2P-Y Høst 2017

Vi finner først totalt antall elever:

Antall elever som fikk karakter 1 eller 2:

Prosentandelen er:

$\underline{\underline{25 \,\%}}$ av elevene fikk karakteren 1 eller 2.

Vi finner medianen ved å se på hvilken karakter den midterste eleven har. Med 60 elever er medianen gjennomsnittet av den 30. og 31. eleven (sortert etter karakter).

Vi teller opp kumulativt:

Både den 30. og den 31. eleven tilhører gruppen med karakter 3 (plass 16–40).

Mediankarakteren er $\underline{\underline{3}}$.

Vi regner ut gjennomsnittet ved å multiplisere hver karakter med antall elever som fikk den, og dele på totalt antall elever:

Gjennomsnittskarakteren er $\underline{\underline{3{,}2}}$.

Fra diagrammet leser vi av at toget starter i by A i punktet $(13{:}40,\ 0)$ og ankommer by B i punktet $(14{:}50,\ 80)$. Reisetiden er forskjellen mellom klokkeslettene:

Reisetiden mellom de to byene er $\underline{\underline{1 \text{~time og } 10 \mathrm{~minutter}}}$.

20 km fra by A er grafen vannrett (horisontal) fra klokken 14:00 til 14:10. Det betyr at toget ikke beveger seg – toget stopper i 10 minutter.

20 km fra by A stopper toget i 10 minutter.

10 km fra by A befinner toget seg på den første strekningen, der linja går fra $(13{:}40,\ 0)$ til $(14{:}00,\ 20)$. Toget tilbakela 20 km på 20 minutter.

Fart er strekning delt på tid:

10 km fra by B befinner toget seg på den siste strekningen, der linja går fra $(14{:}10,\ 20)$ til $(14{:}50,\ 80)$. Toget tilbakela 60 km på 40 minutter.

Farten er $\underline{\underline{60 \, \mathrm{km/h}}}$ når toget er 10 km fra by A, og $\underline{\underline{90 \, \mathrm{km/h}}}$ når det er 10 km fra by B.

Fra tabellen vet vi at:

• 3 charms koster $1350 \, \mathrm{kr}$
• 7 charms koster $2450 \, \mathrm{kr}$

Når antall charms øker fra 3 til 7 (altså med 4), øker prisen med $2450 - 1350 = 1100 \, \mathrm{kr}$.

Pris per charm:

Prisen for selve armbåndet finner vi ved å trekke fra prisen for 3 charms:

Armbåndet koster $\underline{\underline{525 \, \mathrm{kr}}}$ og hver charm koster $\underline{\underline{275 \, \mathrm{kr}}}$.

La $x$ være antall charms. Den samlede prisen er armbåndet pluss betaling for charms:

Vi kan sjekke med tabellverdiene:

• $f(3) = 275 \cdot 3 + 525 = 825 + 525 = 1350$ ✓
• $f(7) = 275 \cdot 7 + 525 = 1925 + 525 = 2450$ ✓

$\underline{\underline{f(x) = 275x + 525}}$

Vi setter $f(x) = 3825$ og løser for $x$:

Hanne har $\underline{\underline{12 \mathrm{~charms}}}$ på armbåndet.

Vi teller kvadratene i de tre første figurene. Hver figur kan deles inn i tre deler: et hode øverst til venstre, en kropp i midten, og en hale som trapper oppover til høyre.

Vi ser at antallet øker med $13$ fra figur 1 til 2, og med $19$ fra figur 2 til 3. Økningen øker med $6$ for hvert steg, så neste økning er $19 + 6 = 25$:

Figur 4 har $\underline{\underline{64 \mathrm{~kvadrater}}}$.

Vi finner et uttrykk ved å se på hvordan hver del vokser med figurnummeret $n$:

• Hodet er et $n \times n$-kvadrat: $n^2$ kvadrater.
• Kroppen er et rektangel som er $(2n+1)$ bredt og $(n+1)$ høyt, men med ett kvadrat manglende i «bena» nederst: $(2n+1)(n+1) - 1$ kvadrater.
• Halen trapper oppover med $n$ kvadrater.

Til sammen:

Vi ganger ut og forenkler:

Vi kontrollerer mot tabellen: $f(1) = 3 + 4 = 7$ ✓, $f(2) = 12 + 8 = 20$ ✓, $f(3) = 27 + 12 = 39$ ✓.

$\underline{\underline{f(n) = 3n^2 + 4n}}$

Vi setter inn $n = 20$:

Figur 20 har $\underline{\underline{1280 \mathrm{~kvadrater}}}$.

Vi setter inn $x$-verdiene fra tabellen i modellen $f(x) = 3{,}57 \cdot 1{,}006^x$ og sammenligner med de faktiske tallene.

Avvikene er små (under $2\,\%$ for de fleste år, og under $5\,\%$ for alle år). Vi kan si at modellen passer godt med tallene i tabellen.

Vekstfaktoren $1{,}006$ betyr at innbyggertallet øker med en faktor $1{,}006$ hvert år.

Innbyggertallet i Norge øker med $0{,}6\,\%$ per år ifølge denne modellen.

Vi skal finne $x$ slik at $f(x) = 10$, det vil si:

Vi deler begge sider på $3{,}57$:

Vi tar logaritmen på begge sider. Husker vi at $\log(a^x) = x \cdot \log(a)$, får vi:

Vi kan kontrollere:

• $f(172) = 3{,}57 \cdot 1{,}006^{172} \approx 9{,}99$ (litt under 10)
• $f(173) = 3{,}57 \cdot 1{,}006^{173} \approx 10{,}05$ (over 10)

Siden $x$ er antall år etter 1960, svarer $x = 172{,}2$ til år $1960 + 172{,}2 = 2132{,}2$. Det betyr at innbyggertallet passerer 10 millioner i løpet av år 2132 (kryssingen skjer mellom $x = 172$ og $x = 173$, altså mellom 1. januar 2132 og 1. januar 2133).

Ifølge modellen vil innbyggertallet i Norge passere 10 millioner i $\underline{\underline{\text{år } 2132}}$.

Grafen til $G(x) = -0{,}0008x^2 + 0{,}08x + 1{,}0$ er en nedovervendt parabel definert for $0 \leq x \leq 100$.

Vi finner toppunktet ved å bruke formelen $x_T = -\dfrac{b}{2a}$ med $a = -0{,}0008$ og $b = 0{,}08$:

Toppunktet er $(50 , 3{,}0)$.

Vi finner også endepunktene:

Grafen starter og slutter i høyde $1{,}0 \mathrm{~m}$, buer opp til $3{,}0 \mathrm{~m}$ midt på ved $x = 50$.

Båtmasten er $290 \mathrm{~cm} = 2{,}90 \mathrm{~m}$.

For at båten skal kunne passere under broen, må broen være høyere enn $2{,}90 \mathrm{~m}$ der båten befinner seg.

Vi fant i a) at den høyeste punktet på broen er i toppunktet:

Vi sjekker om $G(x) \geq 2{,}90$ for alle $x$-verdier langs broen. Det enkleste er å finne hvor broen er nøyaktig $2{,}90 \mathrm{~m}$ høy ved å løse $G(x) = 2{,}90$:

Med $a = -0{,}0008$, $b = 0{,}08$, $c = -1{,}90$:

Broen er minst $2{,}90 \mathrm{~m}$ høy for $38{,}8 \leq x \leq 61{,}2$. Utenfor dette området er broen lavere enn $2{,}90 \mathrm{~m}$, men der befinner broen seg ikke nødvendigvis over elven.

Siden den maksimale høyden på broen er $3{,}0 \mathrm{~m}$ og masten er $2{,}9 \mathrm{~m}$, vil båten kunne passere midt under broen. Båten vil kunne passere under broen ved normal vannstand.

Høydene $CD$ og $EF$ er $2{,}5 \mathrm{~m}$. Det betyr at bropilarne sitter der $G(x) = 2{,}5$.

Vi løser likningen:

Vi ganger begge sider med $-1250$ for å få enklere koeffisienter:

Vi bruker ABC-formelen med $a = 1$, $b = -100$, $c = 1875$:

Punkt $C$ er ved $x = 25$ og punkt $E$ er ved $x = 75$.

Avstanden fra $C$ til $E$ er:

Avstanden fra $C$ til $E$ er $\underline{\underline{50 \mathrm{~m}}}$.

Vi legger inn alle 20 målingene i en kalkulator eller et regneark og ber om gjennomsnitt og standardavvik (utvalg, $n - 1$).

Målingene er:

Vi regner ut gjennomsnittet:

Standardavviket (utvalg) blir:

Gjennomsnittet er $\underline{\underline{501{,}7 \, \mathrm{mL}}}$ og standardavviket er $\underline{\underline{\approx 10{,}5 \, \mathrm{mL}}}$.

Maskin A har standardavvik $\approx 10{,}5 \, \mathrm{mL}$, mens maskin B har standardavvik $2{,}5 \, \mathrm{mL}$.

Gjennomsnittet er det samme for begge maskinene, men standardavviket til maskin B er mye lavere. Det betyr at maskin B fyller mengdene mye mer likt fra flaske til flaske — variasjonene er mindre. Maskin A varierer mer; noen flasker får betydelig mer eller mindre enn 500 mL.

Maskin B er mer presis og konsekvent enn maskin A: flaskene fra maskin B ligger tettere opp mot gjennomsnittet, mens flaskene fra maskin A varierer mer i mengde.

Vi har to punkter: ved $x = 0$ er det $280$ kaniner, og ved $x = 20$ er det $40$ kaniner.

Vi setter opp en lineær funksjon $f(x) = ax + b$.

Siden $f(0) = 280$, er $b = 280$.

Vi bruker det andre punktet for å finne $a$:

Den lineære modellen er $\underline{\underline{f(x) = -12x + 280}}$.

Modellen viser at bestanden synker med 12 kaniner per måned.

Vi setter opp en eksponentiell funksjon $g(x) = 280 \cdot k^x$.

Vi vet at $g(0) = 280$ (startverdi er allerede ivaretatt), og at $g(20) = 40$:

Den eksponentielle modellen er $\underline{\underline{g(x) = 280 \cdot \left(\frac{1}{7}\right)^{\frac{x}{20}}}}$, eller tilnærmet $g(x) = 280 \cdot 0{,}907^x$.

Modellen viser at bestanden er omtrent $90{,}7\,\%$ av forrige måneds bestand hver måned, altså en nedgang på omtrent $9{,}3\,\%$ per måned.

Vi bruker det oppgitte datapunktet: etter ett år ($x = 12$ måneder) er det 96 kaniner.

Vi regner ut hva de to modellene gir for $x = 12$:

Lineær modell:

Eksponentiell modell:

Vi sammenligner med det faktiske antallet på 96 kaniner:

Den eksponentielle modellen predikerer $87$ kaniner, mens den lineære predikerer $136$ kaniner. Det faktiske antallet er $96$ kaniner.

Den eksponentielle modellen er klart nærmere det faktiske antallet og er derfor mest rimelig å bruke. Den eksponentielle modellen passer også bedre med det vi vet om biologiske populasjoner: når det er få kaniner igjen, sprer sykdommen seg saktere og dødstallene går ned. Det gir en avtagende prosentvis nedgang, ikke en konstant nedgang i antall, slik den lineære modellen antar.

Vi fyller inn kolonnene steg for steg. Totalt antall elever er $n = 30$.

Kumulativ frekvens er summen av alle frekvenser frem til og med dette intervallet.

Relativ frekvens er antall elever i intervallet delt på totalt antall elever.

Kumulativ relativ frekvens er summen av alle relative frekvenser frem til og med dette intervallet.

For eksempel for intervallet $[60, 180\rangle$:

Intervallene er ikke like brede: $[0, 60\rangle$ er 60 minutter bred, mens de øvrige er 120 minutter brede. Da skal høyden på søylene være frekvenstettheten (frekvens delt på klassebredde), ikke frekvensen. Slik blir arealet av hver søyle lik frekvensen.

Vi tegner histogrammet med treningstid på $x$-aksen og frekvenstetthet på $y$-aksen. Søylene ligger inntil hverandre, og merk at den første søyla er smalere (60 min) enn de andre.

Fordelingen er symmetrisk — like mange elever trener veldig lite (0–60 min) som veldig mye (420–540 min), og flest elever trener i midtintervallet $[180, 300\rangle$.

For klassedelt materiale bruker vi midtpunktet i hvert intervall som representativ verdi.

Gjennomsnittet er $\underline{\underline{243 \, \mathrm{min}}}$ i uken. Det betyr at en typisk elev i klassen trener omtrent 4 timer i uken utenom skoletiden.

Medianen er den midterste verdien når observasjonene er sortert. Med $n = 30$ elever er medianen midt mellom den 15. og 16. verdien.

Vi bruker den kumulative frekvenstabellen til å finne hvilket intervall de 15. og 16. verdiene befinner seg i:

• Etter $[0, 60\rangle$: 3 elever (obs. 1–3)
• Etter $[60, 180\rangle$: 9 elever (obs. 1–9)
• Etter $[180, 300\rangle$: 21 elever (obs. 1–21)

Både den 15. og 16. verdien ligger altså i intervallet $[180, 300\rangle$.

Vi bruker formelen for median i et klassedelt materiale:

der:

• $L = 180$ (nedre grense for medianintervallet)
• $n = 30$ (totalt antall observasjoner)
• $F = 9$ (kumulativ frekvens før medianintervallet)
• $f_m = 12$ (frekvensen i medianintervallet)
• $h = 120$ (bredden på medianintervallet)

Medianen er $\underline{\underline{240 \, \mathrm{min}}}$ i uken. Det betyr at halvparten av elevene trener mindre enn 240 minutter (4 timer) i uken, og halvparten trener mer.

Vi regner ut renter, avdrag og gebyr for den første terminen.

Rente: Det skyldes $0{,}4 \%$ av restgjelden på $90\,000 \, \mathrm{kr}$:

Terminbeløp = rente + avdrag + gebyr:

Regnearket bør ha én rad per termin. Kolonnene kan settes opp slik:

Forklaring av formlene i regnearket:

• Restgjeld i rad 1 = $90\,000$. Fra rad 2 og nedover: forrige restgjeld minus avdrag.
• Rente = Restgjeld $\cdot$ $0{,}004$
• Avdrag = $2\,500$ (fast)
• Gebyr = $50$ (fast)
• Terminbeløp = Rente + Avdrag + Gebyr

Lånet er nedbetalt etter $36$ terminer (3 år).

Vi summerer alle terminbeløpene i regnearket. Siden renten synker med $10 \, \mathrm{kr}$ per termin (avdraget er fast $2\,500 \, \mathrm{kr}$ og renten beregnes av stadig lavere restgjeld), danner terminbeløpene en aritmetisk rekke fra $2\,910 \, \mathrm{kr}$ til $2\,560 \, \mathrm{kr}$ med 36 ledd.

Karen må totalt betale $\underline{\underline{98\,460 \, \mathrm{kr}}}$ for lånet.

Dette er $98\,460 - 90\,000 = 8\,460 \, \mathrm{kr}$ mer enn lånebeløpet, noe som dekker rentekostnader og gebyrer.

Det alternative lånet har rente $0{,}5 \%$ per måned og ingen gebyr. Første terminbeløp:

Siste terminbeløp (termin 36, restgjeld $2\,500 \, \mathrm{kr}$):

Totalt for det alternative lånet (aritmetisk rekke med 36 ledd):

Det alternative lånet ville kostet $\underline{\underline{98\,325 \, \mathrm{kr}}}$ totalt.

Det opprinnelige lånet koster $98\,460 - 98\,325 = \underline{\underline{135 \, \mathrm{kr}}}$ mer enn det alternative lånet. Selv om renten er lavere, gjør termingebyret på $50 \, \mathrm{kr}$ per termin (totalt $36 \cdot 50 = 1\,800 \, \mathrm{kr}$) at Karens opprinnelige lån faktisk er det dyreste alternativet.