1P Høst 2011

Oppskriften bruker $1\frac{1}{2}\mathrm{dL}$ havregryn til $5\mathrm{dL}$ vann. Bjørn har $6\mathrm{dL}$ havregryn, altså

ganger så mye havregryn som oppskriften. Da trenger han også 4 ganger så mye vann:

Siden $10\mathrm{dL}=1\mathrm{L}$, blir dette $2\mathrm{L}$ vann.

$\underline{\underline{2\mathrm{L}}}$

Gjerdet skal følge hypotenusen $AB$ i en rettvinklet trekant med kateter $5\mathrm{m}$ og $6\mathrm{m}$. Ved Pytagoras’ setning:

Gjerdet selges i hele lengder på $1\mathrm{m}$. Siden $7\mathrm{m}$ ikke er nok ($7<\mathrm{7,81}$), må Kari kjøpe 8 lengder.

$\underline{\underline{8\text{ lengder}}}$

1) Lønnen økte fra $160$ til $184$ kroner per time. Økningen i kroner er $184-160=24$ kroner. Prosentvis økning:

$\underline{\underline{15\%}}$

2) Reallønnen er lønnen målt i “fast kjøpekraft” — den tar hensyn til prisstigningen (KPI). At reallønnen er den samme de to årene, betyr at lønnsøkningen på $15\%$ nøyaktig følger økningen i KPI. Siden $\text{KPI}$ var $100$ det første året:

$\underline{\underline{\text{KPI}=115}}$

Eva har til sammen $1+2+2+3=8$ pakker gelé, hvorav 2 er kiwigelé og 1 er blåbærgelé.

1) Sannsynligheten for at den første pakken er kiwigelé:

$\underline{\underline{\frac{1}{4}}}$

2) Hun tar to pakker uten tilbakelegging. Sannsynligheten for kiwi først og kiwi deretter:

$\underline{\underline{\frac{1}{28}}}$

3) Én pakke kiwi og én pakke blåbær kan skje i to rekkefølger: kiwi først eller blåbær først.

$\underline{\underline{\frac{1}{14}}}$

Melisen har form som et rett prisme med volum

Sylinderboksen har radius $r=6\mathrm{cm}$ (diameter $12\mathrm{cm}$) og høyde $10\mathrm{cm}$:

Selv om sylinderens volum er større enn melispakkens volum, avgjør ikke det om pakken faktisk får plass — formen må også passe. Prismet har én side som er $16\mathrm{cm}$ lang. For at prismet skal stå oppreist, må denne siden være mindre enn høyden til sylinderen ($10\mathrm{cm}$) — det er den ikke. Legger vi prismet ned, må den $16\mathrm{cm}$ lange siden i stedet ligge vannrett i sylinderens sirkulære bunnflate, men denne har diameter bare $12\mathrm{cm}$. Siden $16\mathrm{cm}>12\mathrm{cm}$, passer den $16\mathrm{cm}$ lange siden ikke uansett hvordan pakken snus.

Melisen får derfor ikke plass i boksen.

$\underline{\underline{\text{Nei, melisen får ikke plass}}}$

Grafen er en rett linje fra punktet $(0,50)$ til punktet $(20,150)$, der $x$ er antall kg moreller og $y$ er lønn i kroner.

Stigningstallet er

Konstantleddet er verdien når $x=0$, altså $50$. Likningen for lønnen blir

Dette betyr at Ivar får en fast grunnlønn på $50\mathrm{kr}$ uansett hvor mye han plukker, i tillegg til $5\mathrm{kr}$ for hver kg moreller han plukker.

$\underline{\underline{L=50+5x}}$

To størrelser er proporsjonale hvis forholdet mellom dem er konstant — når den ene dobles, dobles den andre også. Grafisk er dette en rett linje gjennom origo.

To størrelser er omvendt proporsjonale hvis produktet av dem er konstant — når den ene dobles, halveres den andre.

For rektanglene er arealet konstant lik $36$, altså

Produktet er konstant, så lengde og bredde er omvendt proporsjonale. Sondre har rett.

$\underline{\underline{\text{Sondre har rett — omvendt proporsjonale}}}$

Vi velger et trapes der de parallelle sidene er $5\mathrm{cm}$ og $7\mathrm{cm}$ (de skiller seg med $2\mathrm{cm}$, som oppgaven krever), og setter høyden til $3\mathrm{cm}$.

Arealet av et trapes er

der $a$ og $b$ er de parallelle sidene, og $h$ er høyden. Med $a=5\mathrm{cm}$, $b=7\mathrm{cm}$ og $h=3\mathrm{cm}$:

Arealet blir $18{\mathrm{cm}}^2$, som stemmer med kravet.

$\underline{\underline{\text{Trapes med sider }5\text{ cm og }7\text{ cm},h=3\text{ cm}}}$

Lån 1 er et annuitetslån. Det kjennetegnes ved at Jonas betaler det samme totale beløpet (avdrag + renter) hvert år. I starten utgjør rentene mesteparten av innbetalingen og avdraget er lite, men etter hvert som gjelden minker, øker avdraget mens rentedelen minker — slik at summen holder seg konstant.

Lån 2 er et serielån. Det kjennetegnes ved at avdraget er likt hvert år ($10000\mathrm{kr}$), mens rentene beregnes av den gjenværende gjelden og derfor avtar for hvert år. Den totale summen Jonas betaler, blir dermed mindre og mindre år for år.

$\underline{\underline{\text{Lån 1: annuitetslån. Lån 2: serielån}}}$

For Lån 2 (serielånet) betaler Jonas $10000\mathrm{kr}$ i avdrag hvert år. Renten er $10\%$ av det han skylder ved starten av året, og restgjelden avtar med $10000\mathrm{kr}$ hvert år. Derfor avtar rentebeløpet med

hvert år.

For å finne totalbeløpet legger vi sammen renter og avdrag for alle 10 årene. Avdragene til sammen:

Rentene de ti årene er $10000,9000,8000,\dots ,1000$ kroner (renten avtar med $1000$ kr per år, fra $10000$ kr det første året til $1000$ kr det siste). Summen av rentene:

Totalt tilbakebetalt beløp:

$\underline{\underline{155000\mathrm{kr}}}$

Av figuren ser vi at Jonas for Lån 1 betaler det samme beløpet hvert år, litt over $16000\mathrm{kr}$. Over 10 år gir det et samlet beløp på litt over

Dette er mer enn de $155000\mathrm{kr}$ Jonas betaler totalt for Lån 2 (funnet i b). Jonas må altså betale mest tilbake for Lån 1, annuitetslånet.

Grunnen til at Lån 1 blir dyrere, selv om rentefoten er den samme for begge lånene, er at avdraget i annuitetslånet er lite i starten. Gjelden hans blir da stående høyere lenger enn i serielånet, der avdraget er stort ($10000\mathrm{kr}$) helt fra første året. Siden rentene beregnes av restgjelden, betaler Jonas renter av et større beløp over lengre tid med Lån 1, og det gjør at de samlede rentene — og dermed totalbeløpet — blir større.

$\underline{\underline{\text{Lån 1 (annuitetslånet) koster mest totalt}}}$

Diagonalen $BD$ deler rektangelet i to rettvinklede trekanter der $BD$ er hypotenusen, og sidene $AB=\mathrm{7,00}\mathrm{m}$ og $BC=\mathrm{5,00}\mathrm{m}$ er katetene. Pytagoras’ setning gir:

Med kalkulator finner vi:

$\underline{\underline{BD\approx \mathrm{8,60}\mathrm{m}}}$

Vi skal finne $\sqrt{74}$ med babylonernes formel. Det kvadrattallet $K$ som ligger nærmest $T=74$, er $81=9^2$ (siden $74-64=10$ og $81-74=7$, ligger $74$ nærmere $81$ enn $64$). Vi setter $T=74$ og $K=81$ inn i formelen:

Diagonalen blir dermed $BD\approx \mathrm{8,61}\mathrm{m}$, som stemmer godt overens med svaret i a) ($\mathrm{8,60}\mathrm{m}$) — avviket er bare om lag $\mathrm{0,01}\mathrm{m}$.

$\underline{\underline{BD\approx \mathrm{8,61}\mathrm{m}}}$

Volumet av en sylinder er $V=\pi r^{2}h$, der $r$ er radius og $h$ er høyden. Alle kakene har høyde $h=7\mathrm{cm}$.

Liten kake ($d=20\mathrm{cm}$, altså $r=10\mathrm{cm}$):

Per person: $\mathrm{2199,1}/10\approx \mathrm{219,9}{\mathrm{cm}}^3$

Medium kake ($d=26\mathrm{cm}$, altså $r=13\mathrm{cm}$):

Per person: $\mathrm{3716,9}/16\approx \mathrm{232,3}{\mathrm{cm}}^3$

Stor kake ($d=30\mathrm{cm}$, altså $r=15\mathrm{cm}$):

Per person: $\mathrm{4948,0}/25\approx \mathrm{197,9}{\mathrm{cm}}^3$

Medium kake gir dermed mest kake per person, med om lag $232{\mathrm{cm}}^3$ per person, mot $220{\mathrm{cm}}^3$ for liten kake og $198{\mathrm{cm}}^3$ for stor kake.

$\underline{\underline{\text{Medium kake}\approx 232{\mathrm{cm}}^3\text{ per person}}}$

Marsipanlaget er tynt ($3\mathrm{mm}=\mathrm{0,3}\mathrm{cm}$), så vi kan finne volumet omtrent ved å multiplisere arealet som skal dekkes, med tykkelsen. Den store kaken har radius $15\mathrm{cm}$ og høyde $7\mathrm{cm}$, og marsipanen skal dekke toppen og siden (ikke bunnen).

Toppareal (sirkel):

Sideareal (sylinderens mantelflate):

Totalt areal:

Marsipanvolum:

$\underline{\underline{V_{\text{marsipan}}\approx 410{\mathrm{cm}}^3}}$

Volumet av én marsipanpølse (sylinder med $d=4\mathrm{cm}$, altså $r=2\mathrm{cm}$, og lengde $20\mathrm{cm}$):

Antall pølser som trengs:

Siden Kari bare kan kjøpe hele pølser, må hun kjøpe $2$ marsipanpølser.

$\underline{\underline{2\text{ marsipanpølser}}}$

Erik tjener $409700$ kroner i året.

Alminnelig inntekt:

Inntektsskatt:

Trygdeavgift:

Siden personinntekten til Erik er lavere enn $456900$ kr, skal han ikke betale toppskatt.

Skatt totalt:

Nettolønn:

Elin tjener $518000$ kroner i året.

Alminnelig inntekt:

Inntektsskatt:

Trygdeavgift:

Grunnlaget for toppskatt:

Toppskatt:

Skatt totalt:

Nettolønn:

$\underline{\underline{\text{Nettolønn Erik}\approx 283411\mathrm{kr},\text{Nettolønn Elin}=347441\mathrm{kr}}}$

Skatteprosenten finner vi ved å dele skatt totalt på personinntekten.

Erik:

Elin:

$\underline{\underline{\text{Erik}\approx \mathrm{30,8}\%,\text{Elin}\approx \mathrm{32,9}\%}}$

Erik får personinntekt $409700+20000=429700$ kr, som fortsatt er lavere enn $456900$ kr. Han betaler dermed ikke toppskatt verken før eller etter tillegget. Hele lønnstillegget øker alminnelig inntekt og personinntekt like mye, så skatten av tillegget er inntektsskatt pluss trygdeavgift:

Elin har personinntekt $518000$ kr, som allerede er høyere enn grensen for toppskatt ($456900$ kr) før tillegget. Hele lønnstillegget blir dermed også skattlagt med toppskatt, i tillegg til inntektsskatt og trygdeavgift:

$\underline{\underline{\text{Erik: }\mathrm{35,8}\%,\text{Elin: }\mathrm{44,8}\%}}$

At reallønnen ikke endrer seg, betyr at lønnen følger konsumprisindeksen (KPI). Lønnen i 2010 finner vi ved å justere lønnen i 2007 med forholdet mellom KPI i 2010 og KPI i 2007:

$\underline{\underline{\approx 479253\mathrm{kr}}}$

Vi systematiserer opplysningene i en krysstabell. Det er $12$ jenter, der $8$ kjører moped og $12-8=4$ ikke kjører moped. Det er $15$ gutter, der $9$ kjører moped og $15-9=6$ ikke kjører moped.

Totalt er det $27$ elever i klassen, og $10$ av dem kjører ikke moped. Sannsynligheten for at en tilfeldig trukket elev ikke kjører moped, er:

$\underline{\underline{P(\text{ikke moped})\approx \mathrm{0,370}}}$

Av tabellen ser vi at $17$ elever kjører moped, og av disse er $9$ gutter. Sannsynligheten for at en tilfeldig trukket mopedkjører er en gutt, er:

$\underline{\underline{P(\text{gutt}|\text{moped})\approx \mathrm{0,529}}}$

Av de $12$ jentene kjører $8$ moped, og hver av dem har sannsynlighet $1-\mathrm{0,10}=\mathrm{0,90}$ for å komme presis. De resterende $4$ jentene kjører ikke moped, og hver av dem har sannsynlighet $1-\mathrm{0,05}=\mathrm{0,95}$ for å komme presis.

Siden elevene kommer for sent uavhengig av hverandre, kan vi bruke produktregelen for uavhengige hendelser: sannsynligheten for at alle $8$ mopedjentene og alle $4$ ikke-mopedjentene kommer presis, er produktet av alle enkeltsannsynlighetene:

Dette er nettopp uttrykket vi skulle forklare.

Vi bruker samme prinsipp for hele klassen. Av de $17$ mopedkjørerne kommer hver presis med sannsynlighet $\mathrm{0,90}$, og av de $10$ som ikke kjører moped, kommer hver presis med sannsynlighet $\mathrm{0,95}$. Sannsynligheten for at alle elevene kommer presis, er:

Vi bruker komplementsetningen: sannsynligheten for at minst én elev kommer for sent, er komplementet til at alle kommer presis:

$\underline{\underline{P(\text{minst én kommer for sent})\approx \mathrm{0,900}}}$

1) Kostnad for 1000 kopper

Vi setter $x=1000$ inn i hver av de tre funksjonene.

Det koster altså $\underline{\underline{4210\mathrm{kr}}}$ med maskin 1, $\underline{\underline{3820\mathrm{kr}}}$ med maskin 2 og $\underline{\underline{10270\mathrm{kr}}}$ med maskin 3 for å lage 1000 kopper kaffe.

2) Antall kopper for 10 000 kroner

Vi setter $K(x)=10000$ og løser likningen for hver maskin.

Maskin 1:

Siden vi ikke kan lage en brøkdel av en kopp, og pengene ikke skal overskrides, runder vi ned til $3136$ kopper.

Maskin 2:

Vi runder ned til $2980$ kopper.

Maskin 3:

Vi runder ned til $787$ kopper.

For $10000\mathrm{kr}$ kan du altså lage $\underline{\underline{3136}}$ kopper med maskin 1, $\underline{\underline{2980}}$ kopper med maskin 2 og $\underline{\underline{787}}$ kopper med maskin 3.

For å finne ut når det lønner seg å bytte fra en maskin til en annen, finner vi skjæringspunktene mellom kostnadsfunksjonene, altså hvor mange kopper som gir lik totalkostnad.

Maskin 1 og maskin 2:

Maskin 1 og maskin 3:

Maskin 2 og maskin 3:

Vi har altså tre skjæringspunkt: $x\approx 1951$, $x\approx 4486$ og $x\approx 5208$. For å finne ut hvilken maskin som faktisk er billigst i hvert intervall, setter vi inn et testtall i hvert intervall.

For $x<1951$ (f.eks. $x=0$): $K_2=700$ er lavest av de tre.

For $1951<x<5208$ (f.eks. $x=3000$): $K_1=9630$, $K_2=10060$, $K_3=12810$ — $K_1$ er lavest (maskin 2 er nå dyrere fordi driftsutgiften per kopp er høyere).

For $x>5208$ (f.eks. $x=6000$): $K_1=17760$, $K_3=16620$ — $K_3$ er lavest.

Skjæringspunktet mellom maskin 2 og maskin 3 ($x\approx 4486$) ligger altså i et intervall der maskin 1 allerede er billigere enn begge, og spiller derfor ingen rolle for hvilken maskin som lønner seg.

Konklusjon:

• Under $1951$ kopper lønner det seg å ha $\underline{\underline{\text{maskin 2}}}$.
• Mellom $1952$ og $5208$ kopper lønner det seg å ha $\underline{\underline{\text{maskin 1}}}$.
• Over $5209$ kopper lønner det seg å ha $\underline{\underline{\text{maskin 3}}}$.

Familien lager i gjennomsnitt $6$ kopper per dag. Over tre år (vi regner $365$ dager per år) blir antall kopper:

Fra b) vet vi at maskin 3 lønner seg når antall kopper er større enn ca. $5208$. Siden $6570>5208$, har familien for lengst passert vippepunktet mellom maskin 1 og maskin 3 etter tre år.

Vi kan også regne ut hvor lang tid det faktisk tar å nå vippepunktet på $5208$ kopper:

Det vil altså allerede etter omtrent $\mathrm{2,4}$ år lønne seg å ha kjøpt den dyreste maskinen (maskin 3) fremfor maskin 1. Vi sjekker dette ved å sette inn $x=6570$ i kostnadsfunksjonene:

Etter tre år har familien altså spart omtrent $19305-17344=1961\mathrm{kr}$ ved å velge maskin 3 fremfor maskin 1.

Fars påstand var at det lønner seg å kjøpe den dyreste maskinen dersom den varer i mer enn tre år. Siden vippepunktet faktisk kommer allerede etter ca. $\mathrm{2,4}$ år, vil maskinen definitivt ha lønnet seg innen tre år har gått — $\underline{\underline{\text{påstanden stemmer}}}$, selv om den egentlig lønner seg enda tidligere enn far antar.