Eksponentiell modell for salg av energidrikker

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Tabellen nedenfor viser salg av energidrikker i Norge hvert år fra 2015 til 2021.

Årstall	2015	2016	2017	2018	2019	2020	2021
Salg (tusen liter)	$18\,899$	$21\,664$	$25\,381$	$31\,385$	$41\,142$	$55\,497$	$67\,997$

La $x$ være antall år etter 2015.

Lag en modell på formen

E(x) = a \cdot b^{x}

som passer godt med tallene i tabellen.

Hva forteller tallene $a$ og $b$ i modellen du fant i oppgave a)?

I 2022 var salget av energidrikk 73 109 tusen liter.

Hvor stor var økningen i salget av energidrikk i prosent fra 2021 til 2022? Vurder hvordan dette passer med modellen i oppgave a).

Fasit

$\underline{\underline{E(x) = 17\,396 \cdot 1{,}248^x}}$

$a \approx 17\,396$ : modellens estimat for salget i 2015 (tusen liter). $b \approx 1{,}248$ : salget øker med ca. $\underline{\underline{24{,}8 \,\%}}$ per år ifølge modellen.

Faktisk økning fra 2021 til 2022: $\underline{\underline{\approx 7{,}5 \,\%}}$ . Modellen passer dårlig for 2022 — veksten har avtatt kraftig.

LøsningsforslagKI-generert

Vi legger inn datapunktene i GeoGebra og bruker eksponentiell regresjon med kommandoen RegEksp.

La $x$ = antall år etter 2015 og $y$ = salg i tusen liter.

Datapunktene er plottet som røde punkter i grafen under. GeoGebra gir regresjonsmodellen

\mathbf{E(x) = 17\,396 \cdot 1{,}248^x}

Graf med datapunkter og regresjonsmodellen E(x)

Kurven passer godt med datapunktene fra 2015 til 2021 (se grafen).

$a \approx 17\,396$ er modellens verdi for $E(0)$ , det vil si estimert salg i 2015: ca. $17\,400$ tusen liter. (Det faktiske salget i 2015 var $18\,899$ tusen liter — $a$ er altså et estimat, ikke den eksakte verdien.)
$b \approx 1{,}248$ er vekstfaktoren. Det betyr at salget ifølge modellen øker med ca. $24{,}8 \,\%$ per år.

Vi beregner faktisk prosentvis økning fra 2021 til 2022:

\frac{73\,109 - 67\,997}{67\,997} \cdot 100 \,\% \approx \frac{5\,112}{67\,997} \cdot 100 \,\% \approx 7{,}5 \,\%

Den faktiske veksten fra 2021 til 2022 var altså ca. $7{,}5 \,\%$ .

Modellen vår anslår en vekst på ca. $24{,}8 \,\%$ per år. Det er langt mer enn den faktiske veksten på $7{,}5 \,\%$ .

Vi kan også sammenligne modellens spådom for 2022 ( $x = 7$ ) med det faktiske salget:

E(7) = 17\,396 \cdot 1{,}248^7 \approx 82\,000 \text{ tusen liter}

Faktisk salg i 2022 var $73\,109$ tusen liter (det grønne punktet P2022 i grafen). Modellen overestimerer altså salget i 2022 med ca. 9 000 tusen liter.

Modellen passer dårlig for 2022. Veksten i salget har avtatt betydelig — fra rundt $25 \,\%$ per år (2015–2021) til bare $7{,}5 \,\%$ fra 2021 til 2022. Den eksponentielle modellen er best egnet for perioden den er basert på (2015–2021), men overestimerer kraftig når veksten bremser opp.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 6 poeng

En kandidat som bruker en eksponentialfunksjon og velger en riktig strategi, men ikke kommer fram til en riktig modell, får 1 poeng.

En kandidat som ikke bruker en eksponentialfunksjon, får ingen uttelling.

For å få full uttelling må kandidaten gi en praktisk tolkning av begge parameterne.

I utgangspunktet gis 1 poeng for riktige beregninger og 1 poeng for vurdering av svaret.

Oppgavedata

Hentet fra: 1P V2023, del 2, oppgave 6
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Regresjon, Eksponentiell vekst, Prosentvis vekst
Kompetansemål: Tolke og bruke funksjonar i matematisk modellering og problemløysing
Bruke digitale verktøy i utforsking og problemløysing knytt til eigenskapar ved funksjonar, og diskutere løysingane

Eksponentiell modell for salg av energidrikker

Sync på tvers av enheter

Eksponentiell modell for salg av energidrikker

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave