1T Vår 2018

Vi ganger ut parentesene ledd for ledd. Først $(x+2)(x-4)$:

Deretter ganger vi dette med $x$:

Dermed er

Fra a) vet vi at $x^3-2x^2-8x=x(x+2)(x-4)$. Likningen kan derfor skrives om til

Et produkt er null når minst én av faktorene er null (nullproduktsetningen):

Dette gir

Vi ganger både teller og nevner i den brudne brøken med $3x$, som er fellesnevneren til leddene ${\displaystyle \frac{1}{x}}$, ${\displaystyle \frac{x}{3}}$ og ${\displaystyle \frac{1}{3x}}$.

Telleren:

Nevneren:

Siden vi har ganget både teller og nevner med samme uttrykk, er brøken uendret:

Vi bruker resultatet fra a) og faktoriserer teller og nevner.

Telleren har felles faktor $3$, og resten er et fullstendig kvadrat (første kvadratsetning):

Nevneren er en tredje kvadratsetning (konjugatsetningen):

Vi setter inn og forkorter med den felles faktoren $(x+1)$:

Uttrykket er definert for $x\ne 0$ (nevner i opprinnelig uttrykk) og $x\ne \pm 1$ (nevner etter forkorting).

Den gjennomsnittlige vekstfarten til $f$ i intervallet $[-2,2]$ er

Vi regner ut funksjonsverdiene:

Dette gir

Vi deriverer $f$:

Stigningstallet til tangenten i $x=1$ er

Vi finner berøringspunktet:

Tangentlikningen med ettpunktsformelen $y-y_1=f^{\prime }(x_1)(x-x_1)$ blir

Vi tenker oss en likesidet trekant $ABC$ med sidelengde $s$, der $D$ er midtpunktet på siden $AB$. Da er $AD=DB={\displaystyle \frac{s}{2}}$, og linjestykket $DC$ står vinkelrett på $AB$ (høyden fra $C$ deler den likesidede trekanten i to like rettvinklede trekanter).

I den rettvinklede trekanten $ADC$ er $AC=s$ hypotenusen, $AD={\displaystyle \frac{s}{2}}$ en katet og $DC$ den andre kateten. Pytagoras’ læresetning gir

I trekant $ADC$ er vinkel $A=60°$, siden dette er en av vinklene i den likesidede trekanten $ABC$. Vinkelen $D$ er $90°$, og $DC$ ligger da motstående til vinkel $A$, mens $AC$ er hypotenusen.

Etter definisjonen av sinus i en rettvinklet trekant er

Vi setter inn $DC={\displaystyle \frac{s\sqrt{3}}{2}}$ fra a) og $AC=s$:

Vi bruker høyden $RS$ til å finne arealet av $\mathrm{\Delta }PQR$. I den rettvinklede trekanten $PSR$ (rett vinkel i $S$) er $PR=2\sqrt{3}$ hypotenusen og vinkel $P=60°$.

Arealet av en trekant er ${\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot \text{grunnlinje}\cdot \text{høyde}$. Vi bruker $PQ=8$ som grunnlinje og $RS=3$ som høyde:

Vi trenger også $PS$, den andre kateten i trekant $PSR$:

Siden $S$ ligger på $PQ$ mellom $P$ og $Q$, er

I den rettvinklede trekanten $SQR$ (rett vinkel i $S$) er $RS=3$ kateten motstående til vinkel $Q$, og $SQ=8-\sqrt{3}$ er kateten inntil vinkel $Q$. Etter definisjonen av tangens er

Vi lar $x$ være antall år etter 1970, og $y$ prisen i kroner. Tabellen gir da disse punktene:

Punktene plottes i et koordinatsystem med $x$-aksen «antall år etter 1970» og $y$-aksen «pris (kroner)», se figuren under.

Grafen til $f(x)=\mathrm{0,0054}{x}^2+\mathrm{0,26}x+\mathrm{0,9}$ tegnes for $x\in [0,50]$ i samme koordinatsystem som punktene fra a). Grafen er en parabel som stiger svakt i starten og brattere mot slutten av intervallet, og den følger punktene fra tabellen godt.

Vi setter $f(x)=16$ og løser likningen med andregradsformelen:

Dette gir $x\approx \mathrm{34,0}$ eller $x\approx -\mathrm{82,2}$. Siden $x$ må ligge i $[0,50]$, forkaster vi den negative løsningen.

Siden $x$ er antall år etter 1970, tilsvarer dette $1970+34=2004$. Ifølge modellen kostet altså en kroneis $16\mathrm{kr}$ rundt år 2004.

Gjennomsnittlig vekstfart fra 1975 til 2015 tilsvarer $x=5$ til $x=45$. Vi finner $f(5)$ og $f(45)$:

Gjennomsnittlig vekstfart er da

Prisen på en kroneis økte i gjennomsnitt med

per år i perioden 1975–2015.

Av de $640$ elevene legger ${\displaystyle \frac{1}{4}}\cdot 640=160$ elever seg før klokka 23. De resterende $640-160=480$ elevene legger seg etter klokka 23.

Blant dem som legger seg før klokka 23, har ${\displaystyle \frac{4}{5}}\cdot 160=128$ elever karaktersnitt over fire, mens $160-128=32$ elever har karaktersnitt fire eller lavere.

Blant dem som legger seg etter klokka 23, har ${\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot 480=160$ elever karaktersnitt over fire, mens $480-160=320$ elever har karaktersnitt fire eller lavere.

Dette gir krysstabellen:

Sannsynligheten for at en tilfeldig valgt elev har karaktersnitt over fire, er summen i kolonnen «Snitt over fire» delt på totalt antall elever:

$\underline{\underline{P(\text{over fire})=\mathrm{0,45}}}$

Vi vet nå at eleven har karaktersnitt over fire, så utfallsrommet innskrenkes til de $288$ elevene i kolonnen «Snitt over fire». Av disse legger $128$ seg før klokka 23:

$\underline{\underline{P(\text{før kl. 23}|\text{over fire})={\displaystyle \frac{4}{9}}\approx \mathrm{0,44}}}$

Det vil si at det er cirka $44\%$ sannsynlighet for at eleven legger seg før klokka 23, gitt at han eller hun har et karaktersnitt over fire.

Trekant $ADC$ er rettvinklet i $D$, med hypotenus $AC=a$ og vinkel $u$ ved $C$. Siden $CD=h$ ligger inntil vinkel $u$, gir definisjonen av cosinus i en rettvinklet trekant

Tilsvarende er trekant $DBC$ rettvinklet i $D$, med hypotenus $BC=b$ og vinkel $v$ ved $C$, der $CD=h$ igjen ligger inntil vinkelen:

Dermed er $h=a\cdot \cos u=b\cdot \cos v$, og Maria har rett.

I de samme to rettvinklede trekantene ser vi på sinus til vinklene, der $AD=c_1$ og $DB=c_2$ er de motstående katetene:

Vi setter dette inn i uttrykket for arealet, $T={\displaystyle \frac{c_1\cdot h}{2}}+{\displaystyle \frac{c_2\cdot h}{2}}$. I det første leddet setter vi inn $c_1=a\sin u$ og bruker $h=b\cos v$ fra a), mens vi i det andre leddet setter inn $c_2=b\sin v$ og bruker $h=a\cos u$:

som er uttrykket vi skulle vise.

Fra oppgave b) har vi

Fra arealsetningen har vi at det samme arealet også kan skrives $T={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot ab\cdot \sin (u+v)$. Siden begge uttrykkene beskriver arealet av samme trekant, må de være like: