1T Høst 2020 · Matematikkoppgaver

Oppgave 1-1Likning for rett linje avlest fra rutenett

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

|300

Bestem en likning for den rette linja.

Fasit

$y = 2 x - 1$

LøsningsforslagKI-generert

En rett linje har likningen $y = a x + b$ , der $a$ er stigningstallet og $b$ er konstantleddet (skjæringspunktet med $y$ -aksen).

Vi leser av to punkter linja går tydelig gjennom i rutenettet, for eksempel $(0, - 1)$ og $(2, 3)$ .

Konstantleddet er $y$ -verdien der linja skjærer $y$ -aksen:

b = - 1

Stigningstallet finner vi ved å telle ruter mellom de to punktene: fra $(0, - 1)$ til $(2,3)$ øker $y$ med $4$ mens $x$ øker med $2$ :

a = \frac{Δ y}{Δ x} = \frac{3 - (- 1)}{2 - 0} = \frac{4}{2} = 2

Likningen for linja blir dermed

y = 2 x - 1

Svar: $y = 2 x - 1$

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 1
Temaer: Funksjoner, Lineære funksjoner, Stigningstall
Egen side: Åpne oppgave 1-1 for seg selv

Oppgave 1-2Standardform med produkt og brøk av tierpotenser

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Regn ut og skriv svaret på standardform.

\frac{6,2 \cdot 10^{4} \cdot 2,5 \cdot 10^{8}}{0,0005}

Fasit

$3,1 \cdot 10^{16}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi skriver først nevneren $0,0005$ på standardform:

0,0005 = 5 \cdot 10^{- 4}

Vi regner ut telleren for seg ved å gruppere tallene og tierpotensene hver for seg:

6,2 \cdot 10^{4} \cdot 2,5 \cdot 10^{8} = (6,2 \cdot 2,5) \cdot 10^{4 + 8} = 15,5 \cdot 10^{12}

Nå setter vi inn i brøken og regner ut tallene og tierpotensene for seg:

\frac{15,5 \cdot 10^{12}}{5 \cdot 10^{- 4}} = \frac{15,5}{5} \cdot 10^{12 - (- 4)} = 3,1 \cdot 10^{16}

Svaret er allerede på standardform siden $1 \leq 3,1 < 10$ .

Svar: $3,1 \cdot 10^{16}$

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 2
Temaer: Tallregning, Standardform, Tierpotenser
Egen side: Åpne oppgave 1-2 for seg selv

Oppgave 1-3Lineært likningssystem med positive heltallsløsninger

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Løs likningssystemet.

[\begin{matrix} x + 2 y = 16 \\ 3 x - y = 6 \end{matrix}]

Fasit

$x = 4, y = 6$

LøsningsforslagKI-generert

Vi løser likningssystemet

{\begin{matrix} x + 2 y = 16 & (1) \\ 3 x - y = 6 & (2) \end{matrix}

med innsettingsmetoden. Fra likning $(2)$ løser vi ut $y$ :

y = 3 x - 6

Vi setter dette inn for $y$ i likning $(1)$ :

x + 2 (3 x - 6) = 16

x + 6 x - 12 = 16

7 x = 28

x = 4

Vi setter $x = 4$ inn i uttrykket for $y$ :

y = 3 \cdot 4 - 6 = 6

Kontroll i likning $(1)$ : $4 + 2 \cdot 6 = 4 + 12 = 16$ ✓

Begge løsningene er positive heltall, som oppgitt.

Svar: $x = 4, y = 6$

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 2
Temaer: Algebra, Likningssystem
Egen side: Åpne oppgave 1-3 for seg selv

Oppgave 1-4Forenkling av brøkuttrykk ved første kvadratsetning og konjugatsetningen

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Skriv så enkelt som mulig.

\frac{{(x + y)}^{2} - 4 x y}{x - y}

Fasit

$x - y$

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker første kvadratsetning, ${(x + y)}^{2} = x^{2} + 2 x y + y^{2}$ , til å utvide telleren:

{(x + y)}^{2} - 4 x y = x^{2} + 2 x y + y^{2} - 4 x y

Vi trekker sammen leddene med $x y$ :

x^{2} + 2 x y + y^{2} - 4 x y = x^{2} - 2 x y + y^{2}

Dette kjenner vi igjen som andre kvadratsetning, ${(x - y)}^{2} = x^{2} - 2 x y + y^{2}$ , så telleren kan skrives

x^{2} - 2 x y + y^{2} = {(x - y)}^{2}

Brøken blir da

\frac{{(x - y)}^{2}}{x - y}

Vi forkorter med $(x - y)$ (forutsatt $x \neq y$ ):

\frac{{(x - y)}^{2}}{x - y} = x - y

Svar: $x - y$

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 2
Temaer: Algebra, Rasjonale uttrykk, Kvadratsetninger, Faktorisering
Egen side: Åpne oppgave 1-4 for seg selv

Oppgave 1-5Bestemme parameter k for fullstendig kvadrat

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

For hvilke verdier av $k$ blir uttrykket nedenfor et fullstendig kvadrat?

4 x^{2} + k x + \frac{1}{4}

Fasit

$k = 2 eller k = - 2$

LøsningsforslagKI-generert

Et fullstendig kvadrat på formen ${(a x + b)}^{2}$ er gitt ved

{(a x + b)}^{2} = a^{2} x^{2} + 2 a b x + b^{2}

Vi sammenlikner med uttrykket vårt, $4 x^{2} + k x + \frac{1}{4}$ , ledd for ledd.

Leddet med $x^{2}$ gir

a^{2} = 4 \Rightarrow a = 2

(vi velger positiv verdi av $a$ , siden fortegnet uansett fanges opp av $b$ ).

Konstantleddet gir

b^{2} = \frac{1}{4} \Rightarrow b = \pm \frac{1}{2}

Leddet med $x$ skal da være $k x = 2 a b x$ , altså

k = 2 a b = 2 \cdot 2 \cdot (\pm \frac{1}{2}) = \pm 2

Vi kontrollerer begge løsningene:

4 x^{2} + 2 x + \frac{1}{4} = {(2 x + \frac{1}{2})}^{2} 4 x^{2} - 2 x + \frac{1}{4} = {(2 x - \frac{1}{2})}^{2}

Begge stemmer, så uttrykket er et fullstendig kvadrat for $k = 2$ eller $k = - 2$ .

Svar: $k = 2 eller k = - 2$

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 2
Temaer: Algebra, Fullstendig kvadrat, Kvadratsetninger, Parametere
Egen side: Åpne oppgave 1-5 for seg selv

Oppgave 1-6Forenkling av brøk med potenser og røtter

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Skriv så enkelt som mulig.

\frac{5^{\frac{1}{2}} \cdot 4^{- 1} \cdot 8^{\frac{2}{3}}}{\sqrt{20} \cdot 3^{0}}

Fasit

$\frac{1}{2}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi forenkler potensene i telleren og nevneren hver for seg.

I telleren skriver vi om $8^{\frac{2}{3}}$ ved å bruke at $8 = 2^{3}$ :

8^{\frac{2}{3}} = {(2^{3})}^{\frac{2}{3}} = 2^{3 \cdot \frac{2}{3}} = 2^{2} = 4

Da blir telleren

5^{\frac{1}{2}} \cdot 4^{- 1} \cdot 8^{\frac{2}{3}} = 5^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{1}{4} \cdot 4 = 5^{\frac{1}{2}} = \sqrt{5}

siden $4^{- 1} \cdot 4 = 1$ .

I nevneren bruker vi at $3^{0} = 1$ , og skriver $\sqrt{20}$ som $\sqrt{4 \cdot 5} = 2 \sqrt{5}$ :

\sqrt{20} \cdot 3^{0} = 2 \sqrt{5} \cdot 1 = 2 \sqrt{5}

Vi setter tellere og nevnere sammen igjen:

\frac{\sqrt{5}}{2 \sqrt{5}} = \frac{1}{2}

$\frac{5^{\frac{1}{2}} \cdot 4^{- 1} \cdot 8^{\frac{2}{3}}}{\sqrt{20} \cdot 3^{0}} = \frac{1}{2}$

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 2
Temaer: Tallregning, Potenser, Kvadratrøtter
Egen side: Åpne oppgave 1-6 for seg selv

Oppgave 1-7Forenkling av logaritmisk brøk med tierlogaritmer

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Skriv så enkelt som mulig.

\frac{\lg 1000 \cdot \lg \frac{1}{10}}{\lg 0,01 \cdot \lg 10^{- \frac{1}{2}}}

Fasit

$- 3$

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker at $\lg 10^{k} = k$ , og skriver alle tallene som tierpotenser.

\lg 1000 = \lg 10^{3} = 3 \lg \frac{1}{10} = \lg 10^{- 1} = - 1

\lg 0,01 = \lg 10^{- 2} = - 2 \lg 10^{- \frac{1}{2}} = - \frac{1}{2}

Vi setter inn i uttrykket:

\frac{\lg 1000 \cdot \lg \frac{1}{10}}{\lg 0,01 \cdot \lg 10^{- \frac{1}{2}}} = \frac{3 \cdot (- 1)}{(- 2) \cdot (- \frac{1}{2})} = \frac{- 3}{1} = - 3

$\frac{\lg 1000 \cdot \lg \frac{1}{10}}{\lg 0,01 \cdot \lg 10^{- \frac{1}{2}}} = - 3$

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 2
Temaer: Tallregning, Logaritmer
Egen side: Åpne oppgave 1-7 for seg selv

Oppgave 1-8Eksponentlikning med toerpotens og logaritmelikning med andregradsledd

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Løs likningene.

\frac{2^{2 + x}}{2^{1 - 2 x}} = 64

\lg (\frac{1}{x^{2} - 3 x}) = - 1

Fasit

$x = \frac{5}{3}$

$x = 5 \lor x = - 2$

LøsningsforslagKI-generert

Vi skriver $64$ som en toerpotens: $64 = 2^{6}$ . Da har vi samme grunntall på begge sider, og kan bruke potensregelen $\frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m - n}$ på venstre side:

\frac{2^{2 + x}}{2^{1 - 2 x}} = 2^{(2 + x) - (1 - 2 x)} = 2^{1 + 3 x}

Likningen blir da

2^{1 + 3 x} = 2^{6}

Siden grunntallene er like, må eksponentene være like:

1 + 3 x = 6

3 x = 5

x = \frac{5}{3}

$x = \frac{5}{3}$

Vi bruker at $\lg a = k \Leftrightarrow a = 10^{k}$ :

\lg (\frac{1}{x^{2} - 3 x}) = - 1 \Rightarrow \frac{1}{x^{2} - 3 x} = 10^{- 1} = \frac{1}{10}

Siden begge sider er brøker med teller $1$ , må nevnerne være like:

x^{2} - 3 x = 10

x^{2} - 3 x - 10 = 0

Vi faktoriserer eller bruker $a b c$ -formelen. Vi trenger to tall som ganger sammen gir $- 10$ og som summert gir $- 3$ : det er $- 5$ og $2$ .

x^{2} - 3 x - 10 = (x - 5) (x + 2) = 0

x = 5 \lor x = - 2

Kontroll av definisjonsmengden. Uttrykket $\frac{1}{x^{2} - 3 x}$ er bare definert som logaritme-argument når $x^{2} - 3 x > 0$ , altså $x (x - 3) > 0$ , det vil si $x < 0$ eller $x > 3$ .

$x = 5$ : $5 > 3$ , gyldig. Vi sjekker: $5^{2} - 3 \cdot 5 = 10 > 0$ . ✓
$x = - 2$ : $- 2 < 0$ , gyldig. Vi sjekker: ${(- 2)}^{2} - 3 \cdot (- 2) = 4 + 6 = 10 > 0$ . ✓

Begge løsningene er altså gyldige.

$x = 5 \lor x = - 2$

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Algebra, Likninger, Eksponentiallikning, Logaritmer
Egen side: Åpne oppgave 1-8 for seg selv

Oppgave 1-9Grafisk løsning av ulikhet mellom parabel og rett linje

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

I koordinatsystemet nedenfor ser du grafen til en funksjon $f$ .

|400

Løs ulikheten $f (x) < 2 x - 4$ . Husk å begrunne svaret.

Fasit

$0 < x < 5$

LøsningsforslagKI-generert

Den rette linja i koordinatsystemet er $y = 2 x - 4$ (den går gjennom $(0, - 4)$ og $(2,0)$ , som gir stigningstall $\frac{0 - (- 4)}{2 - 0} = 2$ ).

Ulikheten $f (x) < 2 x - 4$ er oppfylt for de $x$ -verdiene der grafen til $f$ (parabelen) ligger under den rette linja.

Vi leser av grafen hvor de to grafene skjærer hverandre. Det ser vi skjer i to punkter: ett ved $x = 0$ og ett ved $x = 5$ .

Mellom disse to skjæringspunktene, for eksempel ved $x = 2$ , ligger parabelen tydelig under linja i grafen. Utenfor intervallet, for eksempel ved $x = - 1$ eller $x = 6$ , ligger parabelen over linja.

Dermed er $f (x) < 2 x - 4$ oppfylt nøyaktig når $x$ ligger mellom skjæringspunktene:

0 < x < 5

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Funksjoner, Ulikheter, Grafisk løsning, Andregradsfunksjon
Egen side: Åpne oppgave 1-9 for seg selv

Oppgave 1-10Tangenter med negativt stigningstall til en tredjegradsfunksjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En funksjon er gitt ved

f (x) = x^{3} + 3 x^{2} + 3

Undersøk hvor mange tangenter med stigningstall $- 3$ grafen til $f$ har, og bestem likningen for tangenten(e).

Fasit

$Én tangent: y = - 3 x + 2$

LøsningsforslagKI-generert

Stigningstallet til tangenten i et punkt på grafen er gitt ved den deriverte i punktet. Vi deriverer $f$ :

f (x) = x^{3} + 3 x^{2} + 3 \Rightarrow f^{'} (x) = 3 x^{2} + 6 x

Vi skal finne alle $x$ der tangenten har stigningstall $- 3$ , altså løse likningen $f^{'} (x) = - 3$ :

3 x^{2} + 6 x = - 3

3 x^{2} + 6 x + 3 = 0

Vi deler alle ledd på $3$ :

x^{2} + 2 x + 1 = 0

{(x + 1)}^{2} = 0

x = - 1

Likningen har bare én løsning (dobbel rot), siden ${(x + 1)}^{2} = 0$ kun er oppfylt for $x = - 1$ . Dette betyr at grafen til $f$ har én tangent med stigningstall $- 3$ — i punktet der $x = - 1$ .

Vi finner tangeringspunktet ved å sette $x = - 1$ inn i $f$ :

f (- 1) = {(- 1)}^{3} + 3 \cdot {(- 1)}^{2} + 3 = - 1 + 3 + 3 = 5

Tangeringspunktet er $(- 1, 5)$ . Tangentlikningen finner vi med ettpunktsformelen $y - y_{1} = a (x - x_{1})$ , med stigningstall $a = - 3$ :

y - 5 = - 3 (x - (- 1))

y - 5 = - 3 x - 3

y = - 3 x + 2

$y = - 3 x + 2$

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Funksjoner, Derivasjon, Tangentlikning, Andregradslikninger
Egen side: Åpne oppgave 1-10 for seg selv

Oppgave 1-11Tilfeldig trekning av to elever til turneringskomité

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Charlotte og Gunnar er med i en gruppe på ti elever som skal arrangere en skoleturnering i volleyball. Fra denne gruppen skal to elever trekkes ut tilfeldig. De to skal lage kampoppsettet.

Bestem sannsynligheten for at verken Charlotte eller Gunnar blir trukket ut.

Bestem sannsynligheten for at det blir Charlotte og Gunnar som skal lage kampoppsettet.

Fasit

$P = \frac{28}{45} \approx 0,622$

$P = \frac{1}{45} \approx 0,022$

LøsningsforslagKI-generert

Det er $10$ elever i gruppen, og to av dem trekkes ut uten tilbakelegging. Vi kan tenke oss at elevene trekkes én og én.

Vi skal finne sannsynligheten for at ingen av de to som trekkes ut er Charlotte eller Gunnar.

Når den første eleven trekkes, er det $8$ av de $10$ elevene som verken er Charlotte eller Gunnar. Sannsynligheten for at den første trukne eleven ikke er Charlotte eller Gunnar er dermed

P_{1} = \frac{8}{10}

Når den andre eleven skal trekkes, er det igjen $9$ elever igjen totalt, og av disse er $7$ verken Charlotte eller Gunnar (siden én av de $8$ “trygge” elevene allerede er trukket ut). Da er

P_{2} = \frac{7}{9}

Siden trekningene henger sammen (uten tilbakelegging), multipliserer vi sannsynlighetene:

P (verken Charlotte eller Gunnar) = \frac{8}{10} \cdot \frac{7}{9} = \frac{56}{90} = \frac{28}{45} \approx 0,622

Sannsynligheten for at verken Charlotte eller Gunnar blir trukket ut, er $P = \frac{28}{45} \approx 0,622$ .

Vi skal finne sannsynligheten for at begge de to som trekkes er Charlotte og Gunnar.

Sannsynligheten for at den første trukne eleven er enten Charlotte eller Gunnar, er

P_{1} = \frac{2}{10}

Gitt at den ene av dem allerede er trukket, er det nå $9$ elever igjen totalt, og bare $1$ av dem (den andre av Charlotte/Gunnar) gir oss det vi ønsker:

P_{2} = \frac{1}{9}

Sannsynligheten for at begge blir trukket ut, blir da

P (begge) = \frac{2}{10} \cdot \frac{1}{9} = \frac{2}{90} = \frac{1}{45} \approx 0,022

Sannsynligheten for at det blir Charlotte og Gunnar som lager kampoppsettet, er $P = \frac{1}{45} \approx 0,022$ .

Oppgavedata

Delt med: 1T, 1P
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Sannsynlighet, Kombinatorikk, Hypergeometrisk fordeling
Egen side: Åpne oppgave 1-11 for seg selv

Oppgave 1-12Eksakt trigonometri med 45 grader og beregning i trekant

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

|200

Bruk $Δ A B C$ ovenfor til å vise at

\sin 45^{\circ} = \cos 45^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2}

Gitt $Δ P Q R$ nedenfor.

|300

Bestem arealet av trekanten.

Bestem lengden av siden $Q R$ eksakt.

Fasit

Se utledning

$A = 24$

$Q R = 2 \sqrt{10}$

LøsningsforslagKI-generert

I $Δ A B C$ er det en rett vinkel i $A$ , og begge katetene har lengde $1$ . Da er trekanten likebeint og rettvinklet, slik at de to spisse vinklene begge er $45^{\circ}$ :

∠ B = ∠ C = 45^{\circ}

Hypotenusen $B C$ finner vi med Pytagoras’ setning:

B C = \sqrt{A C^{2} + A B^{2}} = \sqrt{1^{2} + 1^{2}} = \sqrt{2}

Bruker vi definisjonen av sinus og cosinus i den rettvinklede trekanten, med vinkel $B = 45^{\circ}$ , er $A C$ motstående katet og $A B$ hosliggende katet til $B C$ som hypotenus:

\sin 45^{\circ} = \frac{motstående katet}{hypotenus} = \frac{A C}{B C} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}

\cos 45^{\circ} = \frac{hosliggende katet}{hypotenus} = \frac{A B}{B C} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}

Vi har dermed vist at $\sin 45^{\circ} = \cos 45^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

I $Δ P Q R$ kjenner vi to sider og vinkelen mellom dem: $P R = 8$ , $P Q = 6 \sqrt{2}$ og $∠ P = 45^{\circ}$ . Da bruker vi arealsetningen:

A = \frac{1}{2} \cdot P Q \cdot P R \cdot \sin P

Vi setter inn tallene og bruker resultatet fra a), $\sin 45^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ :

A = \frac{1}{2} \cdot 6 \sqrt{2} \cdot 8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}

Vi regner ut $\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2$ , og forenkler:

A = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot \frac{2}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \sqrt{2} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}

A = \frac{6 \cdot 8 \cdot 2}{2 \cdot 2} = \frac{96}{4} = 24

Arealet av trekanten er $A = 24$ .

For å finne siden $Q R$ , som ligger motstående vinkel $P$ , bruker vi cosinussetningen:

Q R^{2} = P Q^{2} + P R^{2} - 2 \cdot P Q \cdot P R \cdot \cos P

Vi setter inn $P Q = 6 \sqrt{2}$ , $P R = 8$ , $∠ P = 45^{\circ}$ og $\cos 45^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ :

Q R^{2} = {(6 \sqrt{2})}^{2} + 8^{2} - 2 \cdot 6 \sqrt{2} \cdot 8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}

Vi regner ut hvert ledd for seg:

{(6 \sqrt{2})}^{2} = 36 \cdot 2 = 72 8^{2} = 64

2 \cdot 6 \sqrt{2} \cdot 8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 6 \cdot 8 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 48 \cdot 2 = 96

Da blir

Q R^{2} = 72 + 64 - 96 = 40

Q R = \sqrt{40} = \sqrt{4 \cdot 10} = 2 \sqrt{10}

Lengden av siden $Q R$ er $Q R = 2 \sqrt{10}$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Geometri, Trigonometri, Cosinussetningen, Arealsetningen, Eksakte verdier
Egen side: Åpne oppgave 1-12 for seg selv

Oppgave 1-13Maksimalt beiteareal for inngjerdet rektangel ved elv

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En bonde vil gjerde inn et område til dyrene sine. Området skal ligge ved elva og ha form som et rektangel med lengde $x$ meter og bredde $y$ meter. Se skissen nedenfor.

|500

Bonden skal til sammen bruke $1000$ meter gjerde. Han trenger ikke gjerde langs elva. Bonden ønsker at dyrene skal ha et så stort område som mulig å beite på.

Bestem $x$ og $y$ slik at arealet av området blir størst mulig.

Fasit

$x = 500 m, y = 250 m$

LøsningsforslagKI-generert

Rektangelet har lengde $x$ og bredde $y$ . Siden det ikke trengs gjerde langs elva, går gjerdet langs de to sidene med lengde $y$ og den ene siden med lengde $x$ . Til sammen skal dette gjerdet være $1000$ meter:

x + 2 y = 1000

Vi løser likningen med hensyn på $x$ :

x = 1000 - 2 y

Arealet av rektangelet er $A = x \cdot y$ . Vi setter inn uttrykket for $x$ , slik at arealet blir en funksjon av $y$ alene:

A (y) = (1000 - 2 y) \cdot y = 1000 y - 2 y^{2}

Dette er en andregradsfunksjon i $y$ med negativ koeffisient foran $y^{2}$ , så grafen er en nedovervendt parabel. Da gir arealet et toppunkt (maksimum), og $y$ -verdien til toppunktet finner vi med formelen for symmetriaksen $y = - \frac{b}{2 a}$ , der $a = - 2$ og $b = 1000$ :

y = - \frac{1000}{2 \cdot (- 2)} = - \frac{1000}{- 4} = 250

Vi setter $y = 250$ inn i uttrykket for $x$ :

x = 1000 - 2 \cdot 250 = 1000 - 500 = 500

Vi kontrollerer at dette faktisk gir et maksimum ved å sammenlikne med arealet for noen nærliggende verdier av $y$ , for eksempel $y = 200$ og $y = 300$ :

A (200) = 1000 \cdot 200 - 2 \cdot 200^{2} = 200 000 - 80 000 = 120 000

A (250) = 1000 \cdot 250 - 2 \cdot 250^{2} = 250 000 - 125 000 = 125 000

A (300) = 1000 \cdot 300 - 2 \cdot 300^{2} = 300 000 - 180 000 = 120 000

Arealet er størst når $y = 250$ , noe som bekrefter at dette er maksimumspunktet. Det største arealet blir da $A = 125 000 m^{2}$ .

Arealet av beiteområdet blir størst når $x = 500 m$ og $y = 250 m$ . Bonden bør altså gjerde inn et rektangel som er $500$ meter langt langs elva og $250$ meter bredt, slik at dyrene får et beiteareal på $125 000 m^{2}$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Geometri, Algebra, Funksjoner, Optimering, Andregradsfunksjon
Egen side: Åpne oppgave 1-13 for seg selv

Oppgave 2-1Puls i skirenn modellert med tredjegradsfunksjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Ole har deltatt i et skirenn. Funksjonen $P$ gitt ved

P (x) = 0,001 x^{3} - 0,09 x^{2} + 2,4 x + 74, x \in [0, 50]

viser pulsen hans som prosent av makspuls $x$ minutter etter starten av skirennet.

Krever PC

Tegn grafen til $P$ .

Krever PC

Hvor mange minutter var pulsen til Ole høyere enn $92 %$ av makspuls?

Kalkulator

Bestem den momentane vekstfarten til funksjonen $P$ når $x = 5$ . Gi en praktisk tolkning av dette svaret.

Fasit

Se graf i løsningsforslaget.

$20 m i n u t t e r$

$P^{'} (5) = 1,575$ — pulsen øker med ca. $1,575$ prosentpoeng av makspuls per minutt ved $x = 5$ .

LøsningsforslagKI-generert

Vi tegner grafen til $P$ på $[0, 50]$ med graftegner:

P (x) = 0,001 x^{3} - 0,09 x^{2} + 2,4 x + 74

Grafen til P(x) med grenselinjen y = 92

Vi skal finne hvor mange minutter $P (x) > 92$ . Vi legger inn linjen $y = 92$ og finner skjæringspunktene med $P$ i graftegneren (se figuren i a).

Skjæringspunktene har $x$ -verdiene

x_{1} \approx 12,68, x_{2} = 30, x_{3} \approx 47,32

Av grafen ser vi at $P (x) > 92$ på to atskilte intervall:

mellom $x_{1} \approx 12,68$ og $x_{2} = 30$
mellom $x_{3} \approx 47,32$ og $x = 50$ (høyre endepunkt av definisjonsmengden)

Lengden av disse intervallene er

\begin{matrix} Δ t_{1} & = 30 - 12,68 \approx 17,32 \\ Δ t_{2} & = 50 - 47,32 \approx 2,68 \end{matrix}

Total tid med puls høyere enn $92 %$ av makspuls:

Δ t_{1} + Δ t_{2} \approx 17,32 + 2,68 = 20,00

Pulsen til Ole var høyere enn $92 %$ av makspuls i $20 m i n u t t e r$ av skirennet.

Den momentane vekstfarten er verdien av den deriverte $P^{'} (x)$ i $x = 5$ . Vi deriverer:

P^{'} (x) = 0,003 x^{2} - 0,18 x + 2,4

Vi setter inn $x = 5$ :

\begin{matrix} P^{'} (5) & = 0,003 \cdot 5^{2} - 0,18 \cdot 5 + 2,4 \\ = 0,075 - 0,9 + 2,4 \\ = 1,575 \end{matrix}

$P^{'} (5) = 1,575$

Dette betyr at $5$ minutter etter start øker pulsen til Ole med ca. $1,575$ prosentpoeng av makspuls per minutt.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Funksjoner, Modellering, Derivasjon, Vekstfart, Tredjegradsfunksjon
Egen side: Åpne oppgave 2-1 for seg selv

Oppgave 2-2Deltakere i mosjonsløp med lineær regresjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

I tabellen nedenfor ser du hvor mange personer som deltok i et mosjonsløp, i årene 2000, 2005, 2010, 2015 og 2020.

År	2000	2005	2010	2015	2020
Antall deltakere	35	152	240	338	475

Krever PC

La $x$ være antall år etter 2000, og bruk regresjon til å bestemme en lineær funksjon $M$ som kan beskrive utviklingen i perioden $2000 - 2020$ .

For hånd

Hva forteller stigningstallet til funksjonen $M$ om den praktiske situasjonen?

Fasit

$M (x) = 21,32 x + 34,8$

Antall deltakere øker med omtrent $21$ personer per år.

LøsningsforslagKI-generert

Vi lar $x$ være antall år etter 2000, slik at tabellen gir punktene

(0, 35), (5, 152), (10, 240), (15, 338), (20, 475)

Vi legger punktene inn i GeoGebra og bruker lineær regresjon (FitLine) til å finne funksjonen $M$ som passer best til punktene.

Punkter og regresjonslinje for antall deltakere i mosjonsløpet

Dette gir

M (x) = 21,32 x + 34,8

Stigningstallet til $M$ er $21,32$ . Dette betyr at ifølge modellen økte antall deltakere i mosjonsløpet med omtrent $21 personer per år$ i perioden $2000 - 2020$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Funksjoner, Modellering, Regresjon, Lineære funksjoner
Egen side: Åpne oppgave 2-2 for seg selv

Oppgave 2-3Idrettslag og korps med mengdelære og sannsynlighet

Kalkulator

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

I en klasse er det 20 elever.

14 av elevene er med i idrettslaget.
7 av elevene er med i korpset.
2 av elevene er verken med i idrettslaget eller i korpset.

Læreren skal trekke ut én elev tilfeldig fra klassen.

Bestem sannsynligheten for at eleven er med i idrettslaget, men ikke i korpset.

Fasit

$P = 0,55$

LøsningsforslagKI-generert

Vi lar $I$ være hendelsen «eleven er med i idrettslaget» og $K$ være hendelsen «eleven er med i korpset». Vi setter opp en krysstabell for de 20 elevene.

Siden $2$ av elevene verken er med i idrettslaget eller korpset, er det

20 - 2 = 18

elever som er med i minst én av gruppene, altså $n (I \cup K) = 18$ .

Fra tellemetoden for foreningsmengder vet vi at

n (I \cup K) = n (I) + n (K) - n (I \cap K)

Vi setter inn de kjente verdiene og løser for $n (I \cap K)$ , altså antall elever som er med i både idrettslag og korps:

18 = 14 + 7 - n (I \cap K)

n (I \cap K) = 14 + 7 - 18 = 3

Antall elever som er med i idrettslaget, men ikke i korpset, blir da de $14$ i idrettslaget minus de $3$ som også er med i korpset:

14 - 3 = 11

Vi kan sette dette opp i en krysstabell:

	Korps	Ikke korps	Sum
Idrettslag	$3$	$11$	$14$
Ikke idrettslag	$4$	$2$	$6$
Sum	$7$	$13$	$20$

Sannsynligheten for at en tilfeldig trukket elev er med i idrettslaget, men ikke i korpset, blir da

P (I og ikke K) = \frac{11}{20} = 0,55

$P = 0,55 = 55 %$

Oppgavedata

Delt med: 1T, 1P
Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 3
Temaer: Sannsynlighet, Krysstabell, Venndiagram
Egen side: Åpne oppgave 2-3 for seg selv

Oppgave 2-4Generell tredjegradsfunksjon med tre parametere i CAS

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En funksjon $f$ er gitt ved

f (x) = x (x - a) (x - b) + c der a > 0 og b > 0

For hånd

Bruk CAS til å bestemme $f^{'} (x)$ .

For hånd

Bruk den deriverte til å vise at grafen til $f$ synker raskest når $x = \frac{1}{3} (a + b)$ .

For hånd

Bruk CAS til å vise at tangenten til grafen til $f$ i punktet $(\frac{a}{2}, f (\frac{a}{2}))$ skjærer grafen til $f$ i punktet $(b, c)$ .

Fasit

$f^{'} (x) = 3 x^{2} - 2 (a + b) x + a b$

Se løsningsforslag

LøsningsforslagKI-generert

Vi legger $f$ inn i CAS og lar CAS derivere:

f (x) : = x (x - a) (x - b) + c

Skjermbilde av GeoGebra CAS

CAS gir (linje 1–2 i utklippet)

f (x) = x (- a + x) (- b + x) + c

f^{'} (x) = 3 x^{2} + a b - 2 a x - 2 b x = 3 x^{2} - 2 (a + b) x + a b

Grafen til $f$ synker raskest der $f^{'} (x)$ har sin minste verdi (den mest negative stigningen). Siden $f^{'}$ er et andregradsuttrykk med positiv koeffisient foran $x^{2}$ ( $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 2 (a + b) x + a b$ ), er grafen til $f^{'}$ en oppadåpnet parabel. Minimumsverdien til $f^{'}$ ligger derfor i bunnpunktet til denne parabelen.

Bunnpunktet til en parabel $g (x) = A x^{2} + B x + D$ ligger ved $x = - \frac{B}{2 A}$ . Her er $A = 3$ og $B = - 2 (a + b)$ , så

x = - \frac{- 2 (a + b)}{2 \cdot 3} = \frac{2 (a + b)}{6} = \frac{1}{3} (a + b)

Alternativt kan vi finne bunnpunktet ved å derivere $f^{'}$ og sette den dobbeltderiverte lik null:

f^{''} (x) = 6 x - 2 (a + b) = 0 \Rightarrow x = \frac{2 (a + b)}{6} = \frac{1}{3} (a + b)

Siden $f^{''}$ skifter fortegn fra negativ til positiv i dette punktet (koeffisienten foran $x$ er positiv), er dette et minimumspunkt for $f^{'}$ , altså der $f$ synker raskest.

x = \frac{1}{3} (a + b)

Vi bruker CAS til å finne tangentlikningen i $x = \frac{a}{2}$ og setter så inn $x = b$ :

g (x) : = Derivert (f, x) t (x) : = f (\frac{a}{2}) + g (\frac{a}{2}) (x - \frac{a}{2})

Se linje 3–4 i utklippet ovenfor. CAS gir tangentlikningen

t (x) = \frac{1}{4} a^{2} b - \frac{1}{4} a^{2} x + c

og når vi forenkler $t (b) - c$ , gir CAS svaret $0$ (linje 4). Det betyr at

t (b) = c

Siden $f (b) = b (b - a) (b - b) + c = 0 + c = c$ , ligger punktet $(b, c)$ på grafen til $f$ . Vi har nå vist at tangenten i $x = \frac{a}{2}$ også går gjennom dette punktet, altså at

tangenten til f i x = \frac{a}{2} skjærer grafen til f i punktet (b, c)

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Funksjoner, CAS, Derivasjon, Parametere, Tangentlikning
Egen side: Åpne oppgave 2-4 for seg selv

Oppgave 2-5Tre geometriske utledninger av arealformelen for et trapes

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Elevene i en 1T-klasse skal utlede formelen for arealet $A$ av et trapes.

|300

Adrian begynner med å dele opp trapeset som vist på figur 2. Han ser på arealet av de to trekantene han får.

|300

For hånd

Fullfør utledningen for Adrian.

Iris begynner med å merke av midtpunktet på linjestykket med lengde $a$ . Hun deler så inn trapeset som vist på figur 3. Hun ser på arealet av de tre trekantene hun får.

|300

For hånd

Fullfør utledningen for Iris.

Sanne begynner med å plassere en kopi av trapeset ved siden av det opprinnelige. Se figur 4. Hun påstår at den nye figuren er et parallellogram.

|400

For hånd

Begrunn at den nye figuren er et parallellogram, og fullfør utledningen for Sanne.

Fasit

$A = \frac{a + b}{2} \cdot h$

LøsningsforslagKI-generert

Diagonalen på figur 2 deler trapeset i to trekanter:

En trekant med grunnlinje $a$ og høyde $h$ .
En trekant med grunnlinje $b$ og høyde $h$ .

Begge trekantene har samme høyde $h$ som trapeset, siden $b$ er parallell med $a$ . Arealet av trapeset er summen av arealene til de to trekantene:

A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h + \frac{1}{2} \cdot b \cdot h

Vi setter $\frac{1}{2} \cdot h$ utenfor parentes:

A = \frac{1}{2} \cdot h \cdot (a + b) = \frac{a + b}{2} \cdot h

Dette er den samme formelen som skulle utledes.

Midtpunktet på $a$ deler grunnlinjen i to like deler, hver med lengde $\frac{a}{2}$ . Figur 3 viser at trapeset da blir delt i tre trekanter, som alle har høyde $h$ (avstanden mellom de to parallelle linjene):

Trekanten lengst til venstre har grunnlinje $\frac{a}{2}$ .
Trekanten i midten har grunnlinje $b$ (den øverste siden).
Trekanten lengst til høyre har grunnlinje $\frac{a}{2}$ .

Summen av arealene til de tre trekantene blir

A = \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{2} \cdot h + \frac{1}{2} \cdot b \cdot h + \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{2} \cdot h

De to ytre trekantene har til sammen samme areal som én trekant med grunnlinje $a$ :

A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h + \frac{1}{2} \cdot b \cdot h = \frac{1}{2} \cdot h \cdot (a + b) = \frac{a + b}{2} \cdot h

Vi får altså samme formel som i a).

Begrunnelse for at figuren er et parallellogram:

Den nye figuren består av det opprinnelige trapeset og en kopi av det som er dreid $180 °$ (punktsymmetri) om midtpunktet av det skrå sidestykket til høyre. Når en figur dreies $180 °$ om et punkt på en rett linje, blir linjen avbildet på seg selv videre utover — derfor blir det skrå sidestykket til trapeset og det tilsvarende sidestykket i kopien liggende på samme rette linje. Det betyr at både toppen og bunnen av den sammensatte figuren blir rette linjer, med lengde

b + a (topp) og a + b (bunn)

Toppen og bunnen er altså like lange. I tillegg er de parallelle, siden $a ∥ b$ i det opprinnelige trapeset og punktsymmetrien bevarer denne parallelliteten i kopien. En firkant der de to motstående sidene er både like lange og parallelle, er et parallellogram.

Fullføring av utledningen:

Parallellogrammet har grunnlinje $a + b$ og høyde $h$ , så arealet blir

A_{parallellogram} = (a + b) \cdot h

Parallellogrammet er satt sammen av to like store trapeser (det opprinnelige og den dreide kopien), så arealet av ett trapes er halvparten av dette:

A = \frac{A_{parallellogram}}{2} = \frac{(a + b) \cdot h}{2} = \frac{a + b}{2} \cdot h

Alle tre metodene gir dermed den samme arealformelen for trapeset.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Geometri, Areal og omkrets, Bevis
Egen side: Åpne oppgave 2-5 for seg selv

Del 1uten hjelpemidler · 2 timer · 13 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 1-1·Likning for rett linje avlest fra rutenett

Oppgave 1-2·Standardform med produkt og brøk av tierpotenser

Oppgave 1-3·Lineært likningssystem med positive heltallsløsninger

Oppgave 1-4·Forenkling av brøkuttrykk ved første kvadratsetning og konjugatsetningen

Oppgave 1-5·Bestemme parameter k for fullstendig kvadrat

Oppgave 1-6·Forenkling av brøk med potenser og røtter

Oppgave 1-7·Forenkling av logaritmisk brøk med tierlogaritmer

Oppgave 1-8·Eksponentlikning med toerpotens og logaritmelikning med andregradsledd

Oppgave 1-9·Grafisk løsning av ulikhet mellom parabel og rett linje

Oppgave 1-10·Tangenter med negativt stigningstall til en tredjegradsfunksjon

Oppgave 1-11·Tilfeldig trekning av to elever til turneringskomité

Oppgave 1-12·Eksakt trigonometri med 45 grader og beregning i trekant

Oppgave 1-13·Maksimalt beiteareal for inngjerdet rektangel ved elv

Del 2alle hjelpemidler · 3 timer · 5 oppgaver · 25 poeng

Oppgave 2-1·Puls i skirenn modellert med tredjegradsfunksjon

Oppgave 2-2·Deltakere i mosjonsløp med lineær regresjon

Oppgave 2-3·Idrettslag og korps med mengdelære og sannsynlighet

Oppgave 2-4·Generell tredjegradsfunksjon med tre parametere i CAS

Oppgave 2-5·Tre geometriske utledninger av arealformelen for et trapes

Temaer

Oppgave 1-1Likning for rett linje avlest fra rutenett

Oppgave 1-2Standardform med produkt og brøk av tierpotenser

Oppgave 1-3Lineært likningssystem med positive heltallsløsninger

Oppgave 1-4Forenkling av brøkuttrykk ved første kvadratsetning og konjugatsetningen

Oppgave 1-5Bestemme parameter k for fullstendig kvadrat

Oppgave 1-6Forenkling av brøk med potenser og røtter

Oppgave 1-7Forenkling av logaritmisk brøk med tierlogaritmer

Oppgave 1-8Eksponentlikning med toerpotens og logaritmelikning med andregradsledd

Oppgave 1-9Grafisk løsning av ulikhet mellom parabel og rett linje

Oppgave 1-10Tangenter med negativt stigningstall til en tredjegradsfunksjon

Oppgave 1-11Tilfeldig trekning av to elever til turneringskomité

Oppgave 1-12Eksakt trigonometri med 45 grader og beregning i trekant

Oppgave 1-13Maksimalt beiteareal for inngjerdet rektangel ved elv

Oppgave 2-1Puls i skirenn modellert med tredjegradsfunksjon

Oppgave 2-2Deltakere i mosjonsløp med lineær regresjon

Oppgave 2-3Idrettslag og korps med mengdelære og sannsynlighet

Oppgave 2-4Generell tredjegradsfunksjon med tre parametere i CAS

Oppgave 2-5Tre geometriske utledninger av arealformelen for et trapes