1P Vår 2011

Oppgave 1-1Islandske kroner, flybussbillett og overslag

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Land	Kode	Kurs
Island	ISK	5,25

Markus har vært på Island. I banken betalte han 5,25 norske kroner for 100 islandske kroner (ISK).

Markus besøkte Hallgrimskirka i Reykjavik. Det kostet 500 ISK å komme opp i kirketårnet.

Hvor mye tilsvarte dette i norske kroner?

Markus fant etter hvert en enkel metode for å gjøre overslagsregning fra islandske kroner til norske kroner:

Forklar hvorfor denne metoden gir et godt overslag.

Markus tok buss fra flyplassen i Keflavik til busstasjonen i Reykjavik. Da han skulle kjøpe billett, fikk han tilbud om å kjøpe en enveisbillett for 1950 ISK eller en tur-retur-billett for 3500 ISK.

Markus valgte å kjøpe en tur-retur-billett.

Gjør overslag og finn ut omtrent hvor mange prosent han sparte på det.

Fasit

$26,25 kr$

Metoden tilsvarer å dele på $20$ , og det gir en kurs på $5 kr$ per $100 ISK$ — nær den faktiske kursen på $5,25$ .

$ca. 12 %$

LøsningsforslagKI-generert

Kursen er $5,25$ norske kroner per $100$ islandske kroner (ISK). For å regne om $500$ ISK til norske kroner, ganger vi med kursen og deler på $100$ :

500 ISK \cdot \frac{5,25}{100} = 26,25 kr

Det kostet altså $26,25 kr$ å komme opp i kirketårnet.

Markus’ metode er å stryke en null (dele på $10$ ) og deretter dele på $2$ . Til sammen betyr dette at han deler det islandske beløpet på $10 \cdot 2 = 20$ .

Å dele på $20$ tilsvarer å bruke en kurs på

\frac{100}{20} = 5 kr per 100 ISK

Den faktiske kursen er $5,25 kr$ per $100 ISK$ . Siden $5$ ligger svært nært $5,25$ , gir metoden et godt overslag — feilen er bare $0,25$ kroner per $100$ ISK, altså en avvik på under $5 %$ .

Vi runder tallene for å gjøre et overslag. Enveisbilletten koster $1950$ ISK, som vi runder opp til $2000$ ISK.

To enveisbilletter ville da kostet omtrent

2 \cdot 2000 ISK = 4000 ISK

Tur-retur-billetten koster $3500$ ISK, så besparelsen er omtrent

4000 ISK - 3500 ISK = 500 ISK

Prosentvis besparelse regnet ut fra prisen på to enveisbilletter:

\frac{500}{4000} \cdot 100 % = 12,5 %

Markus sparte altså $ca. 12 %$ på å kjøpe tur-retur-billett i stedet for to enveisbilletter.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Økonomi, Tallregning, Prosentregning
Egen side: Åpne oppgave 1-1 for seg selv

Oppgave 1-2Hårspray, indeks, målestokk, prisme og sommerferie

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Tre sprayboks-størrelser av hårsprayen: Biggie 600 mL, Normal 400 mL og Mini 100 mL

Hårsprayen ”Hard Head” selges i tre ulike størrelser. Se bildet ovenfor. En sprayboks med 400 mL hårspray koster 140 kroner.

Hva skulle ”Biggie” og ”Mini” kostet dersom pris og milliliter hadde vært proporsjonale størrelser?

I 2008 kostet en vare 550 kroner. Indeksen for denne varen var da 110. I 2010 kostet varen 600 kroner.

Hva var indeksen for varen i 2010?

4 cm på et kart tilsvarer 60 km i virkeligheten. Hvilken målestokk har kartet?

Maria har tegnet en sirkel med radius 2 cm. Tommy vil tegne en sirkel som har fire ganger så stort areal som sirkelen til Maria.

Hvor stor må radius i denne sirkelen være?

En vare selges i to forskjellige butikker. Prisen er den samme i begge butikkene. I butikk A settes prisen opp med 20 %. I butikk B settes prisen først opp med 10 % og så etter noen dager med 10 % til.

Marit påstår at prisen da fremdeles er den samme i begge butikkene.

Forklar Marit hvorfor dette ikke er riktig. Bruk gjerne et eksempel når du forklarer.

En kloss har form som et rett trekantet prisme. $∠ A = 90 °$ , $A B = 3,0 c m$ , $A C = 4,0 c m$ og høyden er $3,5 c m$ . Se skissen til høyre.

Skisse av et rett trekantet prisme med rett vinkel i A, AB = 3,0 cm, AC = 4,0 cm og høyde 3,5 cm

Regn ut volumet av klossen.

Regn ut overflaten av klossen.

De 20 elevene i klasse 1A planlegger sommerferien.

16 elever har fått sommerjobb.
10 av elevene som har fått sommerjobb, skal også på ferie.
2 elever har ikke fått sommerjobb og skal heller ikke på ferie.

Systematiser opplysningene i teksten ovenfor i en krysstabell eller i et venndiagram.

Finn sannsynligheten for at en tilfeldig valgt elev fra klasse 1A skal på ferie.

Fasit

Biggie $210 kr$ , Mini $35 kr$

$120$

$1 : 1 500 000$

$r = 4 cm$

Forklaring — total økning blir $21 %$ , ikke $20 %$

1) $V = 21 {cm}^{3}$ 2) $O = 54 {cm}^{2}$

1) Krysstabell/Venndiagram 2) $P (ferie) = 0,6 = 60 %$

LøsningsforslagKI-generert

Siden $400 mL$ koster $140$ kroner, finner vi prisen per milliliter:

\frac{140 kr}{400 mL} = 0,35 k r / m L

Når pris og mengde er proporsjonale, ganger vi denne prisen med antall milliliter:

Biggie: 600 mL \cdot 0,35 k r / m L = 210 kr

Mini: 100 mL \cdot 0,35 k r / m L = 35 kr

”Biggie” skulle kostet $210 kr$ , og ”Mini” skulle kostet $35 kr$ .

I 2008 kostet varen $550$ kroner, og indeksen var da $110$ . Vi finner prisen som tilsvarer indeks $100$ (grunnlagsåret):

Pris ved indeks 100 = \frac{550 kr}{110} \cdot 100 = 500 kr

I 2010 kostet varen $600$ kroner. Indeksen i 2010 finner vi ved å sammenligne med prisen ved indeks $100$ :

{Indeks}_{2010} = \frac{600 kr}{500 kr} \cdot 100 = 120

Indeksen for varen i 2010 var $120$ .

Målestokken forteller hvor mange ganger større avstanden i virkeligheten er enn avstanden på kartet. Vi regner om $60$ km til centimeter:

60 km = 60 \cdot 100 000 cm = 6 000 000 cm

$4$ cm på kartet tilsvarer altså $6 000 000$ cm i virkeligheten. Vi deler begge tall på $4$ for å få målestokken på formen $1 : n$ :

4 cm : 6 000 000 cm = 1 : 1 500 000

Kartet har målestokk $1 : 1 500 000$ .

Arealet av Marias sirkel med radius $r_{1} = 2$ cm er

A_{1} = π \cdot r_{1}^{2} = π \cdot 2^{2} = 4 π {cm}^{2}

Tommys sirkel skal ha fire ganger så stort areal:

A_{2} = 4 \cdot A_{1} = 4 \cdot 4 π = 16 π {cm}^{2}

Vi setter dette lik $π \cdot r_{2}^{2}$ og løser for $r_{2}$ :

\begin{matrix} π \cdot r_{2}^{2} & = 16 π \\ r_{2}^{2} & = 16 \\ r_{2} & = \sqrt{16} = 4 \end{matrix}

Radien i Tommys sirkel må være $r = 4 cm$ .

(Legg merke til at når radius dobles, blir arealet fire ganger så stort — dette følger av at arealformelen inneholder $r^{2}$ .)

Marit tar feil. Når prisen først settes opp med $10 %$ , blir den nye prisen $110 %$ av den opprinnelige. Når prisen deretter settes opp med $10 %$ til, regnes denne økningen av den nye, allerede høyere prisen — ikke av den opprinnelige prisen.

Vi kan vise dette med et eksempel. Anta at varen i utgangspunktet koster $100$ kroner i begge butikkene.

Butikk A (én økning på $20 %$ ):

100 kr \cdot 1,20 = 120 kr

Butikk B (to økninger på $10 %$ hver):

100 kr \cdot 1,10 \cdot 1,10 = 121 kr

Prisen i butikk B blir altså $121$ kroner, mens prisen i butikk A blir $120$ kroner. Den totale økningen i butikk B er $21 %$ , ikke $20 %$ , fordi den andre prisøkningen regnes av et større beløp enn den opprinnelige prisen. Dermed er varen dyrere i butikk B enn i butikk A.

1) Volum

Klossen er et rett trekantet prisme. Grunnflaten er en rettvinklet trekant med katetene $A B = 3,0$ cm og $A C = 4,0$ cm, og $∠ A = 90 °$ . Arealet av grunnflaten er

G = \frac{1}{2} \cdot A B \cdot A C = \frac{1}{2} \cdot 3,0 \cdot 4,0 = 6,0 {cm}^{2}

Volumet av et prisme er grunnflate ganger høyde:

V = G \cdot h = 6,0 {cm}^{2} \cdot 3,5 cm = 21 {cm}^{3}

Volumet av klossen er $21 {cm}^{3}$ .

2) Overflate

For å finne overflaten trenger vi den tredje siden $B C$ i den rettvinklede trekanten (hypotenusen). Vi bruker Pytagoras’ setning:

B C = \sqrt{A B^{2} + A C^{2}} = \sqrt{{3,0}^{2} + {4,0}^{2}} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5,0 cm

Overflaten består av to trekantede endeflater og tre rektangulære sideflater. Omkretsen av trekanten er

O_{△} = 3,0 + 4,0 + 5,0 = 12 cm

Overflaten blir da:

O = 2 \cdot G + O_{△} \cdot h = 2 \cdot 6,0 + 12 \cdot 3,5 = 12 + 42 = 54 {cm}^{2}

Overflaten av klossen er $54 {cm}^{2}$ .

1) Krysstabell

Det er $20$ elever totalt. $16$ har sommerjobb, og dermed har $20 - 16 = 4$ elever ikke sommerjobb. Av elevene uten sommerjobb er det $2$ som heller ikke skal på ferie, så de resterende $4 - 2 = 2$ elevene uten sommerjobb skal på ferie.

Av de $16$ med sommerjobb skal $10$ også på ferie, så $16 - 10 = 6$ har sommerjobb, men skal ikke på ferie.

	Ferie	Ikke ferie	Sum
Sommerjobb	10	6	16
Ikke sommerjobb	2	2	4
Sum	12	8	20

2) Sannsynlighet

Totalt skal $10 + 2 = 12$ elever på ferie, av $20$ elever i klassen:

P (ferie) = \frac{12}{20} = 0,6 = 60 %

Sannsynligheten for at en tilfeldig valgt elev fra klasse 1A skal på ferie, er $60 %$ .

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 15
Temaer: Proporsjonalitet, Prisindeks, Målestokk, Areal og omkrets, Prosentvis endring, Volum, Krysstabell, Sannsynlighet
Egen side: Åpne oppgave 1-2 for seg selv

Oppgave 1-3Gradestokk med celsius og fahrenheit for kakesteking

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Stig har fått en kakeoppskrift fra tante Mathilde i Amerika. I oppskriften står det at kaken skal stekes på $350 ° F$ . Han lurer på hvor mange grader celsius dette tilsvarer.

Stig har en gradestokk utenfor kjøkkenvinduet som viser både celsiusgrader og fahrenheitgrader. Se bildet til høyre.

Gradestokk med celsiusskala til venstre og fahrenheitskala til høyre

Tegn av tabellen nedenfor i besvarelsen din. Bruk gradestokken til høyre og fyll ut tabellen.

$° F$	$0$		$100$
$° C$		$10$

Tegn et koordinatsystem med grader fahrenheit langs $x$ -aksen og grader celsius langs $y$ -aksen. Marker verdiene fra tabellen i a) som punkter i koordinatsystemet.

Tegn en rett linje som går gjennom punktene. Bruk linjen til å finne ut hvor mange grader celsius Stig skal steke kaken på.

Fasit

$50 ° F \to 10 ° C$ ; $0 ° F \approx - 18 ° C$ ; $100 ° F \approx 38 ° C$

Se punktene i koordinatsystemet i løsningsforslaget

$\approx 177 ° C$

LøsningsforslagKI-generert

Vi leser av gradestokken der de to skalaene står ved siden av hverandre. Merket $10 ° C$ på celsiusskalaen står ved siden av $50$ på fahrenheitskalaen. På samme måte leser vi av at $0 ° F$ svarer til omtrent $- 18 ° C$ , og at $100 ° F$ svarer til omtrent $38 ° C$ .

$° F$	$0$	$50$	$100$
$° C$	$- 18$	$10$	$38$

b og c

Vi setter av de tre punktene $(0, - 18)$ , $(50, 10)$ og $(100, 38)$ i et koordinatsystem med fahrenheit langs $x$ -aksen og celsius langs $y$ -aksen. Punktene ligger tilnærmet på en rett linje, som vi tegner gjennom dem og forlenger.

For å finne celsiusverdien til $350 ° F$ forlenger vi linja til $x = 350$ og leser av $y$ -verdien der.

Koordinatsystem med punktene fra tabellen, en rett linje gjennom dem og avlesning ved 350 grader fahrenheit

Ved $x = 350 ° F$ leser vi av at linja treffer omtrent $y \approx 177$ .

Stig bør altså steke kaken på omtrent $177 ° C$ .

Avlesning på en håndtegnet linje er ikke eksakt: avhengig av nøyaktigheten i avlesningen av de tre punktene og av linja, vil svaret typisk havne et sted mellom $177 ° C$ og $178 ° C$ . Til sammenligning gir den eksakte omregningsformelen $(350 - 32) \cdot \frac{5}{9} \approx 176,7 ° C$ , som stemmer godt med avlesningen.

Oppgavedata

Delt med: 2P, 1P, 2P-Y
Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 4
Temaer: Lineære funksjoner, Graftolkning, Måleenheter
Egen side: Åpne oppgave 1-3 for seg selv

Oppgave 2-4Stabburet leverpostei og brødskiver

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Kilde: www.stabburet.no (21.08.2010)

Opplysningene ovenfor er hentet fra nettsidene til Stabburet. Bruk disse opplysningene når du løser oppgavene nedenfor.

Kalkulator

Regn ut hvor mange kilogram Stabburet leverpostei som spises i løpet av ett døgn hvis vi regner med at det er 100 g leverpostei i én boks.

Kalkulator

Regn ut hvor mange gram leverpostei som i gjennomsnitt brukes på hver brødskive.

Kalkulator

Regn ut hvor mange brødskiver en boks med 100 g leverpostei rekker til.

Fasit

$4320 kg$

$13,14 g$

$7,6 brødskiver$

LøsningsforslagKI-generert

Ett døgn har $24 \cdot 60 \cdot 60 = 86400$ sekunder. Når det spises én boks hvert 2. sekund, blir antall bokser per døgn:

\frac{86400}{2} = 43200 b o k s e r

Hver boks veier 100 g, så samlet vekt per døgn blir:

43200 \cdot 100 g = 4 320 000 g = 4320 kg

Det spises altså $4320 kg$ leverpostei per døgn.

Vi finner først hvor mange kilogram som spises per år ved å gange dagsforbruket med antall dager i et år:

4320 kg \cdot 365 = 1 576 800 kg = 1 576 800 000 g

Dette fordeles på 120 millioner brødskiver:

\frac{1 576 800 000 g}{120 000 000} \approx 13,14 g

Det brukes altså i gjennomsnitt $13,14 g$ leverpostei på hver brødskive.

En boks inneholder 100 g leverpostei. Vi deler dette på mengden per brødskive fra b):

\frac{100 g}{13,14 g} \approx 7,6

En boks rekker altså til om lag $7,6 brødskiver$ — det vil si 7 hele skiver, og litt igjen til en åttende.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Måleenheter, Store tall, Tallregning
Egen side: Åpne oppgave 2-4 for seg selv

Oppgave 2-5Akkordlønn, provisjon og timelønn med overtid

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Teksten ovenfor viser at det finnes ulike måter å beregne lønn på.

For hånd

Hva kaller vi måtene lønnen til Lisa og Dino blir beregnet på? Hva kjennetegner hvert av disse to lønnssystemene?

Kalkulator

Hvem av de tre tjente mest denne dagen?

1,5 av de timene Berit jobbet denne dagen, var overtid. Hun får 50 % ekstra i lønn per time når hun jobber overtid.

Kalkulator

Hva var timelønnen til Berit?

Fasit

Akkordlønn og provisjonslønn

$Lisa tjente mest$

$t \approx 143,59 kr$

LøsningsforslagKI-generert

Lisa får betalt et fast beløp per kjole hun syr, uansett hvor lang tid det tar. Dette kalles akkordlønn — lønnen avhenger av hvor mye du produserer, ikke av tiden du bruker.

Dino får betalt en prosentandel av det han selger for. Dette kalles provisjonslønn — lønnen avhenger av salgsbeløpet.

Vi regner ut dagslønnen til alle tre.

Lisa syr fem kjoler til 300 kr per kjole:

5 \cdot 300 kr = 1500 kr

Berit fikk oppgitt at hun tjente $1400 kr$ .

Dino solgte sko for 1100 euro og får 13 % i provisjon:

1100 \cdot 0,13 = 143 e u r o

Vi regner om til norske kroner med kursen 8,40 kr per euro:

143 \cdot 8,40 kr = 1201,20 kr

Sammenligner vi de tre beløpene, $1500 kr$ , $1400 kr$ og $1201,20 kr$ , ser vi at $Lisa tjente mest$ denne dagen.

Berit jobbet 9 timer denne dagen, og 1,5 timer av dette var overtid med 50 % tillegg. De $9 - 1,5 = 7,5$ vanlige timene gir $7,5 t$ i lønn, der $t$ er den vanlige timelønnen. Overtidstimene gir $1,5 t$ per time, altså $1,5 \cdot 1,5 t$ for 1,5 timer. Samlet lønn var 1400 kr, så vi setter opp likningen:

\begin{matrix} 7,5 t + 1,5 \cdot 1,5 t & = 1400 \\ 7,5 t + 2,25 t & = 1400 \\ 9,75 t & = 1400 \\ \frac{9,75 t}{9,75} & = \frac{1400}{9,75} \\ t & \approx 143,59 \end{matrix}

Timelønnen til Berit var $t \approx 143,59 kr$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Økonomi, Prosentregning, Likninger
Egen side: Åpne oppgave 2-5 for seg selv

Oppgave 2-6Stoppskilt skåret ut av kvadratisk plate

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Et stoppskilt har form som en åttekant. Alle sidene i åttekanten er 373 mm, og alle vinklene i åttekanten er like store.

Espen skal skjære ut et stoppskilt av en kvadratisk plate. Se figuren til høyre.

Stoppskilt formet som en regulær åttekant inni en kvadratisk plate, med fire grå trekanter i hjørnene

Kalkulator

Regn ut hvor store vinklene i åttekanten er.

Kalkulator

Finn lengden av sidene i de grå trekantene som Espen må skjære bort.

Kalkulator

Hvor stor del av den kvadratiske platen skjærer Espen bort når han lager skiltet?

Fasit

$135 °$

$a \approx 263,75 mm$

$\approx 17,2 %$

LøsningsforslagKI-generert

En åttekant har $n = 8$ sider. Vinkelsummen i en $n$ -kant er $(n - 2) \cdot 180 °$ , så vinkelsummen i åttekanten er:

(8 - 2) \cdot 180 ° = 6 \cdot 180 ° = 1080 °

Siden alle de 8 vinklene i en regulær åttekant er like store, deler vi vinkelsummen på 8:

\frac{1080 °}{8} = 135 °

Hver vinkel i åttekanten er $135 °$ .

De grå trekantene i hjørnene av kvadratet er rettvinklede og likebeinte, siden vinkelen i kvadratet er $90 °$ og de to andre vinklene da må være like store. Hypotenusen i hver trekant er en side i åttekanten, altså $373 mm$ . Kallér katetene $a$ . Pytagoras’ setning gir:

\begin{matrix} a^{2} + a^{2} & = 373^{2} \\ 2 a^{2} & = 139 129 \\ a^{2} & = 69 564,5 \\ a & = \sqrt{69 564,5} \\ a & \approx 263,75 \end{matrix}

Katetene i hver av de grå trekantene er $a \approx 263,75 mm$ .

Arealet av de fire grå trekantene som skjæres bort, finner vi ved å legge sammen arealet av hver rettvinklede trekant, $\frac{1}{2} \cdot a \cdot a$ :

4 \cdot \frac{1}{2} \cdot a^{2} = 2 a^{2} = 2 \cdot 69 564,5 m m^{2} = 139 129 m m^{2}

Sidelengden i den kvadratiske platen er lik to kateter pluss én side av åttekanten:

373 + 2 \cdot 263,75 = 900,50 mm

Arealet av hele den kvadratiske platen blir da:

{900,50}^{2} m m^{2} \approx 810 903 m m^{2}

Andelen som skjæres bort, er forholdet mellom arealet av de fire trekantene og arealet av hele platen:

\frac{139 129}{810 903} \approx 0,1716 = 17,16 %

Espen skjærer altså bort omtrent $17,2 %$ av den kvadratiske platen.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Geometri, Pytagoras, Areal og omkrets
Egen side: Åpne oppgave 2-6 for seg selv

Oppgave 2-7CO2-utslipp for bil ved 60 og 80 km i timen

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Antall gram CO₂ en bil slipper ut per kilometer er gitt ved

f (x) = 0,046 x^{2} - 6,7 x + 386

der $x$ er farten til bilen målt i km/h.

Kalkulator

Tegn grafen til $f$ i et koordinatsystem for $x$ -verdier fra 20 til 100.

Kalkulator

Hvor mange gram CO₂ slipper bilen ut per kilometer, dersom den holder en fart på 60 km/h?

Krever PC

Hvilken fart gir minst CO₂-utslipp per kilometer? Hvor stort er CO₂-utslippet per kilometer da?

Bilen kjører i 80 km/h i en halv time.

Kalkulator

Hvor mye CO₂ slipper bilen ut i løpet av denne halvtimen?

Fasit

Se graf i løsningsforslaget.

$f (60) = 149,6 g / k m$

$x \approx 72,8 k m / h, f (72,8) \approx 142,0 g / k m$

$5776 g = 5,776 kg {CO}_{2}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi tegner grafen til $f (x) = 0,046 x^{2} - 6,7 x + 386$ for $x$ -verdier fra $20$ til $100$ i GeoGebra.

Graf av CO₂-utslipp som funksjon av farten

Grafen er en parabel som synker fra ca. $270 g / k m$ ved $20 k m / h$ ned til et bunnpunkt rundt $73 k m / h$ , og stiger deretter igjen.

Vi setter $x = 60$ inn i funksjonsuttrykket:

\begin{matrix} f (60) & = 0,046 \cdot 60^{2} - 6,7 \cdot 60 + 386 \\ = 0,046 \cdot 3600 - 402 + 386 \\ = 165,6 - 402 + 386 \\ = 149,6 \end{matrix}

Ved en fart på $60 k m / h$ slipper bilen ut $149,6 g$ CO₂ per kilometer.

Bunnpunktet på grafen viser hvilken fart som gir minst CO₂-utslipp per kilometer. Fra grafen (punktet $A$ ) leser vi av bunnpunktet

A = (72,8, 142,0)

En fart på omtrent $72,8 k m / h$ gir minst CO₂-utslipp, og utslippet er da omtrent $142,0 g / k m$ .

Bilen kjører i $80 k m / h$ i en halv time, og tilbakelegger dermed

s = 80 k m / h \cdot 0,5 h = 40 km

Utslippet per kilometer ved $80 k m / h$ finner vi ved å sette $x = 80$ inn i funksjonsuttrykket:

\begin{matrix} f (80) & = 0,046 \cdot 80^{2} - 6,7 \cdot 80 + 386 \\ = 0,046 \cdot 6400 - 536 + 386 \\ = 294,4 - 536 + 386 \\ = 144,4 \end{matrix}

Totalt utslipp på turen blir da utslippet per kilometer multiplisert med antall kilometer:

144,4 g / k m \cdot 40 km = 5776 g

I løpet av denne halvtimen slipper bilen ut $5776 g = 5,776 kg$ CO₂.

Oppgavedata

Delt med: 1P, 2P-Y
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Andregradsfunksjon, Modellering, Graftolkning
Egen side: Åpne oppgave 2-7 for seg selv

Oppgave 2-8Sugeanker for vindmøller av stålplater

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Vindmøller kan festes til havbunnen ved hjelp av sugeankre. Et sugeanker har tilnærmet form som en sylinder uten bunn.

Et mekanisk verksted produserer sugeankre. Sugeankrene er 12 m høye og har en diameter på 3 m.

Kalkulator

Vis at overflaten av et slikt sugeanker er ca. $120 m^{2}$ .

Stålplatene som brukes til å lage sugeankrene, er 30 mm tykke. $1 m^{3}$ stål veier ca. 7800 kg.

Kalkulator

Omtrent hvor mye veier ett sugeanker?

Når sugeankeret suges fast på bunnen, fylles sylinderen med en blanding av vann og sand. 1 L av blandingen veier ca. 1,2 kg.

Kalkulator

Omtrent hvor mye veier sugeankeret når det er fylt med denne blandingen?

Fasit

$\approx 120 m^{2}$

$\approx 28 100 kg$

$\approx 129 900 kg$

LøsningsforslagKI-generert

Sugeankeret har form som en sylinder uten bunn, det vil si at overflaten består av mantelflaten (den buede sideflaten) pluss topplokket. Sylinderen er 12 m høy og har diameter 3 m, altså radius $r = 1,5 m$ .

Mantelflaten er:

2 π r h = 2 \cdot π \cdot 1,5 \cdot 12 \approx 113,10 m^{2}

Topplokket er:

π r^{2} = π \cdot {1,5}^{2} \approx 7,07 m^{2}

Samlet overflate blir:

113,10 + 7,07 \approx 120,17 m^{2} \approx 120 m^{2}

Dette viser at overflaten av sugeankeret er ca. $120 m^{2}$ .

Stålvolumet finner vi ved å gange overflaten med platetykkelsen, $30 mm = 0,03 m$ :

120,17 m^{2} \cdot 0,03 m \approx 3,605 m^{3}

Siden $1 m^{3}$ stål veier ca. 7800 kg, blir vekten av sugeankeret:

3,605 \cdot 7800 kg \approx 28 119 kg

Ett sugeanker veier altså omtrent $28 100 kg$ , det vil si ca. 28,1 tonn.

Når sylinderen fylles med blandingen, regner vi ut hele sylindervolumet (som om den var lukket i bunnen):

π r^{2} h = π \cdot {1,5}^{2} \cdot 12 \approx 84,82 m^{3}

Vi regner om til liter, siden $1 m^{3} = 1000 L$ :

84,82 m^{3} = 84 823 L

Blandingen veier 1,2 kg per liter, så vekten av blandingen blir:

84 823 \cdot 1,2 kg \approx 101 788 kg

Legger vi til vekten av selve stålsugeankeret fra b), får vi totalvekten:

101 788 + 28 119 \approx 129 907 kg

Sugeankeret veier altså omtrent $129 900 kg$ når det er fylt med vann og sand, det vil si ca. 130 tonn.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Volum, Areal og omkrets, Måleenheter
Egen side: Åpne oppgave 2-8 for seg selv

Oppgave 2-9Sannsynlighet i stein-saks-papir over tre runder

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

”Stein – saks – papir” er en konkurranse mellom to personer. Hver person bestemmer seg for enten stein, saks eller papir, og begge viser så samtidig, ved å bruke den ene hånden, hva de har valgt. Se figuren nedenfor.

Stein – saks – papir: saks vinner over papir, papir vinner over stein og stein vinner over saks

Reglene er slik:

Saks vinner over papir.
Papir vinner over stein.
Stein vinner over saks.

Dersom begge velger det samme (for eksempel stein), blir det uavgjort.

Bård og Lars skal spille ”Stein – saks – papir”. Ett mulig utfall kan da for eksempel bli at Bård velger stein og Lars velger papir.

For hånd

Lag en oversikt som viser alle de ni mulige utfallene når Bård og Lars spiller ”Stein – saks – papir” én gang.

La B bety seier til Bård, U uavgjort og L seier til Lars.

For hånd

Forklar at sannsynligheten for at Bård vinner, $P (B)$ , er $\frac{1}{3}$ .

Bård og Lars skal spille ”Stein – saks – papir” tre ganger. Et mulig resultat er da BUL, som betyr at Bård vinner første gang, at det blir uavgjort andre gang, og at Lars vinner tredje gang.

For hånd

Hvor mange ulike resultater kan vi få når Bård og Lars spiller tre ganger?

For hånd

Hva er sannsynligheten for at Bård vinner minst to av de tre gangene?

Når to personer spiller ”Stein – saks – papir”, er vinneren den som vinner flest av tre ganger. Dersom begge vinner like mange ganger, blir det uavgjort.

For hånd

Hva er sannsynligheten for at Bård vinner?

Fasit

Se tabell i løsningsforslaget.

$P (B) = \frac{1}{3}$

$27 resultater$

$P (minst 2 seiere til Bård) = \frac{7}{27} \approx 25,9 %$

$P (Bård vinner) = \frac{10}{27} \approx 37,0 %$

LøsningsforslagKI-generert

Vi setter opp en tabell med Bård sitt valg langs radene og Lars sitt valg langs kolonnene. $B$ betyr at Bård vinner, $L$ betyr at Lars vinner, og $U$ betyr uavgjort:

Bård \ Lars	Stein	Saks	Papir
Stein	$U$	$B$	$L$
Saks	$L$	$U$	$B$
Papir	$B$	$L$	$U$

Dette gir de ni mulige utfallene når Bård og Lars spiller én gang.

Av de $9$ likeverdige utfallene i tabellen i a) ser vi at Bård vinner ( $B$ ) i akkurat $3$ av rutene: stein mot saks, saks mot papir og papir mot stein. Siden alle ni utfall er like sannsynlige, er

P (B) = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}

Hvert enkelt spill kan ende på $3$ ulike måter ( $B$ , $U$ eller $L$ ). Siden Bård og Lars spiller tre uavhengige spill, gir multiplikasjonsprinsippet at antall mulige resultater (rekkefølger som BUL, BBB, ULL osv.) er

3 \cdot 3 \cdot 3 = 3^{3} = 27

Vi teller opp hvor mange av de $27$ resultatene som har minst to seiere til Bård, altså enten nøyaktig $2$ eller nøyaktig $3$ seiere til Bård.

Nøyaktig 3 seiere ( $B B B$ ): Det finnes bare $1$ slikt resultat.

Nøyaktig 2 seiere: Vi velger hvilke $2$ av de $3$ spillene Bård vinner. Det finnes $3$ måter å gjøre dette på. Det tredje spillet må da ikke være en seier til Bård, altså enten uavgjort ( $U$ ) eller tap ( $L$ ) — det gir $2$ muligheter for det siste spillet. Antall resultater med nøyaktig $2$ seiere til Bård blir dermed

3 \cdot 2 = 6

Totalt antall gunstige resultater er $6 + 1 = 7$ , av $27$ mulige. Dermed er

P (minst 2 seiere til Bård) = \frac{7}{27} \approx 0,259 = 25,9 %

Vinneren av kampen er den som vinner flest av de tre spillene. Legg merke til at situasjonen er symmetrisk mellom Bård og Lars, så

P (Bård vinner) = P (Lars vinner)

Det blir uavgjort i kampen når Bård og Lars vinner like mange spill hver (samme antall $B$ -er som $L$ -er blant de tre spillene). Vi teller opp hvilke av de $27$ resultatene som gir uavgjort:

Alle tre spill uavgjort ( $U U U$ ): $1$ resultat.
Nøyaktig én seier hver ( $1$ gang $B$ , $1$ gang $U$ og $1$ gang $L$ ): de tre bokstavene $B$ , $U$ , $L$ kan stå i $3! = 6$ ulike rekkefølger.

Det er ingen andre måter å få like mange $B$ -er som $L$ -er på tre spill (f.eks. kan man ikke ha $2$ hver, siden $2 + 2 = 4 > 3$ ). Dermed er antall resultater med uavgjort kamp $1 + 6 = 7$ , så

P (uavgjort) = \frac{7}{27}

De resterende $27 - 7 = 20$ resultatene fordeler seg likt mellom at Bård vinner kampen og at Lars vinner kampen (symmetri), så

P (Bård vinner) = \frac{20}{27} \div 2 = \frac{10}{27} \approx 0,370 = 37,0 %

Oppgavedata

Delt med: 1T, 1P, 2P-Y
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 8
Temaer: Sannsynlighet, Kombinatorikk, Binomisk fordeling
Egen side: Åpne oppgave 2-9 for seg selv

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Del 1uten hjelpemidler · 2 timer · 3 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 1-1Islandske kroner, flybussbillett og overslag

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-2Hårspray, indeks, målestokk, prisme og sommerferie

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-3Gradestokk med celsius og fahrenheit for kakesteking

b og c

Forstå oppgaven med en KI

Del 2alle hjelpemidler · 3 timer · 6 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 2-4Stabburet leverpostei og brødskiver

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-5Akkordlønn, provisjon og timelønn med overtid

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-6Stoppskilt skåret ut av kvadratisk plate

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-7CO2-utslipp for bil ved 60 og 80 km i timen

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-8Sugeanker for vindmøller av stålplater

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-9Sannsynlighet i stein-saks-papir over tre runder

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Del 1uten hjelpemidler · 2 timer · 3 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 1-1·Islandske kroner, flybussbillett og overslag

Oppgave 1-2·Hårspray, indeks, målestokk, prisme og sommerferie

Oppgave 1-3·Gradestokk med celsius og fahrenheit for kakesteking

b og c

Del 2alle hjelpemidler · 3 timer · 6 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 2-4·Stabburet leverpostei og brødskiver

Oppgave 2-5·Akkordlønn, provisjon og timelønn med overtid

Oppgave 2-6·Stoppskilt skåret ut av kvadratisk plate

Oppgave 2-7·CO2-utslipp for bil ved 60 og 80 km i timen

Oppgave 2-8·Sugeanker for vindmøller av stålplater

Oppgave 2-9·Sannsynlighet i stein-saks-papir over tre runder

Temaer

Oppgave 1-1Islandske kroner, flybussbillett og overslag

Oppgave 1-2Hårspray, indeks, målestokk, prisme og sommerferie

Oppgave 1-3Gradestokk med celsius og fahrenheit for kakesteking

Oppgave 2-4Stabburet leverpostei og brødskiver

Oppgave 2-5Akkordlønn, provisjon og timelønn med overtid

Oppgave 2-6Stoppskilt skåret ut av kvadratisk plate

Oppgave 2-7CO2-utslipp for bil ved 60 og 80 km i timen

Oppgave 2-8Sugeanker for vindmøller av stålplater

Oppgave 2-9Sannsynlighet i stein-saks-papir over tre runder