2P-Y Vår 2016

Vi skal finne hvor mange prosent prisen i butikk A ($150\mathrm{kr}$) er høyere enn prisen i butikk B ($120\mathrm{kr}$).

Her er grunnlaget (det vi sammenligner med) prisen i butikk B.

Prisforskjellen er:

Vi regner ut hvor mange prosent $30\mathrm{kr}$ er av $120\mathrm{kr}$:

Prisen i butikk A er $\underline{\underline{25\%}}$ høyere enn prisen i butikk B.

Vi skal finne hvor mange prosent prisen i butikk B ($120\mathrm{kr}$) er lavere enn prisen i butikk A ($150\mathrm{kr}$).

Her er grunnlaget (det vi sammenligner med) prisen i butikk A.

Prisforskjellen er fortsatt $30\mathrm{kr}$, men nå deler vi på $150\mathrm{kr}$:

Prisen i butikk B er $\underline{\underline{20\%}}$ lavere enn prisen i butikk A.

Siden aldersintervallene har ulik klassebredde, skal høyden på søylene ikke være frekvensen, men frekvenstettheten (frekvens delt på klassebredde). Da blir arealet til søylen lik frekvensen.

Vi lager en hjelpetabell:

Histogrammet tegnes med alder på x-aksen og frekvenstetthet på y-aksen. Søylene skal ligge inntil hverandre uten mellomrom.

For å finne gjennomsnittsalderen bruker vi midtpunktene i hvert intervall som representativ alder for gruppen.

Gjennomsnittsalderen er:

Den gjennomsnittlige alderen for beboerne i blokk Z er $\underline{\underline{\mathrm{33,5}\text{ år}}}$.

Vi vet at Marte tjente $170\mathrm{kr}$ da hun solgte 2 produkter, og $220\mathrm{kr}$ da hun solgte 4 produkter.

Vi setter antall produkter på $x$-aksen og lønn på $y$-aksen. Da har vi to punkter: $(2,170)$ og $(4,220)$.

Vi tegner et koordinatsystem og markerer de to punktene. Siden sammenhengen er lineær (fast grunnlønn + fast beløp per produkt), trekker vi en rett linje gjennom punktene og forlenger den.

Linjen viser grunnlønnen som skjæring med $y$-aksen (120 kr) og stigningstallet som beløp per produkt (25 kr).

Vi bruker grafen til å lese av:

Stigningstall (beløp per produkt):

Marte får $25\mathrm{kr}$ for hvert produkt hun selger.

Konstantledd (grunnlønn per time):

Vi setter $x=0$ i likningen for linjen. Vi bruker punktet $(2,170)$ og stigningstallet $25$:

Grunnlønnen er $120\mathrm{k}\mathrm{r}/\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{e}$.

Svar: Martes grunnlønn er $\underline{\underline{120\mathrm{k}\mathrm{r}/\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{e}}}$ og hun får $\underline{\underline{25\mathrm{kr}}}$ for hvert produkt hun selger.

Vi ønsker å finne hvor mange produkter Marte må selge for å tjene $370\mathrm{kr}$.

Vi bruker lønnsfunksjonen $f(x)=120+25x$ og setter den lik $370$:

Svar: Marte må selge $\underline{\underline{10\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{u}\mathrm{k}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{r}}}$ for å tjene $370\mathrm{kr}$ i løpet av en time.

Vi systematiserer opplysningene i en krysstabell.

Vi vet:

• Totalt $26$ elever
• $16$ gjør lekser til hver time $\Rightarrow$ $26-16=10$ gjør ikke lekser
• $20$ har karakter $\ge 3$ $\Rightarrow$ $26-20=6$ har karakter $<3$
• $5$ av de som ikke gjør lekser, har karakter $<3$

Vi fyller inn det vi vet direkte:

Fra opplysningen om dem som ikke gjør lekser:

• Gjør ikke lekser og karakter $<3$: $5$
• Gjør ikke lekser og karakter $\ge 3$: $10-5=5$

Fra totalen for karakter $<3$:

• Gjør lekser og karakter $<3$: $6-5=1$
• Gjør lekser og karakter $\ge 3$: $16-1=15$

Krysstabell:

Vi velger tilfeldig én elev fra alle $26$ elever.

Vi ser fra tabellen at det er $5$ elever som ikke gjør lekser og har karakter $\ge 3$.

Svar: Sannsynligheten er $\underline{\underline{{\displaystyle \frac{5}{26}}}}$. Det betyr at det er omtrent $19\%$ sjanse for å velge en slik elev.

Nå er bare de $16$ elevene som gjør lekser, til stede. Vi trekker én av disse.

Fra tabellen ser vi at $1$ av de $16$ som gjør lekser, har karakter $<3$.

Svar: Sannsynligheten er $\underline{\underline{{\displaystyle \frac{1}{16}}}}$. Det betyr at det er omtrent $6\%$ sjanse for å velge en elev med karakter lavere enn $3$ blant dem som gjør leksene.

Vi legger sammen alle turtidene og deler på antall:

Gjennomsnittet er $\underline{\underline{\bar{x}\approx \mathrm{28,7}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{u}\mathrm{t}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{r}}}$.

For å finne standardavviket regner vi ut avviket fra gjennomsnittet for hvert tall, kvadrerer, summerer og deler på $n-1=13$:

Standardavviket er $\underline{\underline{s\approx \mathrm{3,6}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{u}\mathrm{t}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{r}}}$.

Grete har i gjennomsnitt brukt like lang tid som Hans ($\approx \mathrm{28,7}$ min), men standardavviket hennes er $\mathrm{1,2}$ mot Hans sitt $\mathrm{3,6}$.

Et lavt standardavvik betyr at målingene ligger tett rundt gjennomsnittet. Gretes turtider er mye mer jevne enn Hans sine – de varierer lite fra dag til dag. Hans tider spriker mer; han har noen dager der han bruker betydelig mer eller mindre tid enn snittet.

Vi bruker en graftegner og legger inn funksjonen

med $x$-intervall $[5,23]$.

Grafen starter lavt (sola er lav over horisonten tidlig om morgenen), stiger til et toppunkt rundt $x\approx 14$ (ca. klokka 14.00), og synker deretter ned mot horisonten igjen sent om kvelden.

Vi leser av det høyeste punktet på grafen.

Toppunktet ligger ved $x\approx \mathrm{13,7}$ og $B(x)\approx \mathrm{52,2}$.

Sola stod omtrent $\underline{\underline{\mathrm{52,2}°}}$ over horisonten da den var på sitt høyeste (ca. klokka 13.42).

Vi tegner den horisontale linjen $y=20$ i graftegneren og finner skjæringspunktene med grafen til $B$.

Grafen krysser linjen $y=20$ to ganger:

• Første gang ved $x\approx \mathrm{7,6}$ (ca. klokka 07.36 om morgenen)
• Andre gang ved $x\approx \mathrm{19,7}$ (ca. klokka 19.42 om kvelden)

Sola stod 20 grader over horisonten ved $\underline{\underline{x\approx \mathrm{7,6}\text{ og }x\approx \mathrm{19,7}}}$, det vil si ca. klokka 07.36 og ca. klokka 19.42.

Gjennomsnittlig stigning fra klokka 05.00 til klokka 12.00 vil si fra $x=5$ til $x=12$.

Vi regner ut $B(5)$ og $B(12)$:

Gjennomsnittlig stigning er endringen i $B$ delt på endringen i $x$:

Sola steg i gjennomsnitt $\underline{\underline{\mathrm{6,5}°}}$ per time fra klokka 05.00 til klokka 12.00.

Vi teller rektangler i figur 1, 2 og 3 fra bildet:

Figur 1: 3×3 rutenett. Hvit midtdel: 1×1 = 1 hvit. Blå: 9 − 1 = 8. Totalt: 9.

Figur 2: 4×4 rutenett. Hvit midtdel: 2×2 = 4 hvite. Blå: 16 − 4 = 12. Totalt: 16.

Figur 3: 5×5 rutenett. Hvit midtdel: 3×3 = 9 hvite. Blå: 25 − 9 = 16. Totalt: 25.

Figur 4: 6×6 rutenett. Hvit midtdel: 4×4 = 16 hvite. Blå: 36 − 16 = 20. Totalt: 36.

Vi ser at mønsteret gir oss disse uttrykkene for figur $n$:

Figur $n$ er et $(n+2)\times (n+2)$-rutenett, med en $n\times n$ hvit midtdel:

Hvite rektangler for figur $n$: $\underline{\underline{n^2}}$

Blå rektangler for figur $n$: $\underline{\underline{4(n+1)}}$

Totalt for figur $n$: $\underline{\underline{{(n+2)}^2}}$

Vi setter totalt antall rektangler lik 81 og løser for $n$:

Antall hvite rektangler i figur 7:

Du trenger $\underline{\underline{49\text{ hvite rektangler}}}$ i figur 7, som totalt har 81 rektangler.

Her er det totale antallet rektangler som er $1296$. Vi finner først figurnummeret ved å sette totalt antall lik $1296$:

Antall blå rektangler i figur 34:

Du trenger $\underline{\underline{140\text{ blå rektangler}}}$ for å lage figur 34, som totalt har $1296$ rektangler.

Bedriften startet med $20000\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{n}$ i 2015 og reduserer med $8\%$ hvert år. En reduksjon på $8\%$ betyr at $92\%$ gjenstår hvert år, så vekstfaktoren er $\mathrm{0,92}$.

Utslippet etter $t$ år er gitt ved formelen

I et regneark setter vi opp kolonnene «År» og «Utslipp (tonn)». År 0 er 2015, år 1 er 2016, osv. I år-kolonnen skriver vi $0,1,2,\dots ,10$. I utslipps-kolonnen skriver vi startverdien $20000$ i første rad, og i neste rad en formel som multipliserer forrige verdi med $\mathrm{0,92}$.

Etter 10 år er utslippet

Den totale prosentreduksjonen regner vi ut slik:

Bedriften har totalt redusert utslippet med $\underline{\underline{\approx \mathrm{56,6}\%}}$ i løpet av de 10 årene.

Dette betyr at bedriften i 2025 slipper ut litt under halvparten av det de slapp ut i 2015.

Den andre bedriften slipper ut $30000\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{n}$ i 2015 og skal halvere utslippet i løpet av 5 år. Det vil si at utslippet skal være $15000\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{n}$ etter 5 år.

La $k$ være vekstfaktoren (det som gjenstår hvert år). Vi setter opp likningen:

Vi deler begge sider på $30000$:

Vi løser for $k$ ved å ta femte rot på begge sider:

Den faste prosentsatsen bedriften må redusere med hvert år er

Bedriften må redusere utslippet med $\underline{\underline{p\approx \mathrm{12,9}\%}}$ hvert år for å halvere utslippet i løpet av 5 år.

Vi kan kontrollere: $30000\cdot {\mathrm{0,8706}}^5\approx 30000\cdot \mathrm{0,5000}=15000$ tonn. ✓

Når vi klipper bort et kvadrat med side $x$ i hvert hjørne og bretter opp, får esken:

• Høyde: $x\mathrm{cm}$ (siden vi bretter opp)
• Lengde: $(20-2x)\mathrm{cm}$ (vi mister $x$ i hver ende)
• Bredde: $(14-2x)\mathrm{cm}$ (vi mister $x$ i hver ende)
• Volum: $V=x\cdot (20-2x)\cdot (14-2x)\mathrm{c}{\mathrm{m}}^3$

Vi fyller inn tabellen rad for rad:

Rad 1: $x=4\mathrm{cm}$ (volumet er oppgitt som $288\mathrm{c}{\mathrm{m}}^3$, vi regner ut de andre):

Rad 2: $x=3\mathrm{cm}$ (bredden er oppgitt som $8\mathrm{cm}$):

Rad 3: $x=\mathrm{2,5}\mathrm{cm}$:

Rad 4: $x\mathrm{cm}$ (generelt):

Utfylt tabell:

Vi har volumfunksjonen

der $x$ må være mellom $0$ og $7$ (ellers blir bredden $14-2x$ negativ).

Vi ganger ut parentesene:

For å finne maksimum deriverer vi og setter $V^{\prime }(x)=0$:

Vi deler alle ledd på $4$:

Løsning med $abc$-formelen ($a=3$, $b=-34$, $c=70$):

Siden $x$ må være mellom $0$ og $7$, er det bare $x\approx \mathrm{2,70}$ som er gyldig.

Vi kontrollerer at det er et maksimum (og ikke minimum) ved å sjekke andrederiverte:

Negativt fortegn bekrefter at det er et toppunkt.

Maksimalt volum:

Sidene i de utkleipte kvadratene bør være omtrent $\underline{\underline{x\approx \mathrm{2,70}\mathrm{cm}}}$. Da blir volumet størst mulig med $\underline{\underline{V\approx 339\mathrm{c}{\mathrm{m}}^3}}$.

Sitat 1 sier at lufttrykket avtar med 12 % per kilometer man stiger. Det betyr at for hver kilometer beholder man $100\%-12\%=88\%$ av lufttrykket fra kilometeren under.

Vi starter med $f(0)=1000\mathrm{hPa}$ ved havoverflaten. Etter $x$ kilometer er lufttrykket multiplisert med $\mathrm{0,88}$ nøyaktig $x$ ganger:

Grafen til $f$ er en synkende eksponentialkurve som starter i $(0,1000)$ og nærmer seg null. Den er bratt i starten og flater gradvis ut. For $x=10$ gir modellen $f(10)=1000\cdot {\mathrm{0,88}}^{10}\approx 279\mathrm{hPa}$.

Sitat 2 sier at lufttrykket halveres for hver 5,5 km man stiger. Starter man på $1000\mathrm{hPa}$ ved havoverflaten, gir det:

Vi bruker eksponentiell regresjon på disse fire punktene. I regnearket (eller med kalkulator) finner vi:

Vi kan også skrive dette som $g(x)=1000\cdot {\mathrm{0,5}}^{x/\mathrm{5,5}}$, siden ${\mathrm{0,5}}^{1/\mathrm{5,5}}\approx \mathrm{0,8816}$.

Sammenlikning med $f$: Begge modellene har startverdien $1000$. Grunntallets er $\mathrm{0,88}$ i $f$ og $\mathrm{0,8816}$ i $g$ — en forskjell på kun $\mathrm{0,0016}$. Ved tabellpunktene er avvikene svært små (ved $x=\mathrm{5,5}$ gir $f$ ca. $495\mathrm{hPa}$ mot $g$ sin $500\mathrm{hPa}$). De to modellene er tilnærmet like.

Grafen til $g$ er en eksponentialkurve nesten identisk med grafen til $f$, men ligger litt over $f$ for alle $x>0$.