Gjennomsnittstemperatur på Svalbard og den deriverte

De siste årene har Lars bodd på Svalbard fra 1. februar til 1. oktober. Hvert år har han målt temperaturen utenfor huset sitt på ulike tidspunkt noen dager hver uke.

Han har funnet at funksjonen $T$ gitt ved

T(x)=0{,}048 x^{4}-1{,}4 x^{3}+13{,}36 x^{2}-45{,}8 x+35{,}2 \quad, \quad x \in[2,10]

er en rimelig bra modell for gjennomsnittstemperaturen $T(x) \degree\mathrm{C}$ hvert døgn de månedene han bor på Svalbard, når han lar $x=2$ svare til 1. februar, $x=3$ til 1. mars, $x=4$ til 1 . april og så videre.

Bestem nullpunkter og ekstremalpunkter til den deriverte funksjonen $T^{\prime}$ .

Gjør rede for hva koordinatene til hvert av punktene forteller om gjennomsnittstemperaturen utenfor huset til Lars.

Fasit

Se løsningforslaget

Løsningsforslag

Jeg tegnet $T'$ sammen med $T$ i koordinatsystemet og fant nullpunkter og ekstremalpunkter til $T'$ .

Del 2 oppgave 1c. Vekstfarten til temperaturen på Svalbard

\begin{aligned} \text{Toppunkt (M)}:& \quad (4{,}69 , 6{,}94)\\ \text{Bunnpunkt (N)}:& \quad (9{,}90 , -6{,}62)\\ \text{Nullpunkter (G og H):}& \quad (2{,}76 , 0)\text{ og } (7{,}33 , 0) \end{aligned}

Jeg sammenlignet disse punktene med tilsvarende punkter på grafen til $T$ .

Nullpunktene til $T'$ ligger ved samme $x$ -verdi som ekstremalpunktene til $T$ . $y$ -koordinatene til nullpunktene til $T'$ er selvsagt null, og det stemmer godt med at vekstfarten i ekstremalpunktene til $T$ er null. Ved hjelp av nullpunktene til $T'$ finner vi den kaldeste temperaturen i bunnpunktet 23. februar og den varmeste temperaturen i toppunktet 10. juli.

Toppunktet til $T'$ er er ved $x=4,69$ og $y=6,94$ . Det vil si at rundt den 21. april vil temperaturen øke raskest. Gjennomsnittstemperaturen stiger raskest med 6,94 grader per måned rundt 21. april.

Bunnpunktet til $T'$ er er ved $x=9,90$ og $y=-6,62$ . Det vil si at rundt den 27. september vil temperaturen synke raskest. Gjennomsnittstemperaturen synker raskest med 6,62 grader per måned rundt 27. september.

Sensorveiledning

2 poeng

For å få 1 poeng, må kandidaten svare riktig på to av de fire spørsmålene i oppgaven.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 2
Temaer: derivasjon, funksjonsdrøfting, funksjoner
Kompetansemål: Bruke gjennomsnittleg og momentan vekstfart i konkrete døme og gjere greie for den deriverte
Utforske og beskrive eigenskapane ved polynomfunksjonar, rasjonale funksjonar, eksponentialfunksjonar og potensfunksjonar