1T Eksempeloppgave 2020

Funksjonen $f(x)=x^2-2$ har nullpunkter der $x^2=2$, altså for $x=-\sqrt{2}\approx -\mathrm{1,41}$ og $x=\sqrt{2}\approx \mathrm{1,41}$. Begge disse $x$-verdiene ligger inni intervallet $⟨-2,2⟩$ som linspace deler opp.

Listen X består av $400$ $x$-verdier jevnt fordelt mellom $-2$ og $2$, og Y er de tilhørende $y$-verdiene $f(x)$. For løkka som går gjennom nabopunktene, undersøker testen

om $Y[i]$ og $Y[i+1]$ har forskjellig fortegn (produktet av to tall med ulikt fortegn er negativt) eller om et av dem er null. Det betyr at grafen til $f$ har krysset $x$-aksen et sted mellom $X[i]$ og $X[i+1]$ — altså at det finnes et nullpunkt mellom disse to nabopunktene.

Siden $f$ har to nullpunkter i intervallet $⟨-2,2⟩$ (ett rundt $x\approx -\mathrm{1,41}$ og ett rundt $x\approx \mathrm{1,41}$), vil testen slå til to ganger når løkka går gjennom alle $399$ nabopar. Programmet vil derfor skrive ut

Jeg har funnet et nullpunkt.
Jeg har funnet et nullpunkt.

Kjøring av det originale programmet bekrefter dette:

from numpy import linspace

def f(x):
    return x ** 2 - 2

X = linspace(-2, 2, 400)
Y = f(X)

count = 0
for i in range(0, 399):
    if Y[i] * Y[i + 1] <= 0:
        print("Jeg har funnet et nullpunkt.")
        count += 1

Utskrift:

Jeg har funnet et nullpunkt.
Jeg har funnet et nullpunkt.

Meldingen skrives altså ut to ganger, fordi $f(x)=x^2-2$ har to nullpunkter i intervallet $⟨-2,2⟩$.

For å skrive ut tilnærmede verdier for nullpunktene, kan vi bruke gjennomsnittet av de to $x$-verdiene $X[i]$ og $X[i+1]$ der fortegnsskiftet skjer, som en tilnærming til nullpunktet:

from numpy import linspace

def f(x):
    return x ** 2 - 2

X = linspace(-2, 2, 400)
Y = f(X)

for i in range(0, 399):
    if Y[i] * Y[i + 1] <= 0:
        nullpunkt = (X[i] + X[i + 1]) / 2
        print(f"Jeg har funnet et nullpunkt: x = {nullpunkt:.4f}")

Kjøring av programmet gir følgende utskrift:

Jeg har funnet et nullpunkt: x = -1.4135
Jeg har funnet et nullpunkt: x = 1.4135

Dette stemmer godt med de eksakte nullpunktene $x=-\sqrt{2}\approx -\mathrm{1,4142}$ og $x=\sqrt{2}\approx \mathrm{1,4142}$ — avviket skyldes at linspace bare gir et endelig antall punkter, slik at nullpunktet ligger et sted mellom to nabopunkter og ikke nødvendigvis nøyaktig i et av dem.

Tilnærmede nullpunkter: $\underline{\underline{x\approx -\mathrm{1,41}\text{ og }x\approx \mathrm{1,41}}}$

Stigningstallet til en rett linje forteller hvor mye $y$-verdien endrer seg når $x$ øker med $1$. Her er $x$ tid i timer og $y$ er temperatur i $°\text{C}$, så stigningstallet $\mathrm{0,26}$ betyr at temperaturen ved Lindesnes fyr øker med $\mathrm{0,26}°\text{C}$ for hver time som går, i tidsrommet linja beskriver.

Stigningstallet mellom punktene $(4,\mathrm{4,7})$ og $(14,k)$ er gitt ved

Vi løser for $k$:

Verdien til $k$ er $\underline{\underline{k=\mathrm{7,3}}}$.

La $P(x)=2x^3+5x^2-11x+4$. Vi bruker faktorsetningen: $(2x-1)$ er en faktor i $P(x)$ hvis og bare hvis $x=\frac{1}{2}$ er et nullpunkt, altså $P\left(\frac{1}{2}\right)=0$. Vi trenger da ikke utføre selve divisjonen — det holder å sette $x=\frac{1}{2}$ inn i $P(x)$:

Siden $P\left(\frac{1}{2}\right)=0$, er $2x^3+5x^2-11x+4$ delelig med $(2x-1)$.

Vi ser først på det aller første trekket i divisjonen:

Her skal vi trekke fra hele parentesen, altså både $2x^3$ og $-x^2$. Det betyr at $5x^2$-leddet skal bli

Robina har i stedet regnet $5x^2-x^2=4x^2$ — hun har glemt å skifte fortegn på $-x^2$ når hun trekker fra. Det er her feilen ligger. Riktig linje skal derfor være $6x^2-11x+4$, ikke $4x^2-11x+4$ slik Robina har skrevet.

At Robina likevel ender opp med rest $0$, er ikke et bevis på at svaret er riktig — det viser bare at feilene hennes tilfeldigvis “går opp” til slutt. Vi kan sjekke svaret hennes ved å multiplisere tilbake:

Siden dette ikke stemmer med det opprinnelige polynomet, er Robinas kvotient $x^2+2x-4$ feil.

Utfører vi divisjonen riktig, får vi

slik at

Vi kan kontrollere: $(2x-1)(x^2+3x-4)=2x^3+5x^2-11x+4$ ✓.

Robinas faktorisering $(2x-1)(x+2)(x-2)$ gir nullpunktene $x=\frac{1}{2}$, $x=-2$ og $x=2$ — tre nullpunkter som er nokså jevnt fordelt langs $x$-aksen, med god avstand mellom hvert av dem.

Den riktige faktoriseringen er $x^2+3x-4=(x+4)(x-1)$, altså

med nullpunktene $x=-4$, $x=\frac{1}{2}$ og $x=1$: ett nullpunkt langt til venstre, og to nullpunkter som ligger tett sammen (bare $\mathrm{0,5}$ fra hverandre) like til høyre for origo.

Grete kan se på skissen at grafen har nøyaktig dette mønsteret: kurven krysser $x$-aksen én gang langt til venstre, stiger til et toppunkt, og synker deretter ned mot et bunnpunkt som ligger like ved og nesten berører $x$-aksen — det vil si to nullpunkter tett sammen. Dette stemmer med nullpunktene $-4$, $\frac{1}{2}$ og $1$, men ikke med Robinas nullpunkter $-2$, $\frac{1}{2}$ og $2$, som ligger for jevnt fordelt til å gi en så trang “dukkert” ved bunnpunktet. Grete kan altså se ut fra formen på grafen, uten å regne, at Robinas faktorisering ikke kan være riktig.

Punktene $A$ og $B$ ligger på linja $n$. Vinkelen $v$ og vinkelen $\angle BAC$ ligger begge ved punktet $A$, på hver sin side av linjestykket $AC$, og til sammen utgjør de en rett linje langs $n$. Det betyr at $v$ og $\angle BAC$ er nabovinkler (supplementvinkler):

For alle vinkler gjelder identiteten $\sin (180°-x)=\sin x$. Siden $v=180°-\angle BAC$, får vi

Uten arealsetningen

Trekant $ABC$ har grunnlinje $AB=7$. Siden $C$ ligger på linja $m$, som er parallell med $n$ og ligger i avstand $4$ fra $n$, er høyden fra $C$ ned på grunnlinja $AB$ lik $4$. Da blir arealet

Med arealsetningen

Arealsetningen krever at vi kjenner to sider og vinkelen mellom dem, altså $AB$, $AC$ og $\angle BAC$. Vi kjenner $AB=7$ og $AC=5$, men må finne $\angle BAC$.

Vi feller en normal fra $C$ ned på linja $n$ og kaller foten $D$, som vist på skissen under. Da får vi en rettvinklet trekant $ACD$ der $AC=5$ er hypotenusen, og $CD=4$ (avstanden mellom de parallelle linjene) er motstående katet til vinkelen $v$ i $A$:

Fra a) vet vi at $\sin \angle BAC=\sin v=\mathrm{0,8}$. Da gir arealsetningen

Begge metodene gir samme areal, som bekrefter at utregningen stemmer.

Svar: $\underline{\underline{\text{Areal}=14}}$

Ser vi på figurene til Hanne, gjør hun det samme hver gang: hun legger et størst mulig kvadrat inntil rektangelet, og det som blir igjen er et nytt, mindre rektangel. Dette gjentas helt til det som er igjen selv er et kvadrat (helt dekket av like store kvadrater).

Dette er nøyaktig framgangsmåten i Euklids algoritme for å finne den største felles faktoren (gcd) til to hele tall — her sidelengdene $a$ og $b$ i rektangelet.

Algoritmen kan beskrives slik, i ord:

1. La $a$ være den lengste siden og $b$ den korteste siden i rektangelet.
2. Legg på et størst mulig kvadrat med sidekant $b$ inntil rektangelet.
3. Det som er igjen av rektangelet, har sidene $b$ og $r$, der $r$ er resten når $a$ deles på $b$ (altså $r=amodb$).
4. Sett $a=b$ og $b=r$, og gjenta fra steg 2.
5. Når resten $r$ blir $0$, er hele det opprinnelige rektangelet dekket av kvadrater med sidekant lik den siste verdien av $b$. Dette er den maksimale sidekanten kvadratene kan ha.

Som pseudokode:

SETT a = lengste side
SETT b = korteste side
SÅ LENGE b ≠ 0
    r = a MOD b
    a = b
    b = r
SLUTT SÅ LENGE
Sidekanten til de største kvadratene er a

Vi bruker samme algoritme til å skrive et program. Programmet spør etter sidene i rektangelet og regner ut den maksimale sidekanten med Euklids algoritme (modulo-operasjonen % i Python):

def storste_kvadrat(a, b):
    while b != 0:
        a, b = b, a % b
    return a

lengde = 18
bredde = 8
sidekant = storste_kvadrat(lengde, bredde)
print(f"Kvadratene kan maksimalt ha sidekant {sidekant}.")

Kjøring av programmet med et rektangel på $18\times 8$ gir følgende utskrift:

Kvadratene kan maksimalt ha sidekant 2.

Det stemmer: $18=2\cdot 9$ og $8=2\cdot 4$, så $2$ er den største felles faktoren til $18$ og $8$, og dermed den maksimale sidekanten kvadratene kan ha for å dekke rektangelet helt.

Programmet gir altså sidekanten til de største kvadratene som kan dekke et rektangel, ved å bruke Euklids algoritme (gjentatt modulo-operasjon) helt til resten blir $0$.