2P-Y Høst 2024

Data sortert i stigende rekkefølge:

Gjennomsnittet er 4,2 timer og medianen er 4,5 timer.

Den kumulative frekvensen for 5 timer er antall dager der Lars jobbet høyst 5 timer. Vi teller antall verdier som er mindre eller lik 5 timer: $0, 3, 3, 3, 4, 5, 5, 5$.

Den kumulative frekvensen for 5 timer er 8. Det betyr at Lars jobbet høyst 5 timer på 8 av de 10 siste dagene.

Vi teller sirkler i de tre figurene:

• Figur 1: $12$ sirkler
• Figur 2: $16$ sirkler
• Figur 3: $20$ sirkler

Mønsteret øker med $4$ sirkler for hvert figurnummer.

Figur 4:

Figur 10:

Figur 4 har $\underline{\underline{24}}$ sirkler og figur 10 har $\underline{\underline{48}}$ sirkler.

Vi ser at $T(n) = 12 + (n-1) \cdot 4 = 4n + 8$.

$\underline{\underline{T(n) = 4n + 8}}$

Linje 2 i programmet er return 200 * 0.975 ** x.

• $200$ er utslippet i tonn CO₂ i 2025
• $0{,}975 = 1 - 0{,}025$ er vekstfaktoren når utslippet reduseres med $2{,}5 \,\%$ per år
• $x$ er antall år etter 2025

Uttrykket $200 \cdot 0{,}975^x$ gir utslippet (i tonn CO₂) $x$ år etter 2025.

Programmet beregner $f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + f(4)$, altså summen av utslippet for $x = 0, 1, 2, 3, 4$.

Dette tilsvarer utslippet i 2025, 2026, 2027, 2028 og 2029.

Verdien som skrives ut ($\approx 951 \, \mathrm{tonn}$), er det totale CO₂-utslippet fra bedriften i perioden 2025–2029.

Metode 1 – bruke modellen direkte:

Desember 2025 er 12 måneder etter desember 2024, så vi setter $x = 12$:

For å finne når salget overstiger 2000 flasker løser vi $F(x) > 2000$:

Det vil si at fra og med $x = 27$ (mars 2027) vil salget overstige 2000 flasker.

Metode 2 – grafisk løsning:

Vi tegner $F(x) = 620 \cdot 1{,}045^x$ og leser av. For spørsmål 1 leser vi av $y$-verdien ved $x = 12$ (grønt punkt). For spørsmål 2 finner vi skjæringspunktet mellom $F(x)$ og linjen $y = 2000$ (rødt punkt).

Fra grafen leser vi av:

1. I desember 2025 regner bedriften med å selge omtrent $\underline{\underline{1051 \text{ flasker}}}$ iste.

2. Fra og med $x = 27$, som tilsvarer mars 2027, vil bedriften for første gang selge mer enn $\underline{\underline{2000 \text{ flasker}}}$ i løpet av en måned.

Fra desember 2024 ($x = 0$) til desember 2026 ($x = 24$):

Vi kan også bruke at vekstfaktoren over 24 måneder er $1{,}045^{24} \approx 2{,}876$, dvs. $188 \,\%$ økning.

Salget vil øke med omtrent $\underline{\underline{188 \,\%}}$ fra desember 2024 til desember 2026.

Kjøkkensvampen har volum $150 \, \mathrm{cm^3}$, og det er mellom $25$ og $54$ milliarder bakterier per cm³.

Vi bruker midtverdien som overslag: omtrent $40$ milliarder $= 4 \times 10^{10}$ bakterier per cm³.

Det er omtrent $\underline{\underline{6 \times 10^{12}}}$ bakterier i kjøkkensvampen.

De fleste bakterier er mellom $0{,}2$ og $2$ mikrometer, omtrent $1 \, \mathrm{\mu m} = 10^{-6} \, \mathrm{m}$.

Med $6 \times 10^{12}$ bakterier, hver på omtrent $1 \, \mathrm{\mu m}$:

Rekken ville bli omtrent $\underline{\underline{6 \times 10^{6} \, \mathrm{m}}}$ lang – det tilsvarer $6\,000 \, \mathrm{km}$!

La $x$ = antall dager Hermann parkerer i løpet av et år.

B lønner seg fremfor A når B er billigere enn A. Vi finner skjæringspunktet mellom A og B grafisk:

Fra grafen ser vi at:

• $A$ og $B$ skjærer hverandre ved $x \approx 100$ (nøyaktig $x = 99{,}75$)
• $B$ og $C$ skjærer hverandre ved $x \approx 249$

Mellom 100 og 249 parkeringsdager er B det billigste alternativet.

Hermann må parkere minst $\underline{\underline{100 \text{ dager}}}$ i løpet av året for at det skal lønne seg å velge avtale B fremfor A. Avtale B er gunstigst mellom 100 og 249 parkeringsdager.

Lag A sortert: $15, 18, 24, 45, 60, 78$

Medianalder:

Seks personer → gjennomsnittet av den 3. og 4. verdien:

Gjennomsnittsalder:

Standardavvik (beregnet med kalkulator):

Medianen er 34,5 år, gjennomsnittsalderen er 40 år og standardavviket er 23,2 år.

Lag B har høyere median og høyere gjennomsnitt enn lag A, men lavere standardavvik. Det betyr at personene på lag B generelt er eldre enn på lag A, og at de er mer jevnaldrende (mindre variasjon i alderen).

Lag C har lavere median men høyere gjennomsnitt enn lag A. Det tyder på at det er en eller noen få personer med svært høy alder som drar gjennomsnittet opp, mens over halvparten er yngre enn medianen på lag A. Det høyere standardavviket bekrefter at aldersfordelingen er mer spredt enn på lag A.

Eksempel på lag B (median > 34,5, gjennomsnitt > 40, SD < 23,2):

• Median: $\frac{42+45}{2} = 43{,}5 > 34{,}5$ ✓
• Gjennomsnitt: $\frac{270}{6} = 45 > 40$ ✓
• SD $\approx 5{,}9 < 23{,}2$ ✓

Eksempel på lag C (median < 34,5, gjennomsnitt > 40, SD > 23,2):

• Median: $\frac{30+35}{2} = 32{,}5 < 34{,}5$ ✓
• Gjennomsnitt: $\frac{250}{6} \approx 41{,}7 > 40$ ✓
• SD $\approx 30{,}6 > 23{,}2$ ✓

Vi skal bestemme $a$ og $b$ i modellen $L(x) = a \cdot x^b$.

Vi bruker kalkulator (regresjon med potensmodell) på datapunktene:

Regresjonen gir $a \approx 10$ og $b \approx 0{,}334$.

Grafen viser at modellen passer godt til datapunktene.

$\underline{\underline{a \approx 10 \text{ og } b \approx 0{,}334}}$, slik at $L(x) \approx 10 \cdot x^{0{,}334}$.

Vi vil finne $x$ slik at $L(x) = 45$. Vi tegner linjen $y = 45$ og finner skjæringspunktet med $L(x)$:

Fra grafen leser vi av at $L(x) = 45$ når $x \approx 91$ dager.

$91$ dager $\approx 13$ uker fra dag 1. Hanne begynte for 9 uker siden, så det er omtrent $13 - 9 = 4$ uker til hun klarer målet.

Ifølge modellen vil det ta omtrent $\underline{\underline{13 \text{ uker}}}$ fra Hanne startet (ca. 4 uker fra nå) før hun klarer å løpe 45 minutter sammenhengende.

Gjennomsnittlig økning per dag fra dag 1 til dag 60:

Hanne har i gjennomsnitt økt løpetiden med omtrent $\underline{\underline{0{,}5 \, \mathrm{min/dag}}}$ fra dag 1 til dag 60 ifølge modellen.

Distansen i uke 50 er det 50. leddet i rekken:

Tore vil sykle omtrent $\underline{\underline{437 \, \mathrm{km}}}$ i uke 50 dersom han klarer å følge planen.

Den totale distansen over 50 uker er summen av de 50 første leddene:

Tore vil til sammen ha syklet omtrent $\underline{\underline{8374 \, \mathrm{km}}}$ i løpet av 50 uker.