedenfor viser hvor lenge hun klarte å løpe sammenhengende noen av dagene disse ukene:

Dag	1	8	22	36	50	64
Antall minutter løpt sammenhengende	10	20	28	33	37	40

Utviklingen kan beskrives med en modell gitt på formen

L (x) = a \cdot x^{b}, x \geq 1

der $L (x)$ er antall minutter Hanne klarte å løpe sammenhengende på dag $x$ .

Krever PC

Bruk opplysningene i tabellen til å bestemme tallene $a$ og $b$ .

Krever PC

Hvor mange uker vil det ta før Hanne klarer å løpe 45 minutter sammenhengende ifølge modellen?

Kalkulator + svaret på tidligere oppgave

Hvor mange minutter har tiden Hanne klarer å løpe sammenhengende, økt med i gjennomsnitt per dag fra dag 1 til dag 60 ifølge modellen?

Fasit

$a \approx 10$ , $b \approx 0,334$

Omtrent $13$ uker fra start (ca. 4 uker fra nå)

$\approx 0,5 m i n / d a g$

Løsningsforslag

Vi skal bestemme $a$ og $b$ i modellen $L (x) = a \cdot x^{b}$ .

Vi bruker kalkulator (regresjon med potensmodell) på datapunktene:

$x$	$1$	$8$	$22$	$36$	$50$	$64$
$L$	$10$	$20$	$28$	$33$	$37$	$40$

Regresjonen gir $a \approx 10$ og $b \approx 0,334$ .

Regresjonsmodell og datapunkter for oppgave 2-6a

Grafen viser at modellen passer godt til datapunktene.

$a \approx 10 og b \approx 0,334$ , slik at $L (x) \approx 10 \cdot x^{0,334}$ .

Vi vil finne $x$ slik at $L (x) = 45$ . Vi tegner linjen $y = 45$ og finner skjæringspunktet med $L (x)$ :

$Graf av L(x) = 10 \cdot x^{0{,}334} med linjen y = 45$

Fra grafen leser vi av at $L (x) = 45$ når $x \approx 91$ dager.

$91$ dager $\approx 13$ uker fra dag 1. Hanne begynte for 9 uker siden, så det er omtrent $13 - 9 = 4$ uker til hun klarer målet.

Ifølge modellen vil det ta omtrent $13 uker$ fra Hanne startet (ca. 4 uker fra nå) før hun klarer å løpe 45 minutter sammenhengende.

Gjennomsnittlig økning per dag fra dag 1 til dag 60:

\frac{L (60) - L (1)}{60 - 1} = \frac{10 \cdot 60^{0,334} - 10 \cdot 1^{0,334}}{59} \approx \frac{39,2 - 10,0}{59} \approx 0,495

Hanne har i gjennomsnitt økt løpetiden med omtrent $0,5 m i n / d a g$ fra dag 1 til dag 60 ifølge modellen.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 3 poeng

En kandidat som ikke kommer fram til riktig modell i oppgave a), kan få full uttelling for riktig framgangsmåte i oppgave b) og c).

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Modellering, Regresjon
Kompetansemål: Identifisere variable storleikar i ulike situasjonar og bruke dei til utforsking og generalisering
Bruke digitale verktøy i utforsking og problemløysing knytt til eigenskapar ved funksjonar, og diskutere løysingane
Egen side: Åpne oppgave 2-6 for seg selv

Oppgave 2-7Lag presentasjon om statistikk for tidsbruk på ulike aktiviteter

Krever PC

Tabellen nedenfor viser hvor mange timer menn og kvinner brukte på ulike aktiviteter en gjennomsnittsdag i 1970, 1990 og 2010:

Tabell 1: Antall timer brukt på ulike aktiviteter fra 1970 til 2010. Kilde: SSB

		Menn			Kvinner
År	1970	1990	2010	1970	1990	2010
Inntektsgivende arbeid	5,48	4,50	4,17	1,93	2,80	3,02
Husholdsarbeid	2,22	2,60	3,00	5,92	4,37	3,83
Utdanning	0,38	0,48	0,45	0,28	0,55	0,47

Tenk deg at du skal presentere funn fra dette datamaterialet for klassen din.

Gjør beregninger og sammenlikninger, og lag ulike framstillinger som du kan bruke i en presentasjon. Presentasjonen skal inneholde både beregninger, diagrammer og forklarende kommentarer.

Fasit

Åpen oppgave – se løsningsforslag for eksempel

Løsningsforslag

Dette er en åpen presentasjonsoppgave uten ett fasitsvar. Her er et eksempel på funn og framstillinger:

Beregninger:

Prosentvis endring i inntektsgivende arbeid for menn fra 1970 til 2010:

\frac{4,17 - 5,48}{5,48} \cdot 100 \approx - 23,9 %

Prosentvis endring i inntektsgivende arbeid for kvinner fra 1970 til 2010:

\frac{3,02 - 1,93}{1,93} \cdot 100 \approx 56,5 %

Interessante funn:

Menns tid på inntektsgivende arbeid har gått ned med ca. 24 % fra 1970 til 2010, mens kvinners tid har økt med ca. 57 %.
Kvinner brukte i 1970 nesten tre ganger så mye tid på husholdsarbeid som menn (5,92 mot 2,22 timer), mens i 2010 er forskjellen mye mindre (3,83 mot 3,00 timer).
Menn og kvinner bruker omtrent like mye tid på utdanning i alle tre årstall.

Mulig diagram: Et gruppert søylediagram der man sammenligner menn og kvinner for hvert år, eller et linjediagram som viser utviklingen fra 1970 til 2010 for hver kategori.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 4 poeng

For å få full uttelling må kandidaten gjøre relevante sammenlikninger og beregninger og lage ulike diagrammer som illustrerer opplysningene på en god måte.

Det er viktig at sensor ser på helheten i besvarelsen, vurder om informasjonen som presenteres er riktig og relevant, og om diagrammene illustrerer hele eller deler av datamaterialet på ulike måter.

Sensor skal også vurdere kandidatens digitale kompetanse, dvs. valg av egnede diagramtyper, og hvor tydelig informasjonen kommer fram i hvert diagram (bruk av overskrifter, aksetitler, dataetiketter osv.)

Som et utgangspunkt kan de 4 poengene uttrykke høy måloppnåelse (4 poeng), middels måloppnåelse (2 - 3 poeng) og lav måloppnåelse (1 poeng).

Oppgavedata

Delt med: 2P-Y, 2P
Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Presentasjon av data, Prosentregning, Diagram
Kompetansemål: Analysere og presentere funn i datasett frå lokalsamfunn og media
Egen side: Åpne oppgave 2-7 for seg selv

Oppgave 2-8Tores sykkeltrening

Tore ønsker å delta i et sykkelritt og vil begynne å trene.

Den første uken vil han sykle 40 kilometer.

For hver uke vil han øke lengden han sykler, med 5 %.

Kalkulator

Hvor mange kilometer kommer han til å sykle i uke 50 dersom han klarer å følge planen?

Kalkulator

Hvor mange kilometer vil han til sammen ha syklet i løpet av 50 uker dersom han klarer å følge planen?

Fasit

$\approx 437 km$

$\approx 8374 km$

Løsningsforslag

Tores treningsplan er en geometrisk rekke med $a_{1} = 40 km$ og kvotient $k = 1,05$ .

Distansen i uke 50 er det 50. leddet i rekken:

a_{50} = a_{1} \cdot k^{49} = 40 \cdot {1,05}^{49} \approx 40 \cdot 10,921 \approx 436,9

Tore vil sykle omtrent $437 km$ i uke 50 dersom han klarer å følge planen.

Den totale distansen over 50 uker er summen av de 50 første leddene:

s_{50} = a_{1} \cdot \frac{k^{50} - 1}{k - 1} = 40 \cdot \frac{{1,05}^{50} - 1}{1,05 - 1} = 40 \cdot \frac{11,467 - 1}{0,05} \approx 40 \cdot 209,35 \approx 8374

Tore vil til sammen ha syklet omtrent $8374 km$ i løpet av 50 uker.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 3 poeng

En kandidat som gjør noen riktige beregninger, kan få 1 poeng.

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Prosentvis endring i flere perioder, Utforskning
Kompetansemål: Forklare og bruke prosent, prosentpoeng og vekstfaktor til modellering av praktiske situasjonar med digitale verktøy
Identifisere variable storleikar i ulike situasjonar og bruke dei til utforsking og generalisering
Egen side: Åpne oppgave 2-8 for seg selv

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Del 1uten hjelpemidler · 1 time · 5 oppgaver · 13 poeng

Oppgave 1-1Prisstigning på vare

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-2Statistikk på Lars arbeidstid

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-3Proporsjonale og omvendt proporsjonale størrelser fra graf

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-4Figurtall for firkanter med hjørnetapper

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-5Utslippsreduksjon med prosentvis nedgang

Forstå oppgaven med en KI

Del 2alle hjelpemidler · 4 timer · 8 oppgaver · 29 poeng

Oppgave 2-1Salg av iste

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-2Bakterier i kjøkkensvamp

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-3Argumenter for at prosentregnestykker gir samme svar

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-4Modeller for parkeringsavtaler

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-5Statistikk for quizlag Statistikk for quizlag

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-6Modell for Hannes løping

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-7Lag presentasjon om statistikk for tidsbruk på ulike aktiviteter

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-8Tores sykkeltrening

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Del 1uten hjelpemidler · 1 time · 5 oppgaver · 13 poeng

Oppgave 1-1·Prisstigning på vare

Oppgave 1-2·Statistikk på Lars arbeidstid

Oppgave 1-3·Proporsjonale og omvendt proporsjonale størrelser fra graf

Oppgave 1-4·Figurtall for firkanter med hjørnetapper

Oppgave 1-5·Utslippsreduksjon med prosentvis nedgang

Del 2alle hjelpemidler · 4 timer · 8 oppgaver · 29 poeng

Oppgave 2-1·Salg av iste

Oppgave 2-2·Bakterier i kjøkkensvamp

Oppgave 2-3·Argumenter for at prosentregnestykker gir samme svar

Oppgave 2-4·Modeller for parkeringsavtaler

Oppgave 2-5·Statistikk for quizlag Statistikk for quizlag

Oppgave 2-6·Modell for Hannes løping

Oppgave 2-7·Lag presentasjon om statistikk for tidsbruk på ulike aktiviteter

Oppgave 2-8·Tores sykkeltrening

Temaer

Oppgave 1-1Prisstigning på vare

Oppgave 1-2Statistikk på Lars arbeidstid

Oppgave 1-3Proporsjonale og omvendt proporsjonale størrelser fra graf

Oppgave 1-4Figurtall for firkanter med hjørnetapper

Oppgave 1-5Utslippsreduksjon med prosentvis nedgang

Oppgave 2-1Salg av iste

Oppgave 2-2Bakterier i kjøkkensvamp

Oppgave 2-3Argumenter for at prosentregnestykker gir samme svar

Oppgave 2-4Modeller for parkeringsavtaler

Oppgave 2-5Statistikk for quizlag Statistikk for quizlag

Oppgave 2-6Modell for Hannes løping

Oppgave 2-7Lag presentasjon om statistikk for tidsbruk på ulike aktiviteter

Oppgave 2-8Tores sykkeltrening